ANALISI DI FOURIER. Segnali Tempo Discreti:

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1 ANALISI DI FOURIER Sgali mpo Discrti: - Ci alla rasormata di Fourir di ua squza - Rlazio co la CF - Codizio di Nyquist - Etto dl trocamto dl Sgal sulla F

2 Cosidriamo ua squza x[]: l sguito cosidrrmo la squza com drivat dal campioamto di u sgal tmpo cotiuo, pr cui x[]x(). È possibil diir la raormata di Fourir dlla squza com rasormata di Fourir di ua Squza ( ) x j2 ] [ π La trasormata è ua uzio dlla variabil cotiua. È possibil sprimr la F dlla squza i uzio dlla rquza ormalizzata F. La F risulta priodica i di priodo / iatti: ( ) x x 2 j 2 j ] [ 2 j ] [ π π π

3 rasormata di Fourir di ua Squza L oprazio ivrsa prmtt di ricavar x[] a partir dalla trasormata di Fourir x[ ] / / 2 2 j 2π d La rlazio ricorda qulla ottuta pr i sgali tmpo cotiui, co la dirza ch l itgral è stso ad u priodo dlla. Qusto implica la squza può ssr ricostruita utilizzado l rquz comprs ll itrvallo iito [-/2:/2]. Qusto atto si può spigar psado alla priodicità dlla trasormata pr cui l iormazioi sigiicativ pr la ricostruzio dl sgal soo ottibili aalizzado u priodo dlla trasormata. S utilizziamo la rquza ormalizzata il priodo bas si riduc all itrvallo di, [-/2:/2]

4 rasormata di Fourir di ua Squza La priodicità di implica ch du oscillazioi a rquza k/, co grico, soo quivalti k j2π j2π j2 k j2 π π Com smpio scgliamo u tmpo di campioamto pari a 4 Hz/ co 0.25 sc. Co qusto itrvallo di campioamto l itrvallo bas di rquz cssari suiciti pr ricostruir la squza è [-2 Hz: 2 Hz]. Cosidriamo ua oscillazio siusoidal a rquza Hz. Allora, dato, qusta oscillazio è idistiguibil da tutt qull a rquza Hzk*4Hz, co k itro: quidi 5 Hz, 9Hz tc. La igura a siistra mostra com l du oscillazioi a Hz (lia blu) 5 Hz (lia vrd) diao origi alla stssa squza s campioat co 0.25 sc

5 rasormata di Fourir di ua Squza Suppodo ch la squza x[] drivi da u oprazio di campioamto di u sgal tmpo cotiuo x(t), è possibil trovar ua rlazio ch lga la rasormata Cotiua di Fourir di x(t), la rasormata di Fourir dlla squza x[]. I particolar si ha k La trasormata di Fourir dlla squza è ottuta priodicizzado, co priodo pari alla rquza di campioamto / la trasormata di Fourir dl sgal tmpo cotiuo. Ach da qusta cosidrazio si ricava la priodicità dlla Ioltr si vicoo l codizioi pr u corrtto campioamto di sgali limitati i bada: aiché sia possibil o avr prdita di iormazio dal campioamto di u sgal limitato lla bada rquzial B, è cssario ch c 2B k Codizio di Nyquist

6 rasormata di Fourir di ua Squza CF dl sgal x(t) () -B B F dlla squza Codizio di Nyquist o soddisatta F dlla squza Codizio di Nyquist soddisatta -2/ -2/ -B / / B / 2/ -B B 2/ /

7 rasormata di Fourir di ua Squza Esmpi di F di squz δ() δ [ ] x[ ] j2π j2π -/2 /2

8 rasormata di Fourir di ua Squza Esmpi di F di squz s[ ] u[ ] x[ ] ( j2π 0 ) j2π ( 0 j 2π ) j2π Visto ch a 0 a Modulo Fas

9 rasormata di Fourir di ua Squza Nlla pratica si usao squz di durata iita: ss possoo ssr vist com l ossrvazio, limitata tmporalmt di ua squza iiita x[]. Qusta oprazio prd il om di oprazio di trocamto matmaticamt può ssr dscritta com il prodotto dlla squza x[] pr ua istra di ossrvazio w[], ulla pr gli stri all itrvallo di ossrvazio. Pr vdr com è soo lgat l trasormat di x[] dlla sua vrsio trocata w[]x[] si dv ricorrr alla proprità dl prodotto l tmpo dlla F, pr cui F x[ ] F w[ ] W F w[ ] x[ ] / 2 W / 2 ( α ) ( α ) dα

10 rasormata di Fourir di ua Squza /2 x[ ] cos ( 2π ) Cosidriamo ad smpio la F di o. Si trova ch qusta, l priodo bas, è data du dlta di Dirac ctrat i W -/ 0 0 / -/ Suppodo la istra rttagolar, la sua F risultrà simil ad ua sic(.),il risultato dlla covoluzio tra l dlta la F dlla istra è il sgut. / -/ 0 0 / Visto ch il cotuto rquzial dll sic dimiuisc all aumtar di si coctra attoro allo zro, la stima miglior dlla F dlla squza di partza si otti utilizzado ua istra di ossrvazio maggior

11 rasormata di Fourir di ua Squza I sguito cosidrrmo la trasormata di Fourir di ua squza iita. Qusta sarà ottuta com DF dlla squza ottuta priodicizzado la squza origiaria. Qusto ci prmttrà di dscrivr il cotuto rquzial tramit u umro iito discrto di coiciti.