x x x f(x) 5-f(x) Approccio Intuitivo Man mano il valore di x si avvicina a x 0 il valore di f(x) si avvicina a L

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1 Deinizione imite Approccio Intuitivo ( ) Man mano il valore di si avvicina a il valore di () si avvicina a ( ) Possiamo precisare meglio: 5 ( 2 ) 5 () 5-(), ,87459,2549,99 4,96,399, ,98736,2639,999 4,996,3999, ,998735,265,9999 4,9996,4, ,999874,26, ,99996,4

2 Deinizione imite 2 y ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) 2

3 y 2 ( ) Deinizione imite 2 ± ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3

4 Deinizione imite 3 e altre combinazioni : ( ) ( ) ( ) ( ) Esempi: 2 3 y y y ln( ) ln ± 4

5 Deinizione Unitaria (Topologica) Deinizione imite 4 : A X Y ' Sia e sia (insieme derivato di A) allora vale: A ( ) Se per ogni intorno U Y () issato, esiste un intorno U X ( ) tale che [ U ( )] ( ) X U Y 5

6 In R, nel caso di ed initi abbiamo: U X U Y ( ) ( ) U Deinizione imite 5 Diventa un intorno serico di di raggio δ ( ) { δ < < δ } δ : Diventa un intorno serico di di raggio ε ( ) { ε < < ε} U : ε Per cui la deinizione diventa (deinizione ε-δ di Cauchy - Weierstrass): e quindi: ( ) U ( ): ( U ( )) U ( ) Uε δ δ ε > δ : : < δ ( ) < ε ε 6

7 imiti inito inito ε -ε ( ) -δ δ ( ) U ( ): ( U ( )) U ( ) U ε δ ε > δ : : < δ ( ) < ε δ ε 7

8 imiti, inito ( ) ε -ε H U ε ( ) U ( ) : ( U ( ) ) U ( ) ε > H : : > H ( ) < ε in questo caso diciamo che y è un Asintoto Orizzontale per () a ε 8

9 imiti -, inito ε -ε ( ) H U ε ( ) U ( ) : ( U ( ) ) U ( ) ε > H : : < H ( ) < ε in questo caso diciamo che y è un Asintoto Orizzontale per ()a - ε 2 2 9

10 imiti inito, K ( ) -δ δ ( ) U ( ) ( U ( )) U ( ) U δ : δ K > δ : : < δ ( ) > K in questo caso diciamo che è un Asintoto Verticale per () 2 ( ) 2

11 imiti inito, - ( ) ( ) U ( ) ( U ( )) U ( ) U δ : δ K δ : : < δ ( ) < K in questo caso diciamo che è un Asintoto Verticale per () -δ δ ( ) K 2

12 imiti, ( ) K H U ( ) V ( ) : ( V ( ) ) U ( ) K > H > : : > H ( ) > K e 2

13 imiti -, K ( ) H U ( ) V ( ) : ( V ( ) ) U( ) K > H : : < H ( ) > K ( 3 ) 3

14 imiti -, - ( ) U ( ) V ( ) : ( V ( ) ) U( ) K H : : < H ( ) < K 3 H K 4

15 imiti, - ( ) U ( ) V ( ) : ( V ( ) ) U ( ) K H > : : > H ( ) < K log 2 H K 5

16 imite destro ( ) imite destro e sinistro ( ) Va scelto un intorno destro di ε > δ : : < < δ ( ) < ε K > δ : : < < ( ) > δ K imite Sinistro ( ) ε > δ : : δ < < ( ) < ε Va scelto un intorno sinistro di ( ) K > δ : : < < ( ) < δ K 6

17 imite per eccesso imite per eccesso e per dietto ( ) Va scelto un intorno destro di ε > δ : : < δ < ( ) < ε ( 2 ) imite per dietto ( ) Va scelto un intorno sinistro di ε > δ : : < δ ε < ( ) < ( ) 7

18 imiti di Successioni De. Una successione è una unzione da NR Es. : N R ad n associa ( n) : an n 2 a n a n n n È possibile avere i iti anche per le successioni, l unico punto di accumulazione di N è, per cui il ite si può are solo quando n tende a Si hanno allora 3 possibili risultati: a n n a ± n n a n n (inito) non esiste a successione è detta CONVERGENTE a successione è detta DIVERGENTE a successione è detta IRREGOARE 8

19 imiti di Successioni Convergenti a n n (inito) Es. n n n n n e Deinizione: U ε ( ), I ( ) tale che ( I( )) U ( ) ε ε >, K tale che n > K si ha a < ε n Es. n n n < ε n < ε n > ε Basta scegliere come K il più piccolo intero maggiore di /ε 9

20 a n n imiti di Successioni Divergenti ± Es. n n 3 ln n n Deinizione: U( ) [ ou( )], I ( ) tale ( I( )) U( ) [ ou( )] che K, H tale che n > H si ha a > K [o a K n n < ] Es. ln n n < k n n k ln < > e n k e Basta scegliere come h il più piccolo intero maggiore di /(ep(k)) 2

21 Successioni Irregolari Es. n n ( a n sin(n) a ) 2

22 Esistenza ed Unicità del imite Non sempre il ite di una unzione esiste: sin( ) ± non esiste sin( ) ± non esiste sin ± non esiste 22

23 Esistenza ed Unicità del imite 2 Non sempre il ite di una unzione esiste: non esiste Però: N.B. : non è necessario che la unzione sia deinita nel punto a cui tende la. unica richiesta è che questo valore sia un punto di accumulazione del campo di esistenza della unzione. sin( ) sin( ) ± 23

24 Esistenza ed Unicità del imite 2b/3 ( ) sin( ) 24

25 Esistenza ed Unicità del imite 3/3 Ainchè il ite di una unzione esista deve essere che il ite destro e sinistro esistano e che debbano essere uguali: ( ) ( ) ( ) Se una unzione è pari ed basta dimostrare l esistenza del ite destro ainché esista il ite. se () é pari allora : ( ) ( ) pari : ( ) y y ( y) ( y) con y 25

26 Teoremi sui imiti Teorema di unicità. Se una unzione ammette ite per tendente a, allora questo ite è unico Teorema (di esistenza per unzioni Monotone) [no DIM]. Se una unzione è monotona crescente in un intorno destro U ( ) del punto, allora esiste il suo ite per e vale: ( ) In U ( ) { ( ) } Teorema della permanenza del segno. Se una unzione ammette ite per tendente a, con positivo (negativo), allora esiste un intorno di in cui () è positiva (negativa). 26

27 Dimostrazione Teorema Unicità Teorema di unicità. Se una unzione ammette ite per tendente a, allora questo ite è unico Dim. Per assurdo ammettiamo l esistenza di due iti distinti ( ) Per la deinizione di ite abbiamo: Sia: ( ) 2 con 2, ( ) ε > δ : : < δ ( ) < ε ε < ( ) < ε ( 2) ε > δ2 : : < δ2 ( ) 2 < ε 2 ε < ( ) < 2 ε δ min( δ, δ2) Allora la () e la (2) valgono contemporaneamente per ogni : - <δ. Ne segue che per tali : Ma da ciò segue che: ε < ( < ε ) 2 ε > a qual cosa nega l arbitrarietà di ε. < 2 ε < ε c.v.d. 27

28 Dim. Sia : Dimostrazione Teorema Permanenza del segno Teorema della permanenza del segno. Se una unzione ammette ite per tendente a, con positivo (negativo), allora esiste un intorno di in cui () è positiva (negativa). ( ) > ε > U ( ) : U( ) ε < ( ) < ε Scegliamo ε, data l arbitrarietà,in modo tale che - ε>. Ne segue che la ()>. Dimostrazione analoga vale nel caso di negativo. c.v.d. 28

29 g( ) Teoremi sui imiti 2 Teorema (del conronto). Siano,g,h tre unzioni con punto di accumulazione dei loro tre insiemi di deinizione. Se: ) Se esiste un intorno U( ) tale che: g() () h() 2) Se Allora ( ) h( ) 29

30 Dimostrazione Teorema del conronto Teorema (del conronto). Siano,g,h tre unzioni con punto di accumulazione dei loro tre insiemi di deinizione. Se: ) Esiste un intorno U( ) tale che: g() () h() 2) Se Allora Dim. Se Se Allora: g( ) h( ) In particolare ( ) g( ) h( ) U U U 2 ( ) ε > U ( ) : U( ) ε < g( ) < ε ( 2) ε > U 2( ) : U2( ) ε < h( ) < ε ε < g( ) ( ) h( ) < ε ε < ( ) < ε Il che dimostra la tesi c.v.d. 3

31 g( ) Applicazioni: sin Teoremi sui imiti 3 Teorema (del conronto). Siano,g,h tre unzioni con punto di accumulazione dei loro tre insiemi di deinizione. Se: ) Esiste un intorno U( ) tale che: g() () h() 2) Se Allora sin( ) Poiché : [, ] ( ) h( ) k - < k sin < Poiché la unzione sin(/) è pari basta dimostrare il ite destro per U () sin 3

32 Teorema del conronto ( ) sin 32

33 imite Notevole sin()/ sin( ) Applicazioni: Poiché la unzione sin()/ è pari basta dimostrare il ite destro sin( ) < < tan( ) per U imite Notevole () O A C B D Dividendo per sin(): Poiché : < < per U sin( ) cos( ) sin( ) cos( ) < < per U cos( ) () () sin() AC sin( ) ) ) AD BD tan( ) 33