Corso di ordinamento- Sessione ordinaria - a.s

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1 Corso di ordinmento- essione ordinri - s EAME DI TATO DI LICEO CIENTIFICO CORO DI ORDINAMENTO Tem di: MATEMATICA s PROBLEMA Il tringolo rettngolo ABC h l ipotenus AB e l ngolo ˆ C AB ) i descriv, internmente l tringolo, con centro in B e rggio, l rco di circonferenz di estremi P e Q rispettivmente su AB e su BC i poi R l intersezione con il cteto CA dell rco di circonferenz di centro A e rggio AP i specifichino le limitzioni d imporre d ffinchè l truzione si relizzbile b) i esprim in funzione di l re del qudriltero mistilineo PQCR e si trovi qule si il vlore minimo e qule il vlore mssimo di () c) Tr i rettngoli con un lto su AB e i vertici del lto opposto su ciscuno dei due cteti si determini quello di re mssim d) Il tringolo ABC è l bse di un solido W i clcoli il volume di W spendo che le sue sezioni, ottenute tglindolo con pini perpendicolri d AB, sono tutti qudrti PROBLEMA Assegnto nel pino il semicerchio Γ di centro C e dimetro AB, si ffrontino le seguenti questioni: ) i disegni nello stesso semipino di Γ un secondo semicerchio Γ tngente d AB in C e di ugule rggio i clcoli l re dell insieme pino intersezione dei due semicerchi Γ e Γ wwwmtemticmenteit

2 Corso di ordinmento- essione ordinri - s b) i trovi il rettngolo di re mssim inscritto in Γ c) i P un punto dell semicirconferenz di Γ, H l su proiezione ortogonle su AB i pong P CB ˆ e si esprimno in funzione di le ree di e dei tringoli APH e PCH i clcoli il rpporto f d) i studi f() e se ne disegni il grfico prescindendo di limiti geometrici del problem QUETIONARIO ) i consideri l seguente proposizione: e due solidi hnno ugule volume, llor, tgliti d un fscio di pini prlleli, intercettno su di essi sezioni di ugule re i dic se ess è ver o fls e si motivi esurientemente l rispost ) Ricordndo che il lto del decgono regolre inscritto in un cerchio è sezione ure del rggio, si 5 provi che sin 0 ) Fr le csseruole, di form cilindric, venti l stess superficie (quell lterle più il fondo) qul è quell di volume mssimo? ) i espong l regol del mrchese de L Hôpitl (66 70) e l si pplichi per dimostrre che è: 00 lim 0 5) i determini un polinomio P() di terzo grdo tle che: P ( 0) P' ( 0) 0, P( ) 0 e P d 0 n n n 6) e,, con n > sono in progressione ritmetic, qul è il vlore di n? 7) i determini, l vrire di k, il numero delle soluzioni reli dell equzione: k 0 ) i f l funzione definit d ( ) f i precisi il dominio di f e si stbilisc il segno delle wwwmtemticmenteit

3 Corso di ordinmento- essione ordinri - s sue derivte, prim e second, nel punto 9) i f ; esiste f lim? i giustifichi l rispost 0) econdo il codice dell strd il segnle di slit ripid (fig sotto) prevverte di un trtto di strd con pendenz tle d tituire pericolo L pendenz vi `e espress in percentule e nell esempio è 0% e si st relizzndo un strd rettiline che, con un percorso di, km, super un dislivello di 5m, qul è l su inclinzione (in grdi sessgesimli)? Qule l percentule d riportre sul segnle? wwwmtemticmenteit

4 Corso di ordinmento- essione ordinri - s PROBLEMA Il tringolo rettngolo ABC h l ipotenus AB e l ngolo ˆ C AB Punto i descriv, internmente l tringolo, con centro in B e rggio, l rco di circonferenz di estremi P e Q rispettivmente su AB e su BC i poi R l intersezione con il cteto CA dell rco di circonferenz di centro A e rggio AP i specifichino le limitzioni d imporre d ffinchè l truzione si relizzbile Considerimo l figur sottostnte: L truzione è relizzbile se i punti Q ed R si trovno entrmbi internmente i cteti BC ed AC In prticolre se Q C AC sin 6 d cui BC sin, mentre se R C In conclusione ffinchè l truzione si relizzbile si deve imporre Punto b i esprim in funzione di l re del qudriltero mistilineo PQCR e si trovi qule si il vlore minimo e qule il vlore mssimo di () Considerimo l figur seguente: L re del qudriltero PQCR è clcolbile come differenz tr l re del tringolo rettngolo ABC wwwmtemticmenteit

5 Corso di ordinmento- essione ordinri - s wwwmtemticmenteit 5 e l re dei due settori circolri Circ ett PAR e Circ ett PBQ In prticolre si h: ( ) 6 6 Circ ett Circ ett PBQ PAR ABC per cui ( ) ( ) con L funzione re ( ) è un prbol con concvità verso il bsso, per cui ess rggiunge il suo mssimo nell sciss del vertice ed in prticolre m cui corrisponde ( ) m Un ltro modo per clcolre il vlore mssimo è sfruttre le derivte; le derivte prim e second dell funzione re sono ( ) ' ed ( ) R < 0 ' ' Tenendo conto dell limitzione geometric l funzione re è strettmente crescente in,, strettmente decrescente in, e si nnull in in cui ssume il vlore mssimo Per qunto rigurd il vlore minimo, può essere rggiunto solmente in uno degli estremi dell intervllo, ; in prticolre 7 6, 6 Or < per cui l re minim l si h per e vle ( ) min 7 6 Punto c Tr i rettngoli con un lto su AB e i vertici del lto opposto su ciscuno dei due cteti si determini quello di re mssim

6 Corso di ordinmento- essione ordinri - s Considerimo l figur seguente: I tringoli CGF e CAB sono simili per cui vle l proporzione CH : AB CK : GF M ABC AB, CH per cui i limiti geometrico impongono che y 0, Or CK CH y y mentre dll proporzione ricvimo GF y AB CK y L re del rettngolo DEFG è llor CH R ( y) y y con y 0, L re del rettngolo è un prbol con concvità verso il bsso, per cui ess rggiunge il suo mssimo nell sciss del vertice ed in prticolre y m cui corrisponde ( ) R y m Allo stesso risultto si giunge se si 6 pplic il metodo delle derivte Punto d Il tringolo ABC è l bse di un solido W i clcoli il volume di W spendo che le sue sezioni, ottenute tglindolo con pini perpendicolri d AB, sono tutti qudrti Il volume può essere clcolto per due strde: sfruttndo nozioni di nlisi o di geometri solid Volume ttrverso nozioni di nlisi Considerimo l figur sottostnte: wwwmtemticmenteit 6

7 Corso di ordinmento- essione ordinri - s ppimo che L tn AH, per cui se 0, il lto del qudrto sezione srà pri cui corrisponde l re del qudrto sezione ( ) A Q L ; se, tn 6 il lto del qudrto sezione srà pri ( ) ( ) qudrto sezione ( ) L A Q L Quindi l funzione re vle: A Q In tl modo il volume richiesto srà: 0 ( ) 0 ( ) ( ) [ ] ( ) Q d V A d d Volume ttrverso nozioni di geometri cui corrisponde l re del Il solido W che si ottiene può essere pensto come composto d due pirmidi bse-bse, cioè pirmidi incollte trmite le bsi L prim pirmide h ltezz AH, mentre l second h ltezz BH Per cui il volume totle è l somm dei due volumi delle due pirmidi componenti ed in prticolre: 6 V AH CH HB CH AB CH come già provto 6 wwwmtemticmenteit 7

8 Corso di ordinmento- essione ordinri - s PROBLEMA Assegnto nel pino il semicerchio Γ di centro C e dimetro AB, si ffrontino le seguenti questioni: Punto i disegni nello stesso semipino di Γ un secondo semicerchio Γ tngente d AB in C e di ugule rggio i clcoli l re dell insieme pino intersezione dei due semicerchi Γ e Γ L re richiest può essere clcolt in due modi possibili: per vi geometric e per vi nlitic Mostrimo entrmbe le soluzioni Vi geometric Considerimo l figur sottostnte: L re tr le due circonferenze, per simmetri è il doppio dell differenz tr l re del settore circolre ECD ett Circ e l re del tringolo ECD Notimo che il tringolo CDC è equiltero di lto unitrio per truzione, per cui l pertur del settore circolre ECD ett Circ è ; l re del settore ECD ett Circ di rggio unitrio ed pertur è ECD ett ; per clcolre l re del Circ tringolo ECD, notimo che h bse sin ed ltezz sin 6 per cui vrà re In conclusione l re tr i due semicerchi è, Vi nlitic L vi nlitic consiste nel considerre i due semicerchi in un sistem di riferimento crtesino Il sistem di riferimento più semplice h origine coincidente col centro C del semicerchio Γ che vrà il dimetro AB di estremi A (,0), B (,0 ) Di conseguenz l circonferenz frontier wwwmtemticmenteit

9 Corso di ordinmento- essione ordinri - s di Γ vrà equzione y Il semicerchio Γ h centro C in ' ( 0,) C e rggio nch esso unitrio per cui l circonferenz frontier di Γ vrà equzione ( y ) y 0 y come nel grfico sottostnte evidenzito Le intersezioni tr i due semicerchi si trovno mettendo sistem le due equzioni: E, D : y y y sottrendo l prim ll second y 0 y Or notimo che nel semipino y y, mentre nel semipino E D,, y > l circonferenz Γ è rppresentt dll equzione y < l circonferenz Γ è rppresentt dll equzione In tl modo l re rcchius di semicerchi è [ ( )] d d d d Il primo integrle lo clcolimo ttrverso il metodo di integrzione per prti Integrndo si h: d d d d d rcsin d D cui wwwmtemticmenteit 9

10 Corso di ordinmento- essione ordinri - s L re srà llor pri : d k rcsin( ) d k rcsin( ) d [ rcsin ] 0 Integrndo pri 0 d Punto b i trovi il rettngolo di re mssim inscritto in Γ Il rettngolo di re mssim può essere trovto ttrverso differenti soluzioni e ne presenternno : Uso dell geometri nlitic e dell nlisi i consideri l figur sottostnte in cui il rettngolo e l semicirconferenz sono rppresentti in un sistem di riferimento crtesino con l origine coincidente con il centro dell semicirconferenz: L bse HI del rettngolo FGHI si trov sull rett generic di equzione y k, k ] 0,[ punti di intersezione di suddett rett con l circonferenz di equzione y sono rispettivmente H ( k, k), I ( k, k) F ( k,0), G ( k,0) b, mentre F e G hnno coordinte Con queste coordinte l bse del rettngolo srà pri FG HI k, e l ltezz ] 0,[ k h HG IF k k L re del rettngolo è I wwwmtemticmenteit 0

11 Corso di ordinmento- essione ordinri - s llor ( k) k k con k ] 0,[ k dell derivt prim: ( ) ( k ) ' k Mssimizzimo l funzione re ttrverso il clcolo k per cui in 0, l funzione k k è strettmente crescente, in, è strettmente decrescente e si nnull in ssume il vlore mssimo Quindi il rettngolo di re mssim k in cui h vertici G,0, H,, I,, F, 0 ed il rettngolo di re mssim è tituito d due qudrti di lto ed re Pertnto il rettngolo h re mssim unitri Uso dell trigonometri i consideri l figur sottostnte: L limitzione geometric impone α 0, In tl cso per il teorem sui tringoli rettngoli OG ( α ), HG sin( α ) ( α ) FG HG OG HG ( α ) sin( α ) sin( α ) seno, ess è mssim qundo sin ( ) per, per cui, ed essendo l re un funzione α e quindi qundo α k α k e 0, α il vlore ccettbile è α in corrispondenz del qule l bse del rettngolo vle FG e l ltezz HG Uso dell geometri elementre e dell nlisi i consideri l figur sottostnte: wwwmtemticmenteit

12 Corso di ordinmento- essione ordinri - s Ponimo l bse del rettngolo queste ssunzioni AF ( ), FB ( ) IF FG L limitzione geometric impone 0 < < Con, per cui per il teorem di Euclide HG ( ) ( ) L re del rettngolo è llor 0 < < si h d cui ( ) e poiché L mssimizzzione dell funzione re, come già mostrto, può essere effettut trmite le derivte; non seguiremo quest strd m mostreremo un strd lterntiv Mssimizzre ( ) mssimizzre l funzione rdicndo r ( ); l funzione numeri somm tnte (e pri : ( ) qundo i due numeri sono uguli e quindi qundo ( ) è equivlente r è il prodotto di due ) per cui il loro prodotto è mssimo d cui ± ; l soluzione negtiv v scrtt per cui l re del rettngolo è mssim qundo e quindi qundo FG, IG e vle Punto c i P un punto dell semicirconferenz di Γ, H l su proiezione ortogonle su AB i pong P CB ˆ e si esprimno in funzione di le ree di e dei tringoli APH e PCH i clcoli il rpporto f ino, y due numeri positivi l cui somm è y s ed il cui prodotto è y p Dll somm si ricv y s che sostituito nel prodotto fornisce p ( s ) ; pertnto il prodotto è un prbol con concvità verso s s il bsso e con mssimo rggiunto per cui corrisponde y wwwmtemticmenteit

13 Corso di ordinmento- essione ordinri - s Per rispondere l quesito dobbimo distinguere i due csi corrispondenti rispettivmente ll considerzioni di un ngolo P CB ˆ cuto 0 < < od ottuso < < I cso: P CB ˆ cuto 0 < < L figur d considerre è l seguente: ed In tl cso CH, PH sin, AH per cui ( ) sin sin per cui f II cso: P CB ˆ ottuso < < L figur d considerre è l seguente: In tl cso CH ( ), PH sin, AH per cui ( ) sin ed sin per cui f In conclusione, contemplndo entrmbi i csi, l funzione rpporto tr le due ree è f ( ) In reltà, dt l non negtività di le due ree può in conclusione essere f, l funzione rpporto tr con wwwmtemticmenteit

14 Corso di ordinmento- essione ordinri - s ,, Punto d i studi f() e se ne disegni il grfico prescindendo di limiti geometrici del problem Per lo studio dell funzione ( ) f, bst studire l funzione f momento che il grfico di ( ) f si ricv d quello di f, dl ribltndo verso le ordinte positive le prti di grfico l di sotto dell sse delle scisse A tl rigurdo studimo l funzione ( ) f nell intervllo [, ] periodo T ; Dominio: ( ) 0 0,,, Eventuli simmetrie: l funzione è pri: inftti Intersezioni sse scisse: Intersezioni sse ordinte: 0 y ; Positività: 0 visto che risult essere periodic con ( ) ( ) f 0 f f ; ; f 0 > 0 0, ; Asintoti verticli: le rette lim lim, lim, lim Asintoti orizzontli: non ce ne sono; Asintoti obliqui: non ce ne sono;, sono sintoti verticli; inftti ' Crescenz e decrescenz: f ' sin f > 0 0 < < < < e si nnull in ; sin per cui wwwmtemticmenteit

15 Corso di ordinmento- essione ordinri - s '' Flessi: l derivt second è f '' flessi tngente obliqu; inoltre ( ) < 0 in (,0) e nessun flesso tngente orizzontle sin per cui, non nnullndosi mi, non ci sono f pertnto l funzione mmette un mssimo Il grfico, in cui si è considerto che l funzione è periodic con periodo presentto nell intervllo [, ] : T, è di seguito Il grfico di f è di seguito riportto: wwwmtemticmenteit 5

16 Corso di ordinmento- essione ordinri - s wwwmtemticmenteit 6

17 Corso di ordinmento- essione ordinri - s QUETIONARIO Quesito i consideri l seguente proposizione: e due solidi hnno ugule volume, llor, tgliti d un fscio di pini prlleli, intercettno su di essi sezioni di ugule re i dic se ess è ver o fls e si motivi esurientemente l rispost L proposizione è fls in qunto si trtt dell proposizione invers del Principio di Cvlieri che ponev un condizione sufficiente m non necessri per l equiestensione dei solidi Inftti il principio suddetto ì recitv: "e due solidi hnno ugule ltezz e se le sezioni tglite d pini prlleli lle bsi e ugulmente distnti d queste stnno sempre in un dto rpporto, nche i volumi dei solidi strnno in questo rpporto" Per dimostrre l flsità dell proposizione, bst considerre due prllelepipedi con le stesse dimensioni, e quindi con stesso volume, che poggino su bsi differenti come lto Quesito Ricordndo che il lto del decgono regolre inscritto in un cerchio è sezione ure del rggio, si provi che sin 0 5 Considerimo l figur sottostnte: wwwmtemticmenteit 7

18 Corso di ordinmento- essione ordinri - s L ngolo ˆ A OB in qunto dell ngolo giro Il lto AB è l sezione ure del rggio per cui AB d cui 5 AB MA M per il teorem dei seni MA AO sin sin d cui per confronto si ricv sin 0 Quesito Fr le csseruole, di form cilindric, venti l stess superficie (quell lterle più il fondo) qul è quell di volume mssimo? i consideri il cilindro sottostnte di rggio r ed ltezz h: L superficie ed il volume del cilindro srnno: V r hr rh Dll superficie ricvimo l ltezz r h con r 0 < r < e sostituendo nel volume si h V () r r r r r r Derivndo il volume in funzione del rggio si h V ' () r r per cui l funzione risult strettmente crescente in 0,, strettmente decrescente in, e si nnull in r Inoltre V '' [ r ] < 0 r, per cui l csseruol di volume mssimo è quell per cui wwwmtemticmenteit

19 Corso di ordinmento- essione ordinri - s r ed il volume mssimo vle V m Quesito i espong l regol del mrchese de L Hôpitl (66 70) e l si pplichi per dimostrre che è: Enuncimo l regol di de L Hôpitl: e due funzioni f e 0 lim 00 0 g definite in un intorno di, sono derivbili in tle intorno, con g ' ; se le due funzioni, per tendono entrmbe 0 o e se esiste il limite del rpporto delle derivte delle funzioni dte, ( ) ( ) f ' g', llor esiste nche il limite del rpporto delle f f f ' funzioni e vle lim lim g g g' Nel cso in esme è possibile pplicre tle teorem e, dopo verlo pplicto 00 volte si h 00 00! n n lim lim 0 D n se n, D ln 00 ( ln ) Quesito 5 i determini un polinomio P() di terzo grdo tle che: P dl momento che [ ] [ ] ( 0) P' ( 0) 0, P( ) 0 e P d 0 Il generico polinomio di terzo grdo p un cubic di equzione y b c d, l cui derivt prim è l prbol y ' b c inoltre P() 0 b 0 per cui il polinomio divent y ( ) P d ricvimo ( ) b ], 0[ ] 0,[ Or P ( 0 ) 0 d 0, mentre '( 0) 0 c 0 P ; Imponendo l condizione d d cui per confronto si ottiene 0 Il polinomio è quindi y ( ) 0 Tle funzione è strettmente positiv in, ssume un minimo in (0,0), un mssimo in, 7 grfico di seguito ed un flesso in, Il 9 wwwmtemticmenteit 9

20 Corso di ordinmento- essione ordinri - s Quesito 6 n n n e,, con n > sono in progressione ritmetic, qul è il vlore di n? Ricordimo che un successione n è in progressione ritmetic qundo l differenz tr un suo elemento ed il precedente è pri d un tnte, dett rgione Questo equivle nel nostro cso porre che n n n n coefficiente binomile si h: n n n e quindi 0 Applicndo l definizione di n ( n )( n ) n( n ) ( n 9n ) n( n )( n 7) 0 n 0, n, n 7 6 n 0 d cui si ricv n, Dovendo essere n > l soluzione ccettbile è n 7 Inftti 6 Quesito e 7 i determini, l vrire di k, il numero delle soluzioni reli dell equzione: k 0 i trtt di discutere il sistem y k y L rett y k è prllel ll sse delle scisse, mentre l curv di equzione y è un cubic definit in tutto R, che intersec le scisse in 0,, le ordinte in (0,0), è positiv o ugule zero per, non present sintoti, present un minimo in m ( 0,0), un mssimo in M (,) ed un flesso in (,) grfico sottostnte che rppresent l cubic: Considerimo il wwwmtemticmenteit 0

21 Corso di ordinmento- essione ordinri - s Dl grfico si notno le seguenti soluzioni: k > : soluzione negtiv k : soluzioni di cui un negtiv e due coincidenti pri 0 < k < : soluzioni di cui un negtiv e due positive distinte k 0 : soluzioni di cui un positiv e pri e due coincidenti pri 0 k < 0 : soluzione positiv Rissumendo si h: k < 0 k > : soluzione 0 k : soluzioni Quesito i f l funzione definit d ( ) sue derivte, prim e second, nel punto wwwmtemticmenteit f i precisi il dominio di f e si stbilisc il segno delle L funzione in esme può essere ì scritt: f f in cui il dominio di f tutto R, mentre il dominio di ( ) dominio Le derivte sono: f ' f '' R e cioè (, ) ln 0 ln ( ) e vlutte per forniscono f è f è R ; quindi nche l funzione differenz h come

22 Corso di ordinmento- essione ordinri - s f ' f '' ( ) ln ( ln ) ( ) ln ( ) ( ln ) Or essendo > e ln > ln e per cui entrmbe le derivte in ssumono vlore positivo Quesito 9 i f ; esiste lim f? i giustifichi l rispost L funzione f h come dominio /{ } riscritt: Or > f < lim lim lim lim ( ) ( ) R e può essere ì e poiché i limiti sono diversi concludimo che il limite richiesto non esiste L figur di seguito present l discontinuità di prim specie dell funzione in esme wwwmtemticmenteit

23 Corso di ordinmento- essione ordinri - s Quesito 0 econdo il codice dell strd il segnle di slit ripid (fig sotto) prevverte di un trtto di strd con pendenz tle d tituire pericolo L pendenz vi `e espress in percentule e nell esempio è 0% e si st relizzndo un strd rettiline che, con un percorso di, km, super un dislivello di 5m, qul è l su inclinzione (in grdi sessgesimli)? Qule l percentule d riportre sul segnle? Considerimo l figur sottostnte: Per ipotesi AB, km, BC5m Per il teorem di Pitgor AC , 99m, per cui l percentule di inclinzione è 5 5 p % 7,%, mentre l ngolo di inclinzione vle α rctn, 06 96,99 96,99 wwwmtemticmenteit