Verifica di Fisica *

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1 Liceo Scientifico Paritario R. Bruni Padova, loc. Ponte di Brenta, 23/1/217 Verifica di Fisica * Classe V sez. A Soluzione Questionario. Risolvi tre dei sei uesiti proposti. Tutti i uesiti hanno il medesimo peso nella valutazione. 1. Dimostra che per immagazzinare una uantità di energia U in un solenoide ideale di volume V nel vuoto, occorre generare al suo interno un campo magnetico B di intensità pari a B 2µ U, V dove µ è la permeabilità magnetica nel vuoto. Calcola l intensità della corrente elettrica in ma che deve scorrere in un solenoide composto da 5 spire, di lunghezza 5, cm e volume 2 cm 3 affinché l energia in esso immagazzinata sia di 1,5 mj. [Esempio di simulazione MUR del 12/1/217, uesito 1] All interno di un solenoide cilindrico ideale, nel vuoto, di volume V, attraversato da una corrente continua, si genera al suo interno un campo magnetico uniforme B la cui intensità dipende solo dalla geometria del solenoide: N B µ l µ n, (*) dove N rappresenta il numero di spire, l la lunghezza del solenoide ed n la densità (lineare) di spira. l valore dell induttanza di un solenoide si ricava facilmente dalla definizione di induttanza: L Δφ B Δ NBS N l B ( Sl) n B V, dove S rappresenta la superficie di una singola spira del solenoide. Ricordando che l energia immagazzinata in un solenoide è U 1 2 L 2, * Valido per il recupero del debito formativo del primo periodo. 1 di 6

2 combinando le tre relazioni evidenziate trovo: U 1 2 L n B 2 V 1 2 nb V 1 ( µ 2µ n)b V 1 B 2 V. Quindi: 2µ 1 B 2 B 2 2µ U B 2µ U U V. (**) 2µ V V Visto che il testo non chiarisce da dove si deve iniziare per dimostrare tale relazione, nulla vieta di partire dalla relazione che fornisce la densità (volumetrica) di energia u 1 2µ B 2 (che però solitamente si deduce dalle precedenti relazioni). Combinando le relazioni (*) e (**) trovo: l N 3 2 U 2 1, V ( 4π 1 7 ) µ ( ) ( ) 3 8π 1,1 A 1,1 13 ma. 2. Un solenoide L 1 ideale si trova all interno di un secondo solenoide L 2, anch esso ideale. Quest ultimo viene alimentato con una corrente i che cresce linearmente nel tempo da a 3 µs secondo l euazione i kt, dove k,5 A s. Ai capi del solenoide interno L 1, durante l intervallo di tempo in cui la corrente varia, si misura una forza elettromotrice. i. Spiega l origine della forza elettromotrice e dimostra che essa risulta costante; calcola il valore del modulo di tale forza elettromotrice nel caso in cui i solenoidi L 1 e L 2 abbiano entrambi un numero di spire pari a 5, lunghezza pari a 5, cm, sezione 1, cm 2 e 4, cm 2 rispettivamente. [Esempio di simulazione MUR del 12/1/217, uesito 2] DAT: Δt t t t 3, 1 5 s i 5, 1 1 t A, t espresso in secondi i. Nell intervallo di tempo considerato nel solenoide L 2 la corrente varia e uindi al suo interno si genererà un campo magnetico variabile nel tempo: B 2 µn 2 i ( µn 2 k)t, 2 di 6

3 dove µ è la permeabilità magnetica del materiale all interno di L2 ed n2 è la sua densità di spira. Di conseguenza ci sarà una variazione del flusso del campo magnetico concatenato alle spire di L1 : ΔφB2 φb2 (t) φb2 () N1S1B2 (µn1n2s1k)t, dove N1 è il numero di spire del solenoide L1 ed S1 la superficie di una singola spira in L1. n accordo con la Legge di Faraday, su L1 si genererà una fem indotta che risulterà costante: fem ΔφB2 Δt µn1n2s1k. Suppongo che le spire di L1 non siano costituite da materiale ferromagnetico, uindi µ µ. fem ΔφB2 Δt µ N1n2S1k ( 4π 1 7 ) (5, 1 2 ) 5, 1 2 1, 1 4 ) (5, 1 1 ) 2 ( 5, 1 π 1 4 3,1 1 4 V. 3. Una carica posta ad una distanza r da un filo rettilineo indefinito, con una densità lineare di carica uniforme positiva e percorso da una corrente stazionaria (cioè QUEST costante ma non nulla), si muove con velocità iniziale v parallela al filo conduttore equesito con lo stesso verso della corrente (vedi Figura 1). 1 carica posta la ad forza una distanza da un filo rettilineo indefinito, con una densità lineare di carica i.una Determina elettrica e uella magnetica agenti sulla carica. uniforme positiva e percorso da una corrente stazionaria, si muove con velocità iniziale Stabilisci il valore e l unità di misura del rapporto in modo che la carica parallela al filo conduttore e con lo stesso verso della corrente. si muova con velocità costante Determina preventivamente la forza elettricave. uella magnetica agenti sulla carica. infine,può il valore del rapporto / in modo cheuniforme la carica si muova con velocità. Stabilisci, La carica seguire un moto rettilineo se la corrente ecostante la velocità La carica può seguire un moto rettilineo uniforme se la corrente e la velocità hanno versi v hanno versi opposti? Motiva la tua risposta. opposti? (Motiva la risposta.) r v Figura 1. Quesito 2 [trattodida Esempiocartesiano di simulazione Zanichelli del 19/12/216, Ricorda che in un sistema riferimento ortogonale "#$ è possibile introdurre uesito rispetto 1] agli assi,, i versori,,. ndicando il prodotto vettoriale con, determina preventivamente tutti i prodotti vettoriali fra i versori (ad esempio:,,,,ecc.). uesto punto dovrebbe essere naturale sviluppare il prodotto vettori ualsiasi ConsideroAl intero sistema nel vuoto. Suppongo inoltre che lavettoriale carica fra siadue positiva. Nel caso utilizzando i prodotti vettoriali ottenuti precedentemente e semplici regole algebriche. fosse negativa, i versi delle forze elettrica e magnetica risulteranno opposti al caso preceun protone con la velocità (1 m/s) + (5 1 m/s) entra in una regione dello spazio in dente. Considero un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxyz posto con l asse x N/C) (1 N/C) + (2 1 N/C) e un campo cui è presente un campo elettrico (1 uscente dalla pagina e l asse y euiverso a v, in uiete rispetto al filo. magnetico (2T) (1T). Determina il modulo del rapporto fra la forza che agisce sul protone e la sua carica. 3 di 6 Quesito 3 Sul volume di una sfera di raggio 5, cm è distribuita, in modo uniforme su tutto il volume con densità volumica ρ, una carica 1,2 1 C. Utilizza il teorema di Gauss per ottenere la relazione fra il modulo del campo elettrico e la distanza

4 uniforme positiva e percorso da una corrente stazionaria, si muove con velocità iniziale parallela al filo conduttore e con lo stesso verso della corrente. Determina preventivamente la forza elettrica e uella magnetica agenti sulla carica. Stabilisci, infine, il valore del rapporto / in modo che la carica si muova con velocità costante. La carica può seguire un moto rettilineo uniforme se la corrente e la velocità hanno versi opposti? (Motiva la risposta.) r v i. Quesito 2 Ricorda che in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale "#$ è possibile introdurre rispetto agli assi,, i versori,,. ndicando il prodotto vettoriale con, determina preventivamente tutti i prodotti vettoriali fra i versori (ad esempio:,,,,ecc.). A uesto punto dovrebbe essere naturale sviluppare il prodotto vettoriale fra due vettori ualsiasi utilizzando i prodotti vettoriali ottenuti precedentemente e semplici regole algebriche. E Un protone con la velocità (1 m/s) + (5 1 m/s) entra in una regione dello spazio in cui è presente un campo elettrico (1 N/C) (1 N/C) + (2 1 N/C) e un campo magnetico (2T) (1T). Determina il modulo del rapporto fra la forza che agisce sul protone e la sua carica. Le cariche nel filo genera un campo elettrico uscente, perpendicolare ad esso, di in tensità E(r). Ne consegue che la forza elettrica sarà F z. 2πε r 2πε r La corrente nel filo genera un campo magnetico circolare, ubbidiente alla regola µ della mano destra (dove si trova sarà entrante) di intensità B(r). Dalla ForQuesito 3 2πr Sul volume di una sfera di raggio 5, cm è distribuita, in modo uniforme su tutto il volume con za di Lorentz posso determinare la forza magnetica agente sulla carica : densità volumica ρ, una carica 1,2 1 C. Utilizza il teorema di Gauss per ottenere la relazione fra il modulo del campo elettrico e la distanza µdal v centro della sfera. Questo problema poteva essere formulato in modo identico anche per una FB v B sfera z. (Motiva la risposta.) conduttrice? Considera, 2πr infine, due sfere concentriche di raggio e di raggio 2. Nella sfera interna è stato realizzato il vuoto, mentre lo spazio tra le due sfere è riempito con una distribuzione omogenea di carica che ha stessa densità volumica ρ della sfera carica considerata all inizio del uesito. Utilizzando il principio di sovrapposizione determina il modulo del campo elettrico in un punto tra le due sfere, a distanza dal loro centro, con. Affinché la carica si muova a velocità costante, in accordo con il Principio della dinamica, la somma vettoriale di tutte le forze agenti sulla carica deve essere nulla. Quindi: Zanichelli 216 µ v µ v 1 c2 z F FB + FE. 2πε r 2πr 2πε r µε v v 2πr Poiché tale rapporto è il rapporto tra la velocità della luce nel vuoto al uadrato e la velocità della carica, il rapporto rappresenta una velocità, uindi la sua unità di misura è m s. No. La forza elettrica non cambia, non dipendendo né da v né da. Se v vy e scorre da destra verso sinistra allora B Bx ; se v vy e scorre da sinistra verso destra allora B Bx. n ogni caso, FB vbz, ovvero FB ed FE hanno lo stesso verso e uindi la carica accelererà. 4. Ricorda che in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxyz è possibile introdurre rispetto agli assi x, y, z rispettivamente i versori x, y, z. Un protone con velocità v (1, x + 5, y ) 16 m s entra in una regione dello spazio in cui è presente un campo elettrico E (1, x 1, y + 2, z ) 16 V m e un campo magnetico B (1, x 1, z )T. Determina il modulo del rapporto fra la forza che agisce sul protone e la sua carica. Che cosa rappresenta fisicamente uesto rapporto? [tratto da Esempio di simulazione Zanichelli del 19/12/216, uesito 2] 4 di 6

5 v B (1, 16 x + 5, 16 y ) (1, x 1, z ) (1, x x 1, x z + 5, y x 5, y z ) 16 (1, y 5, z 5, x ) 16 ( 5, x + 1, y 5, z ) 16. F F N F E + v B E + v B ( 4, x 3, z ) 16. C ( ) Fisicamente ha le dimensioni di un campo elettrico, però la forza agente sul protone non è solo uella dovuta al campo elettrico ma anche al campo magnetico. Si potrebbe pensare uindi che rappresenti il campo elettromagnetico ma non può essere così visto che la forza dipende da una caratteristica del protone (la sua velocità). Fisicamente uindi rappresenta solamente una situazione particolare, che è uella descritta dal problema: come influenzano la traiettoria di un protone in movimento i due campi vettoriali. 5. Un condensatore piano, schematizzato in Figura 2, ha armature circolari con raggio R 12 cm. n un dato istante, il campo elettrico varia con una velocità pari a 5,5 11 V (m s). i. Qual è l intensità del campo magnetico in un punto a una distanza r 7,5 cm dall asse del condensatore? Determina con precisione il luogo geometrico dei punti dello spazio per i uali il campo magnetico assume il valore determinato al punto precedente. Calcola il valore dell intensità di corrente stazionaria che sta caricando il condensatore. Figura 2. [tratto da C. Romeni, La fisica di tutti i giorni vol. 5, 24/1323] i. Sono nel caso r R. Utilizzando la Legge di Ampere-Maxwell alla superficie circolare di raggio r trovo che: ΔφE ε µ r ΔE ΔE r ΔE ΓB εµ B 2πr εµ πr 2 B B 2 Δt Δt 2 Δt 2c Δt 7, ,5 11 2,3 1 8 T (3 1 ) 5 di 6

6 Considero il caso r > R. Utilizzando la Legge di Ampere-Maxwell alla superficie circolare di raggio r trovo che: Δφ Γ B ε µ E Δt B 2πr ε µ ΔE πr2 Δt r ε µ R2 ΔE 2B Δt r R2 ΔE 2Bc 2 Δt ( ) 2 ( )( ) 2 5, cm. 1, ,3 1 8 Poiché le linee di campo magnetico sono circolari nell infinita regione di spazio racchiusa tra le due armature, il luogo geometrico dei punti dove il campo magnetico assume il valore trovato al punto i è costituito da due cilindri con asse coincidente con l asse del condensatore, altezza pari alla distanza delle armature e basi di raggio r (rispettivamente di 7,5 cm e di 19 cm) appoggiate sulle armature stesse. Δφ Nel caso r R la corrente di spostamento i s ε µ E numericamente coincide Δt con il valore della corrente che carica il condensatore i. Quindi ΔE i ε πr 2 Δt πε ΔE R2 Δt π ( )( 8, ,2 1 1 ) 2 ( 5,5 1 1 ) 2,2 1 2 A 22 ma. 6. Un forno a microonde cuoce o riscalda gli alimenti mediante onde elettromagnetiche con una freuenza di 2,45 GHz (uindi microonde). Questa freuenza mette in oscillazione le molecole polari (ad esempio uelle dell acua) che per agitazione termica aumentano la propria temperatura. i. Determina la lunghezza d onda della radiazione. Spiega perché la radiazione non fuoriesce dal vetro del forno ricoperto da una griglia metallica. iv. Stima le dimensioni dei fori della griglia. Spiega perché inserendo nel forno un oggetto metallico si vedono delle scintille. [tratto da C. Romeni, La fisica di tutti i giorni vol. 5, 51/1326] i. Suppongo di essere nel vuoto: c ν , , m 12,2 cm. Perché i fori della griglia sono sull ordine di grandezza del millimetro, ovvero 1 3 m, uindi di almeno due ordini di grandezza inferiori alla lunghezza d onda. Ne consegue che le microonde non riescono a passare per i fori: ricordando l esperimento della doppia fenditura di Young, le onde interferiscono secondo la relazione dsin ϑ n, ovvero è visibile la prima frangia luminosa ( n 1, cioè l onda attraversa il primo schermo dove sono presenti le due fenditure) solo uando sin ϑ d 1 ossia uando d. iv. Come dal punto precedente, l odg dei fori dev essere inferiore a 1 2 m. n pratica, per ragioni di sicurezza, l odg dei fori è uanto detto al punto precedente. Se viene inserito un oggetto metallico si vedono le scintille che rappresentano la manifestazioni di correnti indotte dalla variazione del campo magnetico presente all interno del forno. 6 di 6

7 ALLEGATO Valori delle costanti fisiche Costante Fisica Simbolo Valore Unità di misura Velocità della luce nel vuoto c m s Costante di Planck h 6, (81) 1 34 J s Carica dell elettrone e 1, (98) 1 19 C Massa dell elettrone m e 9, (11) 1 31 kg Costante dielettrica del vuoto ε 8, F m Permeabilità magnetica del vuoto µ 4π 1 7 H m Costante di Boltzmann k 1, (79) 1 23 J K Numero di Avogadro N A 6, (74) 1 23 mol 1 Nota. Le cifre su cui si ha indeterminazione sui valori delle singole costanti fisiche sono tra parentesi. La velocità della luce, la permeabilità magnetica del vuoto e la costante dielettrica del vuoto ( ε 1 µ c 2 ( ) ) hanno valori esatti senza errore. 7 di 6