Quando si parte il gioco de la zara, colui che perde si riman dolente,repetendo le volte, e tristo impara;

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1 PROBABILITÀ VARIABILI ALATORI Problem ) Qual è la probabltà d otteere 0 lacado due dad equlbrat a se facce? ) Qual è la probabltà che ua doa al volate abba u cdete? 3) Qual è la probabltà che la Juvetus quest ao vca l campoato? U po d stora La zara e Date Algher: Quado s parte l goco de la zara, colu che perde s rma dolete,repetedo le volte, e trsto mpara; Purgatoro Cato IV Prme defzo da utlzzare per usare la defzoe classca come esempo s fa rfermeto al laco d u dado) veto: esto d u qualuque espermeto esce u umero par) veto elemetare og possble rsultato d u espermeto esce l umero 4 ) e composto esce u umero prmo) Spazo campoaro U : seme degl evet elemetar veto certo: s verfca scuramete veto mpossble: o s verfcherà ma veto aleatoro o casuale: o s è elle codzo d esprmere u gudzo certo sul suo verfcars Defzoe classca d probabltà o defzoe laplacaa o a pror Perre Smo de Laplace ) I prcpo84): l prmo prcpo è la defzoe stessa d probabltà, che [..] è l rapporto tra l umero d cas favorevol e quello d tutt cas possbl...subto dopo, però, l autore avverte che: II prcpo Ma cò presuppoe che dvers cas sao ugualmete possbl. Se o lo soo, s determao prma le loro rspettve possbltà, la cu esatta valutazoe è uo de put pù delcat della teora de cas. Allora la probabltà sarà la somma delle possbltà d cascu caso favorevole Osservazoe Il II prcpo rede la defzoe crcolare perché la ozoe d ugualmete possble equvale a quella d avere uguale probabltà. Ioltre questa defzoe o permette d rsolvere problem ) e 3). Defzoe frequetsta o statstca o a posteror della probabltà Rchard Vo Mses ) La probabltà d u eveto è la frequeza relatva del suo verfcars quado l umero d prove effettuato è da rteers suffcetemete alto. Defzoe soggettva della probabltà Bruo De Fett ) La probabltà d u eveto è l rapporto tra la somma P che s è dspost a pagare ua scommessa e la somma V che s rceverà el caso l eveto s verfch. Deve però sussstere la codzoe d coereza: la persoa che accetta d pagare P per otteere V deve ache essere dsposta a rcevere P per pagare V el caso l eveto s verfch. Ioltre la persoa o deve ma essere scuro d vcere quale che sa la combazoe d scommesse che vee fatta.

2 ASSIOMATIZZAZION DLLA PROBABILITÀ XX secolo, Adre Kolmogorof Def. Chamamo spazo campoaro l seme U degl evet elemetar e defamo spazo degl evet l seme delle part d U coè l seme de sottosem propr e mpropr d U che dchamo co PU)). Nello spazo degl evet gl sem co u solo elemeto rappresetao gl evet elemetar, l seme vuoto è l eveto mpossble, U è l eveto certo. Oss. I questa prma parte U è u seme fto. Def. Dato uo spazo campoaro U defamo ua fuzoe p che chamamo msura d probabltà tale che p: PU) R tale che: ) 0 PU) U) se due evet soo e tal che coè soo compatbl) allora p ) ) + ) U OSS: Se è u eveto allora l umero ) s drà probabltà dell eveto. Da quest assom s dmostrao le seguet propretà:. p ) 0. 0 p ) 3. ) ) allora p ) ) ) 4. se 5. se e allora ) ) ) 6. ) ) + ) ) se gl evet o hao tersezoe vuota coè se soo compatbl. Dmostrazo: ) Per l terzo assoma s ha che p dall uguaglaza del prmo e dell ultmo membro s ottee. s cosdero gl evet compatbl A e coè tal che A A) A ) A) + ) p ) 0. e 3. s cosdero gl evet compatbl e ). S ha che U qud per l terzo assoma p U ) ) ) + ) da cu derva che p ) e ) ).

3 e ) p ) 4. s cosdero gl evet compatbl s ha [ ] uoe è uguale a del prmo e dell ultmo membro s ha la propretà. Per l terzo assoma e cosderado che la loro p ) + e dall uguaglaza ) 5. seza dm. C. S cosdero tre evet compatbl C) C) tal che la loro uoe sa uguale a. 6. per semplctà sa Per l terzo assoma s ottee p ) p[ C) C C) ] C) + C) + ) e per la propretà 4. s ottee C p ) p ) C) + C) + ) ) C coè s ottee la tes), C e C C semp: a) U dado vee truccato modo che la probabltà d uscta d u umero dspar sa l doppo della probabltà d uscta d u umero par. Calcolare la probabltà che esca u umero prmo. 5/9) b) Qual è la probabltà che el laco d due dad escao due umer ugual o avet somma 8? 5/8) c) I ua classe d 40 alu, 30 soo ragazze. La metà de ragazz e la metà delle ragazze ha capell bod. Scegledo ua persoa a caso qual è la probabltà che sa u ragazzo o abba capell bod? 5/8) Qual è la probabltà che sa ua ragazza o o abba capell bod? 7/8) Ved esercz guda pag 8 46/53/54 3

4 Legg pag 60-6 Defzoe: Dat due evet e tal che, U, φ, s dce probabltà codzoata d rspetto ad, e s dca co p / ), la probabltà che s verfch ell potes che s sa verfcato. La probabltà codzoata d rspetto ad s calcola co la formula / ) ) ) Osservazoe: ell ambto della defzoe classca s probabltà questa formula può essere dmostrata. Defzoe: due evet s dcoo dpedet se / ) ) dpedet. p Se cò o s verfca due evet s dcoo semp: ) u mazzo d carte apoletae calcolare la probabltà d estrarre u cavallo sapedo che è uscta ua fgura ) u mazzo d carte apoletae qual è la probabltà d estrarre u cavallo sapedo che è uscta ua carta d dear Teorema della probabltà composta La probabltà dell eveto composto o prodotto logco tra e s calcola: ) ) / ) ) ) Se gl evet soo dpedet ) Teorema d Bayes La probabltà che, essedos verfcato u eveto, la causa che sta alla sua orge sa l eveto, co,,3,.., è p p p + p / ) ) / ) co ) ) / ) ) / ) / ) p ) ) p Quest d probabltà )U ospedale ha due sale operatore la sala x e la sala y) che hao la stessa probabltà d essere occupate. La probabltà che almeo ua sa occupata è 0,8, la probabltà che etrambe sao occupate è 0,4.. Qual è la probabltà che x sa lbera?. Qual è la probabltà che etrambe le sale sao lbere? 3. Qual è la probabltà che almeo ua delle due sale sa lbera? 4. Qual è la probabltà che ua sola delle due sale sa lbera? Tracca della soluzoe: sa A{ la _ sala _ x _ è _ occupata} e B{ la _ sala _ y _ è _ occupata} allora gl evet de qual trovare la probabltà soo p A) A B) A B) legg d De Morga ) A B) A B) legg d De Morga ) p [ A B) A B) ] A B) + A B) perché soo evet compatbl ) Sol: 0,4, 0,, 0,6, 0,4) ) Il 70% de ragazz ua classe adrà vacaza al mare, l 40% motaga, l 30% sa al mare che motaga. Qual è la probabltà che uo studete scelto a caso ella classe o adrà vacaza é al mare é motaga? 0, 3) U oggetto prodotto da ua maccha può presetare due tp d dfett, dcamo A e B. Scelto a caso u oggetto prodotto dalla maccha, la probabltà che preset l dfetto A è 0,, la probabltà che preset dfetto B è 0,3 e la probabltà che o preset alcu dfetto è 0,6. Determa la probabltà che l oggetto: preset almeo uo de due dfett preset etramb dfett o preset l dfetto A ma preset l dfetto B 0,4, 0,, 0,) 4) I ua data popolazoe la probabltà che ua persoa preset l carattere geetco A è l doppo rspetto alla probabltà che preset l carattere geetco B. Ioltre la probabltà che u dvduo preset etramb caratter è 0, e quella che preset almeo uo de due caratter è 0,7. scelto a caso u dvduo d quella popolazoe, determa: qual è la probabltà che preset l carattere A qual è la probabltà che o preset l carattere B 4

5 qual è la probabltà che preset A ma o B sol: 0,6, 0,7, 0,4) 5)La probabltà che u gatto vva a è /4, la probabltà che u cae vva a è /3. Dat u cae ed u gatto appea at, calcolare la probabltà che: a) l gatto o sa vvo fra a. b) sao etramb vv fra a; c) almeo uo sa vvo fra a; d) essuo de due sa vvo fra a. Tracca della soluzoe:sa A l'eveto ``l gatto sa vvo tra a" eb l'eveto l cae sa vvo tra a". 3 a) A ) -A) 4 4 b) Gl evet A e B soo dpedet. Qud s può applcare la propretà: p A B) A) B) c) L'eveto ``almeo uo sa vvo fra a" è l'eveto composto, per cu derva che p A B) A) + B) A B) d) L'eveto `` essuo de due sa vvo fra a" è l complemetare dell'eveto A U B, qud P A B ) A B) 6) La probabltà che Marta sa scelta per la recta della scuola è del 55%; se o vee scelta per la recta Marta adrà al cema co ua probabltà del 40%. Qual è la probabltà che Marta o vega scelta per la recta e vada al cema? Tracca della sol.:sa A { Marta _ vee_ scelta _ per _ la _ recta} e B { Marta _ va _ al _ cema} S deve calcolare p A B) A) B / A)... 8% Struttura ad albero e teorema d Bayes sempo A La tua scuola deve vare ad ua fale d Matematca u aluo scelto tra quell che s soo meglo classfcat elle ultme gare delle Olmpad. S decde d sceglere tra Adrea, Beatrce, Carlo e Daa. S valuta che la probabltà d vttora d Adrea sa del 80%, quella d Beatrce sa del 90%, quella d Carlo sa l 75% e quella d Daa l 70%. S tra u dado a 4 facce per sceglere tra quattro alu. Qual è la probabltà d vttora della tua scuola? Qual è la probabltà che sa stato estratto Carlo, sapedo che la tua scuola ha vto? Per rappresetare la stuazoe è coveete utlzzare u dagramma ad albero cu e od dchamo dvers est e e ram le relatve probabltà. /4 Adrea 80/00 0/00 90/00 Vce Perde Vce /4 /4 /4 Daa Beatrce Carlo 70/00 0/00 5/00 75/00 Vce Perde Perde Vce 30/00 Perde 5

6 Notamo che el dagramma sopra dsegato abbamo e prm quattro od gl est del laco d u dado a 4 facce dal quale decdamo se a gareggare è Adrea, Beatrce, Carlo o Daa) e egl altr 8 od abbamo gl altr est Vce o Perde). Le probabltà su questa secoda sere d ram è ua probabltà codzoata s potrebbe scrvere V/A)80/00 e P/A)0/00 dcado el prmo caso la probabltà che la scuola Vca codzoata dal fatto che garegg Adrea e el secodo caso la probabltà che la scuola Perda codzoata dal fatto che garegg Adrea ). Per calcolare la probabltà che la scuola vca facedo gareggare Adrea s moltplcao le probabltà su ram che collegao od opportu quello d Adrea e quello del Vce). Possamo scrvere questo modo: A V)A) V/A) dove A dca è stato sorteggato Adrea e V dca la scuola Vce). Per calcolare la probabltà d vttora della scuola s sommao le probabltà su og sgolo ramo che terma co ua vttora e qud s ottee: V) A V)+ B V)+ C V)+ D V) 0,7875 Per rspodere alla secoda domada è ecessaro utlzzare l teorema d Bayes. La probabltà rchesta s potrebbe dcare co C/V) coè la probabltà che sa stato estratto Carlo sapedo che la scuola ha vto. Per l teorema sopra omato s ottee: 3 C/V) 4 4 0, 38 P V ) Qud s calcola l rapporto tra la probabltà sul ramo che porta alla vcta co estrazoe d Carlo e la probabltà d Vcta. sempo B Ua scatola cotee 5 palle bache e 3 palle rosse. Adrea estrae ua palla e la togle aggugedo u altra palla dell altro colore. A questo puto egl estrae ua uova palla dalla scatola. Qual è la probabltà che estragga alla fe ua palla rossa? qual è la probabltà che la prma palla estratta sa baca sapedo che la secoda palla estratta è rossa? Costruamo l albero che descrve la stuazoe dcheremo co B palla baca estratta alla prma estrazoe e B palla baca estratta alla secoda estrazoe e modo aalogo per le palle rosse): 5/8 BacaB ) 3/8 Rossa R ) 4/8 4/8 6/8 /8 Baca Rossa Baca Rossa R ) Qud l estrazoe della palla rossa può avvere seguedo due ram evdezat ella fgura) coè: R ) B R ) + R R ) Per rspodere alla secoda domada utlzzamo l teorema d Bayes. B /R ) 6

7 VARIABILI CASUALI O ALATORI) DISCRT sempo : Suppoamo d lacare cotemporaeamete due dad, uo a 6 facce e uo a 4 facce. Per og coppa d lac adamo a cosderare la somma de valor otteut da cascu dado. Voglamo dvduare tutt possbl evet e calcolare la loro probabltà. Svolgmeto. Il prmo dado, D, ha 6 facce, umerate da a 6. Assumedo che l dado sa o truccato, la probabltà che esca u qualsas umero da a 6 è la stessa e vale charamete Il secodo dado, D, ha 4 facce, umerate da a 4. Assumedo che ache questo caso l dado sa o truccato, la probabltà d otteere u qualsas umero da a 4 è la stessa e vale 4. L espermeto che dobbamo svolgere è l seguete: lacamo cotemporaeamete D e D e regstramo valor otteut. Pertato lo spazo campoaro U è costtuto da tutte le coppe d umer cu l prmo valore è l esto del laco del dado D, l secodo valore è l esto del laco del dado D. vdetemete tutte le possbl coppe possoo essere rappresetate come prodotto cartesao fra gl sem D {,,3,4,5,6 } e D {,,3,4 } coè D D. Lo spazo campoaro U è qud costtuto da 4 coppe, cascua delle qual è formata da valor otteut da due lac. vdetemete due lac avvegoo maera dpedete l uo dall altro, qud la probabltà del verfcars d og coppa è qud 4. veto Valore della somma Probabltà {,,)} /4 {,),,)} 3 /4 {,3),3,),,)} 4 3/4 {,4),4,),,3), 3,)} 5 4/4 {5,),4,),,4), 3,3)} 6 4/4 {5,),4,3),3,4),6,)} 7 4/4 {6,),4,4),5,3)} 8 3/4 {6,3), 5,4)} 9 /4 {6,4)} 0 /4 Rflettamo sul sgfcato della tabella che abbamo costruto: l aspetto cetrale è l fatto d aver assocato ad og eveto u umero questo caso aturale, otteuto dalla somma degl est de due lac) e po d aver assocato ad og umero ua probabltà. I qualche modo è come se avessmo spostato l cocetto d probabltà dallo spazo campoaro ad u uovo spazo, questo caso costtuto da umer atural. Def: Ua varable casuale o aleatora) dscreta X è ua fuzoe : umero reale. Sa { x x,..., }, x 6. X : U R, che assoca ad og eveto u l codomo della fuzoe X per ora cosdereremo questo seme fto). Nel ostro esempo { x x,..., } {,3,4,...,0 }, x 7

8 OSS: og x avrà per cotrommage u eveto che possamo dcare co elemetare o u seme d evet elemetar). S avrà ecessaramete che Def: S defsce dstrbuzoe d probabltà la fuzoe P:{ x x,..., x} R potrebbe essere u eveto... U., che assoca ad og x la probabltà che s verfch l eveto assocato a Idcheremo valor della fuzoe P el seguete modo: Nell esempo del laco d due dad s avrà: P X ) 4 Ovvamete s avrà 0 X 3) 4 x tramte la fuzoe X coè che s verfch P X x ) p. P. p e p p +... p Stetzzeremo la stuazoe co la seguete tabella: + ). P X 0) 4 X PX) ache possble rappresetare la dstrbuzoe d probabltà per mezzo d u stogramma OSS: Il vataggo d queste defzo sta ell aver spostato l attezoe dagl evet a umer. Def: s chama fuzoe d rpartzoe d ua varable casuale X la fuzoe F che forsce la probabltà che X o assuma u valore superore a u valore x : F:{ x x,..., x} R, tale che Qud completado la tabella dell esempo sopra cosderato s avrà: F x ) P X x ) p + p p X PX) FX) sercz: Costrusc la varable casuale e relatve dstrbuzoe d probabltà e fuzoe d rpartzoe) quest cas:. Numero d 6 usct lacado per tre volte u dado a se facce) o truccato. Numero d carte d dear ell estrazoe smultaea d 4 carte da u mazzo d carte apoletae 3. Numero d testa uscte el laco d 5 moete o truccate 4. Numero d bgle bache ell estrazoe smultaea d 3 palle da u ura coteete 4 bgle bache e 3 ere 8

9 sempo. Vee proposto l seguete goco: og aluo della classe 4G tra l dado, se escoo o la prof dà alla classe 0 uro, se escoo 3 o 4 o 5 la classe dà alla prof. uro, se esce 6 la classe dà alla prof. 3 uro. Cosderato che classe c soo alu preset, dopo l laco de dad la classe vce: 0* -* -3*. Poché soo stat fatt lac, s potrebbe otteere la vcta meda dvdedo la vcta totale per l umero d lac coè s ottee dvdedo etramb membr per l umero d alu : 0 3 Le frazo che soo state scrtte ella relazoe precedete soo le frequeze relatve de tre evet sopra cosderat. All aumetare del umero d lac la frequeza relatva s avvca alla probabltà a pror dell eveto qud, se voless avere u dea del guadago medo del goco che m è stato proposto, potre utlzzare le probabltà al posto delle frequeze relatve. S può qud dare la seguete defzoe: Def: s chama MDIA o VALOR ATTSO o SPRANZA MATMATICA d ua varable aleatora l umero M[ X ] µ x p + x p x p x p S può osservare che la MDIA dca l valore elle vcaze del quale prcpalmete attedamo che cadao valor d X. Ifatt el calcolo della MDIA hao maggor peso valor d X che soo pù probabl. S può osservare che la MDIA può essere u umero egatvo, postvo o ullo. Ne goch, se s dca co X la varable aleatora delle vcte o perdte, s ha la seguete defzoe. Def: U goco d dce QUO se la MDIA è uguale a zero. U goco s dce FAVORVOL SFAVORVOL) se la MDIA è maggore more ) d zero. Qud l goco proposto dalla prof. era Def. Data ua varable aleatora X, s dcherà co S la varable aleatora SCARTO così otteuta: SX- µ la fuzoe dstrbuzoe d probabltà P resta varata) sempo: s calcol la meda della varable aleatora del prmo esempo laco d due dad a 4 e 6 facce) S avrà M [ X ] s poteva prevedere questo rsultato?...) sempo: Cosderamo due varabl casual così defte: X Y P X ) P Y ) I loro valor med cocdoo, fatt: 3 M X ) e M Y ) Ma l comportameto delle due varabl è dverso: la prma assume valor prossm alla meda a dffereza della secoda. S dce che la varabltà dspersoe) d Y è maggore d quella d X. Cò può essere evdezato cosderado gl scart del valor medo co le rspettve probabltà. Idchamo co X MX) e Y MY) le varabl casual scarto d X e d Y. SX MX) X M X )) 0 5 P SY MY) Y M Y)) 5 0 P Vsto che l valore medo, essedo uguale, o forsce formazo sulla loro varabltà, cosderamo l valore medo degl scart: 3 M X M X )) e M Y M Y ))

10 Ma etramb soo ull e qud o forscoo essua formazoe. Poché ua varable casuale X, se o è costate, assume sa valor mor della meda sa valor maggor della meda, tutvamete s può gustfcare l aullars del valor medo della varable casuale scarto co la compesazoe tra valor postv e valor egatv. serczo: Scrvamo ora la varable scarto S della varable aleatora vsta all zo laco d due dad): S PX) Cotrollare che ache questo caso la meda degl scart è zero. Dmostramo qud l seguete teorema: Teorema: la MDIA d S è uguale a zero. µ µ µ µ Dm: La MDIA d S sarà M [ S] x ) p x p p p 0 Def: s chama VARIANZA d ua varable aleatora X la meda de quadrat degl scart: VAR[ X ] x µ ) p Oss: Se valor d X o soo tutt ugual alla MDIA, allora la VAR [X ] rsulta sempre u umero postvo e tato pù grade quato pù valor d X s dscostao dalla MDIA, coè quato maggore è la dspersoe. Def: s dce SCARTO QUADRATICO MDIO o DVIAZION STANDARD d ua varable aleatora la radce quadrata della varaza: σ VAR[X ] Teorema : S ha la seguete relazoe VAR X M X [ ] [ ] µ Dm: VAR[ X ] x µ ) p x µ x + µ ) p x p µ x p + µ p M [ X ] µ + µ M[ ] µ cvd X sempo: calcolamo la VARIANZA del laco de due dad e due mod sopra descrtt. Co la defzoe, Co l teorema s avrà 00 5 VAR [ X ] [ X ] µ µ VAR cvd DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÁ Dstrbuzoe UNIFORM GOMTRICA Def.: S dce che ua varable casuale dscreta X, co valor,,,, ha ua dstrbuzoe d probabltà uforme se tutt suo valor hao la stessa probabltà P X ) + S può dmostrare che M [ X ] µ var[ X ] Dstrbuzoe BINOMIAL o d Beroull) Def.: S dce che ua varable casuale dscreta X, co valor 0,,,,, ha ua dstrbuzoe d probabltà bomale d parametr e p se P X ) p p) Ua varable casuale co dstrbuzoe bomale descrve l umero d volte che s può verfcare u eveto aleatoro d probabltà p su prove. UNA SOLA PROVA: X 0 PX) q p 0

11 M [ X ] µ 0 q + p p [ X M X )] ) p q + p) p p q + q p pq p + q) pq VAR [ X ] M PROV corrspodoo alla somma d varabl casual dpedet M X ] µ p VAR X ] pq p p σ X ) pq p p [ [ ) ) Dstrbuzoe d POISSON d parametro Problema: suppoamo che l umero medo d persoe che ua matta vao all uffco postale sa 0. Qual è la probabltà che ua matta all uffco postale arrvo 8 persoe? Il problema potrebbe essere rsolto co la legge della varable bomale fssado u N abbastaza grade che dca l umero massmo d persoe u goro e prededo p come probabltà che s verfch N l eveto ua persoa va all uffco postale. I realtà N o ha lmte superore tede all fto) qud è preferble mpostare l problema modo dverso. Def: s chama dstrbuzoe d Posso d parametro > 0 la dstrbuzoe d probabltà d ua varable aleatora che assume valor 0,,, così defta: X ) e! Idcheremo questa varable aleatora co X P ) e! + 0 possble dmostrare che, come og dstrbuzoe d probabltà, +!! Ifatt e e e ) e e 0 + 0!! x x 3 x!! 3! !! 3! 3 3! s è sfruttato lo svluppo e x che, sosttuedo a x, può essere utlzzato ache per u approssmazoe d e, coè e... ) La dstrbuzoe d probabltà d Posso assocata ad ua varable aleatora è llmtata ed è spesso utlzzata per approssmare la dstrbuzoe bomale d parametr e p quado è molto grade e/o p è pccolo. I questo caso è l valor medo della bomale coè p. La dstrbuzoe d Posso vee ache chamata dstrbuzoe degl evet rar perché è utlzzata per evet co probabltà molto pccola. possble dmostrare che ella dstrbuzoe d Posso M [ X ] VAR[ X ] e che all aumetare d la dstrbuzoe d probabltà tede a dvetare smmetrca attoro al valore medo. Soluzoe problema zale: cosderata la legge d Posso P0) s avrà p X 8) e 0,599. Voledo calcolare la probabltà 8! che ella mattata o arrv essuo s ottee: X 0) e 4,5 0 0!

12 Dstrbuzoe GOMTRICA d parametro p Cosderamo u processo d Beroull d parametro p, llmtato. La varable aleatora X che cota l umero d prove ecessare per avere l prmo successo s chama varable aleatora geometrca d parametro p, e s dca co X Gp). La varable aleatora geometrca può essere rappresetata el seguete modo: X 3 4 PX) p pq pq pq 3. pq -. co,,. la dmostrazoe è lascata come eserczo) qud s ha che p X ) pq. Il grafco che rappreseta la varable geometrca è del tpo questo caso partcolare s ha p0,3) : S dmostra che ache questo caso p. Ifatt: p p + pq + pq + pq p + q + q + q ) Tra le paretes tode s ha la somma degl ft term d ua progressoe geometrca cu l prmo terme è e la ragoe è q, qud la somma d quest ft term s può calcolare : q lm S lm + + q q q s tega presete che q è u umero more d e l adameto delle fuzoe yq ). Qud la somma d tutte le probabltà vale : p p + q + q + q p +...) p p 3. Oss. S dmostra che l valor medo d ua varable geometrca d parametro p vale M[X] p. s. S cosder l laco d u dado a 6 facce e l eveto esce l umero 4. Qual è la probabltà che l prmo 4 s ottega al decmo laco? S tratta d ua varable geometrca X G. La probabltà rchesta s calcola: P X 0) p q 0,

13 . Ua maccha d precsoe produce pezz d rcambo per auto co ua percetuale par all % de pezz dfettos. Su ua produzoe goralera d 300 pezz, s chede qual è la probabltà d avere 4 pezz dfettos. Calcolare la speraza matematca, la varaza e la devazoe stadard della v. aleatora cosderata. 0,689; 3;,97;,73. All arrvo ell aeroporto terazoale d Caglar, passegger trastao per la dogaa alla meda d og 30 secod. Assumedo che l umero de passegger che attraversao la dogaa u dato tervallo d tempo abba ua dstrbuzoe d Posso, determare la probabltà che a) o pù d passegger abbao attraversato la dogaa, sempre u perodo d 30 secod; b) l umero d passegger che attraversao la dogaa u perodo d 30 secod sa compreso tra e 4 0,677; 0,8 3. Il umero medo d chamate che arrvao ad u cetralo telefoco u ora è 300. Sapedo che l umero d chamate che arrvao allo stesso cetralo u muto segue ua dstrbuzoe d Posso, calcolare la probabltà che u muto o arrvo pù d chamate 0,5 4. La dstrbuzoe degl error u testo dattloscrtto s può rteere co buoa approssmazoe ua varable d Posso. Suppoedo che u lbro s rscotr la preseza, meda, d.4 error per paga determare la probabltà d avere o pù d error per paga 0, Ua coppa s sottopoe alla semazoe artfcale e la probabltà d ua gravdaza è d 0.5 per og tetatvo. Quato vale la probabltà che s abba ua gravdaza al quto tetatvo? Quato vale la probabltà d avere u esto postvo tra l secodo e l quarto tetatvo? 0,0783; 0,38 6. U arcere ha la probabltà d fare cetro par all 80% e tra tre frecce. Costrure la varable aleatora che cota l umer d cetr fatt e determare meda e varaza verfcado che valgoo p e pq) 7. Data la seguete varable aleatora X PX) calcola, la meda e la varaza. 0,;,5; 3,3 8. S cosder la seguete dstrbuzoe d 50 dvdu classfcat secodo l ammssoe ad u corso e la lettura d u partcolare quotdao ecoomco Determare: a) La probabltà d essere ammess al corso b)la probabltà d leggere u quotdao ecoomco c) La probabltà d o essere ammess al corso e d leggere u quotdao ecoomco d) Scegledo due persoe che leggoo l quotdao ecoomco, costrure la varable aleatora che cota l umero d persoe che soo state ammesse al corso e trovare l suo valor medo. 0,40;0,56;0,4;X0,, 9. S cosder d lacare 0 volte ua freccetta verso u bersaglo fsso. Suppoedo che la probabltà d cetrare l bersaglo sa uguale a /6 determare: a)la probabltà d cetrare esattamete l bersaglo volte b)la probabltà d cetrare l bersaglo pù d volte c)la probabltà d cetrare l bersaglo al massmo volta 0,907;0,48;0,4845; 0. I u muto, al chec- d u aeroporto passao, meda, due passegger. Ipotzzado che passegger seguao la dstrbuzoe d Posso, determare: a) la probabltà che l umero de passagg u muto sa ferore a 3 b) la probabltà che l umero d passagg u muto sa superore a 0,6767;0,333. S lacao due dad e s vcoo 30 euro se escoo due umer ugual, altrmet s pagao 8 euro. Il goco è equo? Quato s dovrebbe pagare affché rsult equo? No;6 euro. Al goco del lotto lo stato paga 50 volte la posta per u ambo. Dopo aver verfcato che ovvamete l goco o è equo, stablre quate volte lo stato dovrebbe pagare la posta el caso d goco equo. 400,5 3. U ura cotee 5 palle che portao umer,,3,6,7. straamo cosecutvamete due palle seza rmettere ell ura la prma palla estratta e cosderamo come varable casuale x l valore more de due umer estratt. Calcolare la meda e la varaza d X,;,6 µ X σ Modfcare ora la varable X costruedo la varable Y e calcolare la uova meda e la uova varaza 3