ANALISI DI FOURIER. Segnali Tempo Discreti:

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1 AALISI DI FOURIER Sgali Tmpo Discrti: - Trasformata Discrta di Fourir -Squza priodica - Taratura dgli assi frquziali - TDF di ua squza fiita - Campioamto i Frquza - Algoritmi fft: srcitazioi Matlab -Zro Paddig -Trocamto -Aalisi TF Squza -Efftto Ritardo tmporal -Esmpi -Calcolo covoluzio tra squz fiit

2 diuasquzapriodica: sridiscrtadifourir Cosidriamo ua squza ifiita priodica di priodo x[t] tal pr cui x[t+t]x[t] Pr rapprstar tal squza si possoo utilizzar fuzioi complss dl tipo j2π [ ] Qust soo fuzioi oscillati, priodich di priodo /

3 diuasquzapriodica: sridiscrtadifourir Crchiamo di prcisar il sigificato fisico dll oscillazioi. S la squza driva da u campioamto di u sgal tmpo cotiuo x(t) j2πt [ ] T Scrivdo i qusto modo la fuzio oscillat, si idividua la frquza di oscillazio f T L frquz soo multipl dlla frquza fodamtal /T Tali frquz vgoo dtt armoich

4 diuasquzapriodica: sridiscrtadifourir È possibil far rifrimto alla frquza ormalizzata risptto al tmpo di campioamto o alla pulsazio ormalizzata f ω 2π Vista la priodicità dll fuzioi oscillati è possibil utilizzar solo, co,,,-

5 diuasquzapriodica: sridiscrtadifourir La trasformatadiscrtadifourir (TDF) diuasquzapriodica, ach dtta Sri Discrta di Fourir (SDF), si sprim co la sgut sommatoria ~ x [ ] ~ X( ) j2π Il fatto di avr u umro fiito di fuzioi driva dal fatto ch: -I ogi priodo dlla squza è prst u umro fiito di campioi -L fuzioi soo priodich

6 I cofficiti dlla TDF dlla squza priodica soo dati da Trasformata discrta di Fourir diuasquzapriodica: sridiscrtadifourir 2 j x X π ] [ ) ( ~ Qusti cofficiti soo priodici di priodo ifatti ) ( ~ ] [ ) ( ] [ ) ( ~ X j j x j x X + + π π π 2 2 2

7 diuasquzapriodica: sridiscrtadifourir La priodicità di cofficiti dlla SDF implica ch soo sufficiti campioi di X[] pr avr tutt l iformazioi sul cotuto frquzial dlla squza: i particolar è possibil scglir l itrvallo [,,,-] oppur u itrvallo ctrato attoro allo zro. l caso di pari, qusta ultima sclta porta ad avr u itrvallo asimmtrico. lla prossima slid vrrao prstati i casi prcdti.

8 diuasquzapriodica: sridiscrtadifourir Frquz dll fuzioi oscillati f 2,,,..., T T T Itrvallo ctrato attoro allo zro dispari: pari: ( ) ( ) / 2 / 2 f,...,,..., T T / 2 / 2 f,...,,..., T T

9 di ua squza fiita Il caso dlla TDF di ua squza fiita vi ricavato a partir dalla TDF dlla squza priodica ottuta priodicizzado la squza fiita stssa. Vdrmo ch la TDF di ua squza fiita, passado attravrso la sua priodicizzazio, prmtt di ottr i valori dlla TF dllasquzapr u isimfiitodivaloridif. Dtta x[] la squza fiita di lughzza, cosidriamo la squza ottuta dalla sua priodicizzazio, co priodo : Pr cui val la sgut rlazio: x [ ] x~ [ ] x[ r ] ~ x [ ] r altrov

10 di ua squza fiita Dall ultima rlazio si vd ch è possibil ricavar la squza fiita da qulla priodica: cosgu ch, a partir dai cofficiti dlla TDF dlla squza priodica, è possibil ricavar i valori dlla squza fiita. Pr aalogia al lgam sistt l domiio tmporal tra l du squz, si dfiisc il lgam tra i cofficiti dll du trasformat: abbiamo visto ch i cofficiti dllo trasformata discrta di Fourir di ua squza priodica, formao a loro volta ua squza priodica i. I cofficiti dlla TDF dlla squza fiita si ottgoo da qusti ultimi scodo la sgut rlazio Co X( ~ X( ) ) altrov ~ X ( ) X( )

11 La TDF di ua squza fiita si otti quidi com Trasformata discrta di Fourir di ua squza fiita ( ) 2 ] [ j x X π L oprazio ivrsa si sprim com ) ( ] [ 2 X x j π

12 di ua squza fiita La rlazio itrcorrt tra i cofficit -simo dlla Trasformata Discrta di Fourir dlla squza priodicizzata X ( ) la Trasformata di Fourir dlla squza origiaria X ( f ), può ssr sprssa co la rlazio di campioamto i frquza pr cui X T ( ) X dov è il umro di campioi dlla squza origiaria. Vdrmo più avati u smpio.