La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed applicazioni. Parte II

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1 Metodi di Calcolo per la Chimica A.A Marco Ruzzi La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed applicazioni Parte II Showing a Fourier transform to a physics student generally produces the same reaction as showing a crucifix to Count Dracula A Student s Guide to Fourier Transforms with Applications in Physics and Engineering J. F. James Second Edition

2 Formalmente: Sia f ( t) : una funzione complessa di variabile reale, continua a tratti e assolutamente integrabile, ossia : f t ( ) Introduzione [1] Si definisce Trasformata di Fourier l operazione così definita: FT con: [ ]: D ( ) con D ( ) FT f t + i 2πν t [ ] = e dt f t FT[ ] C F ( ν) Se l integrale improprio: F + i 2πν t ( ν) = FT[ f ( t) ] = f ( t) e dt esiste finito per ogni valore di ν allora la funzione F ν viene chiamata Trasformata di Fourier della funzione f t. ( ) ( )

3 Introduzione [2] Il primo passo verso la Teoria della Trasformata Analisi di Fourier di funzioni f periodiche di periodo T ( sul dominio discreto delle ν n ) f(t) periodica P=1/ν P=1/ν P=1/ν Con a n e b n parametri determinabili a partire dalla funzione f(t) analitica In conclusione: l analisi di Fourier di una funzione f (t) periodica fornisce il contributo spettrale per ricostruire la funzione su un dominio discreto di frequenze ω n =nω con n grande quanto necessario per riprodurre correttamente la f (t).

4 Introduzione [3] Il primo passo verso la Teoria della Trasformata Dall analisi di Fourier di segnali periodici alla teoria della trasformata per l analisi spettrale di segnali non periodici f(t) periodica Analisi di Fourier ( dominio discreto delle ν n ) P=1/ν f(t) non periodica crash P=1/ν P ν 0 P ν 0 Teoria delle Trasformate di Fourier (dominio continuo delle ν )

5 Sommario Introduzione [4] Richiami sul campo dei numeri complessi: rappresentazione in forma algebrica; rappresentazione in forma trigonometrica; rappresentazione in forma esponenziale. Richiami sulle funzioni circolari. Segnali periodici e loro rappresentazione tramite funzioni esponenziali complesse. Serie di Fourier. Analisi spettrale di segnali periodici Esempi ed esercitazioni eseguite con Mathlab Trasformate di Fourier Analisi spettrale di segnali arbitrari (non periodici). Esempi ed esercitazioni eseguite con Mathlab.

6 Serie di Fourier [1] La teoria dello sviluppo in serie di Fourier tratta essenzialmente di come un segnale periodico, sotto opportune condizioni di regolarità, possa essere rappresentato tramite combinazione lineare di segnali esponenziali complessi. Sia f (t) un segnale T - periodico che soddisfi le seguenti condizioni di Diriclet: 1. f (t) deve avere al più un numero finito di discontinuità nel periodo; 2. f (t) deve avere al più un numero finito di massimi e minimi nel periodo; 3. f (t) deve risultare assolutamente integrabile, ossia deve soddisfare: e siano : funzioni periodiche esponenziali caratterizzate da frequenze angolari ω n = nω. In tal caso f (t) può essere sviluppato in serie di Fourier ed espresso come la sovrapposizione di n (con al limite n infinito) armoniche di frequenza ω n.

7 Serie di Fourier [2] Sotto le ipotesi viste, vale lo sviluppo in serie di Fourier: con coefficienti: I termini corrispondenti a n = ± k, entrambi con frequenza angolare ω κ = kω, costituiscono le armoniche di ordine k. Osservazione 1. Il coefficiente c 0 è la media temporale del segnale f (t) calcolata sul periodo T. Osservazione 2. Se f (t) è reale, il coefficiente generale c n è complesso ed è uguale al coniugato di c n, vale cioè la relazione: c n = c n *.

8 Serie di Fourier [3] Se f (t) è reale, a partire da: riarrangiando la somma e sostituendo c n con c n si ottiene: Esprimendo c n in forma polare si ottiene: che costituisce la forma trigonometrica combinata della serie di Fourier.

9 Serie di Fourier [4] Sviluppando la somma nell espressione trovata: e riscrivendo i coefficienti nella forma algebrica: c n = a n ib n, (a n e b n non nulli e reali) con: a n = r n cosθ n b n = r n sinθ n si ottiene la forma trigonometrica della serie di Fourier : che coincide con la formulazione originale data da Fourier.

10 Serie di Fourier [5] Dalle espressioni trovate per la forma trigonometrica: è immediato verificare che: nel caso f (t) sia dispari risulta a n = 0 e la serie è costituita da soli seni: nel caso f (t) sia pari risulta b n = 0 e la serie è costituita da soli coseni:

11 Serie di Fourier [6] Analisi spettrale di un segnale periodico Una qualsiasi funzione f (t) periodica di periodo T può essere pensata come la sovrapposizione di infinite componenti armoniche caratterizzate ciascuna da un ampiezza r n, una frequenza ω n e uno sfasamento θ n. con:. Il segnale f (t) è univocamente determinato dall insieme delle coppie (r n, θ n ) che individuano l insieme delle sue componenti. ( r n,θ n ) r 1 r 2 r 4 r 5 θ 1 θ 2 θ 5 θ 3 θ 4 θ n ω n r 3 In particolare l insieme delle ampiezze r n alle diverse frequenze ω n, costituisce lo spettro in frequenza r n (ω n ) del segnale f (t). r n

12 Serie di Fourier [7] Un segnale periodico che riveste un importanza notevole nei computer digitali (segnale di clock) è il treno di impulsi rettangolari unitari di durata 2T 1. F T (t) con: T 1 < T /2 e ω = 2π /T T T /2 T 1 T 1 T /2 T t Vale: I coefficienti c n con n 0 sono: Il coefficiente c 0 è:

13 Serie di Fourier [8] Per esprimere lo spettro di frequenza è utile introdurre la funzione sinc: esprimibile anche in termini esponenziali: Valgono: con: n = 1, 2, 3,....

14 Serie di Fourier [8] Per esprimere lo spettro di frequenza è utile introdurre la funzione sinc: esprimibile anche in termini esponenziali: Valgono: con: n = 1, 2, 3,....

15 In effetti, i coefficienti c 0 e c n trovati: Serie di Fourier [9] possono essere espressi convenientemente in termini di funzione sinc: con: n = 0, ±1, ±2,... Sostituendo nell espressione trovata per c n la variabile continua variabile discreta nω si ottiene la funzione inviluppo: ω al posto della esprimibile anche in termini esponenziali in termini di modulo e argomento: θ ( ω) = argc ( ω)

16 Serie di Fourier [10] Spettro dell onda rettangolare di periodo T rappresentato attraverso il modulo e l argomento della funzione inviluppo dei coefficienti c n di Fourier: con: θ ( ω) = argc ( ω)

17 Serie di Fourier [11] Un problema importante per le applicazioni è quello di valutare il grado di approssimazione di S (t) introdotto dalla restrizione della serie alla somma parziale. Lo studio della qualità dell approssimazione è ridotto allora allo studio della convergenza di S N nella serie di Fourier S (t) ossia alla funzione di partenza. In generale la somma parziale S N, all'aumentare del grado N, approssima sempre meglio la serie di Fourier e dunque la funzione di partenza S (t). Tuttavia problemi sula convergenza nascono dal fatto che: S N (t) è una successione di funzioni continue; S (t) può invece presentare delle discontinuità (condizioni di Dirichlet). In presenza di discontinuità di S (t), la successione delle somme parziali converge in ogni punto, ma non converge uniformemente (fenomeno di Gibbs).

18 Serie di Fourier [12] La figura illustrata la convergenza alla serie: delle somme parziali S 3, S 7, S 25, S 201 periodo 2π : per la funzione rettangolare S(t) periodica di

19 Serie di Fourier [13] Esiste un valore δ > 0 tale che, per ogni N della somma parziale S N (t), vale: Inoltre, per N grande, i punti t N per cui S (t N ) S N (t N ) δ sono prossimi ai punti di discontinuità di S (t) tendendo ai punti di discontinuità stessi se N tende a infinito. (convergenza puntuale ma non uniforme di S N (t) a S (t)).

20 La Trasformata di Fourier [1] Lo sviluppo in serie di Fourier permette di rappresentare f (t) periodiche di periodo T come sovrapposizione di funzioni armoniche con frequenza multipla della frequenza del segnale dato. La teoria della trasformata di Fourier estende i risultato a segnali f (t) non periodici ossia a funzioni con periodo T illimitato. La trasformata di Fourier può essere vista come limite di una serie di Fourier applicabile a funzioni non periodiche. espressioni matematiche per lo sviluppo in serie di Fourier integrazione estesa sull intero asse dei tempi anziché sull intervallo limitato T rappresentazione di f (t) tramite infinite armoniche con frequenza variabile in modo continuo anziché tramite n armoniche caratterizzate da frequenze discrete ωn=nω (sviluppo integrale anziché sviluppo in serie) espressioni matematiche per la trasformata di Fourier

21 La Trasformata di Fourier [2] Una funzione f (t) non periodica può essere pensata come una funzione f T (t) periodica con periodo T illimitato. Vale: f T (t) rappresenta un treno di impulsi rettangolari unitari di periodo T e larghezza 2T 1. f (t) rappresenta un unico impulso rettangolare Unitario di periodo T e larghezza 2T 1.

22 Posto: La Trasformata di Fourier [3] Rinunciando ad una trattazione più formale a partire dall espressione valida per la serie: con T si ottiene: con Passando al limite, vale: tutte le frequenze delle armoniche tendono alla fondamentale la frequenza fondamentale è infinitesima il parametro di finezza delle frequenze tende a zero

23 La Trasformata di Fourier [4] e dall espressione trovata: con si ottiene: con posto: vale alla fine: con La coppia di funzioni F(ω ) e f (t) vengono chiamate rispettivamente trasformata di Fourier e antitrasformata di Fourier e si indicano: FT[ ] = FT 1 [ ] =

24 La Trasformata di Fourier [5] F (ω) è la Trasformata di f (t) f (t) è l Antitrasformata (o trasformata inversa) di F (ω) con Osservazione 1. Per come è stata definita la corrispondenza: biunivoca e lineare. è una corrispondenza Osservazione 2. Si noti l analogia tra trasformata e sviluppo in serie di Fourier. La rappresentazione per f (t) tramite F(ω ) gioca per i segnali non periodici un ruolo analogo alla rappresentazione nello sviluppo in serie per i segnali f T (t) periodici: con

25 Osservazione 3. La Trasformata di Fourier [6] con con In entrambi i casi il segnale viene espresso come combinazione lineare di esponenziali complessi: per segnali f T (t) periodici, gli esponenziali complessi sono pesati tramite coefficienti c n definiti per valori discreti di frequenze ω n = nω ; per segnali f (t) non periodici, gli esponenziali complessi sono pesati tramite un ampiezza continua F (ω ) dω / 2π definita su un continuo di frequenze ω. Osservazione 4. La trasformata di Fourier F (ω ) costituisce lo spettro del segnale f (t). Se f (t) è una funzione a valori reali allora F (ω ) è a valori complessi e lo spettro del segnale è individuato dal suo modulo F (ω ) e dalla sua fase arg(f (ω )).

26 La Trasformata di Fourier [7] L esempio che segue è utile per apprezzare il significato fisico della coppia trasformata-antitrasformata di Fourier. Treno di impulsi rettangolari e unitari: F T (t) T con: T 1 < T /2 e ω = 2π /T T T /2 T 1 T 1 T /2 T t Lo sviluppo in serie di Fourier si scrive: c n e lo spettro (discreto) di frequenza segue l andamento della funzione sinc (nω T 1 ) ω

27 La Trasformata di Fourier [8] All aumentare di T il parametro di finezza dello spettro tende a zero e al limite la trasformata F(ω ) diventa uno spettro continuo: c n c n ω 4T F(ω ) ω 0 ω

28 La Trasformata di Fourier [9] Per eseguire il calcolo della trasformata di un segnale impulso rettangolare di durata 2T 1 e ampiezza V è necessario esprimere il segnale in forma analitica. Si utilizza il segnale impulso rettangolare unitario di durata 1 così definito: v In tal caso il segnale impulso rettangolare di durata 2T 1 e ampiezza V può essere scritto come segue: v

29 La Trasformata di Fourier [10] Il calcolo della trasformata risulta immediato: con: In tal modo si ottiene la nota coppia:

30 La Trasformata di Fourier [11] Il risultato trovato mette in evidenza il comportamento duale tra tempo e frequenza: un segnale impulso rettangolare di durata 2T 1 e ampiezza V è caratterizzato da un contenuto spettrale che include tutte le frequenze ω pesate sulla funzione seno cardinale 2T 1 V sinc (ω T 1 ). impulsi di breve durata ( T 1 0 ) sono caratterizzati da un contenuto spettrale più ampio ( π /T 1 + ). Il risultato trova applicazione fondamentale nell ambito della spettroscopie impulsate!)

31 La Trasformata di Fourier [12] Si consideri il segnale che descrive un decadimento esponenziale definita solo per tempi positivi. La funzione può essere espressa analiticamente come segue: con u(t) funzione gradino unitario: Il calcolo della trasformata di Fourier di f (t) è immediato: Poiché la trasformata è a valori complessi, F(ω) può essere rappresentata mediante due grafici, rispettivamente del suo modulo e della sua fase.

32 La Trasformata di Fourier [13] La rappresentazione grafica della trasformata di Fourier risulta: Si noti che valendo: la parte reale della trasformata F(ω) di un decadimento esponenziale è una funzione Lorentziana.

33 La Trasformata di Fourier [14] Esistenza della Trasformata di Fourier L insieme di condizioni sufficienti per l esistenza della trasformata di Fourier sono simili a quelle date per la serie di Fourier e note come le condizioni di Dirichlet : La funzione f (t) deve essere limitata, cioè deve esistere una costante positiva M tale che: in particolare deve valere: f (t) deve avere un numero finito di minimi e di massimi; f (t) deve avere un numero finito di discontinuità; f (t) deve essere assolutamente integrabile, cioè deve valere: Si noti che quelle di Dirichlet rappresentano condizioni sufficienti e non necessarie. Molti segnali di interesse pratico verificano le condizioni 1, 2, 3 ma non la 4.