Si dice corpo rigido un oggetto ideale che mantiene la stessa forma e le stesse dimensioni qualunque sia la sollecitazione cui lo si sottopone.

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1 Captolo 7 I corp estes 1. I movment d un corpo rgdo Che cosa s ntende per corpo esteso? Con l termne d corpo esteso c s rfersce ad oggett per qual non è lecto adoperare l approssmazone d partcella, coè le cu dmenson non sono trascurabl rspetto all enttà degl spostament convolt. Il corpo esteso può essere pensato come scomponble n un grande numero d punt materal, ed movment d cu esso è capace possono a loro volta essere nterpretat come mot d nseme de punt materal che lo costtuscono. Che cosa s ntende per corpo rgdo? S dce corpo rgdo un oggetto deale che mantene la stessa forma e le stesse dmenson qualunque sa la sollectazone cu lo s sottopone. S tratta d una dealzzazone: nessun corpo reale soddsfa perfettamente quest requst, tuttava molt oggett possono essere consderat corp rgd: un tavolo, un bcchere, e molt altr non lo sono, come una catena, una stoffa, una persona e così va. Qual movment sono possbl per un corpo rgdo? Studeremo l moto d traslazone ed l moto d rotazone d un corpo rgdo e la loro composzone, tralascando l anals d movment pù compless come quello polare. S dce che un corpo rgdo compe un moto d traslazone se tutt suo punt s muovono con lo stesso vettore veloctà e lo stesso vettore accelerazone. S dce che un corpo rgdo compe un moto d rotazone se tutt suo punt descrvono delle crconferenze con centro sulla stessa retta, che è detta asse d rotazone 1

2 E mportante sottolneare che un moto d traslazone non mplca necessaramente che punt materal che compongono l corpo rgdo s muovano su delle traettore rettlnee: ess potranno compere anche de tratt curv, od al lmte delle crconferenze. L mportante è che non sano concentrche, come s vede n fgura: v v v Il corpo a snstra descrve un moto traslatoro: sebbene le traettore che punt materal component l corpo rgdo seguono sano crcolar, le crconferenze lungo cu s dspongono non hanno centr su d un unca retta. Una va alternatva per accorgers che s tratta d traslazone pura è verfcare che comunque pres due punt e sul corpo, la retta che passa per ess s mantene parallela a sé stessa, e questo è dovuto al fatto che le traettore d tutt punt sono ugual. Il corpo a destra nvece descrve un moto d rotazone attorno ad un asse: tutt punt che lo compongono s spostano su delle crconferenze concentrche: la loro veloctà cresce con la dstanza dall asse d rotazone. Inoltre, come s vede, una retta passante per due suo punt qualunque e non s mantene parallela a sé stessa.

3 . Forze applcate ad un corpo rgdo C lmteremo a consderare un corpo rgdo che s muova d moto pano, per l quale tutt vettor spostamento che ndvduano punt che lo costtuscono, s mantengono sempre parallel ad uno stesso pano. Supponamo dunque che tale moto sa l rsultato dell applcazone d un sstema d forze:, F,.. F N anche esse parallele allo stesso pano. Nel caso pù generale l corpo sarà anmato dalla composzone d una rotazone ed una traslazone, entrambe parallele al pano. llo scopo d prevederne le caratterstche seguremo la strada d rcondurre l sstema d forze dato ad un altro pù semplce, che dremo equvalente, secondo la defnzone seguente: Due sstem d forze s dcono equvalent se loro effett sul moto d un corpo rgdo sono gl stess F F F Per un qualunque sstema d forze è possble defnre l rsultante : R F ottenble tramte una somma vettorale. F Per determnare l moto d un corpo esteso è suffcente conoscere R? Nel caso d un punto materale questa grandezza esaursce tutte le nformazon che occorrono per defnrne l moto. Per un punto, nfatt, non è possble dstnguere un moto d rotazone da un moto d traslazone: entramb s svluppano lungo una traettora ad una sola dmensone ed è suffcente conoscere ntenstà, drezone e verso del rsultante per rcavare le legg orare. La lbertà ulterore d movmento d cu gode un corpo rgdo, coè la sua possbltà d ruotare, comporta però la necesstà d avere nformazon agguntve per poter prevedere l effetto delle forze ad esso applcate. E necessaro assocare a cascuno de vettor che ndvduano le forze, F,.. F N che costtuscono l sstema, un punto d applcazone. Gl effett d una stessa forza sul moto d un corpo rgdo sono molto dfferent se questa agsce n poszon dverse. Se nfatt s scegle un qualunque asse perpendcolare al pano dove s svolge l moto, la capactà d una stessa forza d far ruotare l corpo attorno ad esso camba notevolmente varandone l punto d applcazone. F F R Che grandezza fsca s può ntrodurre per msurare questa capactà? E necessaro ntrodurre una nuova grandezza fsca che quantfch la capactà d una forza d far ruotare un corpo esteso attorno ad un dato asse. Le osservazon mostrano che la capactà d far ruotare, a partà d ntenstà della forza, è tanto maggore quanto pù la forza è ntensa e quanto pù vene applcata lontano dall asse attorno a cu s desdera produrre la rotazone. E per questo motvo che la mangla d una porta vene collocata all estremo opposto rspetto a cardn grevol. Per esprmere la capactà d far ruotare che ha una

4 forza bsogna dunque conoscere la dstanza della retta lungo la quale la forza stessa agsce, dall asse attorno a cu s vuole far ruotare. Questa mportante nformazone vene detta bracco della forza: racco della forza: dstanza della retta d azone delle forza dall asse d rotazone. S ntroduce qund la grandezza seguente: b F F b b 1 b b F F ndcata con la lettera greca tau ( ) e detta momento della forza (o anche momento torcente della forza). Consdereremo postv moment dovut a forze che producono rotazon antorare attorno all asse nel pano del foglo, guardato dal lettore. Se sul corpo che s muove d moto pano, agsce un sstema d forze, chameremo momento rsultante del sstema rspetto a tale asse la grandezza F b F b F b dove b sono bracc delle forze, vale a dre le dstanze delle rette d azone d cascuna delle F dal punto n cu l asse buca l pano. In fgura l punto ndca l ntersezone dell asse scelto con l pano d rotazone, e le lnee tratteggate rappresentano bracc delle forze. b b F Esempo 1 Trovare l momento rsultante del sstema d forze F ed F, d modulo 0 N e 0 N rspettvamente, che agscono sul quadrato d lato 10 m n fgura, F calcolato rspetto ad un asse perpendcolare al foglo e passante per l centro del quadrato. Dopo aver traccato le rette d azone delle forze s rconosce che bracc valgono: b b 6 e che per ch guarda l foglo, F tende a far ruotare n verso oraro attorno all asse, qund l suo momento sarà negatvo, F antoraro qund con momento postvo: b F b F F F N m 6 Il valore negatvo del momento rsultante comporta che l quadrato, oltre che a traslare nella drezone d R, tenderà a ruotare n verso oraro, per effetto del sstema d forze applcatogl.

5 Come s trova l punto d applcazone d R Tanto la retta d azone quanto l punto d applcazone della rsultante del sstema non sono determnabl attraverso la somma de vettor effettuata con l metodo d punta-coda o del parallelogramma. Tale tecnca, che consente d sommare vettor, coè class d equvalenza d segment equpollent, fornsce soltanto l ntenstà del rsultante ed una drezone, quella della dagonale del parallelogramma, alla quale l rsultante è parallelo, ma non l punto d applcazone 1. Tuttava l rsultante del sstema d forze deve avere lo stesso momento del sstema stesso, qund se esste un punto sull oggetto rspetto al quale la somma de moment è nulla, l rsultante applcato n modo che abba momento zero rspetto quel punto sosttusce nteramente l sstema d forze. F F Esempo Trovare, se esste, l punto (od punt) n cu s può applcare l rsultante sstema d forze F ed F, d par ntenstà, che agscono sul quadrato n fgura. Dopo aver traccato le rette d azone delle forze s rconosce che una forza ha sempre momento nullo rspetto ad un qualunque asse che passa per la sua retta d azone. Qund entrambe le forze devono avere momento nullo rspetto ad un asse perpendcolare al foglo nel punto P, ntersezone delle due rette d azone. Ne segue che anche l rsultante dovrà avere momento nullo rspetto a P, qund la sua retta d azone (nclnata d 5 rspetto al lato del quadrato vsto che le forze hanno la stessa ntenstà), dovrà passare per P. Qund l rsultante può essere applcato n uno qualunque de punt n cu la retta a 5 passante per P ntercetta l quadrato. del F P R F F C Esempo Trovare, se esste, l punto d applcazone del sstema d forze parallele F C che agscono sul quadrato n fgura. ed F, D F D F C Le rette d azone delle due forze parallele non s ncontrano ma, tuttava è possble operare sommando al sstema due forze opposte che non alterano la dnamca perché hanno rsultante nullo (n verde nella fgura). In questo modo s ottene l punto P rspetto al quale l sstema ha momento nullo, e così s fa passare per P la retta d azone del rsultante la cu drezone è ottenuta con la regola del parallelogramma. Il rsultante potrà po essere applcato n uno qualunque de punt n cu la retta trovata ntercetta l corpo, per esempo sul bordo del quadrato. P R F D 1 Per sommare vettor applcat occorre operare la costruzone del cosddetto polgono funcolare, l quale consente d conoscere la retta d azone del rsultante, e, se reterato su d un sstema d forze ruotato rspetto all orgnale, anche l punto d applcazone. 5