Il potenziale elettrostatico

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1 apitolo 7 Il potenziale elettostatico. L enegia potenziale elettostatica Pe uali motivi è stata intodotta la gandezza fisica lavoo? Il lavoo è stato intodotto peché l evidenza speimentale mosta che esiste una diffeenza fa i due fenomeni seguenti: a) su di un sistema è applicata una foza il cui punto di applicazione si muove; L F s b) su di un sistema è applicata una foza il cui punto di applicazione esta fisso. Se il punto di applicazione della foza si sposta duante l azione, infatti, a seconda dell angolo che essa foma con lo spostamento, il sistema aumenta o diminuisce la popia capacità di agie modificando se stesso e l ambiente. tale capacità di modificae le cose si dà il nome di enegia. Una seconda evidenza speimentale mosta che l effetto sull enegia di un sistema dovuto ad una foza il cui punto di applicazione si muove, è diffeente se la foza in uestione ha una componente dietta lungo lo spostamento oppue se gli è pependicolae. Si decide petanto di misuae ueste popietà intoducendo una oppotuna gandezza fisica chiamata lavoo. Si dice uindi che uando il punto di applicazione di una foza costante F subisce uno spostamento ettilineo, individuato da un vettoe s come in figua, essa ha compiuto il lavoo elementae L : L F s cos F s F F cos s F F cos F F L L dove F F cos è la componente (con segno) della foza lungo s e pe semplicità si è indicato il modulo del vettoe spostamento solo con s. Qual è il significato del segno del lavoo elementae? ome si vede in figua, il segno del lavoo elementae ha un significato fisico: una foza F che foma un angolo 9 con s, (e uindi F F cos ), F s compie lavoo elementae positivo, che viene detto lavoo motoe, peché F sta con- 95

2 tibuendo al moto nella diezione dello spostamento. Se vicevesa 9 8 compie un lavoo negativo, detto lavoo esistente peché F sta contastando il moto nella diezione di s. F 3 s 3 F F s s F 4 F i i s i i E se la taiettoia è cuvilinea? Pe spostamenti più complessi, che seguono taiettoie cuve, e foze che vaiano la loo diezione e la loo intensità lungo il pecoso, la definizione di lavoo si genealizza suddividendo la taiettoia del punto di applicazione in tanti spostamenti elementai ettilinei s come in figua, ad ognuno dei uali associamo un vettoe costante F i, che appesenti F nel tatto inteessato, ed un angolo i : L F i si cos i ome fa un sistema ad immagazzinae enegia? La capacità di agie che chiamiamo enegia, e che il sistema acuista (o cede) pe l azione di foze che spostano il popio punto di applicazione, può essee immagazzinata solo in due modi: () nello stato di moto in cui le pati del sistema si sono potate: uesta modalità di incameae si dice enegia cinetica e si indica con K. () nella configuazione che le sue pati assumono: uesta modalità di incameae è detta enegia potenziale e si indica con U. ome si misua l enegia cinetica di un sistema? Il contenuto di enegia cinetica K incameato in un sistema viene definito come il lavoo che occoe fae pe potae tutte le sue pati da una situazione in cui sono feme fino alla loo velocità attuale. ome abbiamo a suo tempo dimostato, pe un oggetto puntifome di massa m e velocità v tale lavoo vale: K m v Quindi l enegia cinetica di un sistema è la somma di tanti addendi della foma m v ognuno elativo ad una delle sue sue pati (supposte puntifomi). Vale inolte il teoema dell enegia cinetica, secondo il uale il lavoo complessivamente svolto su di una paticella è pai alla vaiazione della sua enegia cinetica: Ltot K ome si misua l enegia potenziale di un sistema? Un sistema è in gado di incameae enegia potenziale solo nel caso in cui può compiee un tipo di lavoo tutto a spese (o a vantaggio) di un cambio nella sua configuazione. Un lavoo pagato solo con una vaiazione nella configuazione non può dipendee dalla taiettoia seguita pe andae dalla situazione iniziale a uella finale, come invece accade nel caso più geneale. Infatti le possibili taiettoie che conducono da uno stato all alto sono infinite: se il lavoo dipendesse dal tagitto seguito dai punti di applicazione delle foze, potemmo ottenee infiniti valoi divesi del lavoo pu a paità di configuazione finale. Possiamo uindi intodue un enegia potenziale solo se fa le pati del sistema agiscono delle paticolai foze, dette consevative, il cui lavoo non dipende dalla taiettoia, ma unicamente da uali sono la configuazione iniziale e finale del siste- 96

3 ma. In uesto caso si sceglie una configuazione di ifeimento R e si definisce enegia potenziale U del sistema nello stato, il lavoo che le foze consevative intene svolgono uando esso si pota da nello stato R: U L R Si può inolte dimostae che il lavoo delle foze consevative L uando il sistema passa da una configuazione ad un alta diffeente è pai alla vaiazione nell enegia potenziale cambiata di segno: L U La foza di oulomb è consevativa? Si, la foza elettostatica è consevativa. Pe dimostalo poniamoci in una egione di spazio dove è pesente una caica puntifome postiva Q, che esecita una foza oulombiana F E su di una seconda caica puntifome, posta in una posizione. Pendiamo di valoe molto più piccolo ispetto a Q, in modo che si possa tascuae la sua azione nello spazio ispetto a uella di Q. Suppoemo che sia negativa, e uindi che F E isulti attattiva, ma il agionamento che faemo si potà ipetee anche nel caso di segno positivo. Supponiamo oa che la caica si sposti dalla posizione ad una nuova posizione. Si faccia attenzione, peché non si sta dicendo che è la foza elettostatica dovuta a Q ad essee la causa dello spostamento. Potemmo invece pensae di pendee con le noste mani e di potala da in mente Q viene mantenuta fema. Duante una tale opeazione la foza elettostatica potebbe sia agevolaci che fae esistenza: dipendeà dalle posizioni e ispetto a Q. ostuiamo una uadettatua dello spazio intono a Q facendo uso solo di linee adiali e cicolai. Supponiamo di muovee da in spostandoci solamente lungo dei pezzettini di uadettatua. In figua sono evidenziate due taiettoie di uesto tipo, contassegnate dai numei e, ma molte alte sono possibili. Il lavoo svolto dalla foza elettostatica F E lungo uno ualsiasi degli achi cicolai è chiaamente zeo dato che F E è sempe dietta adialmente, e cioè pependicolae in ogni punto a tutte le ciconfeenze centate in Q. Duante uno spostamento adiale il lavoo non è in geneale nullo, e dipende solo da uanto è distante da Q l anello della uadettatua a cui appatiene il tatto pecoso, ma non dalla posizione di ento di esso. Infatti sebbene la foza elettica vai con l inveso del uadato della distanza da Q, essa ha simmetia sfeica, e cioè ponendoci ad una fissata distanza da Q, non ha alcuna impotanza tovasi sopa di essa o sotto, oppue ad est o a nod: misueemo sempe uguale intensità e uindi F E compià lo stesso lavoo a paità di spostamento. Inolte F E foma sempe con la taiettoia, un angolo di se si sta avvicinando a Q (e uindi cos ) oppue di 8 se si sta allontando da Q (e uindi cos ). lloa, se lungo la taiettoia vi sono tatti adiali pecosi pima in avanti e poi indieto, anche se non consecutivamente, il lavoo associato ai due spostamenti saà uguale ed opposto, e nel Q F Q s F s complesso nullo. Petanto il pecoso che conta ai fini del lavoo netto di F è solo la E diffeenza fa il aggio della ciconfeenza dove si tova la posizione di aivo e uello dove si tova la posizione di patenza. Questa popietà pemette di concludee che uando spostiamo da in il lavoo che F compie è indipendente dal fatto che si segua la taiettoia o la, e cioè non dipende dal pecoso E seguito. 97

4 E se la taiettoia non è composta di tatti adiali e cicolai? nche se consideiamo una taiettoia ualunue, saà sempe possibile, con una uadettatua sufficientemente fitta, appossimala con la pecisione desideata tamite un pecoso di tatti adiali e cicolai. on attenzione al dettaglio di ciò che succede negli spigoli, calcolae il lavoo lungo la spezzata adiale e cicolae è lo stesso che calcolalo lungo la taiettoia cuva. Gazie al pincipio di sovapposizione poi, ualunue sia la configuazione che oigina la foza elettostatica (uno stato piano, un filo caico, un copo iegolae) essendo uesta il isultato della azione di tante caiche puntifomi, ed essendo consevative tutte le singole foze elettostatiche coispondenti, lo saà anche la foza dovuta all intea distibuzione di caica. Dalla consevatività discende poi la possibilità di intodue un enegia potenziale elettostatica. E R 3 ome è definita l enegia potenziale elettostatica? La definizione di un enegia potenziale ichiede una configuazione di ifeimento, come si fa uando diamo una distanza ifeendoci alla posizione a patie dalla uale è stata misuata. Non avebbe senso die semplicemente la mia distanza è 4 km, dobbiamo ifeici a ualcosa. In uesto modo, in ualunue punto nella egione di spazio sede di campo elettico, si tovi una caica puntifome, potemo associae ad esso, senza ambiguità, il lavoo L R che le foze elettostatiche svolgono se ualcuno pende la caica e la pota da nella posizione di ifeimento R. Visto infatti che tale lavoo non dipende dalla taiettoia che si decide di seguie, non è necessaio specificae alto. Individuando uindi ogni posizione dello spazio, avemo la possibilità di costuie una funzione U, detta enegia potenziale elettostatica della caica puntifome ispetto alla posizione di ifeimento R: Enegia potenziale elettostatica U di una caica puntifome che si tovi in un punto dello spazio, è il lavoo che la foza elettostatica compie uando si sposta, da dove sta, in una posizione scelta come ifeimento. ome si sceglie la configuazione di ifeimento? La configuazione di ifeimento che più conviene è uella dove la caica di cui si sta calcolando l enegia potenziale si tova libea dall influenza di ogni alta caica. Tale scelta è coeente con l intepetazione dell enegia come capacità di spostae le foze, cioè di cambiae configuazioni e stati di moto: in una situazione in cui ogni inteazione è nulla, saà nulla anche la capacità di modificae le cose che ad essa è associata. Dato che la foza coulombiana decesce con l inveso del uadato della distanza, essa si annulla solo a distanza infinita, petanto poemo come posizione di ifeimento uella in cui la caica in oggetto è a distanza infinita da tutte le alte. In base alla nosta definizione avemo che l enegia potenziale nella configuazione di ifeimento dovà essee zeo peché, se la caica già si tova in R, evidentemente nessuno spostamento deve essee fatto pe potacela e uindi nessun lavoo viene compiuto dalla foza elettostatica. hiaamente, ad una scelta diffeente della posizione di ifeimento, coispondeà un valoe diffeente dell enegia potenziale in ogni punto. Questo non è un poblema peché nella fomula pe il calcolo del lavoo L U figua solo la diffeenza di enegia potenziale, che non dipende dalla configuazione di ifeimento. Va ossevato che la caatteistica della foza elettostatica di essee consevativa è stata dimostata facendo unicamente uso del fatto di essee centale, cioè di dipendee solo dalla distanza da un punto. In linea di pincipio, pe ualunue foza centale, come ad esempio la foza gavitazionale, si può ipetee il agionamento. Più popiamente l enegia potenziale è associata al sistema fomato dalla caica e dalle alte che poducono il campo. Tuttavia delle alte caiche è noto solo l effetto che poducono tamite il campo, ed essendo l unica pate mobile si può palae anche di enegia potenziale associata alla caica. 98

5 Esecizi. In una egione sede di campo elettico viene mantenuta fema una caica puntifome di massa m 5 g in un punto dove ha enegia potenziale U 3J. Quando la caica viene libeata, inizia a muovesi sotto l azione delle sole foze del campo elettico. alcolae il lavoo eseguito dalla foza elettica duante spostamento veso una una posizione in cui la sua enegia potenziale è U J. alcolae la velocità della caica nella posizione. Il lavoo delle foze consevative è dato dalla vaiazione di enegia potenziale cambiata di segno uindi: L U U U 3J J J Dal teoema di consevazione dell enegia si ha: U K L est dove L est è il lavoo delle foze estene, cioè esecitate da fuoi sul al sistema a cui è associata l enegia potenziale, che in uesto caso è la caica che si muove, insieme con la distibuzione delle alte caiche che genea il campo. Poiché è specificato che la caica è solo sotto l effetto delle foze del campo elettico si ha L J est, da cui: U K ( U U ) ( m v ) m v U U v m/s 5.6 m/s 5 3. In una egione sede di campo elettico viene tenuta fema una pallina puntifome, caica, di massa m. g e la cui enegia potenziale elettostatica è U.J. alcolae il lavoo che occoe svolgee dall esteno pe potae la pallina fino ad una posizione dove U 9.J in modo che abbia velocità. m/s. [R:.4 J ] Quali conseguenze patiche ha la consevatività della foza elettostatica? Se pe assudo la foza coulombiana non fosse consevativa potemmo sfuttala come sogente illimitata di enegia. Infatti immaginiamo di tovaci in una egione sede di campo elettico, ad esempio costante veso il basso come nello spazio fa le amatue di un condensatoe. Poniamo che uando una caica si sposta dalla posizione alla posizione, la foza elettostatica compia un lavoo di 3 J lungo la taiettoia ettilinea in figua, ed un lavoo diffeente, di 4 J lungo la taiettoia cuvilinea. lloa potemmo potae in alto seguendo il pecoso ettilineo, in modo da spendee 3 J di lavoo conto la foza elettostatica (è il minimo che occoe pe fala aivae fema in cima). Quassù costuiemmo una guida cuva avente la foma della seconda taiettoia e lasceemmo otolae lungo di essa: aiveebbe in fondo con un enegia cinetica pai al lavoo del peso, e cioè 4 J. i saebbe pe noi un guadagno netto di J di enegia ogni volta, e la possibilità di ipetee il pecoso all infinito, cioè dispoemmo di una sogente enegetica inesauibile! E 3J 4 J Quanto lavoo compie la foza elettostatica lungo un pecoso chiuso? Immaginiamo di costuie un dispositivo a giandola, come uello in figua, dove delle sfee caiche sono sostenute da bacci isolanti libei di uotae. Esso non potebbe mai mettesi in moto e continuae a giae sotto l azione solo di un campo elettostatico. In caso contaio infatti al temine del pimo gio ciascuna delle sfee toneebbe al punto di patenza con un enegia cinetica che pima non aveva, ed in base al teoema di consevazione dell enegia U K uesta potebb essee pesa solo dalla vaiazione U di enegia potenziale elettostatica. Ma alla fine del gio non può che essee U fin Uin (e uindi U ) dato che l enegia potenziale 99

6 dipende solo dalla posizione della caica nel campo, ed in uesto caso posizione iniziale e finale coincidono. Da uesto: ( U fin ) ( K K ) K K Uin fin in fin in E ( E) ( E) Il dispositivo non può uindi vaiae la sua enegia cinetica 3 solo pe l azione di un campo elettostatico: se è inizialmente femo, imane femo, e se già sta giando, il campo elettostatico non è in gado né di allentane né di acceleane la otazione. Il fatto che U su di un pecoso chiuso, cioè che la foza elettostatica non può compiee lavoo su di un pecoso chiuso, è una via altenativa pe enunciane la consevatività. ome sappiamo, anche la gavità è una foza consevativa, ed analogamente non ci aspetteemmo mai che una giandola possa mettesi in moto soltanto sotto l azione del suo peso. nzi, uando ci toviamo in pesenza di uesti fenomeni, immediatamente pensiamo a dispositivi atificiali che li poducano (ad esempio la pompa che fa giae l acua in un pesepio). Indicando uindi con il nome di cicuitazione ( E ) il lavoo della foza elettostatica su di una caica unitaia che segue un pecoso chiuso (si tatta uindi del lavoo del campo elettico, che è la foza pe unità di caica), possiamo die che: La cicuitazione del campo elettostatico è zeo: ( E) cioè il campo elettostatico non può mettee in moto una caica inizialmente fema e fale pecoee una taiettoia chiusa. s Quale espessione ha l enegia potenziale nel campo di una caica puntifome? alcoliamo oa il lavoo L della foza elettostatica esecitata da una caica puntifome Q su di una piccola caica, elativamente ad uno spostamento adiale da distanza fino ad una maggioe distanza. Il conto è eso difficile dal fatto che la foza elettostatica vaia di intensità lungo la taiettoia. Nella fomula pe il calcolo del lavoo su un tatto ettilineo: Q L F s cos possiamo sostituie s e cos ( in uanto sia la foza elettica che lo spostamento sono adiali veso l esteno). Peò non sappiamo cosa mettee al posto di F kq / dato che il valoe di cambia da ad e con esso cambia l intensità della foza elettica lungo lo spostamento. Se uindi sostituiamo nella fomula il valoe massimo kq / assunto dalla foza otteniamo un lavoo toppo gande, e se sostituiamo il minimo kq / un lavoo toppo piccolo, cioè: Q Q k ( ) L k ( ) ppossimeemo alloa con un valoe intemedio, ponendo al posto di il podotto delle distanze massima e minima: 3 Se pe caso lo facesse saebbe un indicazione del fatto che il campo elettico all oigine del fenomeno non è podotto da una configuazione statica di caiche. nalogamente, come vedemo, pe fa cicolae delle caiche in un ualunue cicuito elettico, è necessaio un dispositivo elettomotoe, come la pila, che possa compiee lavoo lungo un pecoso chiuso, ifonendo le caiche dell enegia che vanno dissipando nel tagitto.

7 il isultato saà tanto miglioe 4 uanto più le due posizioni sono vicine fa loo: Q L k ( ) kq kq Questa fomula puo essee applicata anche al caso di due posizioni molto distanti fa loo, semplicemente suddividendo la taiettoia fa ed in piccoli spostamenti, pima da ad, poi da ad, eccetea, così bevi da pote applicae a ciascuno il isultato tovato pima. Si ottiene una seie di addendi della foma / ciascuno pima sommato e poi sottatto, in modo che dopo le semplificazioni imangono solo i valoi iniziale e finale: L kq 3... Ed infine, avendo scelto come configuazione di ifeimento uella in cui la caica si tova infinitamente distante da tutte le alte, possiamo ottenee un espessione pe l enegia potenziale di nel campo geneato da Q calcolando il lavoo che la foza elettica svolge uando : Q U( ) L kq k Esecizi Una caica puntifome 5.4 viene espinta da un alta caica puntifome Q 3.5 e si allontana pogessivamente da essa. Quale lavoo ha compiuto la foza elettostatica in un tatto in cui la distanza fa le due caiche è passata da 4. m a 7. m? pplicando la fomula tovata: L kq J (.5.43) J 5.9 J 6 4. Una caica puntifome 4. di massa m.3 kg si tova alla distanza di 6 8. m da una caica 6. mantenuta immobile. Sapendo che in uell istante la velocità di è diviene nulla la velocità di. 3. m/s, si dica a uale distanza da [R] Q ome si scive l enegia potenziale di un sistema di caiche? Essendo l enegia una gandezza additiva, la fomula è facilmente genealizzabile al caso in cui le caiche siano più di due semplicemente sommando le enegie potenziali di tutte le coppie di paticelle coinvolte. d esempio pe te caiche Q, Q, Q l enegia potenziale del sistema si scive: Q Q 4 Potemmo pensae di appossimae la distanza adiale con la media aitmetica degli estemi: ( )/, ma dovendo appossimae il valoe del uadato di, la media geometica degli estemi dell intevallo,, isulta più accuata (come si confema giungendo allo stesso isultato tamite l uso del calcolo integale).

8 U Q Q Q Q Q Q k enegia potenziale elettostatica n n n La ontofisica E popio l enegia potenziale elettostatica ad esse libeata nelle esplosioni nucleai. Queste sono ottenute endendo il nucleo più gande spaandogli alte paticelle conto. Una volta inglobate, il nucleo diviene più instabile a causa della maggioe distanza media a cui si potano i potoni. l cescee della distanza infatti, l attazione nucleae fote che li tiene insieme diminuisce molto più apidamente di uanto non faccia la epulsione elttostatica. In un nucleo gande come uello di Uanio, già poco stabile di suo a causa della gande sepaazione fa i nucleoni, l aggiunta di nuove paticelle fà si che si aggiunga una distanza media pe cui la epulsione elettostatica vince sull attazione fote e le paticelle del nucleo schizzano via come poiettili. n n n enegia potenziale elettostatica d Qual è il significato del segno nell enegia potenziale elettostatica? L enegia potenziale di un sistema appesenta il lavoo che le foze del campo compiebbeo ualoa il sistema stesso venisse smembato potando a distanza infinita una caica alla volta, mente le alte imangono congelate nella loo posizione oiginaia. Se, duante lo smembamento, le foze del campo compiono lavoo motoe, vale a die positivo, e uindi favoiscono il pocesso, il sistema ha enegia potenziale positiva. Vicevesa se compiono lavoo esistente, vale a die negativo, e uindi pe smembae la distibuzione delle caiche occoe lavoae dall esteno, alloa l enegia potenziale è negativa. Quindi un sistema elettico con U è tenuto insieme dalle sue stesse foze e pe smembalo bisogna faticae: si pensi ad esempio ad un elettone che obita attono ad un nucleo atomico costituito solo da un potone, cioè un atomo di idogeno. Si tatta di un sistema ad enegia potenziale negativa: pe sottae l elettone al nucleo bisogna esecitae una foza estena e duante il pocedimento di estazione ed allontanamento il sistema stesso lavoa in modo esistente. Vicevesa, pe tenee accostate due caiche dello stesso segno dobbiamo intevenie con un vincolo conto la epulsione elettica, e, non appena il vincolo viene meno, il sistema si smemba da solo potando le caiche a distanza ecipoca infinita: la sua enegia potenziale elettica è positiva. Un esempio di uesto secondo caso può essee il nucleo di un atomo, dove l enegia potenziale elettica è positiva: sono le inteazioni nucleai attattive fa i potoni, la cosiddetta foza fote, a tenee insieme delle paticelle con caica di segno concode: in assenza di ueste il nucleo si smembeebbe. Esecizi 5. alcolae l enegia potenziale elettostatica di un sistema di uatto caiche. μ,, 3, 4, poste in uesta seuenza nei vetici di un 3 4 uadato di lato.5 m. Dobbiamo consideae tutte le possibili coppie di paticelle ed addiizonae le loo enegie: U U U U U U U k k k k k k Le distanze isultano pai al lato od alla diagonale del uadato, come segue: Sostituendo: k U k (. ) 4 J.9 J Quatto caiche 3. μ e. μ sono fissate ai vetici di 3 4 un tetaedo egolae, di spigolo lungo d. m. Si calcoli l enegia potenziale del sistema. [R]

9 7. Nei vetici di un cubo sono bloccate sei caiche uguali, ciascuna pai a 4. μ. Sapendo che l enegia potenziale elettostatia del sistema isulta U.5 J, si calcoli la misua s dello spigolo del cubo. Si calcoli il lavoo che svolge la foza elettostatica uando una ualunue delle caiche viene potata a distanza infinta dalle alte, fisse nei vetici. [R] s. Il potenziale elettostatico Ricodiamo oa che si è definito campo elettico il appoto fa la foza elettica che agisce su di una caica di pova in un punto dello spazio, e la caica stessa, E lim F/. Il campo elettico consente una descizione dei fenomeni elettici senza usufuie del concetto di azione a distanza, ma assegnando delle popietà allo spazio stesso. i poponiamo oa di definie una gandezza fisica, il potenziale, che ivesta un uolo analogo ispetto all enegia potenziale. Palae di enegia potenziale associata ad una caica posta fa tante caiche Q e non, invece, di enegia potenziale associata i a tutto il sistema, significa intepetae le caiche imanenti come sogenti di un campo elettico nella egione di spazio dove la caica si tova. Supponiamo ad esempio di avee N caiche Q i vincolate ad occupae delle posizioni nello spazio (oppue su di un copo): daanno oigine ad un campo elettico. L enegia potenziale di una caica in uesta egione è: Q Q Q3 U k... 3 Q Q Q 3 3 dove,, 3 sono le distanze fa e ciascuna delle Q. Se le caiche Q si tovano i i localizzate su di un copo, e su di esso viene posta anche la caica, la gandezza U appesenta il lavoo che le foze del campo elettico - dovuto a tutte le Q divese da i - compiebbeo ualoa venisse pelevata dalla sua posizione e potata a distanza infinita dal copo stesso mente le alte imangono congelate nella loo posizione. Quindi un copo caico possiede la capacità di confeie enegia potenziale? onsideando le cose da un diffeente punto di vista, si può die che un copo caico è capace di confeie enegia potenziale ad ogni nuova caica che viene posta su di esso o nelle sue vicinanze. Un analogia con la foza peso può aiutae: immaginiamo una collina, ed una pieta che viene potata sulla sua cima. ssumendo come posizione di ifeimento uella in cui la pieta si tova al livello del suolo, la foze peso compie, duante lo spostamento, un lavoo esistente. Nel momento in cui decidessimo di smembae il sistema ipotando la pieta nella posizione di ifeimento, la foza peso ci agevoleebbeo, e, uindi, secondo la definizione data, la pieta in cima alla collina ha un enegia potenziale gavitazionale positiva, che è tanto maggioe uanto più alta è la collina. Tuttavia, indipendentemente dal fatto che vi si poti la pieta sopa, la collina si tova già là, ed ogni oggetto che vi viene posto acuisisce uesta popietà che pima non aveva, a cui si dà il nome di enegia potenziale gavitazionale. In modo figuato, possiamo vedee nella pieta la caica, e nella collina la capacità di confeie enegia potenziale posseduta da un copo caico, e dae ad essa il nome di potenziale. enegia potenziale potenziale 3

10 ome possiamo definie l analogo elettico dell altezza della collina? Se nell espessione di U( ) accogliamo a fatto comune il valoe di ci accogiamo che l enegia potenziale di una caica in un campo elettostatico è popozionale alla caica stessa : Q Q Q 3 U( ) k... 3 infatti i temini addizionati fa paentesi non dipendono da. Se uindi calcoliamo il appoto fa l enegia potenziale U e la caica a cui è associata: U( ) e cioè l enegia pe unità di caica, otteniamo una gandezza che non è più legata a ma solo alla configuazione di caiche che genea il campo. Possiamo alloa usae U / come misua della popietà che ha la distibuzione di caiche di confeie enegia potenziale ad una caica posta in un punto P dello spazio. E uesta uantità che potemmo intendee come altezza della collina elettica nel punto P, e che pende il nome di potenziale elettostatico V. Q Q P Q 3 3 Potenziale elettostatico: è la popietà dello spazio che misua l enegia potenziale elettica pe oulomb acuistata da una caica posta in un punto di uella egione. Un sistema di caiche puntifomi Q, Q,... poduce in un punto P che dista,,... dalle caiche, un potenziale: U( ) Q Q Q 3 V k... 3 ome si utilizza il potenziale elettostatico? Il valoe del potenziale in un punto dello spazio pemette di sapee subito uale saà l enegia potenziale di una caica posta in uel punto, in uanto, ibaltando la fomula si ha U( ) V. Il uolo svolto dal potenziale ispetto all enegia potenziale è analogo al uolo svolto dal campo elettico ispetto alla foza elettica: U( ) V F E con la diffeenza che, mente il campo elettico è un vettoe, il potenziale elettostatico è uno scalae. Pe tale motivo si dice anche che il potenziale elettostatico è un campo scalae, mente il campo elettico è un campo vettoiale: il pimo definisce un numeo in ogni punto dello spazio, il secondo definisce un vettoe in ogni punto dello spazio. nche V, come U, è elativo ad una posizione di ifeimento. ome pima, la scelta più natuale in caso di distibuzioni di estensione finita, è uella di ifeisi ad una distanza infinita. L unità di misua del potenziale si chiama volt, V J /, cioè una caica di posta in un punto dello spazio che si tovi al potenziale di V ispetto all infinito, acuista un enegia potenziale di J ispetto all infinito. Se uindi in una egione sede di campo elettico, una caica si pota da un punto ad un punto, il lavoo della foza di oulomb si scive: L U ( V V ) V 4

11 Esecizi 8. alcolae il lavoo della foza elettostatica uando spostiamo una caica dal teminale positivo al teminale negativo di una batteia che mantiene una diffeenza di potenziale V V.5 V. Spiegae che elazione c è fa il lavoo della foza elettostatica ed il lavoo necessaio pe spostae la caica. pplicando la fomula pe il lavoo di una foza consevativa: 6 6 L U V ( V V ) V 6.45 J E Il lavoo compiuto (dalla batteia, da un agente esteno ) pe spostae la caica è uguale ed opposto a uello della foza elettostatica solo se nel tagitto non è cambiata l enegia cinetica della caica (ad esempio se essa è fema all inizio ed alla fine). In caso contaio pe tovae la elazione fa i due lavoi bisogna conoscee la vaiazione di enegia cinetica, essendo: L L L K. tot E nosto 9. alcolae il potenziale nel cento di un uadato di lato. cm, sui cui vetici sono tenute feme uatto caiche uguali di valoe 3. n. [R:.53 V ]. Una caica. n inizialmente fema a distanza infinita, viene potata e bloccata nella posizione in figua. alcolae il lavoo che occoe compiee dall esteno pe eseguie uesta opeazione, sapendo che Q 6.5 n e che 3. cm. [R]. alcolae il potenziale nel cento di un tiangolo euilateo sapendo che nei suoi vetici sono localizzate te caiche 3. μ, 4. μ, 5. μ. [R] 3 3 Q Q V? Q Q fin in ome possiamo affiguae il potenziale nello spazio? Muovendo una caica lungo una taiettoia sempe pependicolae alle linee di campo, la foza di oulomb non compie lavoo. Dovendo essee L ( V V ), è uindi costante il potenziale lungo tutto il tagitto. Spostandosi nello spazio, pe ogni fissato valoe di V si individua uindi una supeficie bucata pependicolamente dalle linee di campo, i cui punti sono tutti allo stesso potenziale, che viene detta supeficie euipotenziale. In figua sono ipotate le supefici sfeiche euipotenziali di una caica puntifome positiva (valoi di potenziale positivi dato che V kq/ ) e le supefici euipotenziali di un dipolo. 8V 6V 4V V 4V 6V 6V 4V V V ome sono oientate le linee di campo ispetto ai valoi del potenziale? onsideiamo lo spostamento elementae s (cioè ettilineo e piccolo ispetto alle distanze in gioco) di una caica unitaia. Se è l angolo fa E e s, il lavoo del 5

12 campo elettico 5 (cioè il lavoo pe unità di caica) elativamente a uesto spostamento si può scivee nei due modi: E s E s cm L V L E s cos Nel caso paticolae in cui ci si stia muovendo popio lungo una linea di foza seguendone il veso, E saà sempe tangente alla taiettoia e uindi isulteà cos, da cui: V E s 9V 6V 3V ed essendo il modulo del vettoe s possiamo concludee che, seguendo le linee di campo, si ha V, cioè si sta pocedendo veso potenziali decescenti (ad esempio è ciò che accade patendo dalla supeficie di un conduttoe, dove fanno capo le linee di campo, e muovendosi lungo di esse). V [ Volt] Le linee di campo sono oientate nel veso in cui diminuisce il potenziale. Spostandosi lungo le linee di campo di un tatto di lughezza s si ha: V E s. piccolo E s gande E s Se invece lo spostamento s avviene in una diezione ualunue, indicando con E E cos la componente del campo elettico lungo tale diezione avemo: s s [ meti] La ontofisica L intensità del potenziale non ha uindi nulla a che vedee con l intensità del campo elettico! L intensità del campo è legata ai cambiamenti di potenziale. In un piano catesiano come uello sotto il campo è la pendenza della etta tangente cambiata di segno. V V Es s Es s e cioè la componente del campo elettico lungo lo spostamento è pai alla vaiazione del potenziale pe ogni unità di lunghezza di cui ci si è spostati in uella diezione, pesa con segno negativo in modo che E s sia positivo se ci si muove nel veso in cui il potenziale decesce. hiaamente, maggioe è la vaiazione V del potenziale nel tatto di spostamento vedee nel numeo s, più gande isulta la componente E s del campo, uindi possiamo E s la apidità con cui vaia il potenziale in uella diezione. E V campo elettico intenso E V campo elettico debole l intensità della componente del campo elettico in una diezione espime la velocità con cui cambia il potenziale spostandosi in uella diezione. Nell analogia in cui il potenziale misua l altezza della collina elettica (e uindi V il cambiamento di altezza) il campo elettico misua la pendenza di uella stessa collina: V altezza della " collina elettica " E pendenza della " collina elettica " Gazie alla fomula E V / s, le unità di misua del campo elettico, anziché s essee scitte N/ possono essee espesse in V/m senza cambiae il valoe numeico. Esecizi. alcolae l intensità del campo elettico fa le amatue di un condensatoe piano sapendo che la loo diffeenza di potenziale è V sepaa d 6. cm. V. V e la distanza che le 5 Poiché il campo elettico è la foza pe unità di caica, ui il simbolo L indica il lavoo pe unità di caica. 6

13 Nel caso di un campo unifome come uello fa le amatue di un condensatoe, la fomula E V / s consente il calcolo dell intensità del campo semplicemente s dividendo la diffeenza di potenziale fa due punti su di una stessa lienne di campo pe la distanza che li sepaa. Quindi il campo E, oientato dall amatua positiva veso la negativa, ha intensità: V V. E V/m V/m d.6 he succede nei punti dove sono localizzate le caiche? Ricodando che le linee di campo sgogano dai punti dove sono le caiche positive, e confluiscono in uelli dove si tovano le caiche negative, avemo che i pimi saanno punti di massimo del potenziale ed i secondi punti di minimo. Difatti l unico caso in cui le linee di campo possono uscie da un punto andando in ualunue diezione si ha uando tutt intono il potenziale è minoe. nalogamente se entano tutte in un punto si avà che intono ad esso il potenziale assume sempe valoi maggioi che non nel punto, uindi: le caiche positive sono massimi pe il potenziale, le caiche negative minimi. E cm La fomula pe il potenziale di una caica puntifome V k/ poduebbe un valoe infinito in coispondenza della posizione della caica. Peò tale fomula è stata icavata sotto la condizione che la caica possa consideasi un punto pivo di dimensioni, e uesto è veo nello spazio intono a, ma non lo è più se tento di salie sopa ad essa, uindi non può essee adopeata pe calcolae V nella posizione di. 6. cm 8. cm Esecizi 3. Fa le laste di un doppio stato di caica si ha un campo elettico unifome di intensità 8 N/. alcolae che diffeenze di potenziale esistono fa i punti, e vetici del tiangolo ettangolo in figua. 3V 6V 9V 9V I punti e sono sulla stessa supeficie euipotenziale in uanto la etta che li contiene è pependicolae alle linee di campo, uindi. V. Pe andae da ad ci si deve spostae paallelamente alle linee di campo uindi la diffeenza fa valoe iniziale e finale del potenziale vale: V V V E s E ( 8 6. ) V 48 V ed è anche V V V 48 V poiché come si è detto, e sono euipotenziali. 4. In figua sono ipotate le supefici euipotenziali di una coppia di caiche identiche. he lavoo compie il campo elettico uando una caica.3 viene potata dalla posizione alla posizione? e se viene potata da in passando pe D? Si stimi dalla figua il valoe del campo elettico in. [R] 3. Potenziale e campo di conduttoi caichi ome sono fatte le supefici euipotenziali di un conduttoe caico? ome abbiamo visto le caiche in eccesso in un conduttoe si dispongono su di uno stato supeficiale e le linee di campo escono pependicolamente dal conduttoe stesso. Di conseguenza la supeficie di un conduttoe caico in euilibio elettostatico è euipotenziale: se spostassimo una caica mantenedola sopa di essa, la foza di oulomb non compiebbe lavoo essendo la taiettoia sempe pependicolae alla 6 La ontofisica Ricodiamo che gli elettoni del mae di conduzione non sono femi, ma in stato di agitazione temica, cioè animati da velocità con diezioni distibuite in modo del tutto casuale nello spazio, che già a tempeatua ambiente sono dell odine delle centinaia di migliaia di meti al secondo. Inolte sono sottoposti ai campi geneati dagli ioni del eticolo e dagli alti elettoni. Tuttavia, su di una scala gande ispetto alle dimensioni atomiche, uesti campi micoscopici hanno un valoe medio nullo, cioè ualunue supeficie possiamo immaginae intenamente al conduttoe, essa veà attavesata, nello stesso intevallo di tempo, da un uguale numeo di elettoni tanto in un veso uanto nel veso opposto. E su uesta gande scala, dove sono assenti i moti odinati d insieme, che consideiamo euipotenziale lo spazio occupato dal conduttoe. D 7

14 E foza. nche nello spazio inteno il potenziale dovuto alle caiche in eccesso è costante, infatti, dovendo in tale egione essee nullo il campo elettico, uando si sposta una caica dento al conduttoe, E compià un lavoo sempe nullo, da cui L V ovunue. Inolte il valoe del potenziale inteno dovuto solo 6 alle caiche in eccesso, saà esattamente lo stesso della supeficie. Se infatti non fosse così, avemmo due possibilità: un valoe all inteno più alto di uello sulla supeficie, e cioè dento vi saebbe un massimo del potenziale, oppue un valoe più basso, e cioè dento vi saebbe un minimo. Ma come si è visto, massimi e minimi compotano una localizzazione di caica da cui le linee di campo devono sgogae, e ciò all inteno di un conduttoe non è possibile: l inteo spazio occupato da un conduttoe caico in euilibio ellettostatico isulta euipotenziale. Vcostante Se uindi abbiamo un conduttoe caico positivamente, isolato nello spazio e di estensione finita, le linee di campo patono dal conduttoe pe giungee all infinito (o dall infinito pe entavi se il conduttoe è caico negativamente). Ne segue che le supefici euipotenziali sono, pe così die, paallele alla supeficie del conduttoe, nel senso che ne ipoducono la foma almeno nelle immediate vicinanze. osa succede alle linee di campo in pesenza di due o più conduttoi? ome esempio pe faci un idea consideiamo le situazioni poposte in figua. V V V V V costante V sinista abbiamo due conduttoi affacciati caichi dello stesso segno ma a potenziale diveso, V V. Il conduttoe a potenziale minoe subisce un fenomeno di induzione più macato pe la pesenza del pimo. Nella egione di affaccio le linee di campo vanno da uello a potenziale maggioe veso uello a potenziale infeioe, mente estenamente andanno veso infinito dove il potenziale è nullo. Va sottolineato che i conduttoi sono entambi euipotenziali, sebbene la densità di caica che si accoglie sulle supefici sia di segno diveso in diffeenti punti, e le linee di campo 6 Se non ci limitiamo all effetto delle caiche in eccesso, alloa anche uando il conduttoe è neuto, il valoe del potenziale inteno è di alcuni volt supeioe a uello della supeficie, a seconda del metallo. Questo peché deve esistee un campo elettico dietto sempe dalla supeficie veso l esteno, dovuto al fatto che il eticolo cistallino temina, e l azione elettica degli ioni più esteni non è più contobilanciata da uelli vicini. Questo campo ha un veso tale da confinae gli elettoni di conduzione sul conduttoe impedendogli di fuoiuscie (viene detta una baiea di potenziale). Il suo valoe è molto più intenso di uello del campo dovuto ad un eccesso di caica elettica eventualmente pesente, tuttavia esso agisce solo su scala micoscopica. La baiea di potenziale non è uindi in gado di podue moti odinati d insieme, e imane inalteata dal piccolo distubo dovuto all eventuale pesenza di uno stato di caica in eccesso. 8

15 che fanno capo ad essi in pate escono ed in pate entano. desta invece abbiamo posto un conduttoe nella egione di spazio ove abbia sede il campo elettico geneato da alti due conduttoi e, e ui subià il fenomeno dell induzione elettostatica. Le caiche al suo inteno aggiungeanno pesto una configuazione di euilibio pe cui il potenziale di sia costante, anche in uesto caso con linee di campo che sono sia entanti che uscenti. Esecizi 5. Si dica se è possibile che le linee di campo di un conduttoe caico abbiano l andamento disegnato nella figua ui a lato. possibile? V costante Una stessa linea di foza non può uscie da un conduttoe pe poi tonavi, peché in tale caso il punto di iento saebbe a potenziale più basso di uello d uscita, cosa non compatibile col fatto che la supeficie deve essee euipotenziale. Quindi la situazione poposta è impossibile. 6. Si dica se è possibile che le linee di campo di un conduttoe caico abbiano l andamento dall infinito e veso l infinito come nella figua a lato. [R] Quanto vale il potenziale di una sfea conduttice caica? Sappiamo che le caiche in eccesso su di un conduttoe si distibuiscono sulla supeficie, uindi il poblema consiste nel tovae il potenziale geneato da una distibuzione di caica su di una supeficie sfeica. In base al pincipio di sovapposizione il potenziale in un punto P dello spazio è la somma dei potenziali geneati da tutte le caiche,,... sulla supeficie: V k k... V costante possibile? in cui,,... sono le distanze di ciascuna caica dap. Sfuttando il fatto che il potenziale di un conduttoe è costante su tutto lo spazio occupato, possiamo calcolae V ponendo P nel cento della sfea. In uesto modo ogni caica dista da P sempe uanto misua il aggior, cioè... R, da cui: P (...) V k k... k k R R R R dove è la caica complessivamente pesente sulla sfea. i Quant è il potenziale di una sfea caica a gande distanza dal cento? Una sfea unifomemente caica, se vista da una distanza maggioe ispetto al suo aggio R di almeno un odine di gandezza, si compota come se fosse una caica puntifome. Petanto possiamo adopeae pe essa l espessione del potenziale che saebbe podotto nel caso in cui tutta la caica fosse localizzata nel suo cento: V k/ R. R Esecizi 7. Un geneatoe di Van de Gaaff è costituito da una cinghia isolante che, mossa da una manovella, si caica pe stofinio e deposita su di una cupola metallica di aggio R 7.5 cm una caica di 8. n. alcolae il potenziale della cupola. Una sfea metallica di aggio 5. cm enta in contatto con la cupola e poi viene sepaata. alcolae la caica che si deposita su di essa. 9

16 Pima del contatto, il potenziale a cui si pota la cupola del geneatoe può essee calcolato con la fomula pe una sfea metallica di aggio R 7.5 cm : V k 8.99 V 4 V R.75 Duante il contatto le due sfee costituiscono un unico conduttoe, uindi i loo potenziali debbono essee uguali: indicheemo con V uesto valoe comune. La caica complessiva di 8. n si ipatià in due fazioni e popozionali ai aggi del- le sfee, infatti: R V k k R Pe la consevazione della caica 8. n, che sostituita dà: ( ) R R R n 7.8 n R Due sfee metalliche sepaate, di aggi ispettivamente 3. cm. cm contengono una caica complessiva di n. alcolae di uanto vaia il potenziale di ciascuna nel momento in cui sono poste a contatto. [R] 9. Da una sfea di aggio R si vuole estae un tezo della caica che essa contiene. alcolae il aggio di una seconda sfea metalica che, posta a contatto con la pima, pemette uest opeazione. alcolae di uanto vaia il potenziale della pima sfea. [R]. Una caica puntifome di 5.6 n viene potata, da distanza infinitamente gande, sulla cupola di un geneatoe di Van de Gaaf. Sapendo che la cupola contiene una caica di n ed ha un aggio R 4. cm si calcoli: () il lavoo eseguito dall esteno pe compiee uesta opeazione, () il lavoo eseguito dalla foza elettostatica. [R] ed. Si calcoli il lavoo necessaio pe estae un elettone da una sfea metallica di aggio. cm contenente una caica di 3 n e potalo ad una distanza dal cento della sfea pai a 8. m ed il lavoo compiuto dalla foza elettostatica duante l opeazione. [R] E. Una sfea metallica di aggio. cm contenente una caica di n viene posta a contatto con una seconda sfea metallica, neuta, di aggio 5. cm. Le due sfee sono uindi sepaate e poste ad una distanza molto maggioe dei aggi. alcolae la diffeenza di enegia fa due caiche identiche.5 n aggiunte ciascuna sulla supeficie di ogni sfea. [R] Quanto vale il campo in possimità di un conduttoe caico? Pendiamo una pozione della supeficie estena del conduttoe, così piccola da potesi consideae piana. Si immagini una supeficie cilindica che abbia le basi, di aea, a cavallo del bodo del conduttoe e paallele alla pozione di supeficie scelta, come in figua. La diezione nomale alla supeficie saà uindi pependicolae al piano contenente, ed il flusso del vettoe E attaveso il cilindo saà dato soltanto dal podotto dell intensità di E pe l aea della estena. Infatti, essendo nullo il campo dento al conduttoe, saà nullo il suo flusso attaveso la supeficie di base

17 intena, ed essendo la nomale alla supeficie lateale del cilindo pependicolae al campo elettico, saà nullo anche il flusso attaveso di essa, petanto: cilindo E ( ) E pplicando il teoema di Gauss si ha che ( cilindo E ) Qintena /, dove la caica intena è uella localizzata sulla pozione supeficiale di conduttoe intecettata dal cilindo ed evidenziata in figua. Detta la densità supeficiale media su uella zona del conduttoe, isulta 7 Qintena e di conseguenza: cilindo ( ) E E ome si vede, l aea si è semplificata uguagliando le espessioni,e si è ottenuto il: Teoema di oulomb Il campo elettico sulla supeficie di un conduttoe caico, in un punto dove la densità supeficiale di caica vale, ha intensità: E La ontofisica Se poi, addiittua, facciamo ientae la base estena del cilindo nel conduttoe, avemo che la caica acchiusa dal cilindo andà man mano diminuendo, di modo che il campo elettostatico, avente sempe diezione nomale, va diminuendo anch esso in intensità dento allo stato supeficiale occupato dalle caiche, fino ad annullasi ento pochi spessoi atomici. che fonisce l intensità del campo elettostatico in possimità di un conduttoe caico. Se il conduttoe è caico positivamente avemo e uindi ( E) : il campo elettico dà luogo ad un flusso positivo attaveso una supeficie chiusa e uindi la sua diezione è uscente da essa e dal conduttoe. nalogamente concludiamo che E enta nel conduttoe se. hiaamente nulla cambia se immaginiamo la base estena del cilindo molto vicina a uella del conduttoe ed al limite appoggiata su di esso. In uesto modo possiamo affemae che il teoema di oulomb fonisce il valoe di E popio sulla supeficie. Esecizi 3. Si dimosti che il campo elettico è più intenso in possimità delle punte schematizzando un conduttoe a punta come composto di due sfee a contatto aventi aggi diffeenti ed usando il teoema di oulomb. [R] R R 4. La cupola di un geneatoe di Van de Gaaff ha un aggio R 6. cm e viene caicata fino a potala ad un potenziale di 5 V. Si calcoli la densità supeficiale di caica podotta [R] os è un tubo di foza e uali popietà ha? Seguiamo oa un tubo di foza, cioè l insieme di tutte le linee di foza individuate patendo da un contono chiuso che giace sulla supeficie di un conduttoe, e giunge sulla supeficie di un secondo a delimitae un alto contono chiuso. vemo che, all inteno del secondo contono, saà localizzata una caica uguale ed opposta a uella acchiusa dal pimo. Pe convincesene basta applicae il teoema di Gauss alla supeficie chiusa ottenuta completando il tubo di flusso con delle calotte come le S S 7 La caica che si dispone su ogni unità di supeficie del conduttoe., in geneale non è un valoe costante ma è legata alla sua cuvatua. vendo peò scelto pe le basi del cilindo un estensione così piccola da pote consideae piano il conduttoe in uella egione, possiamo itenee costante al suo inteno e pai al valoe medio che assume in uella zona.

18 l'induzione dall' inteno è sempe completa S S e S, tutte intene ai conduttoi. Il flusso del campo elettico attaveso la supeficie complessiva è nullo, peché lungo la supeficie lateale del tubo la nomale è sempe pependicolae al campo elettico, mente su S ed S, tutte intene ai conduttoi, il campo vale zeo. Se ne conclude che la somma delle caiche intene fa zeo anch essa e che uindi le egioni acchiuse dai due contoni oiginai, evidenziate in vede in figua, contengono un uantitativo di caica uguale ed opposto. Quali sono le popietà dello schemo elettostatico? Già sappiamo che il campo elettico nella cavità di un conduttoe, uando uesta è vuota, deve essee nullo indipendentemente dalla caica posta su di esso. Se oa all inteno della cavità neuta si viene a tovae un alto conduttoe, dotato di caica complessiva pai a Q, sulla supeficie intena della cavità, pe induzione, si localizza una ceta uantità di caica: dimostiamo oa che, nel caso di uesta geometia, la caica indotta è Q, cioè esattamente uguale ed opposta a uella inducente. Pendendo una supeficie chiusa come la S in figua, tutta intena al conduttoe in modo che essa, a sua volta, contenga la cavità, abbiamo che S ( E), essendo E nello spazio occupato dal conduttoe. Pe il teoema di Gauss, inolte, è S ( E ) ( Q indotta Q )/, da cui necessaiamente segue: Qindotta Q. Si giunge alla stessa conclusione anche ossevando che tutti i tubi di flusso come uello evidenziato in figua, contengono una caica complessivamente uguale a zeo. Poiché l induzione non può alteae la caica complessiva sul conduttoe cavo, avemo poi che sulla supeficie più estena si andà a dispoe una caica uguale ed opposta a Q, e cioè all esteno si ipoduce Q. Questo isultato è noto come fenomeno dell induzione completa e tova applicazione in dispositivi analoghi al pozzo di Faaday utilizzato pe l elettoscopio. conduttoe esteno a tea he cosa si pecepisce dall esteno di uno schemo eletttostatico? Pe la paticolae sovapposizione degli effetti che uesta configuazione geometica poduce, la caica intena complessiva, data da Q distibuita su e da Q indotta sulla paete intena di, genea un campo elettico che isulta diveso da zeo solo all inteno della cavità. La loo azione combinata, nello spazio fuoi di, è nulla: all esteno si pecepisce unicamente la caica Q distibuita sulla supeficie dell involuco esteno. Pe dimostae uesta popietà osseviamo che il campo nello spazio fuoi di è il isultato della sovapposizione di uello delle caiche sulla supeficie del guscio esteno e di uello dovuto alle caiche intene alla cavità. Se uindi dispediamo le caiche sul guscio esteno, ad esempio collegando con la tea, esteà solo il campo dovuto alle caiche intene. ome sappiamo, il campo complessivo delle caiche intene deve essee nullo nella egione metallica, petanto se le caiche intene geneasseo un campo anche nello spazio esteno ad, esso dovebbe ipatie impovvisamente fuoi dal guscio, dopo una busca inteuzione. Questo è impossibile peché le linee di campo possono nascee solo là dove sono localizzate le caiche, e se il campo ipatisse nello spazio fuoi di, le sue linee dovebbeo sgogae dal nulla. Petanto: Popietà dello schemo elettostatico le caiche intene ad un guscio metallico non ceano campo fuoi dalla cavità, ed ogni loo azione non è pecepibile all esteno del guscio stesso. he accade fuoi dallo schemo elettostatico se si muove nella cavità? Se spostiamo muovendolo all inteno della cavità, oppue lo potiamo a contatto con essa in modo che si scaichi, la caica Q sull esteno di non muta il suo valoe, ma anzi si va sempe a distibuie sulla supeficie nell unico modo in cui uesta isulta euipotenziale. Una caica, ad esempio positiva, posta in possimità di, in-

19 teagisce con le caiche pesenti sulla supeficie estena e con uelle che vi induce, ma non isente della pesenza e dei movimenti di. In maniea del tutto simmetica, non isente degli spostamenti di. iò che accade è che il campo complessivamente geneato da e dalla caica da essa indotta sulla supeficie estena di, è diveso da zeo solo all esteno del conduttoe. Nello spazio da esso occupato, il campo è nullo pe le popietà elettostatiche dei conduttoi, e dento alla cavità, come si è già ossevato, non potebbe ipatie dato che non vi sono caiche localizzate legate ad esso. gendo da fuoi si può cambiae la diffeenza di potenziale fa il guscio l inteno? Le diffeenze di potenziale nello spazio occupato dal conduttoe ed in uello acchiuso non possono essee cambiate dall esteno: la pesenza di ualunue caica nelle possimità può avee l unico effetto di sommavi o sottavi un valoe costante V. lteae il potenziale in modo più complesso compoteebbe la compasa di nuovi punti di massimo e di minimo. Se potesse ceae nuovi massimi o nuovi minimi di potenziale in un guscio vuoto, uesti potebbeo stae solo dove si tovano i conduttoi, e ciò saebbe come die che nuove caiche si sono ceate su di essi, violando la legge di consevazione della caica. Ma peché si chiama schemo elettostatico? Possiamo intepetae il complesso di fenomeni sopa descitti dicendo che tutto va come se il conduttoe cavo schemasse le azioni delle caiche che acchiude, ma va icodato che ciò che chiamiamo schematua è solo l effetto del pincipio di sovapposizione nel caso di uesta paticolae geometia 4. I ondensatoi ome è fatto un condensatoe? onsideiamo un sistema costituito da due laste conduttici sagomate pe esempio a disco, di aggio R e spessoe molto piccolo ispetto al aggio. Le laste si tovano affacciate l una di fonte all alta a distanza d, di dimensioni pe cui sia d R, e su di esse viene distibuito la stessa uantità Q di caica, ma con segno opposto. Una simile stuttua pende il nome di condensatoe, e le laste conduttici vengono dette amatue. Le linee di foza del campo elettico saanno uelle ualitativamente illustate in figua, con la caica sulle amatue pe la gan pate concentata sullo stato supeficiale delle facce intene, a causa degli effetti di induzione ecipoca. Q Q R d Quanto vale il campo elettico fa le amatue? dopeeemo, nel seguito, un modello che ben appossima condensatoe eale, assumendo che le due caiche Q e Q siano inteamente localizzate sulle supefici intene, e distibuite unifomemente su di esse. In tale modo tascueemo tutti i piccoli effetti ai bodi della stuttua, ed il campo elettico isulteà diveso da zeo solo nella egione di affaccio, e lì pependicolae alle amatue. Questa semplificazione, unita alla condizione d R, pemette di avvalesi della fomula pe il campo elettico del doppio stato infinito. Petanto, se S è la misua della supeficie dove la caica è distibuita, fa le amatue abbiamo un campo unifome, la cui intensità nel vuoto vale: E Q S 3

20 ondensatoe sfeico Regione Neuta La foma a disco delle amatue è impotante? La geometia a disco ui poposta non è vincolante: nelle ealizzazioni patiche la foma delle amatue può essee di vaio tipo, puché si ispettino le due condizioni di: induzione completa e distanza di sepaazione molto minoe dell estensione lineae. Sono concepibili, uindi, condensatoi a foma di sfea contenuti in cavità metalliche ad essa concentiche, a foma di cilindo, e così via. In geneale ualunue coppia di conduttoi affiancati è in una ceta misua un condensatoe, e può esseelo anche un singolo conduttoe se si considea che l ambiente cicostante subisce fenomeni di induzione. E dielettico E amatue Nello spazio fa le amatue ci dev essee aia? Nella ealtà si è soliti poe fa le amatue, al posto dell aia, uno stato di dielettico, il uale si polaizza, e come si è visto a suo tempo, ha l effetto di indebolie di un fattoe /, a paità di caica localizzata, il valoe del campo E nello spazio inteposto. Infatti la tendenza delle molecole del dielettico, a defomasi od allineasi lungo la diezione del campo, lascia neuta la egione intena e poduce l euivalente di uno stato supeficiale di caica. Questo oigina un campo aggiuntivo E che si sovappone, con diezione opposta, ad E, iducendo l intensità del campo isultante: E E E. Se lo spazio di sepaazione è omogeneamente iempito, si osseva p speimentalmente che, indipendentemente dalla caica Q localizzata sulle amatue, il appoto E / E è legato unicamente al tipo di mateiale dielettico utilizzato. Il valoe numeico di uesto appoto,, pende il nome di costante dielettica del mezzo. Fa le amatue avemo uindi un campo di intensità: E E. p onduttoe Ossido di l Isolante soluzione elettolitica Nella patica, come viene costuito un condensatoe? La ealizzazione patica di un condensatoe a facce piane paallele fa uso di alcuni accogimenti tecnici, come uello di utilizzae pe amatue delle sottili stisce metalliche sepaate da pellicole isolanti. La stuttua viene avvolta a otolo, come in figua, e si pesenta a foma di piccolo cilindo. Si costuiscono anche condensatoi in cui una delle due amatue è costituita da una soluzione liuida o gelatinosa, genealmente di tetaboato di sodio, detti condensatoi elettolitici. La configuazione è uella di un involuco cilindico di alluminio, contenente la soluzione elettolitica, ed al cento un alto conduttoe cilindico di alluminio. Intono a uest ultimo, immeso nella soluzione, attaveso un oppotuno passaggio di caica si fa fomae un sottile stato di bollicine di idogeno. Questo sottilissimo stato fa depositae sul conduttoe inteno dell ossido di alluminio, che iveste il uolo del dielettico pe uesto tipo di condensatoe. L involuco e la soluzione possono uindi essee caicati negativamente, mente il conduttoe inteno fa da amatua positiva. Ma a cosa seve un condensatoe? Un condensatoe è un sistema di due conduttoi caichi, uindi come tutte le distibuzioni di caica, possiede enegia potenziale elettostatica. Realizzae un condensatoe è uindi un modo pe intappolae le caiche in una ceta configuazione, e dispoe di un sebatoio di enegia potenziale. ondensatoe elettolitico ondensatoe è un dispositivo in gado di accumulae enegia potenziale elettostatica 4

21 L enegia potenziale elettostatica è il lavoo svolto dal campo elettostatico uando si smemba una configuazione di caiche e si potano le caiche all infinito: nel caso del condensatoe dovemo uindi sepaae fino a distanza infinita le caiche in eccesso su ciascuna delle amatue 8. l temine dello smembamento avemo uindi due laste conduttici neute affacciate. Il fatto che la foza elettostatica sia consevativa ci autoizza a die che il lavoo svolto dal campo duante ualunue pocesso che conduca ad un tale stato finale è sempe pai all enegia potenziale del sistema, anche uello che pone in collegamento fa loo le due amatue caiche, colmando l eccesso positivo di una con l eccesso negativo dell alta. Petanto l enegia potenziale elettostatica del condensatoe è anche il lavoo svolto dal campo elettico duante il passaggio della caica in eccesso sull amatua positiva a uella sull amatua negativa. Un tale pocesso è detto scaica del condensatoe; e dato che la scaica è agevolata dalle foze del campo, l enegia potenziale di un condensatoe è positiva. pompa ome dobbiamo immaginaci un condensatoe? È bene pensae al condensatoe come ad come una molla compessa, in gado di ilasciae la sua enegia allungandosi di scatto non appena gliene venga data l oppotunità. Un condensatoe si dice petanto caico uando vi è stata incameata enegia potenziale. Si faccia petanto attenzione all ambiguità del temine caico, che, in uesto caso, non si ifeisce ad una localizzazione di caica elettica. In effetti un condensatoe non accumula caica, dato che nel complesso si tatta di un oggetto neuto: la sua caica complessiva è Q Q. Un modello di condensatoe che si ifà all idaulica viene poposto ui a lato. Supponiamo che all inteno di una conduttua piena di acua vi sia una camea con una membana elastica sepaatice. Tale dispositivo blocca lo scoimento dell acua al suo inteno, e può, in un ceto senso, essee caicato. Se infatti una pompa spinge l acua conto la membana estendendola in una delle due diezioni, il condensatoe idaulico incamea enegia potenziale, senza tuttavia vaiae il uantitativo di acua al suo inteno, visto che all incemento di liuido in una delle due egioni sepaate dalla membana coisponde la diminuzione nell alta. Se scolleghiamo la pompa e colleghiamo ueste due egioni con un tubo, il condensatoe saà in gado di ilasciae l enegia incameata, spingendo l acua attaveso il tubo. Duante il pocesso si avà una violenta scaica di liuido, ma al temine, il dispositivo saà iempito esattamente dello stesso uantitativo che conteneva inizialmente, e, vicevesa, la sua enegia potenziale saà scesa a zeo. Il condensatoe tona utile tutte le volte che si ha bisogno di una sota di molla elettica: ovveo di podue un intenso flusso di caiche che scoano in un tempo bevissimo. Nei dispositivi di defibillazione del cuoe, ad esempio si fa ampio uso di tale popietà, così come nei flash delle macchine fotogafiche. Quale gandezza egola uanta enegia può incameae un condensatoe? alcoleemo oa la popietà di incameae enegia in elazione alla caica che poniamo su una delle due amatue. Indichiamo con V il potenziale dell amatua caica positivamente e con V uello dell amatua negativa affacciata. Pe affiguae il condensatoe useemo il simbolo ui a fianco. Definiamo pima una nuova gandezza fisica che descive il condensatoe espimendo uanta caica Q si deve poe sull amatua positiva (e uindi uanta Q sulla negativa) pe ogni Volt di diffeenza di potenziale che si desidea stabilie. Si tatta del appoto: membana elastica La ontofisica on una coloita analogia potemmo assimilae il condensatoe allo sciacuone del gabinetto! diffeenza dell acua che scende un po pe volta dal ubinetto, il condensatoe incamea enegia potenziale, cioè acua in un punto in alto, e la ilascia tutta insieme. V V V V V 8 Pe potae all infinito le caiche positive senza distuggee il eticolo dell amatua possiamo immaginae che la lasta metallica si vada estendendo infinitamente, di modo che gli ammanchi di elettoni si dispedano su di essa a distanza infinita le une dalle alte. 5

22 Q Q V V V dove pe comodità si è posto V V V pe indicae la diffeenza di potenziale fa le amatue. Il numeo viene detto capacità del condensatoe, e dipende dalla geometia (cioè dalla foma delle amatue piane, sfeiche, cilindiche - e dalla loo distanza ecipoca) e dal dielettico inteposto fa le amatue (aia, soluzione elettolitica, cata ). La capacità di un condensatoe dipende anche da Q e V? ben pensaci la capacità isulteebbe essee un paameto utile solo nel caso in cui fosse del tutto indipendente da Q e V. In uesto caso infatti il uantitativo di caica da poe sulle amatue pe avee ogni Volt di diffeenza di potenziale non dipendeebbe né dalla caica già ivi pesente né dalla diffeenza di potenziale già stabilita, ma saebbe una costante, caatteistica di uel condensatoe 9. Dimostiamo che la capacità è una costante caatteistica solo della geometia e del dielettico inteposto, attaveso una catena di agionamenti:. La geometia del condensatoe costinge le caiche a distibuisi in modo unifome sulle due facce affiancate.. Se uindi Q aumenta di un ceto fattoe, di uello stesso fattoe aumenta (essendo fissata la supeficie). 3. Ne segue che del medesimo fattoe cesce E /. 4. Essendo E V / s V / d, e imanendo fissa la distanza d fa le amatue, anche V cesce nel medesimo appoto. Petanto la capacità di un condensatoe (lontano da influenze estene) è una costante: addoppiando la caica Q addoppia V, tiplicandola tiplica, e così via. d E V Quanto vale la capacità di un condensatoe piano? alcoliamo la capacità di un condensatoe piano con amatue di aea, sepaate da una distanza d. ome sappiamo, la diminuzione di potenziale spostandosi lungo le linee di campo, vale V E d. Poiché nel caso del condensatoe le linee di campo vanno dall amatua positiva a uella negativa, spostasi lungo le linee significa avee Vinziale V e Vfinale V. Nella fomula che lega campo elettico e diffeenza di potenziale abbiamo alloa V V V, da cui si icava: V V E V d Ma sappiamo anche che fa le amatue il campo elettico è costante, e pai a E / ( E / nel caso di dielettico inteposto). onfontando le due espessioni otteniamo V V d/, che sostituito nella fomula pe fonisce: Q Q V V d d 9 ome utilità assomiglia in un ceto senso alla esistenza, che intoduemo studiando la coente, che è indipendente dalla tensione applicata e dalla coente pesente, come stabilito dalla legge di Ohm. 6

23 dove si è sfuttato il fatto che Q/. ome cambia la capacità se vi è un dielettico inteposto? Ripetendo i passaggi la fomula pecedente cambia in: / d, cioè il dieletti- co accesce il valoe della capacità, dato che è sempe. Questo significa che, a paità di caica posta sulle amatue, un condensatoe con dielettico aggiunge una minoe diffeenza di potenziale, infatti l espessione ( V V ) Q/ si tova ad avee un denominatoe maggioe. Essendo E ( V V )/ d, si spiegano oa le ossevazioni spe- imentali ipotate ad inizio di uesta sezione, cioè che il dielettico iduce il campo elettico complessivo di un fattoe. È possibile che in cete condizioni si ompa il dielettico? Qualunue sostanza isolante può diventae conduttice uando la si sottopone a uel valoe di campo elettico in gado di disgegane gli atomi, sepaando l elettone esteno dallo ione fomato da nucleo ed elettoni inteni. L intensità massima di campo elettico che un isolante può soppotae senza ompesi è detta 6 igidità dieletttica: ad esempio pe l aia è 3. V/m (valoi pe alti mateiali sono ipotati in tabella). Sottoponendo un dielettico fa le amatue di un condensatoe, ad una diffeenza di potenziale tale da podue un campo che supea la sua igidità dielettica, ha luogo attaveso di esso un apido passaggio di caiche accompagnato da emissione di luce, detto scaica oppue aco elettico, ed in alti modi ancoa, a seconda della tipologia. Questo è il fenomeno che viene sfuttato nei tubi al neon usati pe le insegne luminose (dove un gas natualmente isolante diventa conduttoe) ed ha molti usi patici uali la candela di accensione nei motoi a scoppio, il saldatoe elettico ad aco, e numeosi utilizzi chimici e temici. nche il fulmine è un esempio di baglioe podotto da ottua dielettica, in uesto caso dell aia. Le nuvole, caicate negativamente dallo stofinio delle gocce d acua conto l aia, inducono una caica positiva sul teeno sottostante, fomando un gigantesco condensatoe. Quando il campo elettico che si stabilisce fa la tea e le nuvole supea i te milioni di volt al meto, si poduce un violento passaggio di caica accompagnato da emissione luminosa e sonoa. Esecizi 5. Un condensatoe è costituito da due amatue uadate, paallele, di supeficie 4 cm ciascuna, sepaate da uno spessoe di 8. mm. Si calcoli la capacità uando è inteposta l aia e uando è inteposto un dielettico di 6.. Se la distanza fa le amatue addoppia, si dica di uanto deve essee incementata la misua del loo lato pe mantenee la stessa capacità. sostanza aia teflon cata mica veto neopene polipopilene igidità dielettica [V/m] Il teflon è una mateia plastica altamente esistente alla tempeatua, molto utilizzata in campo tecnico ad esempio pe guanizioni di contatto con agenti coosivi, pe giunti a basso attito, e pe i fondi delle padelle antiadeenti. La mica è un mineale con gli atomi disposti in fogli statificati che si sfaldano, noto all uomo sin dai tempi peistoici. È usato come isolante in cavi ed in condensatoi, viene pessato pe fane le fineste dei foni (data la sua esistenza al caloe) ed i veti delle see. Polveizzata ha un uso cosmetico in ceme dentifici uale abasivo. Il neopene è una gomma sintetica assai poosa ed elastica. Tova molte applicazioni nell industia (specie automobilistica e nautica), pe fae guanizioni, accodi e ivestimenti. Di neopene sono fatte le mute da sub. Il polipopilene è l innovativa sostanza commecializzata con il nome di moplen, che valse il pemio Nobel pe la chimica a Giovanni Natta nel 963. Mateiale plastico estemamente vesatile, di polipopilene sono fatte le bacinelle da cucina, le stoviglie di plastica, gli scolapasta, i secchi, i tubi di scaico e numeisissimi alti utensili comuni. Dalla fomula abbiamo: F 5.6 pf d 3 8. Intepoe il dielettico significa moltilplicae la capacità pe : (6. 5.6) pf 54 pf In ealtà la ottua dielettica avviene peché gli elettoni si libeano dall attazione del popio nucleo gazie ad un fenomeno di meccanica uantistica detto effetto tunnel. 7

24 Infine dalla fomula si vede che ad un addoppio della distanza, al denominatoe nella fomula, deve coispondee un addoppio dell aea, al numeatoe, se si vuole che la capacità non cambi. Quindi il lato deve cescee di un fattoe. 6. Si deve pogettae un condensatoe a facce piane e paallele a foma di disco, con aia fa di esse, che abbia la capacità di 4.5 pf, da utilizzae in un dispositivo dove saà sottoposto alla diffeenza di potenziale di fa le amatue aggiungeà i 4. N/, si tovi la distanza fa le amatue, il loo aggio e la massima caica che potanno ospitae. 3 V. Sapendo che il campo elettico [R:. cm, 4. cm,.594 n ] 7. Un condensatoe avente facce piane paallele di supeficie 3 cm, sepaate da uno spessoe di.45 mm, ha le amatue poste ad una diffeenza di potenziale di V. Sapendo che in ueste condizioni sull amatua positiva si hanno 7. n si dica ual è il mateiale inteposto. [R: teflon,. ] 3km 8. alcolae uanta caica possiamo immagazzinae in un condensatoe a facce piane paallele di supeficie 3 cm sepaate da una distanza di.8 mm uando lo colleghiamo ad una batteia di 4.5 V. [R:.85 n ] 9. Sapendo che le nuvole più basse si tovano ad una distanza di 3. km dal suolo, appossimando il sistema con un condensatoe a facce piane paallele, si stimi la diffeenza di potenziale fa nuvola e suolo affinché scocchi un fulmine. Si stimi la caica che la pate infeioe di una nuvola di km.5 di supeficie deve contenee peché ciò avvenga. [R: 9. V,3 ] 9 E E 3. Una cellula di un tessuto vivente può essee vista come un condensatoe. Infatti acchiude un fluido icco di ioni positivi di potassio, mente l ambiente esteno è icco di ioni positivi di sodio. Poiché la membana cellulae lascia passae il potassio ma è impemebile al sodio, la paete estena si caica positivamente e uella intena negativamente. Ne isulta una diffeenza di potenziale di 8 mv. ssumendo uno spessoe di 8.5 nm, una supeficie di 5. 9 m e sia 6. si calcoli il campo elettico nella membana e la sua capacità. [R: 9.4 V/m,3 pf ] 6 V ( t) 3. Un condensatoe è composto da due dischi metallici di aggio R 9. cm affacciati a distanza d 8. mm e sepaati da aia. I dischi sono connessi ai capi di una batteia, cioè un dispositivo che li caica di segno opposto, stabilendo fa loo una diffeenza di potenziale a. V, e che poi viene scollegata. alcolae il campo elettico fa le amatue. In ueste condizioni viene inseita una lasta di veto ( 5.6) di supeficie uguale alle amatue e spessoe pai alla loo distanza. L isolamento fa si che non cambi la caica sulle amatue. alcolae la nuova capacità, la nuova diffeenza di potenziale ed il nuovo campo elettico. 3 [R:.5 V/m,.6 nf,. V,.6 V/m ] V ( t) Q Facendo uso di possiamo calcolae l enegia incameata in un condensatoe? La consevatività della foza elettostatica ci consente di immaginae un ualunue pocesso pe caicae le amatue e calcolae l enegia potenziale della configuazione ottenuta pe uesta via: in ogni caso il isultato è identico visto che il lavoo non dipende dalla taiettoia seguita. Supponiamo uindi di patie dalle due amatue neute e di spostae di volta in volta un ceto uantitativo di caica Q dall amatua che diventeà negativa a uella che diventeà positiva. Saà un po 8

25 come scavae una buca nel suolo pe costuie una collina con la tea estatta. d ogni spostamento di Q si ha un incemento pai a U nell enegia potenziale del condensatoe, pai a: U U U QV [ ( t ) V ( t )] fin in V ( t) Se volessimo calcolae l enegia potenziale finale, uando sulle amatue abbiamo posto complessivamente la caica Q e fa di esse si è stabilita la diffeenza di potenziale V dovemmo addizionae tutti uesti U : V ( t) U U U... Ma in ognuno dei U viene contemplata una diffeenza di potenziale V ( t) V ( t) che cesce ad ogni nuova aggiunta di caica, popio come la collina di tea sale di livello ad ogni aggiunta di mateiale, ed ogni volta dobbiamo faticae un po di più pe potala fino in cima. Infatti ogni nuova caica positiva Q stappata ende l amatua negativa un poco più negativa, così da opposi di più alla successiva estazione. nalogamente ogni aggiunta di Q sull amatua positiva la ende un poco più positiva, così da opposi maggiomente al successivo inseimento. E insomma come una stana scala i cui gadini aumentano ad ogni nosto passo. Ma se affiguiamo in un piano avente sulle ascisse Q( t ) (caica sulle amatue al tempo t ), V V fin V ( t ) U ( ) ( ) Q t V t e sulle odinate V ( t ) (diffeenza di potenziale fa le amatue al tempo t ) la elazione che definisce la capacità: Q Q fin Q ( ) ( ) Q t V t Q( t) Q( t) Q otteniamo una etta di coefficiente angolae /. ome si vede, in uesto piano ogni incemento di enegia base U coisponde all aea del ettangolo sotteso dalla etta, di Q ed altezza V ( t ). L enegia complessivamente incameata saà petanto l intea aea del tiangolo evidenziato in giallo di base Q fin ed altezza V fin, uelli che finoa abbiamo chiamato semplicemente Q e V, cioè ispettivamente la caica depositata sulle amatue e la diffeenza di potenziale aggiunta. Si ottiene uindi: Enegia potenziale incameata da un condensatoe Q U QV V 3. Il flash di una macchina fotogafica è alimentato dalla scaica di un condensatoe di capacità 4 F caicato ad una diffeenza di potenziale fa le amatue V V 3 V. he enegia ilascia uando viene scaicato? L enegia ilasciata è uella incameata nel condensatoe: 6 U V [ (4 )(3) ]J 6.J La ontofisica Una via altenativa pe giungee alla fomula U=QV/ è ossevae che V(t) cesce lineamente con la caica Q(t) sull amatua positiva, e che uindi, vale pe esso un isultato analogo al teoema della velocità media visto a suo tempo, pe cui il suo valoe medio è la media aitmetica fa il valoe iniziale (nullo) e uello finale V, cioè (+V)/. Si ottiene l enegia potenziale assumendo che la caica totale Q sia spostata in un solo passaggio fa due amatue a diffeenza di potenziale costantee e pai al valoe medio V/, cioè U=QV/. 33. La fibillazione venticolae è una contazione del cuoe in modo scoodinato. Poiché i muscoli sono delle macchine elettiche, è possibile istabilie la nomalità attaveso il apido passaggio di caica podotto dalla scaica di un condensatoe. Sapendo che il condensatoe ha capacità 75 F e che viene caicato con un enegia di U 4 J calcolae la diffeenza di potenziale fa le sue amatue. 3 [R:. V ] 9

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