CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria Gestionale RETI CORRETTRICI

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1 CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria Gestionale RETI CORRETTRICI Ing. Federica Grossi Tel

2 Regolatori standard Alcune strutture standard di regolatori reti correttrici anticipo o ritardo 1 polo ed uno zero reali anticipo/ritardo due poli e due zeri reali distinti regolatori industriali Proporzionali (P) Integrali (I) Proporzionali-Integrali (PI) Proporzionali-Derivativi (PD) Proporzionali-Integrali-Derivativi (PID) Reti Correttrici -- 2

3 Phase deg Gain db Rete di anticipo (phase lead) Funzione di trasferimento: Si assume una rete a guadagno statico unitario / 1/ Spesso.1 m = 55 2 m 1 (rad/sec) Serve per migliorare il margine di fase La rete anticipatrice ha due effetti sulla funzione di anello: migliora il margine di fase intorno ad m effetto utile aumenta il guadagno per > 1/ effetto collaterale Reti Correttrici -- 3

4 Phase deg Gain db Rete di Anticipo (phase lead) Effetti sulla f.d.t. di anello 5-5 cresce c -1 G(s) L(s) (rad/sec) migliora M F effetto stabilizzante Sfasamento max = +9 Reti Correttrici -- 4

5 Phase (deg) Phase (deg) Magnitude (db) Magnitude (db) Ruolo dei parametri Variando il parametro si sposta il punto di intervento della rete lasciando fisso il livello di sfasamento positivo Variando il parametro si varia il livello e la posizione del picco di sfasamento positivo 15 fissato Bode Diagram 15 fissato Bode Diagram Frequency (rad/sec) Frequency (rad/sec) Reti Correttrici -- 5

6 Reti anticipatrici formule di inversione L obiettivo è di identificare delle formule per il progetto dei gradi di libertà (, ) al fine di assegnare una certa pulsazione di attraversamento e un certo margine di fase desiderati NOTA :La rete sfasa in anticipo e amplifica. Quindi la pulsazione di attraversamento desiderata c * deve essere >= a quella del sistema esteso e inoltre la fase del sistema esteso per = c * deve essere minore di -18 o + M f * (M f * margine di fase desiderato). Problema: Dati valori desiderati (M*, *, c *) (con M* > 1, < * < 9 o ) identificare le formule per trovare (, ) della rete che alla pulsazione = c * amplifichi di M* e sfasi di * Reti Correttrici -- 6

7 Reti anticipatrici formule di inversione I valori di (, ) che garantiscono un amplificazione pari a M* e uno sfasamento * (con M* > 1 e < * < 9 ) per = c * sono: Affinché = c * sia la pulsazione di rottura, vogliamo che per = c * si abbia guadagno unitario (in decibel db): M* G( c * ) =1 (in decibel M*dB+ G( c * ) db=) Affinché si abbia margine di fase desiderato (M f *) per = c * la fase dovrebbe essere -18 +M f * Lo sfasamento * da introdurre è quindi dato da * +arg(g( c * ))= -18 +M f * Reti Correttrici -- 7

8 Phase (deg) Magnitude (db) Reti anticipatrici formule di inversione Attenzione: non tutti gli sfasamenti < * < 9 o e le attenuazioni M*>1 possono essere arbitrariamente ottenuti con > e < <1. Infatti mentre è facile verificare che < * < 9 o e M* > 1 garantiscono che > e < 1, si ha che 2 Bode Diagram Frequency (rad/sec) Reti Correttrici -- 8

9 Reti anticipatrici formule di inversione Progetto mediante formule di inversione: Dati del problema: Sistema esteso G e (s) Pulsazione di attraversamento c * e margine di fase M f * Algoritmo per il progetto della rete anticipatrice Step1: Calcolare e (lettura diagramma di Bode) Step2: Calcolare Verificando che (ovvero che ) (ovvero che ) Step3: Calcolare (, ) mediante le formule di inversione Reti Correttrici -- 9

10 Phase (deg) Phase (deg) Magnitude (db) Magnitude (db) Esempio specifiche 1 Bode Diagram Bode Diagram Gm = 23.1 db (at 279 rad/sec), Pm = 51.2 deg (at 54.9 rad/sec) Frequency (rad/sec) -2 9 Sistema non compensato Sistema compensato Reti Correttrici -- 1 Frequency (rad/sec)

11 Phase (deg) Phase (deg) Magnitude (db) Magnitude (db) Esempio (code di assestamento) specifiche 4 Bode Diagram Bode Diagram Gm = Inf db (at Inf rad/sec), Pm = 73.5 deg (at 29.4 rad/sec) Frequency (rad/sec) La dinamica che ci si aspetta in retro e quella di una coppia cc con Frequency (rad/sec) Reti Correttrici -- 11

12 Imaginary Axis Phase (deg) Magnitude (db) 3 Bode Diagram Gm = Inf db (at Inf rad/sec), Pm = 73.5 deg (at 29.4 rad/sec) Root Locus Real Axis Zoom sistema compensato Frequency (rad/sec) Ci aspettiamo quindi che il sistema in retro abbia: 1. Coppia di poli cc 2. Coppia polo-zero reale molto vicini (quasi cancellazione!!) Reti Correttrici -- 12

13 Risposta al gradino del sistema in retro confrontata con quella di un sistema del 2 o ordine con pari guadagno statico e zoom Coda di assestamento Reti Correttrici -- 13

14 Effetti collaterali introdotti dallo zero La calibrazione della rete piazza lo zero strutturalmente a frequenza inferiore rispetto a quella di attraversamento desiderata. Questo ha due possibili conseguenze: 1) La rete contiene uno zero collocato strutturalmente a frequenza inferiore a quella di attraversamento 2) nella funzione di trasferimento del sistema in retroazione lo zero fungerà da attrattore per un polo dell impianto, quindi il sistema in retro potrebbe avere una coppia polo-zero con valori comparabili (quasi cancellazione) 3) La dinamica residua complessiva risulterà quindi più lenta di quella imposta con la frequenza di attraversamento: coda di assestamento Esempio precedente polo-zero della rete di anticipo Reti Correttrici -- 14

15 Effetto dello zero in reti anticipatrici: un rimedio La criticità o meno dello zero deve essere verificata di volta in volta valutando la posizione del polo del sistema in retro che tende verso lo zero e la posizione dello zero della rete rispetto alle specifiche sul tempo di assestamento e sulla sovraelongazioni Un rimedio spesso adottato (non sempre fattibile, da verificare caso per caso) e quello di mettere lo zero della rete in cancellazione con uno dei poli del sistema esteso (è opportuno scegliere il polo a frequenza inferiore alla c* prescelta più vicino ad essa) Esempio precedente: Avendo fissato lo zero rimane da scegliere il tuning del polo per soddisfare le specifiche su e Reti Correttrici -- 15

16 Phase deg Gain db Rete di Ritardo (phase lag) Funzione di trasferimento 1 =.1 G r = 1-1 1/ 1/ Effetto utile: attenuazione ad alta frequenza con sfasamento trascurabile m 1 La rete di ritardo ha due effetti sulla funzione di anello: riduce il guadagno per >1/ effetto utile (rad/sec) 5 in =1/ peggiora il margine di fase intorno ad effetto collaterale Reti Correttrici -- 16

17 Phase (deg) Phase (deg) Magnitude (db) Magnitude (db) Ruolo dei parametri Variando il parametro si sposta il punto di intervento della rete lasciando fisso il livello di attenuazione massimo Variando il parametro si varia il livello di attenuazione massima lasciando fisso il punto di intervento fissato Bode Diagram fissato Bode Diagram Frequency (rad/sec) Frequency (rad/sec) Reti Correttrici -- 17

18 Sintesi delle Reti di Ritardo db -2 Impianto + R 1-1 Si sfrutta l attenuazione senza accentuare il ritardo di fase il progetto della rete ritardatrice può praticamente essere eseguito imponendo l attraversamento ad una pulsazione desiderata senza alterare di troppo la fase c 1 Attenzione alla coppia polo/zero strutturalmente a frequenza più bassa di quella di taglio coda di assestamento si usa se M F non soddisfacente e c < 1 Reti Correttrici -- 18

19 Reti ritardatrici formule di inversione L obbiettivo è di identificare delle formule per il progetto dei gradi di libertà (, ) al fine di assegnare una certa pulsazione di attraversamento e un certo margine di fase desiderati NOTA :La rete attenua e sfasa in ritardo. Quindi la pulsazione di attraversamento desiderata c * deve essere <= a quella del sistema esteso e inoltre la fase del sistema esteso per = c * deve essere maggiore di -18 o + M f * (M f * margine di fase desiderato). Problema: Dati valori desiderati (M*, *, c *) (con < M* < 1, -9 < * < o ) identificare le formule per trovare (, ) della rete che alla pulsazione = c * attenui di M* e sfasi di * Reti Correttrici -- 19

20 Reti ritardatrice formule di inversione I valori di (, ) che garantiscono un attenuazione pari a M* e uno sfasamento * (con < M* < 1 e -9 o < * < ) per = c * sono: Affinché = c * sia la pulsazione di rottura, vogliamo che per = c * si abbia guadagno unitario (in decibel db): M* G( c * ) =1 (in decibel M*dB+ G( c * ) db=) Affinché si abbia margine di fase desiderato (M f *) per = c * la fase dovrebbe essere -18 +M f * Lo sfasamento * da introdurre è quindi dato da * +arg(g( c * ))= -18 +M f * Reti Correttrici -- 2

21 Phase (deg) Magnitude (db) Reti ritardatrici formule di inversione Attenzione: non tutti gli sfasamenti -9 o < * < o e le attenuazioni < M* <1 possono essere arbitrariamente ottenuti con > e < <1. Infatti mentre è facile verificare che -9 o < * < o e < M* <1 garantiscono che > e < 1, si ha che Bode Diagram Frequency (rad/sec) Reti Correttrici -- 21

22 Reti ritardatrici formule di inversione Progetto mediante formule di inversione: Dati del problema: Sistema esteso G e (s) Pulsazione di attraversamento c * e margine di fase M f * Algoritmo per il progetto della rete ritardatrice Step1: Calcolare e (lettura diagramma di Bode) Step2: Calcolare Verificando che (ovvero che ) (ovvero che ) Step3: Calcolare (, ) mediante le formule di inversione Reti Correttrici -- 22

23 Phase (deg) Phase (deg) Magnitude (db) Magnitude (db) Esempio specifiche 5 Bode Diagram Gm = db (at 1.1e+3 rad/sec), Pm = deg (at 1.38e+3 rad/sec) -5 5 Bode Diagram Frequency (rad/sec) Sistema non compensato Sistema compensato Frequency (rad/sec) Reti Correttrici -- 23

24 Effetti collaterali introdotti dallo zero La calibrazione della rete piazza lo zero strutturalmente a frequenza inferiore rispetto a quella di attraversamento desiderata. Questo ha due possibili conseguenze: 1) La rete contiene uno zero-polo collocati strutturalmente a frequenza inferiore a quella di attraversamento 2) nella funzione di trasferimento del sistema in retroazione lo zero potrà fungere da attrattore per il polo, quindi il sistema in retro potrebbe avere una coppia polo-zero con valori comparabili (quasi cancellazione) 3) La dinamica residua complessiva risulterà quindi più lenta di quella imposta con la frequenza di attraversamento: coda di assestamento Zero-polo della rete Reti Correttrici -- 24

25 Rete di Ritardo e Anticipo (lead-lag) Funzione di trasferimento Diagramma di Bode asintotico Im Re Log G(j ) a Arg[G(j )] log(w) Unione di rete di ritardo e di rete di anticipo log(w) Consente di aumentare il guadagno in bassa frequenza senza pregiudicare la banda passante ed il margine di fase Reti Correttrici -- 25

26 CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria Gestionale RETI CORRETTRICI FINE Ing. Federica Grossi Tel