E T MATEMATICA EORIA SERCIZI. Aritmetica G. Bonola I. Forno. esercizi effettivi! esercizi per il recupero. esercizi per l'invalsi

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1 G. Bool I. oro.000 esercizi effettivi! 000 esercizi per il recupero 00 esercizi per l'inalsi MATEMATICA E T EORIA SERCIZI Aritmetic B Le Mppe INTERATTIE per l L.I.M. Approfodimeti ONLINE LIBRO MISTO PROGETTO S. Lttes & C. Editori SpA - iett l vedit e l diffusioe

2 P IANO DELL OPERA ARITMETICA A GEOMETRIA A UNITÀ UNITÀ UNITÀ UNITÀ UNITÀ UNITÀ UNITÀ UNITÀ UNITÀ Gli isiemi Numeri turli e umeri decimli Le quttro operzioi I prolemi Rppresetzioi grfche dei dti Poteze Divisiilità M.C.D ed m.c.m. rzioi Operzioi co le frzioi UNITÀ UNITÀ UNITÀ UNITÀ UNITÀ GEOMETRIA B UNITÀ UNITÀ UNITÀ UNITÀ Sistemi di misur Eti geometrici fodmetli Agoli e rette el pio Geerlità dei poligoi. I trigoli Qudrilteri Are dei poligoi Il teorem di Pitgor e le sue ppliczioi Isometrie Similitudie ARITMETICA B GEOMETRIA C UNITÀ 0 UNITÀ UNITÀ UNITÀ UNITÀ UNITÀ rzioi e umeri decimli Rdice qudrt Rpporti e proporzioi Proporziolità dirett e ivers Appliczioi dell proporziolità L sttistic UNITÀ 0 UNITÀ UNITÀ UNITÀ UNITÀ Circoferez, cerchio, poligoi iscritti e circoscritti Lughezz dell circoferez e re del cerchio Geometri solid: elemeti fodmetli Prismi e pirmidi, superfcie e volume Solidi di rotzioe ALGEBRA UNITÀ UNITÀ UNITÀ UNITÀ Numeri reltivi e operzioi Clcolo letterle Equzioi di grdo Isiemi e relzioi UNITÀ UNITÀ UNITÀ Geometri litic L logic Sttistic e proilità S. Lttes & C. Editori SpA - iett l vedit e l diffusioe

3 G. Bool I. oro MATEMATICA E T EORIA SERCIZI Aritmetic B S. Lttes & C. Editori SpA - iett l vedit e l diffusioe

4 Coordimeto redziole putocpo (Torio) Progetto grfi co e coperti Gdii & Redi (Milo) Impgizioe CGM (Npoli) Coordimeto prestmp Gii Dusio Refereze icoogrfi che istockphoto Gli Autori e l Cs Editrice rigrzio l professoress Muel Argirò per l prezios collorzioe ll stesur degli esercizi. I diritti di trduzioe, di memorizzzioe elettroic, di riproduzioe e di dttmeto totle o przile co qulsisi mezzo (compresi i microfi lm e le copie fotosttiche) soo riservti per tutti i pesi. Le fotocopie per uso persole del lettore possoo essere effettute ei limiti del % di ciscu volume/fscicolo di periodico dietro pgmeto ll SIAE del compeso previsto dll rt., commi e, dell legge prile.. Le riproduzioi effettute per fi lità di crttere professiole, ecoomico o commercile o comuque per uso diverso d quello persole possoo essere effettute seguito di specifi c utorizzzioe rilscit d: AIDRO Corso di Port Rom,0 - Milo 0 e-mil: segreteri@idro.org sito we: Per i csi i cui o è stto possiile otteere il permesso di riproduzioe, cus dell diffi coltà di ritrccire chi potesse drlo, si è otifi cto ll Uffi cio dell proprietà letterri, rtistic e scietifi c che l importo del compeso è disposizioe degli veti diritto. Le immgii del testo (disegi e/o fotogrfi e) che rppreseto mrchi o prodotti preseti sul mercto ho u vlore purmete didttico di esemplifi czioe. Questo volume è stto relizzto teedo coto di quto stilito dl D.M.. del 0// ( Gzzett Uffi cile - Serie specile. del 0/0/000) circ le orme vverteze teciche per l compilzioe dei liri di testo per l scuol dell oligo. Nomi e mrchi citti soo geerlmete depositti o registrti dlle rispettive cse produttrici. ifo@ltteseditori.it Proprietà letterri riservt 0 S. Lttes & C. Editori SpA - Torio Prim edizioe 0 Stmpto i Itli - Prited i Itly per coto dell cs editrice d icezo Bo SpA - Torio ristmp 0 o II S. Lttes & C. Editori SpA - iett l vedit e l diffusioe

5 P RESENTAZIONE Questo corso di Mtemtic, supporto l cmmio scolstico, sce d u lug esperiez ell isegmeto uit u costte e motivto ggiormeto. Il modo di isegre l discipli ttrvers u grdule riovmeto: o solo lezioi frotli mirte d cquisire coosceze e ilità coesse ll ppliczioe, m ttività che offroo l possiilità di costruire competeze medite proposte i cui l mtemtic forisce strumeti per ffrotre l quotidiità. È uspicile, quidi, u iterveto didttico che permett di trsferire le coosceze situzioi e miti che fccio prte del vissuto dello studete per otteere l uspicto spere competete. Il percorso didttico è orgizzto per Uità di Appredimto che fvoriscoo, pur rispettdo l impito clssico dell discipli, il sorgere di spere trsdisciplire, utilizzile che i cotesti extr-scolstici e legto ll persolità, gli iteressi e i isogi dei sigoli studeti. All iizio di ogi Uità soo evideziti i prerequisiti, utili ll llievo per ffrotre i uovi percorsi, le coosceze (spere), le ilità (sper fre) e soprttutto le competeze (sper essere) che l luo potrà rggiugere. Risult ioltre idicto il ucleo temtico, si fodmetle si trsversle, l qule l Uità si riferisce, secodo il Qudro di riferimeto INALSI. L prte teoric è gile, ogi rgometo è rcchiuso i u sol pgi e propoe l ppredimeto di regole, proprietà e procedimeti ttrverso osservzioi e rgiometi l fie di evitre formule iutili e o giustificte. A frote di ogi pgi di Teori è iserit u pgi iter di Primi esercizi co iuto destiti d gevolre gli llievi ell cquisire u metodo di studio e di lvoro. Al termie di ogi Uità si trovo umerosissimi Esercizi (grduti, co difficoltà seglt), preceduti d u u rpido e immedito Ripsso. L ruric Ripsso l teori permette u rpid revisioe di quto studito, metre il Test di erific propoe u verific sommtiv dei coteuti dell Uità e, secod dei risultti otteuti, cosigli ttività di recupero. Gli Esercizi per il recupero soo guidti, grduti, ccompgti d richimi teorici, presetti co u liguggio semplice e chiro co lo scopo di iutre l luo recuperre le coosceze e le ilità fodmetli (oiettivi miimi) dell Uità. Gli esercizi Per l prov Nziole o solo permettoo, ffrotdo che cotesti differeti d quelli icotrti sio quel mometo, di pplicre le coosceze e le ilità cquisite, m stimolo mettere i gioco di mggiori e di diverse, sfruttdo le competeze cquisite. Gli esercizi e le ttività dell ruric Cosolidimo le competeze itedoo forire proposte didttiche itese sottoliere uovi legmi co il modo rele e co l quotidiità. I relzioe co le temtiche dell idgie OCSE-PISA si voglioo stimolre i rgzzi utilizzre le coosceze e le competeze mtemtiche cquisite scuol per orietrsi ell prtic quotidi. U rigrzimeto ticipto v tutti coloro che, co suggerimeti e osservzioi, vorro cotriuire l migliormeto dell oper. Gli Autori S. Lttes & C. Editori SpA - iett l vedit e l diffusioe III

6 I NDICE Ripssimo isieme Numeri turli... Sistem di umerzioe decimle... Numeri decimli.. Addizioe e moltipliczioe... Proprietà dell ddizioe e dell moltipliczioe. Sottrzioe... Divisioe Proprietà dell sottrzioe e dell divisioe.. Zero e uo elle quttro operzioi... Espressioi Rccogliere dti e orgizzrli i telle... 0 Rppresetzioi grfiche.. 0 Elevmeto potez... Proprietà delle poteze... Uo e zero ell elevmeto potez... Espressioi co le poteze Multipli e divisori... Criteri di divisiilità.. Numeri primi Scomposizioe i fttori primi Mssimo Comue Divisore (M.C.D.)... Miimo comue multiplo (m.c.m.)... Dll uità frziori ll frzioe.. L frzioe come divisioe rzioi proprie, improprie, ppreti... rzioi equivleti e proprietà ivritiv... Riduzioe di u frzioe i miimi termii Riduzioe di più frzioi l miimo comue deomitore (m.c.d.). Rppresetzioe delle frzioi sull rett umeric oriett.. Cofroto di frzioi Addizioe e umeri misti Sottrzioe e frzioe complemetre.. Moltipliczioe e frzioi reciproche Divisioe e frzioe termii frziori... Elevmeto potez di u frzioe Espressioi co le frzioi. Prolemi co le frzioi... UNITÀ 0 rzioi e umeri decimli Dll frzioe l umero decimle... rzioi e umeri decimli limitti... rzioi e umeri decimli illimitti... 0 Numeri decimli periodici semplici... 0 Numeri decimli periodici misti... Dl umero decimle ll frzioe geertrice... Numero decimle limitto.. Numero decimle periodico semplice Numero decimle periodico misto... Operzioi co i umeri decimli.. Numeri decimli limitti. Numeri decimli illimitti e limitti Approssimzioe di u umero decimle... Esercizi... 0 Ripsso l teori... Test di verific... Esercizi per il recupero. Cosolidimo le competeze... Per l Prov Nziole.. UNITÀ Rdice qudrt Estrzioe di rdice qudrt... Proprietà dell rdice qudrt... Rdice qudrt di u prodotto... Rdice qudrt di u quoziete. Rdice qudrt di u potez co espoete pri Qudrti perfetti e rdici qudrte estte 0 I S. Lttes & C. Editori SpA - iett l vedit e l diffusioe

7 Rdice qudrt pprossimt... Uso delle tvole umeriche... Rdice qudrt di u umero turle compreso tr e 000. Rdice qudrt di u umero turle compreso tr 00 e Rdice qudrt di u umero decimle fiito Espressioi Rdice qudrt di u espressioe umeric... Espressioi coteeti operzioi di estrzioe di rdice.. Algoritmo per l estrzioe dell rdice qudrt... 0 Rdice qudrt di u qudrto perfetto... 0 Rdice qudrt pprossimt meo di u uità... Rdice qudrt pprossimt meo di 0,; 0,0; 0,00 Rdice qudrt di u umero decimle Cei sull rdice cuic Numeri irrzioli ed estrzioe di rdice qudrt... Esercizi... Ripsso l teori... Test di verific... Esercizi per il recupero. Cosolidimo le competeze... Per l Prov Nziole.. Proprietà dell ivertire Proprietà del permutre.. Proprietà del comporre 0 Proprietà dello scomporre.. 0 Ricerc del temie icogito Clcolo di u estremo icogito.. Clcolo di u medio icogito.. Clcolo del medio proporziole. Csi prticolri Proporzioi e prolemi... Cte di rpporti uguli Esercizi... 0 Ripsso l teori... Test di verific... Esercizi per il recupero. Cosolidimo le competeze... Per l Prov Nziole.. UNITÀ Proporziolità dirett e ivers Cocetto di fuzioe... 0 Grdezze vriili e costti... 0 Cocetto di fuzioe 0 uzioi empiriche e fuzioi mtemtiche uzioi empiriche uzioi mtemtiche.. I NDICE UNITÀ Rpporti e proporzioi Rpporto tr due umeri.. Rpporto tr grdezze omogeee e o omogeee... 0 Igrdimeti e riduzioi Proporzioi Proprietà delle proporzioi Proprietà fodmetle delle proporzioi Grdezze direttmete proporzioli Rppresetzioe dell legge dell proporziolità dirett.. Grdezze iversmete proporzioli 0 Rppresetzioe dell legge dell proporziolità ivers Esercizi... Ripsso l teori... Test di verific... Esercizi per il recupero. Cosolidimo le competeze... Per l Prov Nziole.. 0 S. Lttes & C. Editori SpA - iett l vedit e l diffusioe

8 I NDICE UNITÀ Appliczioi dell proporziolità Prolemi del tre semplice... Prolemi del tre semplice diretto... Prolemi del tre semplice iverso... Prolemi di riprtizioe dirett e ivers Riprtizioe semplice dirett Riprtizioe semplice ivers... Percetule... Prolemi co percetuli e proporzioi Rppresetzioe grfic... 0 Iteresse... Iteresse semplice. Iteresse i formule.. Scoto commercile Esercizi... Ripsso l teori... 0 Test di verific... Esercizi per il recupero. Cosolidimo le competeze... Per l Prov Nziole.. 0 UNITÀ L sttistic Che cos è l sttistic L scelt del cmpioe Prime fsi dell idgie sttistic.. Idividuzioe dell crtteristic. Costruzioe dello strumeto per l rccolt dti Trscrizioe ed elorzioe dei dti... Rccolt e trscrizioe dei dti Elorzioe dei dti qulittivi.. Elorzioe dei dti qutittivi... Rppresetzioe dei dti.. 0 Esercizi... Ripsso l teori... Test di verific... Esercizi per il recupero. Cosolidimo le competeze... Per l Prov Nziole.. Soluzioi Test di verific Cosolidimo le competeze Per l Prov Nziole.. 0 I S. Lttes & C. Editori SpA - iett l vedit e l diffusioe

9 Ripssimo isieme Le gili sitesi e i reltivi esercizi riportti elle pgie segueti, possoo essere utili per rivedere le coosceze pprese durte lo scorso o scolstico e rfforzre lcue competeze specifiche. S. Lttes & C. Editori SpA - iett l vedit e l diffusioe

10 T EORIA Numeri turli I umeri turli servoo per cotre. L isieme N dei umeri turli è ifiito: h u iizio (il umero 0) m o h u fie (ogi umero h u successivo ). N è u isieme ordito e si può rppresetre su u rett oriett. u 0 si legge miore di si legge mggiore di e soo due umeri cosecutivi. Sistem di umerzioe decimle Il ostro sistem di umerzioe è decimle posiziole: decimle: si utilizzo dieci cifre (0,,,,,,,,, ); posiziole: il vlore di ogi cifr dipede dll su posizioe el umero. L scrittur poliomile di u umero è otteut co ddizioi e moltipliczioi: Numeri decimli decie di miglii miglii cetii decie uità uità ordie uità ordie uità ordie uità ordie uità ordie I umeri decimli servoo per misurre. Dividedo u uità i 0, 00, 000 prti otteimo rispettivmete: uità decimli del ordie o decimi; uità decimli del ordie o cetesimi; uità decimli del ordie o millesimi. O 0,0 0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, u cetesimo U umero decimle è formto d u prte iter e d u prte decimle: uità decie prte iter u decimo, decimi cetesimi millesimi prte decimle Cofroto fr due umeri decimli: soo uguli se ho l stess prte iter e l stess prte decimle:,,; è mggiore quello vete prte iter mggiore:,,; se ho l stess prte iter è mggiore quello vete l prte decimle mggiore:,,0. S. Lttes & C. Editori SpA - iett l vedit e l diffusioe

11 E SERCIZI Co riferimeto ll rppresetzioe grfic, complet. O 0 A B C D Iserisci il simolo mggiore ( ) o miore ( ). Il puto A è l immgie del umero Il puto è l immgie del umero. c Il puto D è l immgie del umero d Il puto è l immgie del umero.. c. e d. 0 f u Ripssimo isieme Complet le telle. cifr delle umero uità decie cetii uità di miglii decie di miglii cetii di miglii umero umero i form poliomile Co riferimeto ll rppresetzioe grfic, complet. O A B C D 0 Il puto A è l immgie del umero. Il puto. è l immgie del umero 0,. c Il puto. è l immgie del umero,. d Il puto. è l immgie del umero 0,. Complet l tell. umero decie uità decimi cetesimi millesimi,0,0 0, Iserisci il simolo mggiore ( ), ugule ( ) o miore ( ).,., c 0,0. 0, e,.,,0.,0 d,.,00 f,0.,00 S. Lttes & C. Editori SpA - iett l vedit e l diffusioe

12 T EORIA Addizioe e moltipliczioe Addizioe Moltipliczioe L ddizioe e l moltipliczioe soo due operzioi itere ll isieme N: se i termii soo umeri turli, che il risultto è u umero turle. Proprietà dell ddizioe e dell moltipliczioe Proprietà commuttiv 0 Proprietà ssocitiv c ( ) c ( c) ( ) 0 c ( ) c ( c) ( ) 0 0 Proprietà dissocitiv (c d) co c d ( ) (c d) co c d ( ) 0 Proprietà distriutiv dell moltipliczioe ( ) c ( c) ( c) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) c ( c) ( c) co ( ) ( ) ( ) 0 S. Lttes & C. Editori SpA - iett l vedit e l diffusioe

13 E SERCIZI Complet le telle. ddedo ddedo somm 0 0 ddedo ddedo somm fttore fttore prodotto fttore fttore prodotto Ripssimo isieme, 0,,, 0,, 0,, 0,,,, Complet. 00 c 0,0 000 e, 0,, 0 d 0,0 f 0 0,00 Ricoosci l proprietà pplict c.. d 0.. e f c.. d ( ) ( ) ( ).. e 0.. f.. Complet, pplicdo le proprietà dell ddizioe, i modo d fcilitre il clcolo c d Complet, pplicdo le proprietà dell moltipliczioe, i modo d fcilitre il clcolo c d (0...) S. Lttes & C. Editori SpA - iett l vedit e l diffusioe

14 T EORIA Sottrzioe differez? N miuedo sottredo L sottrzioe è l operzioe ivers dell ddizioe e vicevers: x x x x x x Divisioe Divisioe propri : quoto dividedo divisore Divisioe impropri : resto : quoziete pprossimto per difetto meo di u uità :, quoziete pprossimto per difetto meo di u decimo :? N :, quoziete pprossimto per difetto meo di u cetesimo :, quoziete estto L divisioe è l operzioe ivers dell moltipliczioe e vicevers: x x : x x : x x No soo operzioi itere ll isieme N: che se i termii soo umeri turli il risultto o sempre è u umero turle. Proprietà dell sottrzioe e dell divisioe Proprietà ivritiv Se c ( d) ( d) c ( ) ( ) 0 ( d) ( d) c ( ) ( ) 0 co d,, d Se : c ( d) : ( d) c : ( ) : ( ) : ( : d) : ( : d) c : ( : ) : ( : ) : Proprietà distriutiv dell divisioe ( ) : c ( : c) ( : c) ( ) : ( : ) ( : ) ( ) : c ( : c) ( : c) ( ) : ( : ) ( : ) co e, divisiili per c, vle solo se l divisioe è destr dell pretesi. S. Lttes & C. Editori SpA - iett l vedit e l diffusioe

15 E SERCIZI Complet l tell. miuedo sottredo differez,, Complet l risoluzioe delle equzioi. Ripssimo isieme x x... c x x x 0 x 0... d x x Complet le telle. dividedo divisore quoto dividedo divisore quoziete resto : quoziete pprossimto per difetto quoziete pprossimto per eccesso meo di u uità 0 meo di decimo 0, meo di cetesimo Complet l riduzioe delle equzioi. x x :.. c 0 : x x 0 :.. x : x.. d x x.. :.. Ricoosci le operzioi o eseguiili i N. c : e 00 d : f : 0 ero o flso? 0 ( ) : c 0 0 d : : e : : f : 0 : 0 : ( ) c ( 0) : d : ( ) e 0 : 0 : f 00 : 0 : S. Lttes & C. Editori SpA - iett l vedit e l diffusioe

16 T EORIA Zero e uo elle quttro operzioi Addizioe e sottrzioe Lo zero è l elemeto eutro dell ddizioe (m o dell sottrzioe): m 0? N successivo di precedete di Moltipliczioe e divisioe L uo è l elemeto eutro dell moltipliczioe (m o dell divisioe): : m :? N Lo zero cttur il prodotto (legge di ullmeto del prodotto): L uo e lo zero ell divisioe: : : : 0 : 0 0 : 0 perché 0 0 : 0 è impossiile perché o esiste u umero che moltiplicto per 0 di come prodotto 0 : 0 è idetermit h ifiite soluzioi perché qulsisi umero moltiplicto per 0 dà come prodotto 0 Espressioi Le espressioi si risolvoo eseguedo prim: le moltipliczioi e le divisioi; le operzioi elle pretesi tode, poi quelle elle pretesi qudre e ifie quelle elle pretesi grffe. { ( 0) : + : + : } : + { ( ) + } + 0 : : + : { } + : + : + : { } + + : + : { } + : + : { } : : S. Lttes & C. Editori SpA - iett l vedit e l diffusioe

17 E SERCIZI Complet l tell iseredo u crocett ell colo opportu. elemeto eutro ddizioe sottrzioe moltipliczioe divisioe 0 o esiste Complet.. c. e... d. f 0. Ripssimo isieme. 0 c. e.. d. f c. e.. d 0. f.. :. c :. e 0 :. idetermit. : d. : 0 f :. impossiile Iserisci il simolo ugule ( ) o diverso ( ). :.. d.. :.. e :.. c.. f.. ero o flso? ( ) : ( : ) : : c ( ) : : d ( ) : : Complet. ( ) ( ) + : + : + + : + : + : : Risolvi le espressioi. ( ) : + : { + : ( ) + : } :. ( ) { ( ) } c.... { } ( + : ) : ( ) d... S. Lttes & C. Editori SpA - iett l vedit e l diffusioe

18 T EORIA Rccogliere dti e orgizzrli i telle I dti: vegoo rccolti medite u sodggio; costituiscoo le iformzioi che ci iteresso; soo orgizzti i telle; il umero delle volte che compre u determito dto è detto frequez. Rppresetzioi grfiche Ortogrmm I dti soo rppresetti d rettgoli co l stess se. L uità di misur idic il vlore del rettgolo di ltezz uitri. L ltezz del rettgolo è legt ll frequez del dto cosiderto. frequez 0 clcio teis uoto sket pllvolo dz Ideogrmm I dti soo rppresetti co immgii simoliche. L chive di lettur idic il sigificto dei simoli e il loro vlore. L qutità di immgii ripetute esprime l frequez del dto. Areogrmm Il totle dei dti è rppresetto d u cerchio (tort). L frequez di u dto è rppresett d u settore circolre (fett). Digrmm crtesio Rppreset feomei i cui due grdezze vriili dipedoo l u dll ltr: x vriile idipedete. y vriile dipedete. le coppie dei diversi vlori delle due grdezze vegoo trsformti i puti del pio crtesio. Tli puti vegoo uiti d u spezzt che rppreset il digrmm crtesio del feomeo cosiderto. clcio teis uoto frequez 0 pllvolo % sket % dz % sket pllvolo dz uoto % simolo rgzzi clcio teis uoto sket pllvolo dz teis % clcio % sport 0 S. Lttes & C. Editori SpA - iett l vedit e l diffusioe

19 E SERCIZI Co riferimeto ll tell di frequez, reltiv ll composizioe dello sputio cosumto durte l itervllo di rgzzi dell IIC, rispodi. cosumzioe frequez solo succo di frutt meredi pio u frutto succo di frutt e meredi foccci I quti cosumo u meredi e u succo di frutt? Quti llievi evoo solo u succo di frutt? c Quti mgio u frutto? d Quti soo gli llievi dell clsse? Ripssimo isieme Co riferimeto ll ortogrmm, reltivo l umero dei psti serviti i u ristorte ei vri giori dell settim, rr l csell di vero o flso. frequez luedì mercoledì giovedì veerdì sto domeic 0 psti Il luedì soo stti serviti 0 psti. I psti serviti il mercoledì soo stti. c Mrtedì è il gioro di chiusur. d Il gioro i cui si soo serviti più psti è il sto. e I psti serviti complessivmete ei giori di veerdì e domeic soo uguli quelli serviti il sto. f Il giovedì soo stti serviti 0 psti. Ricoosci qule tell di frequeze corrispode ll ideogrmm reltivo l umero di mucche preseti i quttro lpeggi dell lle d Aost. Alpeggio A Alpeggio C 0 mucche Alpeggio B Alpeggio D lpeggio A B C D c lpeggio A B C D frequez frequez 0 lpeggio A B C D d lpeggio A B C D frequez 0 frequez Co riferimeto ll tell sul colore dei cpelli di u gruppo di rgzzi, complet il procedimeto per determire l mpiezz dei settori dell reogrmm reltivo. colore dei cpelli ero iodo csto rosso rgzzi I rgzzi soo i tutto 0 L mpiezz del settore corrispodete rgzzo è 0 : c L mpiezz del settore corrispodete i rgzzi co i cpelli eri è... 0 d L mpiezz del settore corrispodete i rgzzi co i cpelli iodi è e L mpiezz del settore corrispodete i rgzzi co i cpelli csti è f L mpiezz del settore corrispodete i rgzzi co i cpelli rossi è S. Lttes & C. Editori SpA - iett l vedit e l diffusioe

20 T EORIA Elevmeto potez.. espoete se co, N volte I qudrti dei umeri turli si dicoo qudrti perfetti. Proprietà delle poteze Poteze co l stess se m p m+ + p + + : m m ( ) m m m : ( ) 0 Poteze co lo stesso espoete c c ( ) ( ) : : 0 ( ) 0 : ( : ) Uo e zero ell elevmeto potez 0 co co L potez 0 0 o h sigificto. Espressioi co le poteze Azitutto si eseguoo le poteze pplicdo le proprietà delle poteze; successivmete si eseguoo moltipliczioi e divisioi e ifie le ddizioi e sottrzioi, ddo però l precedez lle operzioi idicte elle pretesi. ( ) ( : ) ( ) ( ) ( ) 0 S. Lttes & C. Editori SpA - iett l vedit e l diffusioe

21 E SERCIZI Complet... c. e... d. f. Complet l tell. se espoete potez vlore dell potez Ripssimo isieme ero o flso? d : e ( ) c : f ( ) Scrivi sotto form di u uic potez. c e d f : c : e ( ) 0 : d ( ) f ( ) Ricoosci l rispost corrett c : 0 d : Scrivi sotto form di u uic potez. c : e 0 : : d : f Complet. c 0 0 e 0 0 d f 0 Scrivi sotto form di u uic potez. c : e : : : d : : f : 0 Risolvi le segueti espressioi. :... : ( : ) : 0 c ( 0 : ) : ( ) d ( : ) : S. Lttes & C. Editori SpA - iett l vedit e l diffusioe

22 T EORIA Multipli e divisori è divisiile per se l divisioe : è estt; se è divisiile per, è u multiplo di e è u divisore o sottomultiplo o fttore di ; il multiplo di u umero è il prodotto di per u quluque umero turle diverso d zero. Criteri di divisiilità Permettoo di spere se u umero è divisiile per u umero sez eseguire l divisioe. U umero è divisiile: per qudo l ultim cifr destr è pri (0,,,, ); per qudo l ultim cifr destr è 0 o ; per qudo l somm delle sue cifre è u multiplo di ; per qudo l differez tr l somm delle cifre di posto dispri e quell delle cifre di posto pri è zero o u multiplo di. Numeri primi I umeri primi soo divisiili solo per e per se stessi. I umeri composti soo divisiili, oltre che per e per se stessi, che per u umero fiito di ltri divisori. Scomposizioe i fttori primi U umero composto si può scomporre el prodotto di umeri primi. Ogi umero composto h u sol scomposizioe i fttori primi. Mssimo Comue Divisore (M.C.D.) Il M.C.D. è il più grde dei divisori comui due o più umeri. M.C.D. (, ) è il prodotto dei fttori primi comui di e, presi u sol volt co il miimo espoete. M.C.D. (, ) M.C.D. (, ) se è u multiplo di se e soo primi fr loro Miimo comue multiplo (m.c.m.) Il m.c.m. è il più piccolo dei multipli comui due o più umeri. m.c.m. (, ) è il prodotto dei fttori primi comui e o comui di e, presi u sol volt co il mssimo espoete. m.c.m. (, ) m.c.m. (, ) se è multiplo di se e soo primi fr loro S. Lttes & C. Editori SpA - iett l vedit e l diffusioe

23 E SERCIZI Scrivi u umero i modo d redere ver ciscu ffermzioe. è u multiplo di d è u sottomultiplo di 0 è divisiile per e è u fttore di c è u divisore di f è u multiplo di Complet l eleco dei divisori di.,,,,, Scrivi tutti i divisori di. Ripssimo isieme... Complet l tell iseredo u crocett ell colo opportu. umero 0 divisiile per Complet le telle. umero somm delle cifre è divisiile per?... sì umero somm delle cifre di posto pri somm delle cifre di posto dispri differez è divisiile per? 0 sì 0 ero o flso? U umero che termi co l cifr può essere primo Tutti i umeri che termio co u cifr dispri soo primi. c 0 è u umero composto. d U umero che termi co l cifr può essere primo. Complet iseredo il termie primo o composto. è u umero c è u umero e è u umero è u umero d è u umero f è u umero S. Lttes & C. Editori SpA - iett l vedit e l diffusioe

24 E SERCIZI Ricoosci i quli csi i umeri soo scomposti i fttori primi. c e d f Complet le scomposizioi i fttori primi c... d... 0 c 0 d 0 Complet. M.C.D. (, ).... M.C.D. (, ). c M.C.D. (, ). d M.C.D. (, ).... ero o flso? M.C.D. (, ) d M.C.D. (, 0) M.C.D. (, 0) e M.C.D. (, 0) c M.C.D. (, ) f M.C.D. (, ) Complet. m.c.m. (, ) m.c.m. (, )... c m.c.m. (, )... d m.c.m. (, )... ero o flso? m.c.m. (, 0) 0 d m.c.m. (, ) m.c.m. (0, ) 0 e m.c.m. (, ) c m.c.m. (, 0) 0 f m.c.m. (, 0) 0 S. Lttes & C. Editori SpA - iett l vedit e l diffusioe

25 T EORIA Dll uità frziori ll frzioe m è l uità frziori cioè u delle prti uguli i cui è stto diviso l itero. umertore lie di frzioe deomitore L frzioe come divisioe m idic il umero delle prti che soo stte cosiderte. idic il umero delle prti uguli i cui è stto diviso l itero. Ripssimo isieme Dt u frzioe m m : possimo vere i segueti csi prticolri. Se m k m k k m 0 se m 0 ed 0 Se m m m Se m m m m impossiile se m 0 ed 0 idetermit se m 0 ed 0 rzioi proprie, improprie, ppreti m m frzioe propri se m frzioe impropri m k frzioe pprete PROPRIE IMPROPRIE APPARENTI RAZIONI rzioi equivleti e proprietà ivritiv Due frzioi soo equivleti se pplicte llo stesso itero do lo stesso risultto. Proprietà ivritiv: moltiplicdo o dividedo, se è possiile i modo estto, etrmi i termii di u frzioe per uo stesso umero diverso d zero, si ottiee u frzioe equivlete quell dt. Riduzioe di u frzioe i miimi termii L frzioe m si dice ridott i miimi termii qudo umertore e deomitore soo primi fr loro cioè se: M.C.D. (m, ) Per ridurre u frzioe i miimi termii si devoo dividere umertore e deomitore per il loro M.C.D. S. Lttes & C. Editori SpA - iett l vedit e l diffusioe

26 E SERCIZI Complet iseredo l frzioe corrispodete. Dividi u grdezz i prti uguli e cosidere... Dividi u itero i prti uguli e cosidere... c Dividi u cerchio i prti uguli e cosidere... d Dividi u foccci i prti uguli e mgie... Ricoosci le uità frziorie. Iserisci il simolo ugule ( ) o diverso ( ).. : c. : e. :. : d. : f. : 0 0 ero o flso? 0 0 c e 0 d f impossiile 0 0 Ricoosci le frzioi come proprie, improprie e ppreti. ; ; ; ; ; ; ; ; ; 0 Complet i modo d otteere. U frzioe propri U frzioe pprete c U frzioe impropri ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ero o flso? c d e f 0 Per ciscu frzioe, complet l riduzioe i miimi termii. M.C.D. (, ).. M.C.D. (, ).. c M.C.D. (, ).. : : : : : : S. Lttes & C. Editori SpA - iett l vedit e l diffusioe

27 T EORIA Riduzioe di più frzioi l miimo comue deomitore (m.c.d.) m Per trsformre u frzioe, ridott i miimi termii, i u ltr equivlete di deomitore ssegto e multiplo di, st moltiplicre m e per :. Per ridurre due o più frzioi l m.c.d. si deve: ridurre le frzioi i miimi termii; clcolre il m.c.m. dei deomitori otteuti, cioè m.c.d.; trsformre ogi frzioe i u ltr equivlete vete per deomitore il m.c.d. Ripssimo isieme Rppresetzioe delle frzioi sull rett umeric oriett Per rppresetre sull rett umeric oriett: si divide u i prti, se e cosidero e si riporto queste tre prti prtire d 0. O u Cofroto di frzioi U frzioe propri è miore di u impropri o pprete. Tr due frzioi co lo stesso deomitore è miore quell co umertore miore. Tr due frzioi co lo stesso umertore è miore quell co deomitore mggiore. Per cofrotre due frzioi co diverso deomitore isog ridurle l m.c.d. Addizioe e umeri misti L somm di più frzioi veti lo stesso deomitore è l frzioe che h per umertore l somm dei umertori e per deomitore il deomitore comue. Per ddiziore più frzioi veti deomitori diversi occorre ridurle l m.c.d. e poi si procede come sopr. Numero misto è l somm di u umero turle co u frzioe propri. Sottrzioe e frzioe complemetre L differez fr due frzioi: veti lo stesso deomitore è l frzioe che h per deomitore lo stesso deomitore e per umertore l differez fr i umertori delle frzioi dte; co deomitori diversi, si riducoo l m.c.d. e poi si procede come el cso precedete. L frzioe complemetre di u frzioe propri m si ottiee sottredo m d : m complemetre di m Due frzioi si dicoo complemetri se l loro somm è. S. Lttes & C. Editori SpA - iett l vedit e l diffusioe

28 E SERCIZI Complet l riduzioe l m.c.d. di ciscu gruppo di frzioi., m.c.m. (, ), m.c.m. (, ) c,, m.c.m. (,, 0) 0 d,, m.c.m. (,...,...) Complet l tell. 0 frzioi, 0, 0,, 0, 0, frzioi ridotte i miimi termii m.c.d. frzioi ridotte l m.c.d. Co riferimeto ciscu rppresetzioe grfic, complet. u O A B C D 0 Il puto A, otteuto dividedo l uità di misur i prti cogrueti e cosiderdoe è l immgie dell frzioe e di tutte le frzioi ess. Il puto B, otteuto dividedo l uità di misur i prti cogrueti e cosiderdoe è l imm- gie dell frzioe c Il puto C, otteuto dividedo l uità di misur i prti cogrueti e cosiderdoe è l immgie dell frzioe d Il puto D, otteuto dividedo l uità di misur i prti cogrueti e cosiderdoe è l immgie dell frzioe u O A B C D E 0 L frzioe h come immgie il puto d L frzioe h come immgie il puto L frzioe h come immgie il puto e L frzioe h come immgie il puto c L frzioe h come immgie il puto f L frzioe h come immgie il puto 0 S. Lttes & C. Editori SpA - iett l vedit e l diffusioe

29 E SERCIZI Iserisci il simolo mggiore ( ) o miore ( ) c d e f Complet il procedimeto per cofrotre ciscu coppi di frzioi., le frzioi ridotte l m.c.d. soo, quidi: c,, le frzioi ridotte l m.c.d. soo, quidi; le frzioi ridotte l m.c.d. soo,, quidi; Ripssimo isieme Complet c d Esegui le ddizioi. + + c + d + e + + f Complet l tell. + + prte iter prte frziori umero misto frzioe impropri Complet. Esegui le sottrzioi. c d e f c d 0 ero o flso? L frzioe complemetre di: è è c d è è S. Lttes & C. Editori SpA - iett l vedit e l diffusioe

30 T EORIA Moltipliczioe e frzioi reciproche Per moltiplicre due frzioi si moltiplico fr di loro i umertori (e si ottiee il umertore) e i deomitori (e si ottiee il deomitore). I u moltipliczioe di frzioi si può semplificre i croce il umertore di u co il deomitore dell ltr. L frzioe reciproc di u frzioe m (co m, 0) si ottiee scmido fr m loro umertore e deomitore: l frzioe è reciproc di. m Due frzioi si dicoo reciproche qudo il loro prodotto è. Divisioe e frzioe termii frziori Per dividere due frzioi si deve moltiplicre l prim per l ivers dell secod. U frzioe termii frziori è u frzioe i cui termii soo frzioi: m m m : Elevmeto potez di u frzioe Per elevre u frzioe u espoete si elevo quell espoete il umertore e il deomitore dell frzioe. lgoo le proprietà delle poteze. Espressioi co le frzioi lgoo le stesse regole già viste per il clcolo delle espressioi i N: prim si clcolo le poteze, poi si svolgoo i clcoli delle moltipliczioi e divisioi, ifie si eseguoo le ddizioi e le sottrzioi ell ordie i cui si preseto; prim si svolgoo i clcoli elle pretesi tode, poi quelli elle qudre e ifie elle grffe; si riducoo le frzioi i miimi termii. Prolemi co le frzioi m Clcolre l prte frziori (p) di u umero () dt l frzioe : m p m Clcolre u umero () dt l prte frziori (p) e l frzioe : m p : p m m Clcolre due umeri ( e ) l uo frzioe dell ltro cooscedo l loro somm ( s): s :(m ) s :(m ) m Clcolre due umeri ( e ) l uo frzioe dell ltro differez ( d): d :( m) d : ( m) m m cooscedo l loro S. Lttes & C. Editori SpA - iett l vedit e l diffusioe

31 E SERCIZI ero o flso? c d 0 0 ero o flso? Ripssimo isieme Complet c d c d Esegui le moltipliczioi. c 0 d e f Clcol il vlore delle frzioi termii frziori. c d ero o flso? Complet l tell. frzioe frzioe reciproc c ( ) ( ) d e f ( ) 0 ( ) 0 Complet. 0 Clcol il vlore delle poteze. : 0 ; ; ; : 0 ; ; c d : : Esegui le divisioi. : c : e : ero o flso? c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : : d : f : d : S. Lttes & C. Editori SpA - iett l vedit e l diffusioe

32 E SERCIZI Complet e scrivi sotto form di u uic potez. ( ) :.... ( ) ( ) ( )... c d.. ( ) : ( ) ( )... ( )... ( ) ero o flso? Risolvi le espressioi. c + + ( ) ( ) + c d 0 : ( ).. : + ( ) + 0 ero o flso? di c di di 0 0 d di 0 Complet. Il umero i cui soo uguli è: : 0 Il umero i cui soo uguli è: :.. c Il umero i cui soo uguli 0 è: 0 :. 0. d Il umero i cui soo uguli è: :.. Idicti co e due umeri, complet. Se e di llor : ( ) : ( ) Se e di llor : ( ) : ( ) c Se e di llor : ( ) : ( ) d Se e di llor : ( ) : ( ) 0 S. Lttes & C. Editori SpA - iett l vedit e l diffusioe