9. Risposta in Frequenza

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1 9. Risposta in Frequenza

2 9 Risposta in Frequenza u(t) U(s) G(s) y(t) Y(s) Ricorda: la funzione di trasferimento di un sistema lineare tempo continuo è il rapporto fra la trasf. di Laplace Y (s) dell uscita y(t) e la trasf. di Laplace U(s) dell ingresso per u(t) per condizione iniziale nulla x 0 =0. Definizione: Larisposta in frequenza di un sistema G(s) è la funzione complessa di variabile reale G(jω), ω R, ω 0. u(t) = ¹ U sin t G(s) y(t) Teorema: SeG(s) è asintoticamente stabile (poli a parte reale negativa), allora in condizioni di regime permanente (o asintoticamente per t ) y(t) y rp (t), Ū G(jω) sin(ωt + G(jω)) La risposta in frequenza permette quindi di analizzare la risposta del sistema ad eccitazioni sinusoidali a diverse frequenze. A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2001/

3 9 Risposta in Frequenza Dimostrazione: L ingresso u(t) =sinωt 1I(t) ha per trasformata di Laplace U(s) = ω s 2 + ω 2 La trasformata di Laplace della risposta forzata è quindi Y f (s) =G(s) ω s 2 + ω 2 = G(s)ω (s jω)(s + jω) (la risposta libera y l (t) non è rilevante, visto che G(s) è asintoticamente stabile e quindi y l (t) 0 per t ). Scomponendo in fratti semplici a : Y f (s) = ωg(jω) 2jω(s jω) + ωg( jω) + 2jω(s + jω) z } Y rp (s)=risp. regime permanente nx R i s p i i=1 z } risp. forz. transitoria P n Poiché G(s) è asintoticamente stabile, l antitrasformata di i=1 tende a zero asintoticamente. Rimane quindi y rp (t) = L 1» G(jω) 2j(s jω) + G( jω) 2j(s + jω) = j 2 G(jω)ejωt + j 2 G( jω)e jωt = j j 2 G(jω)ejωt + 2 G(jω)ejωt» j = 2Re 2 G(jω)ejωt h i = Im G(jω) e j G(jω)+jωt ) = G(jω) sin(ωt + G(jω)) R i s p i a Nota: La risposta forzata Y f (s) ha due componenti: Y rp (s)=risposta di regime permanente, Y ft (s)=risposta forzata transitoria. A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2001/

4 9 Risposta in Frequenza Esempio u(t) = ¹ U sin t G(s) = 10 (1 + 0:1s) 2 y(t) Calcolare la risposta in condizioni di regime permanente per ingresso u(t) =5sin10t. Il sistema è asintoticamente stabile, avendo G(s) poli reali negativi: G(s) = 10 ( s) 2, p 1 = p 2 = 10 Posso quindi definire la risposta di regime permanente dove y rp (t) =5 G(jω) sin(10t + G(jω)) G(jω)= Per ω =10rad/s, e quindi 10 ( jω) = jω 0.01ω 2 G(10j) = j 1 = 5 j = 5j y rp (t) =5 5sin(10t π 2 ) = 25 sin(10t π 2 ) A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2001/

5 9 Risposta in Frequenza u(k) U(z) G(z) y(k) Y(z) Ricorda: la funzione di trasferimento di un sistema lineare tempo discreto è il rapporto fra la trasf. zeta Y (z) dell uscita y(k) e la trasf. zeta U(z) dell ingresso per u(k) per condizione iniziale nulla x 0 =0. Definizione: Larisposta in frequenza di un sistema G(z) è la funzione complessa di variabile reale G(e jθ ), θ [0,π]. u(k) = ¹ U sin kµ G(z) y(k) Teorema: SeG(z) è asintoticamente stabile (poli in modulo < 1), allora in condizioni di regime permanente (o asintoticamente per k ) y(k) y rp (k), Ū G(ejθ ) sin(kθ + G(e jθ )) La risposta in frequenza permette quindi di analizzare la risposta del sistema ad eccitazioni sinusoidali a diverse frequenze. A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2001/

6 9 Risposta in Frequenza Esempio u(k) = ¹ U sin kµ G (z) = 1:5 z z(z 0:8) y(k) Calcolare la risposta in condizioni di regime permanente per ingresso u(k) = sin π k. 6 Il sistema è asintoticamente stabile, avendo G(z) poli in modulo minore di 1 G(z) = 1.5 z z(z 0.8), p 1 =0, = p 2 =0.8 Posso quindi definire la risposta di regime permanente y rp (k) = 100 G(e j0 ) sin(0 k + G(e j0 )) + 20 G(e j π 6 ) sin( π 6 k + G(ej π 6 )) = 100 G(1) sgn(g(1)) +20 z } fi G(1) 1.5 e j π 6 e j π 6 (e j π 6 0.8)fi sin( π 6 k + (1.5 ej π 6 ) (e j π 6 (e j π 6 0.8))) sin( π k ) 6 = sin( π 6 k ) A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2001/

7 ¹U sin t ¹ UjG(j)j sin(t + \G(j)) G(j) Il diagramma di Bode esprime modulo G(jω) e fase G(jω) di G(jω) in funzione di ω. Serve ad analizzare la risposta del sistema a diverse frequenze ω. Fase (deg) Modulo (db) Diagramma di Bode di G(s) a Frequenza (rad/s) Il modulo G(jω) è espresso in decibel (db) : G(jω) db =20log 10 G(jω) La pulsazione ω è visualizzata in scala logaritmica (si disegnano cioè i grafici (log 10 ω, G(jω) db ) e (log 10 ω, G(jω))) a G(s) = 1 (1+0.1s)( s s 2 ) A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2001/

8 Sistema in forma di Bode: G(s) = K s h Π i (1 + sτ i ) Π j (1 + st j ), τ i,t j C K=guadagno di Bode ; h=tipo del sistema=numeri di poli in 0; T j =costante di tempo (se reale > 0). Spesso la funzione di trasferimento è data in forma poli/zeri G(s) = K s h Π i (s z i ) Π j (s p j ), z i,p j C Vale quindi z i = 1 τ i, p j = 1 T i, K = K Π iτ i Π j T j, K = K Π i( z i ) Π j ( p j ) A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2001/

9 Diagramma di Bode del modulo: K Π i (1 + jωτ i ) G(jω) db =20log 10 (jω) h Π j (1 + jωt j ) Per le proprietà dei logaritmi a : G(jω) db = 20log 10 K h20 log 10 ω + 20 log 10 1+jωτ i 20 log 10 1+jωT j i j Si hanno quindi 4 casi diversi: log 10 K log 10 ω log 10 1+jωT, T R log 10 1+jωT +20 log 10 1+jωT, T C, cioè 20 log jζ ω ω2 ω n ωn 2 dove ωn 2 = 1 T 2, ζ = Re[T ] T a log αβ =logα +logβ, log α β =logα log β, log αβ = β log α A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2001/

10 Caso 1: 20 log 10 K jg(j)j db log 10 jkj Caso 2: 20 log 10 ω ( 20 log 10 ω ) jg(j)j db A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2001/

11 Caso 3: 20 log 10 1+jωT jg(j)j db T 20 db/ decade Nota: G(jω) 1 per ω 1 T, G(jω) ωt per ω 1 T. Caso 4: 20 log jζ ω ω n 40 jg(j)j db ω2 ω n 2 40 db/ decade ³=1 n ³ 0 ³ crescente Nota: G(jω) 1 per ω ω n, G(jω) ω2 ω 2 n per ω ω n. A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2001/

12 Esempio db/ decade G(s) = 1000(1 + 10s) s 2 (1 + s) 2 jg(j)j db db/ decade db/ decade Per ω 0.1: G(jω) 1000 ω 2 Per ω =0.1: 20 log ω 2 =20log = 100 Per 0.1 <ω<1: effetto dello zero in s = 0.1, aggiungi 20 db/decade. Per ω>1: effetto del doppio polo in s = 1, togli 2 20 db/decade. A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2001/

13 Diagramma di Bode della fase: G(jω)= ( ) K Π i (1 + jωτ i ) (jω) h Π j (1 + jωt j ) Per le proprietà dell esponenziale a : G(jω) = K (jω) h + i (1 + jωτ i ) j (1 + jωt j ) Si hanno ancora 4 casi diversi: 1. K = 0 per K>0 π per K<0 2. (jω) h = hπ 2 3. (1 + jωt), T R 4. (1 + jωt)+ (1 + jωt ), T C, cioè ) (1+2jζ ωωn ω2 ω 2 n a (ρe jθ ) = θ, (αβ) = (ρ α e jθ αρ β e jθ β ) = (ρ α ρ β e j(θ α+θ β ) )=θ α + θ β = α + β, ( α )= α β β A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2001/

14 Caso 1: K ¼=2 \ G(j) -¼=2 0 K> ¼ K<0 Caso 2: (jω) h ¼=2 \ G(j) 0 h= ¼=2 h=1 -¼ h=2 A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2001/

15 Caso 3: (1 + jωt) = atan(ωt) ¼=2 \ G(j) ¼= ¼=4 -¼= T T>0 T<0 Nota: G(jω) 0 per ω 1 T, G(jω) π 2 per ω 1 T, T>0. Caso 4: ¼ ( 1+2jζ ω ω n \ G(j) ω2 ω 2 n ) ³ 0 ¼=2 ³ crescente 0 1 n Nota: G(jω) 0 per ω ω n. Per ζ 0, G(jω) = π 2 per ω = ω n, G(jω) ω2 ω 2 n = π per ω ω n. A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2001/

16 Segue esempio: G(s) = 1000(1 + 10s) s 2 (1 + s) 2 -¼=2 jg(j)j db -3¼=4 -¼ -5¼=4-3¼= Per ω 0.1: G(jω) π Per 0.1 <ω<1: effetto dello zero in s = 0.1, aggiungi π 2. Per ω>1: effetto del doppio polo in s = 1, togli 2 π 2. A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2001/

17 Esempio: G(s) = 10(1 + s) s 2 (1 10s)( s) 100 Fase (deg) Modulo (db) Frequenza (rad/s) Per ω 0.1: G(jω) 10 ω 2 G(jω) π (pendenza -40 db/decade), Per ω =0.1: 20 log ω 2 =60db Per 0.1 <ω<1: effetto del polo instabile in s =0.1, togli 20 db/decade al modulo, aggiungi π alla fase. 2 Per 1 <ω<10: effetto dello zero s = 1, aggiungi 20 db/decade al modulo, aggiungi π alla fase. 2 Per ω>10: effetto del polo in s = 10, togli 20 db/decade al modulo, togli π alla fase. 2 A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2001/

18 Riassumendo: L effetto di poli/zeri (semplici) nel diagramma asintotico è il seguente: Modulo Fase polo stabile (T >0) 20 db/dec π 2 polo instabile (T <0) 20 db/dec π 2 zero stabile (T >0) +20 db/dec π 2 zero instabile (T <0) +20 db/dec π 2 A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2001/