Introduzione a MATLAB

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1 Laboratorio del Dipartimento di Metodi e Modelli Matematici per le Scienze Applicate A.A. 2007/2008 Introduzione a MATLAB

2 INTRODUZIONE A MATLAB 1 Indice 1 Introduzione Caratteristiche di MATLAB Accesso a MATLAB da windows Regole Generali in MATLAB Primi passi Operazioni di base Formato di output: il comando format Il punto e virgola ; sulla riga di comando Costanti e Variabili Salvare e leggere dati in/da un file 7 4 Matrici e vettori Elementi di matrici e di vettori Funzioni per la costruzione di matrici Notazione dei due punti : Matrici estratte e matrici a blocchi Matrici estratte Matrici a Blocchi Operazioni Matriciali e Puntuali Risoluzione di Sistemi di Equazioni Lineari Altre operazioni sulle matrici Operazioni sulle righe e sulle colonne Grafici Grafici in 2D Grafici in 2D multipli Cambiare i grafici Grafici in 3D Programmazione Regole Generali Tipi di m-files Files di comandi Files di funzioni Strutture di controllo del flusso del programma Istruzione for Istruzione if Istruzione while Operatori logici e operatori relazionali Bibliografia 33

3 1 INTRODUZIONE 1 1 Introduzione MATLAB = MATrix LABoratory 1.1 Caratteristiche di MATLAB Programma di Calcolo Numerico e Calcolo Simbolico. Si può considerare come una calcolatrice programmabile molto potente. Programma molto popolare tra studenti, ingegneri, tecnici e ricercatori per le sue caratteristiche: Programma interattivo. Capacità Grafiche potenti e semplici. Possiede un gran numero di Funzioni di tutti i tipi. Linguaggio di programmazione di alto livello simile a Fortran, C, Pascal o Basic, però più facile da imparare. Esistono versioni del programma MATLAB da piccoli PC fino a supercomputers.

4 1 INTRODUZIONE Accesso a MATLAB da windows 1. Cliccare due volte con il bottone sinistro del mouse sull icona di Matlab nel Desktop. 2. Apparirà una finestra con il prompt : >> 3. Creare una directory sulla penna USB (che supponiamo in E) >> mkdir E:\nome_directory >> cd E:\nome_ directory

5 1 INTRODUZIONE Regole Generali in MATLAB MATLAB distingue tra maiuscole e minuscole >> min(2,3) NON è lo stesso di: >> MIN(2,3) % errore Gli spazi HANNO significato in matlab = separano elementi distinti in una matrice; >> 12 >> 10e-12 non è lo stesso di >> 1 2 % errore >> 10 e-12 % errore Le PARENTESI TONDE ( ) e le PARENTESI QUA- DRATE [ ] hanno significati diversi. Le Frecce: y permettono di recuperare comandi. Le Frecce: y permettono di correggere gli errori. Per avere AIUTO nell ambiente MATLAB si utilizza il comando help: >> help help >> help for >> help plot

6 2 PRIMI PASSI 4 2 Primi passi 2.1 Operazioni di base + addizione - sottrazione * moltiplicazione ^ potenza \ divisione a sinistra / divisione a destra exp log log10 sin cos tan asin acos atan abs sqrt sign round floor ceil Esempi >> >> 2 * 2 ans = ans = 5 4 >> 2/6 >> 2\6 ans = ans = >> 3*(log10(14.7) - 4/6)/atan(2.3) ans = >> 1+2i >> abs(4+3j) ans = ans = i 5

7 2 PRIMI PASSI Formato di output: il comando format Possiamo cambiare il modo in cui i risultati numerici sono presentati usando il comando format. >> pi >> format long ans = >> pi ans = >> format short e >> format long e >> pi >> pi ans = ans = e e+00 >> format bank >> format >> pi >> pi ans = ans = Il punto e virgola ; sulla riga di comando Sulla riga di comando si usa il punto e virgola ; alla fine di una istruzione affichè MATLAB non scriva sullo schermo il risultato corrispondente. Questo NON vuol dire che l operazione non sia stata eseguita.

8 2 PRIMI PASSI Costanti e Variabili Regole Possiamo definire costanti e variabili mediante nomi. Il nome consiste in una lettera seguita da altre lettere, cifre o sottolinee, fino a un massimo di 31 caratteri in tutto. MATLAB distigue tra MAIUSCOLE e minuscole. Le variabili si possono cancellare con clear nome. Esempi >> a = 2; A = 3; >> alfa = 30; conf = pi/180; >> sin(conf*alfa+a*a) ans = >> ans^2 ans = Se non diamo un nome a una espressione si crea automaticamente la variabile ans con cui si possono eseguire operazioni posteriormente.

9 3 SALVARE E LEGGERE DATI IN/DA UN FILE 7 3 Salvare e leggere dati in/da un file Il comando save fname1 x y z salva le variabili x, y e z in un file (binario) di nome fname1.mat (MAT-files). Il comando load fname2 a b legge le variabili a e b da un file (binario) di nome fname2.mat. In fname2.mat potrebbero essere presenti altre variabili oltre ad a e b. È possibile anche salvare/leggere dati in/da files ASCII: si veda al proposito l opzione -ascii dei comandi load e save. Esempio >> x = 0:pi/5:2*pi; >> y = sin(x.^2); >> t = [ x y ]; >> save io.mat t >> clear t >> x = t(:,1);??? Undefined function or variable t. >> load io >> x = t(:,1); >> y = t(:,2); >> plot(x,y)

10 3 SALVARE E LEGGERE DATI IN/DA UN FILE 8 Il comando diary Il comando diary nomefile si usa per creare un diario della sessione di MATLAB nel file (ASCII) nomefile. A partire da questo comando fino alla introduzione sulla riga di comando del comando diary off tutti i comandi che eseguiamo, così come i risultati che fornisce MATLAB (salvo i grafici) saranno salvati nel file nomefile. Dopo, e possibile aprire tale file e modificarlo con un qualsiasi editor di testo.

11 4 MATRICI E VETTORI 9 4 Matrici e vettori Matrice: Collezione di numeri ordinati per file e per colonne. Le matrici si definiscono con parentesi quadrate [ ]. Gli elementi di una stessa riga si separano con virgole o spazi. Per indicare la fine di una riga e l inizio della seguente si usa il punto e virgola. Un vettore riga di n elementi è una matrice 1 n. Un vettore colonna di n elementi è una matrice n 1. Uno scalare è una matrice 1 1. >> A = [ 1 2 3; 4 5 6; ] A = >> v1=[ 1, 2, 3, 4 ] v1=

12 4 MATRICI E VETTORI 10 >> v2=[ 1; 2; 3 ] v2 = >> size(a) >> size(v1) ans = ans = >> size(v2) >> length(v1) ans = ans = Elementi di matrici e di vettori Per estrarre l elemento A ij da una matrice A si scrive A(i,j). Per estrarre l elemento v k di un vettore v si scrive v(k). >> A(2,3) >> v1(2) ans = ans = 6 2

13 4 MATRICI E VETTORI Funzioni per la costruzione di matrici eye(n) matrice identità di dimensioni n n zeros(m,n) matrice di zeri di dimensioni m n ones(m,n) matrice di 1 di dimensioni m n diag(v) matrice diagonale con diagonale {v k } k=1...n rand(m,n) matrice di numeri random di dimensioni m n Esempi >> a=eye(2) a = >> b=zeros(2,5) b = >> c=rand(2,2) c = >> d=diag([-1, 1]) d =

14 4 MATRICI E VETTORI Notazione dei due punti : L operatore : è uno dei più importanti in MATLAB. Appare in diversi contesti: Per creare una riga di elementi equidistanti: >> v1= 1:10 v1 = >> v2= 100:-7:50 v2 = >> v3= 0:pi/4:pi v3 = Per estrarre la riga i esima di una matrice A si scrive A(i,:). Per estrarre la colonna j esima di una matrice A si scrive A(:,j). Per eliminare la riga (colonna) i esima di una matriz A si scrive A(i,:)=[] (A(:,i)=[]). Per scrivere una matrice A di dimensioni m n come un vettore colonna di mn elementi si scrive A(:)

15 4 MATRICI E VETTORI Matrici estratte e matrici a blocchi Matrici estratte Il comando A([i 1, i 2,..., i r ], [j 1, j 2,..., j s ]) estrae la matrice formata dalle righe i 1, i 2,..., i r e le colonne j 1, j 2,..., j s della matrice A. Il comando A([i 1, i 2,..., i r ],:) estrae la matrice formata dalle righe i 1, i 2,..., i r della matrice A. Il comando A(:,[j 1, j 2,..., j s ]) estrae la matrice formata dalle colonne j 1, j 2,..., j s della matrice A. >> A = [1:2:5 ; 1:4:9 ; 1:0.1:1.2] A = >> B=A(1:2,[2 3]) >> C=A([2 1],:) B = C =

16 4 MATRICI E VETTORI Matrici a Blocchi Supponiamo di avere una matrice A di dimensioni m n definita a blocchi, per esempio, [ ] A11 A A = 12, A 21 A 22 dove A 11, A 12, A 21 y A 22 sono blocchi di dimensioni p r, p s, q r e q s rispettivamente, tali che p + q = m e r + s = n. Supponiamo anche di aver già definito questi blocchi in MATLAB e di averli salvati nelle variabili A11, A12, A21 e A22 rispettivamente. Allora, possiamo scrivere la matrice A come >> A=[ A11, A12; A21, A22 ]; Esempi >> A11 = [ 1 2; 3 4]; A12 = eye(2); >> A21 = [ -1 0; 0-1]; A22=ones(2); >> A = [ A11 A12; A21 A22 ] A =

17 4 MATRICI E VETTORI Operazioni Matriciali e Puntuali Operatori Matriciali Operatori Puntuali + somma + somma differenza differenza moltiplicazione. moltiplicazione / divisione a destra./ divisione a destra \ divisione a sinistra.\ divisione a sinistra ˆ potenza.ˆ potenza trasposta Gli operatori matriciali sono quelli definiti in Algebra Lineare. Gli operatori puntuali agiscono elemento per elemento. Operano tra matrici con le stesse dimensioni. Il risultato è un altra matrice della stessa grandezza. Le funzioni di MATLAB (sin, cos, tan, exp, log, sqrt, abs,...) quando applicate ad una matrice operano elemento per elemento.

18 4 MATRICI E VETTORI Risoluzione di Sistemi di Equazioni Lineari A Matrice Quadrata n n. (e invertibile!) x=a\b = Soluzione di A x = b (x e b vettori colonna) x=b/a = Soluzione di x A = b (x e b vettori riga) >> A = [ 1, 3, 0; -1, 2, 1; 2, 5, 4 ]; >> b = [ 7; 3 ; 12 ]; >> x = A \ b x = 1 2 0

19 4 MATRICI E VETTORI Altre operazioni sulle matrici inv(a) inversa della matrice quadrata A pinv(a) pseudoinversa (Moore-Penrose) di A det(a) determinante della matrice quadrata A rank(a) rango della matrice A [n,m] = size(a) dimensioni della matrice A tril(a) parte triangolare inferiore di A triu(a) parte triangolare superiore di A trace(a) traccia della matrice A null(a) base ortogonale del nucleo di A orth(a) base ortogonale della immagine di A [L,U,P] = lu(a) fattorizzazione LU di A: P*A = L*U R=chol(A) fattorizzazione Cholesky di A: A = R *R [S,D] = eig(a) autovettori/autovalori di A: A*S = S*D poly(a) coefficienti del polinomio caratteristico [U,T]=schur(A) fattorizzazione Schur di A: A = U *T*U [Q,R] = qr(a) fattorizzazione QR di A: Q*R = A [U,S,V] = svd(a) SVD de A: U*S*V = A norm(a,p) norma p=1,2 de A norm(a,inf) norma de A norm(a, fro ) norma di Frobenius di A cond(a,p) fattore di condizionamiento in norma p di A

20 4 MATRICI E VETTORI Operazioni sulle righe e sulle colonne Per scambiare le righe i esima e j esima di una matrice A si scrive >> A([i j],:) = A([j i],:); Per scambiare le colonne i esima e j esima di una matrice A si scrive >> A(:,[i j]) = A(:,[j i]); Per inserire una riga vr (vettore riga) tra le righe k esima e (k + 1) esima di una matrice A m n si scrive >> A = [ A(1:k,:); vf; A(k+1:m,:)]; Per inserire una colonna vc (vettore colonna) tra la colonna kesima e (k + 1) esima di una matrice A m n si scrive >> A = [ A(:,1:k), vc, A(:,k+1:n)];

21 4 MATRICI E VETTORI 19 Esempi con vettori >> a = [1 2]; b = [3 4]; >> a+b >> a-b >> a-1 >> b-2 >> 3*a >> a/2 >> c = a*b??? Error using ==> * Inner matrix dimensions must agree. >> c = a.*b c = 3 8 >> d = a*b d = 11 Esercizi Definire due vettori riga a e b di 3 elementi. 1. Confronta a.ˆb aˆb 2. Confronta a\b a/b a.\b a./b 3. Confronta a*b b *a

22 4 MATRICI E VETTORI 20 Esempi con matrici >> A = [ 1 2; 3 4]; >> B = [ 5 6; 7 8]; >> C = A*B >> D = A.*B C = D = >> E = B.^A >> F = A.^3 D = F = >> G = [ 0 pi/6; pi/2 pi]; >> H = sin(g) H = Esercizi Definire una matrice A 2 2 e un vettore colonna x di 2 elementi. 1. Confronta A.ˆ2 Aˆ2 A*x x*a 2. Calcola sin(a) cos(x)*(a+1) 3. Confronta A\x x/a

23 5 GRAFICI 21 5 Grafici 5.1 Grafici in 2D Rappresentazione dei vettori x e y. >> plot(x,y) Esempio: >>x=-4:.01:4; y=sin(x); plot(x,y) Provare con: y = e x2 sull intervallo [ 1.5, 1.5] x = cos(3t), y = sen(2t) con t [0, 2π]. 5.2 Grafici in 2D multipli 1a FORMA >>x=0:.01:2*pi; y1=sin(x); >>y2=sin(2*x);y3=sin(4*x); >>plot(x,y1,x,y2, --,x,y3,. )

24 5 GRAFICI a FORMA >>x=0:.01:2*pi; Y=[sin(x),sin(2*x),sin(4*x) ]; >>plot(x,y) Opzioni hold on permette la modifica dell ultimo grafico. hold off disattiva questa opzione. Esempio: >>x=0:.01:2*pi; >>y1=sin(x);y2=sin(2*x);y(3)=sin(4*x); >>plot(x,y1) >>hold on >>plot(x,y2) >>plot(x,y3) >>hold off

25 5 GRAFICI Cambiare i grafici Cambiare stile di linea, colore, ecc.: >>x=0:.01:2*pi; y1=sin(x); >>y2=sin(2*x);y3=sin(4*x); >>plot(x,y1, --,x,y2, :,x,y3, + ) Digitare help plot per info su stili di linea e di colore grid disegna un reticolato quadrato sul grafico. Estremi della finestra grafica: axis([xmin,xmax,ymin,ymax]) axis fissa gli estremi attuali. Scrivendo axis auto torniamo agli estremi di default. Aggiungere titoli ed etichette: Esempi: title titolo del grafico xlabel etichetta dell asse x ylabel etichetta dell asse y gtext testo posizionato interattivamente text testo posizionato mediante coordinate 1. Scrivere: title( Titolo ) 2. Scrivere: gtext( Curva 1 ) e cliccare con il mouse dove si vuole che sia posizionato il testo

26 5 GRAFICI Grafici in 3D meshgrid(xx,yy) crea un reticolato a partire dai vettori xx e yy mesh(xx,yy,z) rappresenta la funzione z(xx, yy) sul reticolato Esempio: Graficare z = e x2 y 2 sul dominio [ 2, 2]. 1a FORMA >>xx=-2:0.1:2; >>yy=xx; >>[x,y]=meshgrid(xx,yy); >>z=exp(-x.^2-y.^2); >>mesh(z) 2a FORMA >>[x,y]=meshgrid(-2:0.1:2); >>z=exp(-x.^2-y.^2); >>mesh(z) Altre funzioni per graficare in 3D: plot3, mesh, surf.

27 6 PROGRAMMAZIONE 25 6 Programmazione MATLAB permette l esecuzione di files di comandi detti m- files. nome.m 6.1 Regole Generali I file devono essere in formato ASCII. MAI formato Word, WordPerfect, Write, ecc. MATLAB deve sapere la directory di lavoro (dove stanno i files). A tal proposito usare il comando: >> cd nome_directory Il simbolo di percentuale % si usa per commenti. È importante commentare i files indicando il loro scopo. 6.2 Tipi di m-files Files di Comandi Files di Funzioni

28 6 PROGRAMMAZIONE Files di comandi Sequenza di comandi dentro un m-file. Per eseguirne uno chiamato nome.m: >> nome Sono molto utili, infatti permettono di depurare y riutilizzare sequenze di comandi facilmente. Le righe di commenti % saranno mostrate se si scrive: >> help nome Esempio : File figura.m % File esempio di m-file % Genera la figura di 5.2 x=0:.01:2*pi;y1=sin(x); y2=sin(2*x);y3=sin(4*x); plot(x,y1,x,y2, --,x,y3,. ) xlabel( X ); ylabel( Y ) title( Grafico multiplo ) >> figura

29 6 PROGRAMMAZIONE Files di funzioni Questi files creano nuove funzioni definite dall utente. Una volta create, si possono utilizzare come una funzione interna di MATLAB. Regole e Consigli File ASCII con estensione.m (m-file). Cominciare sempre con commenti (%). La prima parola dopo i commenti deve essere: function Il nome della funzione deve essere lo stesso nome del file senza estensione.m I parametri di ingresso devono essere gli argomenti della funzione, chiusi tra parentesi (). I parametri di uscita vanno davanti al nome della funzione. Si possono mettere righe in bianco dovunque. Le variabili definite dentro il file sono locali, cioè, valgono solo dentro la funzione, fuori non esistono. I nomi dei parametri di ingresso e di uscita sono variabili mute, cioè, il loro nome può essere qualsiasi.

30 6 PROGRAMMAZIONE 28 Esempio 1 % File: rand10.m % rand10(m,n) produce una matrice m x n % di numeri random interi tra 0 e 9 function a = rand10(m,n) a = floor(10*rand(m,n)); Chiamata >> matrice=rand10(3,4) Esempio 2 % File: sr2.m % Funzione esempio con parametri % di ingresso e di uscita. % I due parametri di ingresso x e y sono due numeri. % I due di uscita s e r sono la somma e la differenza % dei loro quadrati, rispettivamente. % [s,r]=sr2(x,y) function [out1,out2] = sr2(in1,in2) out1=in1.^2+in2.^2; out2=in1.^2-in2.^2; Chiamata >> [s,r]=sr2(3,4)

31 6 PROGRAMMAZIONE Strutture di controllo del flusso del programma Permettono di cambiare l ordine di esecuzione sequenziale dei comandi (uno dietro l altro) in un programma Istruzione for Ripete un insieme di comandi un determinato numero di volte. for i= vettore riga di indici istruzioni(i) end x =[]; for i = 1:n, x(i)=i^2, end oppure x = []; for i = 1:n x(i) = i^2; end Loop concentrici for i = 1:m for j = 1:n H(i, j) = 1/(i+j-1); end end

32 6 PROGRAMMAZIONE Istruzione if I comandi verranno eseguiti solo se la relazione è vera if relazione comandi end Espressioni più complicate if n < 0 parita = 0; elseif rem(n,2) == 0 parita = 2; else parita = 1; end Istruzione while Esegue dei comandi Ejecuta fintanto che la relazione è vera. while relazone comandi end

33 6 PROGRAMMAZIONE Operatori logici e operatori relazionali Operatori relazionali Operatori Logici < minore di > maggiore di <= minore uguale di >= maggiore uguale di == uguale ~= diverso. Si usano con for, if e while. & e o ~ non Si possono usare con scalari o matrici. Quando se usano matrici, l operatore attua componente a componente. >> A =rand10(3,5) A = >> B= A < 5*ones(3,5) B = >> p= sum(b(:))/length(a(:)) p =

34 6 PROGRAMMAZIONE 32 Programma Esempio function P = mult(a,b) % P = mult(a,b) calcola il prodotto di % matrici P = A*B, con A e B di dimensioni % adeguate (se no, si ottiene un messaggio di % errore) [ma,na] = size(a); [mb,nb] = size(b); if na~=mb error( Matrici di dimensioni inadeguate ) else P = zeros(ma,nb); flops(0); for i=1:ma for j=1:nb for k=1:na P(i,j) = P(i,j) + A(i,k)*B(k,j); end end end

35 7 BIBLIOGRAFIA 33 7 Bibliografia D. Hanselman and B. Littefield, The Student edition of MATLAB: version 4, Prentice-Hall, A. Biran and M. Breiner, Matlab for Engineers, Addison-Wesley, Eva Pärt-Enander, Anders Sjöberg, Bo Melin and Pernilla Isaksson, The Matlab Handbook, Addison-Wesley, 1996.