Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del A
|
|
- Giustina Zamboni
- 6 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del A Esercizio ( punti Data la funzione f(x, y = x + y + 4xy 8x 4y + 4 i trovare tutti i punti critici e, se possibile, caratterizzarli come punti di massimo locale, minimo locale o sella; ii determinare massimo e minimo di f(x, y sul triangolo di vertici ( ( ( P =, Q =, R = Esercizio ( punti Calcolare l area dell insieme Ω = (x, y R : x + y, y 4 x 4 Esercizio ( punti Data la curva (γ, I, con I = [ π, π] e parametrizzazione [ π ] ( γ :, π R, γ(t = + t cos t, t sin t i scrivere l equazione cartesiana della retta tangente al sostegno della curva nel punto P = ( π, ; ii calcolare il lavoro lungo la curva (γ, I del campo di vettori F(x, y = ( x y x +y x+y x +y
2 Svolgimento Esercizio Data la funzione f(x, y = x + y + 4xy 8x 4y + 4 i trovare tutti i punti critici e, se possibile, caratterizzarli come punti di massimo locale, minimo locale o sella; La funzione è un polinomio definito su tutto R, dunque è anche di classe C su tutto R Per trovare i punti critici dobbiamo dunque risolvere il sistema f(x, y =, ossia x + 4y 8 = y + 4x 4 = Dalla prima equazione si ricava x = 4 y, e sostituendo nella seconda otteniamo Dunque f ha un solo punto critico, dato da 6y + = y = C = ( Per caratterizzarlo andiamo a calcolare la matrice Hessiana di f Osserviamo che essendo f un polinomio, è una funzione anche di classe C su tutto il dominio, dunque la matrice Hessiana sarà simmetrica In particolare troviamo ( 4 Hf(x, y = Hf(, = 4 Si ha det Hf(, = < Dunque P è un punto di sella ii determinare massimo e minimo di f(x, y sul triangolo di vertici ( ( ( P =, Q =, R = Il triangolo, chiamiamolo Ω, è rappresentato nella figura Per studiare massimo e minimo assoluto di f su Ω dobbiamo considerare i valori che la funzione assume sui punti critici liberi interni a Ω, sui punti critici vincolati al bordo di Ω, e sugli eventuali spigoli del bordo e punti di non derivabilità della funzione La funzione f non ha punti di non derivabilità, e il punto critico trovato al punto i non è interno all insieme Ω Ci rimane da studiare il comportamento di f sul bordo di Ω Gli spigoli sono i punti P = ( Q = ( R = (
3 Figure : L insieme Ω Parametrizziamo ora i tre segmenti del bordo Troviamo ( ( ( t γ (t = ( t + t = ( ( ( γ (t = ( t + t = t ( ( ( t γ (t = ( t + t = t Componiamo con f e otteniamo le funzioni di una variabile, t [, ], t [, ], t [, ] g (t = f(γ (t = 4t 6t + 4, t [, ] g (t = f(γ (t = t 4t + 4, t [, ] g (t = f(γ (t = t 6t +, t [, ] Tutte le funzioni sono sempre derivabili e gli estremi dei loro domini corrispondono agli spigoli Dunque ci rimane di trovare i punti critici delle tre funzioni Per g si trova g (t = 8t 6, che si annulla per t =, quindi mai nell intervallo [, ] Per g si trova g (t = t 4, che si annulla per t =, quindi mai nell intervallo [, ] Per g si trova g (t = 6t 6, che si annulla per t =, quindi mai nell intervallo [, ] I valori che dobbiamo confrontare sono dunque solo quelli degli spigoli, ossia f(p = 4, f(q = 8, f(r = Per cui su Ω, il minimo di f è 8, e il massimo è 4 Esercizio Calcolare l area dell insieme Ω = (x, y R : x + y, y 4 x 4
4 Figure : L insieme Ω L insieme Ω è rappresentato nella figura Il dominio suggerisce di risolvere l esercizio usando il cambiamento di variabili in coordinate polari, ossia ψ(ρ, θ = (x, y con x = ρ cos θ y = ρ sin θ Dunque ponendo S l insieme tale che ψ(s = Ω, abbiamo Area(Ω = dx dy = Ω e det J ψ (ρ, θ = ρ S ρ dρ dθ Determiniamo adesso S e proviamo a scriverlo come insieme semplice Dalla definizione di Ω troviamo S = (ρ, θ [, + [, π] : ρ, ρ sin θ 4 4 ρ cos θ La prima condizione ci dice che ρ [, ], mentre la seconda condizione si riscrive come sin θ sin θ < ρ sin θ 6 (4 ρ cos θ (ρ, θ [, + [, π] L insieme S si ottiene quindi come unione degli insiemi di soluzioni dei due sistemi ρ [, ] ρ [, ] sin θ e sin θ < ρ sin θ 6 (4 ρ cos θ Analizziamo il primo sistema: ρ [, ] sin θ ρ sin θ 6 (4 ρ cos θ 4 (ρ, θ [, + [, π] ρ [, ] θ [, π] ρ 4 +5 sin θ
5 Disegnando la funzione ρ = 4 per θ [, π], otteniamo la figura con θ sulle ascisse e ρ +5 sin θ sulle ordinate Dunque, dato θ [, π ] soluzione di sin θ = 5, il primo sistema ha come soluzione Figure : l insieme θ 4 θ θ, ρ θ π θ, ρ + 5 sin θ π θ θ π, ρ Analizziamo il secondo sistema: ρ [, ] sin θ < (ρ, θ [, + [, π] e quindi la sua soluzione è l insieme ρ [, ] θ (π, π (ρ, θ [, + [, π] Possiamo quindi scrivere S come dove Dunque Area(Ω = Ω π < θ < π, ρ S = S S S, S = θ θ, ρ S = θ θ π θ 4, ρ + 5 sin θ dx dy = Per i singoli integrali si trova S = π θ θ π, ρ S S ρ dρ dθ + ρ dρ dθ + ρ dρ dθ S S S θ ( θ 5 dθ = θ
6 = S π θ π θ θ ( 4 +5 sin θ ρ dρ dθ = π θ θ + 5 sin θ dθ = 4 π cos θ + 6 tan θ dθ = arctan(4 tan θ = π θ arctan(4 tan θ π ( π S π θ π θ dθ = (π + θ Usando la funzione arcsin : [, ] [ π, π ], possiamo scrivere θ = arcsin 5 e tan θ =, e quindi Area(Ω = π + arcsin 5 arctan L integrale si poteva svolgere anche senza il cambiamento in coordinate polari, e riducendo i calcoli con osservazioni sulla simmetria dell insieme Esercizio Data la curva (γ, I, con I = [ π, π] e parametrizzazione [ π ] ( γ :, π R, γ(t = + t cos t, t sin t i scrivere l equazione cartesiana della retta tangente al sostegno della curva nel punto P = ( π, ; La parametrizzazione γ(t è di classe C, quindi la retta tangente al sostegno della curva esiste in tutti i punti che corrispondono ai valori del parametro t I per cui γ (t In particolare per P = ( π, troviamo innanzitutto t [ π, π] tale che γ(t = P, quindi risolviamo il sistema + t cos t = π t sin t = Dalla seconda troviamo t π, π, e sostituendo nella prima si ricava che l unica soluzione è t = π La retta tangente al sostegno nel punto P è quindi generata dal vettore velocità ( ( cos t t γ sin t (t = = sin t + t cos t π e un vettore normale al sostegno nel punto P è quindi ( π n = L equazione cartesiana cercata è allora π (x + π y = 6
7 ii calcolare il lavoro lungo la curva (γ, I del campo di vettori F(x, y = ( x y x +y x+y x +y Studiamo innanzitutto le proprietà del campo F Il suo dominio è R \ (, e rot(f(x, y = F x (x, y F (x, y = y = x + y x(x + y (x + y x y y(x y (x + y = Quindi il campo F è irrotazionale Essendo il suo dominio non semplicemente connesso, dobbiamo calcolare il lavoro per una curva chiusa che vada intorno al punto (, Prima di chiederci se il campo è conservativo, studiamo le proprietà della curva (γ, I La curva, che è un pezzo di spirale traslata, ha come sostegno l insieme in figura Figure 4: Il sostegno di (γ, I Possiamo quindi considerare la restrizione di F a un sottoinsieme Ω R che sia semplicemente connesso, contenga il sostegno della curva ma non il punto (, Un insieme siffatto potrebbe essere Ω = R \ x, y = x Ristretto a questo insieme Ω, il campo risulta conservativo, e possiamo quindi calcolare il lavoro di F lungo (γ, I scegliendo una nuova curva ( γ, Ĩ con gli stessi punti iniziali e finali, e il cui sostegno sia contenuto in Ω Scegliamo γ = γ γ dove γ è la parametrizzazione di una circonferenza che ha come punto iniziale γ ( π e termina sul semi-asse positivo delle ascisse, e γ è la parametrizzazione del segmento sul semi-asse positivo delle ascisse dal punto finale di γ a γ(π Poniamo quindi ( γ : [ t, π] R, γ (t = R cos t, R sin t con R = + π 4 e t = arccos R, e γ : [, ] R, γ (t = ( R + t( + π R, In questo modo abbiamo ( π γ ( t = γ, γ (π = γ ( e γ ( = γ(π 7
8 Possiamo quindi scrivere L(F, γ = L(F, γ + L(F, γ = π ( R cos t R sin t R cos t + R sin t = R ( R sin t + R (R cos t dt+ t = π t + log ( R + t( + π R = π arccos + log( + π ( 4 + π log (+π R dt = R + t( + π R + π 4 8
9 Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del B - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle Esercizio ( punti Data la funzione f(x, y = x + y xy 6x + y + 9 i trovare tutti i punti critici e, se possibile, caratterizzarli come punti di massimo locale, minimo locale o sella; ii determinare massimo e minimo di f(x, y sul triangolo di vertici ( ( ( P =, Q =, R = Esercizio ( punti Calcolare l area dell insieme Ω = (x, y R : x + y, x y Esercizio ( punti Data la curva (γ, I, con I = [ π, 5 π] e parametrizzazione γ : [π, 5 ] π R, γ(t = ( t cos t, + t sin t i scrivere l equazione cartesiana della retta tangente al sostegno della curva nel punto P = (, π ; ii calcolare il lavoro lungo la curva (γ, I del campo di vettori F(x, y = ( x y x +y x+y x +y 9
10 Svolgimento Esercizio Data la funzione f(x, y = x + y xy 6x + y + 9 i trovare tutti i punti critici e, se possibile, caratterizzarli come punti di massimo locale, minimo locale o sella; La funzione è un polinomio definito su tutto R, dunque è anche di classe C su tutto R Per trovare i punti critici dobbiamo dunque risolvere il sistema f(x, y =, ossia x y 6 = y x + = Dalla prima equazione si ricava y = x 6, e sostituendo nella seconda otteniamo Dunque f ha un solo punto critico, dato da x 9 = x = C = ( Per caratterizzarlo andiamo a calcolare la matrice Hessiana di f Osserviamo che essendo f un polinomio, è una funzione anche di classe C su tutto il dominio, dunque la matrice Hessiana sarà simmetrica In particolare troviamo ( Hf(x, y = Hf(, = Si ha det Hf(, = > e traccia Hf(, = 4 > Dunque P è un punto di minimo locale ii determinare massimo e minimo di f(x, y sul triangolo di vertici ( ( ( P =, Q =, R = Il triangolo, chiamiamolo Ω, è rappresentato nella figura 5 Per studiare massimo e minimo assoluto di f su Ω dobbiamo considerare i valori che la funzione assume sui punti critici liberi interni a Ω, sui punti critici vincolati al bordo di Ω, e sugli eventuali spigoli del bordo e punti di non derivabilità della funzione La funzione f non ha punti di non derivabilità, e il punto critico trovato al punto i non è interno all insieme Ω Ci rimane da studiare il comportamento di f sul bordo di Ω Gli spigoli sono i punti P = ( Q = ( R = (
11 Figure 5: L insieme Ω Parametrizziamo ora i tre segmenti del bordo Troviamo ( ( ( t γ (t = ( t + t = ( γ (t = ( t ( γ (t = ( t ( + t + t ( ( = t ( t = t Componiamo con f e otteniamo le funzioni di una variabile, t [, ], t [, ] g (t = f(γ (t = 4t t + 9, t [, ] g (t = f(γ (t = t t + 9, t [, ] g (t = f(γ (t = t 9t + 7, t [, ], t [, ] Tutte le funzioni sono sempre derivabili e gli estremi dei loro domini corrispondono agli spigoli Dunque ci rimane di trovare i punti critici delle tre funzioni Per g si trova g (t = 8t, che si annulla per t =, quindi mai nell intervallo [, ] Per g si trova g (t = t, che si annulla per t =, quindi mai nell intervallo [, ] Per g si trova g (t = 6t 9, che si annulla per t =, quindi mai nell intervallo [, ] I valori che dobbiamo confrontare sono dunque solo quelli degli spigoli, ossia f(p = 9, f(q =, f(r = 7 Per cui su Ω, il minimo di f è, e il massimo è 9 Esercizio Calcolare l area dell insieme Ω = (x, y R : x + y, x y
12 Figure 6: L insieme Ω L insieme Ω è rappresentato nella figura 6 Il dominio suggerisce di risolvere l esercizio usando il cambiamento di variabili in coordinate polari, ossia ψ(ρ, θ = (x, y con x = ρ cos θ y = ρ sin θ Dunque ponendo S l insieme tale che ψ(s = Ω, abbiamo Area(Ω = dx dy = Ω e det J ψ (ρ, θ = ρ S ρ dρ dθ Determiniamo adesso S e proviamo a scriverlo come insieme semplice Dalla definizione di Ω troviamo S = (ρ, θ [, + [ π, π] : ρ, ρ cos θ ρ sin θ La prima condizione ci dice che ρ [, ], mentre la seconda condizione si riscrive come cos θ cos θ < ρ cos θ 9 ( ρ sin θ (ρ, θ [, + [ π, π] L insieme S si ottiene quindi come unione degli insiemi di soluzioni dei due sistemi ρ [, ] ρ [, ] cos θ e cos θ < ρ cos θ 9 ( ρ sin θ (ρ, θ [, + [ π, π] Analizziamo il primo sistema: ρ [, ] cos θ ρ cos θ 9 ( ρ sin θ ρ [, ] θ [ π, π ] ρ +8 cos θ
13 Disegnando la funzione ρ = +8 cos θ per θ [ π, π ], otteniamo la figura 7 con θ sulle ascisse e ρ sulle ordinate Dunque, dato θ [, π ] soluzione di cos θ = 4, quindi θ = π il primo sistema ha Figure 7: come soluzione l insieme π θ π, ρ π θ π, ρ π + 8 cos θ θ π, ρ Analizziamo il secondo sistema: ρ [, ] cos θ < (ρ, θ [, + [ π, π] ρ [, ] θ ( π, π ( π, π (ρ, θ [, + [ π, π] e quindi la sua soluzione è l insieme π < θ < π, ρ π < θ < π, ρ Possiamo quindi scrivere S come dove Dunque Area(Ω = Ω S = S S S, S = π θ π, ρ S = π θ π, ρ + 8 cos θ π S = θ π, ρ dx dy = Per i singoli integrali si trova S S ρ dρ dθ + ρ dρ dθ + ρ dρ dθ S S S π π ( π π dθ = π
14 Quindi = π π S cos θ π π ( +8 cos θ ρ dρ dθ = π π + 9 tan θ dθ = ( π arctan tan θ π π ( π S π ρ dρ Area(Ω = 5 6 π dθ = π + 8 cos θ dθ = ( = arctan = π 6 dθ = π L integrale si poteva svolgere anche senza il cambiamento in coordinate polari, e riducendo i calcoli con osservazioni sulla simmetria dell insieme Esercizio Data la curva (γ, I, con I = [ π, 5 π] e parametrizzazione γ : [π, 5 ] π R, γ(t = ( t cos t, + t sin t i scrivere l equazione cartesiana della retta tangente al sostegno della curva nel punto P = (, π ; La parametrizzazione γ(t è di classe C, quindi la retta tangente al sostegno della curva esiste in tutti i punti che corrispondono ai valori del parametro t I per cui γ (t In particolare per P = (, π troviamo innanzitutto t [ π, 5 π] tale che γ(t = P, quindi risolviamo il sistema t cos t = + t sin t = π Dalla prima troviamo t π, 5 π, e sostituendo nella seconda si ricava che l unica soluzione è t = π La retta tangente al sostegno nel punto P è quindi generata dal vettore velocità ( ( cos t t γ sin t (t = = π sin t + t cos t e un vettore normale al sostegno nel punto P è quindi ( n = L equazione cartesiana cercata è allora π x + π ( y + π = 4
15 ii calcolare il lavoro lungo la curva (γ, I del campo di vettori F(x, y = ( x y x +y x+y x +y Studiamo innanzitutto le proprietà del campo F Il suo dominio è R \ (, e rot(f(x, y = F x (x, y F (x, y = y = x + y x(x + y (x + y x y y(x y (x + y = Quindi il campo F è irrotazionale Essendo il suo dominio non semplicemente connesso, dobbiamo calcolare il lavoro per una curva chiusa che vada intorno al punto (, Prima di chiederci se il campo è conservativo, studiamo le proprietà della curva (γ, I La curva, che è un pezzo di spirale traslata, ha come sostegno l insieme in figura Figure 8: Il sostegno di (γ, I Possiamo quindi considerare la restrizione di F a un sottoinsieme Ω R che sia semplicemente connesso, contenga il sostegno della curva ma non il punto (, Un insieme siffatto potrebbe essere Ω = R \ x, y = x Ristretto a questo insieme Ω, il campo risulta conservativo, e possiamo quindi calcolare il lavoro di F lungo (γ, I scegliendo una nuova curva ( γ, Ĩ con gli stessi punti iniziali e finali, e il cui sostegno sia contenuto in Ω Scegliamo γ = γ γ dove γ è la parametrizzazione di una circonferenza che ha come punto iniziale γ (π e termina sul semi-asse positivo delle ordinate, e γ è la parametrizzazione del segmento sul semi-asse positivo delle ordinate dal punto finale di γ a γ ( 5 π Poniamo quindi γ : [ t, π ] ( R, γ (t = R cos t, R sin t 5
16 con R = [ + π e t = π arcsin R (infatti vogliamo t ( π, π, mentre arcsin : [, ] π, π ], e γ : [, ] R, γ (t = (, R + t( + 5 π R In questo modo abbiamo ( π γ ( t = γ (π, γ = γ ( e γ ( = Possiamo quindi scrivere L(F, γ = L(F, γ + L(F, γ = π ( R cos t R sin t R cos t + R sin t = R ( R sin t + R (R cos t dt+ t ( 5 π R + t( + 5 π R(+5 π R dt = = π t + log (R + t( + 5 π R = ( π + arcsin + log π π ( log + π 6
Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = tan(2x 2 + 3y 2 )
Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del 7-9- - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle Esercizio
DettagliAnalisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = e (x3 +x) y
Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del 8--7 - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle.
DettagliAnalisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = log(1 + x 2 y) lim x 2 x
Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del -7-14 Esercizio 1. (14 punti) Data la funzione = log(1 + x y) i) determinare il dominio e studiare l esistenza del ite (x,y) (,) x x ii)
DettagliAnalisi Matematica II - INGEGNERIA Gestionale - B 20 luglio 2017 Cognome: Nome: Matricola:
Analisi Matematica II - INGEGNERIA Gestionale - B luglio 7 Cognome: Nome: Matricola: IMPORTANTE: Giustificare tutte le affermazioni e riportare i calcoli essenziali Esercizio [8 punti] Data la matrice
DettagliPrima prova in itinere di Analisi Matematica 2 Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano. A.A. 2017/2018. Prof. M. Bramanti.
Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 07/08. Prof. M. Bramanti Tema n 4 5 6 Tot. Cognome e nome (in stampatello) codice persona (o n
DettagliAnalisi Matematica 2 Ingegneria Gestionale Docenti: B. Rubino e R. Sampalmieri L Aquila, 21 marzo 2005
Analisi Matematica 2 Ingegneria Gestionale Docenti: B. Rubino e R. Sampalmieri L Aquila, 21 marzo 2005 Prova orale il: Docente: Determinare, se esistono, il massimo ed il minimo assoluto della funzione
DettagliSvolgimento. f y (x, y) = 8 y 2 x. 1 x 2 y = 0. y 2 x = 0. (si poteva anche ricavare la x dalla seconda equazione e sostituire nella prima)
Università degli Studi della Basilicata Corsi di Laurea in Chimica / Scienze Geologiche Matematica II A. A. 2013-2014 (dott.ssa Vita Leonessa) Esercizi svolti: Ricerca di massimi e minimi di funzioni a
DettagliProve scritte dell esame di Analisi Matematica II a.a. 2011/2012
Prove scritte dell esame di Analisi Matematica II a.a. / C.d.L. in Ingegneria Informatica ed Elettronica - Università degli Studi di Perugia Prova scritta del 7 giugno. ( punti) Disegnare l insieme E (x,
DettagliAnalisi Matematica II (Prof. Paolo Marcellini) 1 Esercizi tratti da temi d esame di anni precedenti
Analisi Matematica II (Prof. Paolo Marcellini) Università degli Studi di Firenze Corso di laurea in Matematica Esercitazione del 8// Michela Eleuteri eleuteri@math.unifi.it web.math.unifi.it/users/eleuteri
DettagliSoluzione. Il dominio E consiste nella parte di spazio contenuta nella sfera ma esterna al cono rappresentata in Figura 1. Infatti
Esercizio 1 (G. Ziglio). (6 punti) Calcolare il volume della porzione di spazio E interna alla sfera di equazione x 2 + y 2 + z 2 = 1 ed esterna al cono di equazione z 2 = x 2 + y 2 E = (x, y, z) R x 2
DettagliAnalisi Matematica II - Ingegneria Meccanica/Energetica - 29 Gennaio 2018
nalisi Matematica II - Ingegneria Meccanica/Energetica - 29 Gennaio 218 1) ia data la funzione f(x, y, z) = (x 2 + y 2 1) 2 + 8 a) tudiare l esistenza di massimi e minimi assoluti della funzione f nella
DettagliAnalisi Matematica II (Prof. Paolo Marcellini)
Analisi Matematica II Prof. Paolo Marcellini) Università degli Studi di Firenze Corso di laurea in Matematica Esercitazione del 5//14 Michela Eleuteri 1 eleuteri@math.unifi.it web.math.unifi.it/users/eleuteri
DettagliEstremi. 5. Determinare le dimensioni di una scatola rettangolare di volume v assegnato, che abbia la superficie minima.
Estremi 1. Determinare gli estremi relativi di f(x, y) = e x (x 1)(y 1) + (y 1).. Determinare gli estremi relativi di f(x, y) = y (y + 1) cos x. 3. Determinare gli estremi relativi di f(x, y) = xye x +y..
DettagliForme differenziali e campi vettoriali: esercizi svolti
Forme differenziali e campi vettoriali: esercizi svolti 1 Esercizi sul Teorema di Green......................... 2 2 Esercizi sul Teorema di Stokes......................... 4 3 Esercizi sul Teorema di
DettagliIngegneria Tessile, Biella Analisi II
Ingegneria Tessile, Biella Analisi II Esercizi svolti In questo file sono contenute le soluzioni degli esercizi sui campi vettoriali (cf foglio 5 di esercizi) Attenzione: in alcuni esercizi il calcolo
DettagliESERCIZI DI ANALISI II Ingegneria Civile e dei Trasporti (M-Z) a.a. 2006/2007
ESERCIZI I ANALISI II Ingegneria Civile e dei Trasporti (M-Z) a.a. 006/007 1 FUNZIONI IN UE VARIABILI (I parte) Insiemi di definizione eterminare gli insiemi di definizione delle seguenti funzioni in due
Dettagli(a) Le derivate parziali f x. f y = x2 + 2xy + 3 si annullano contemporaneamente in (1, 2) e ( 1, 2). Le derivate seconde di f valgono.
Esercizio 1 Si consideri la funzione f(x, y) = x 2 y + xy 2 + y (a) Determinare i punti di massimo e minimo relativo e di sella del grafico di f. (b) Determinare i punti di massimo e minimo assoluto di
Dettagli0.1 Arco di curva regolare
.1. ARCO DI CURVA REGOLARE 1.1 Arco di curva regolare Se RC(O, i, j, k ) è un riferimento cartesiano fissato per lo spazio euclideo E, e se v (t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k è una funzione a valori vettoriali
Dettagli1. Disegnare nel piano di Gauss i seguenti insiemi di numeri complessi:
Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 1 Test di autovalutazione 1. Disegnare nel piano di Gauss i seguenti insiemi di numeri complessi: (a) A = {z C : z, 0 arg z /} (b) B = {w
DettagliSoluzione esercizi sulle funzioni - 5 a E Liceo Scientifico - 04/11/ 13
Soluzione esercizi sulle funzioni - 5 a E Liceo Scientifico - 04// 3 Esercizio. Si consideri la funzione ) se 0 f) e se 0. e si verifichi che non è continua in 0. Che tipo di discontinuità presenta in
DettagliCorso di Laurea in Ingegneria Civile ed Ambientale Prova Scritta di Analisi Matematica 2 del 19/06/2010 A
Corso di Laurea in Ingegneria Civile ed Ambientale Prova Scritta di Analisi Matematica del 9/6/ A ) ata la funzione f(x, y) x y log( + x + y ), a) stabilire dove risulta derivabile parzialmente nel suo
DettagliPolitecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 1 Secondo compito in itinere 3 Febbraio 2014
Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria Secondo compito in itinere Febbraio 04 Cognome: Nome: Matricola: Compito A Es: 8 punti Es: 8 punti Es: 8 punti Es4: 8 punti Totale a) Determinare
DettagliCorso di Laurea in Ingegneria Informatica Anno Accademico 2012/2013 Analisi Matematica 1
Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Anno Accademico 2012/2013 Analisi Matematica 1 Nome... N. Matricola... Ancona, 12 gennaio 2013 1. Sono dati i numeri complessi z 1 = 1 + i; z 2 = 2 3 i; z 3 =
DettagliUniversita degli Studi di Ancona Laurea in Ingegneria Meccanica ed Informatica a Distanza Anno Accademico 2005/2006. Matematica 2 (Analisi)
Universita degli Studi di Ancona Laurea in Ingegneria Meccanica ed Informatica a Distanza Anno Accademico 2005/2006 Matematica 2 (Analisi) Nome:................................. N. matr.:.................................
DettagliCampi conservativi e forme esatte - Esercizi svolti
Campi conservativi e forme esatte - Esercizi svolti 1) Dire se la forma differenziale è esatta. ω = 2 2 (1 + 2 2 ) 2 d + 2 2 (1 + 2 2 ) 2 d 2) Individuare in quali regioni sono esatte le seguenti forme
DettagliCorso di Laurea in Informatica/Informatica Multimediale Esercizi Analisi Matematica 2
a.a 2005/06 Corso di Laurea in Informatica/Informatica Multimediale Esercizi Analisi Matematica 2 Funzioni di due variabili a cura di Roberto Pagliarini Vediamo prima di tutto degli esercizi sugli insiemi
DettagliUNIVERSITÀ DI ROMA TOR VERGATA. Analisi Matematica II per Ingegneria Prof. C. Sinestrari
UNIVERSITÀ DI ROMA TOR VERGATA Analisi Matematica II per Ingegneria Prof. C. Sinestrari Risposte sintetiche) agli esercizi del 17.XI.17 1. Le curve hanno tutte parametrizzazioni di classe C. Per studiare
DettagliEsercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016
Esercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016 Prodotti scalari e forme bilineari simmetriche (1) Sia F : R 2 R 2 R un applicazione definita da F (x, y) = x 1 y 1 + 3x 1 y 2 5x 2 y 1 + 2x 2
DettagliANALISI B alcuni esercizi proposti
ANALISI B alcuni esercizi proposti G.P. Leonardi Parte II 1 Limiti e continuità per funzioni di 2 variabili Esercizio 1.1 Calcolare xy log(1 + x ) lim (x,y) (0,0) 2x 2 + 5y 2 Esercizio 1.2 Studiare la
DettagliAnalisi 4 - SOLUZIONI (compito del 29/09/2011)
Corso di laurea in Matematica Analisi 4 - SOLUZIONI compito del 9/09/0 Docente: Claudia Anedda Calcolare, tramite uno sviluppo in serie noto, la radice quinta di e la radice cubica di 9 Utilizzando la
DettagliEsercitazione n 6. Esercizio 1: Determinare i punti di massimo e minimo relativo delle seguenti funzioni: (b)f(x, y) = 4y 4 16x 2 y + x
Esercitazione n 6 1 Massimi e minimi di funzioni di più variabili Esercizio 1: Determinare i punti di massimo e minimo relativo delle seguenti funzioni: (a)f(x, y) = x 3 + y 3 + xy (b)f(x, y) = 4y 4 16x
DettagliEsercizi di Analisi Matematica 3. Prima parte
Esercizi di Analisi Matematica 3 per le Facoltà di Ingegneria Prima parte Corrado Lattanzio e Bruno Rubino Versione preliminare L Aquila, ottobre 5 Indice 1 Curve, superfici e campi vettoriali 3 1.1 Curve
DettagliEsercizi di Analisi Matematica L-B
Esercii di Analisi Matematica L-B Marco Alessandrini Gennaio-Maro 7 Indice Funioni di più variabili reali. Calcolo differeniale........................................... Ricerca di massimi e minimi.......................................
DettagliSoluzioni dei problemi della maturità scientifica A.S. 2012/2013
Soluzioni dei problemi della maturità scientifica A.S. / Nicola Gigli Sun-Ra Mosconi June, Problema. Il teorema fondamentale del calcolo integrale garantisce che Quindi f (x) = cos x +. f (π) = cos π +
DettagliUniversità degli Studi di Bergamo Matematica II (5 e 7,5 crediti) 18 febbraio 2010 Tema A
Università degli Studi di Bergamo Matematica II (5 e 7,5 crediti) 18 febbraio 21 Tema A Tempo a disposizione: 2 ore. Calcolatrici, libri e appunti non sono ammessi. Ogni esercizio va iniziato all inizio
DettagliUNIVERSITÀ DI ROMA TOR VERGATA. Analisi Matematica II per Ingegneria Prof. C. Sinestrari
UNIVERSITÀ DI ROMA TOR VERGATA Analisi Matematica II per Ingegneria Prof. C. Sinestrari Esercizi 17.XI.2017 1. Verificare che le curve definite dalle seguenti parametrizzazioni sono regolari, o regolari
DettagliTeoremi di Stokes, della divergenza e di Gauss Green.
Matematica 3 Esercitazioni eoremi di tokes, della divergenza e di Gauss Green. Esercizio 1 : Calcolare l area del dominio avente per frontiera la linea chiusa γ di equazioni parametriche x (1 t) t γ :,
DettagliSoluzione della prova scritta di Analisi Matematica II del 15 Aprile 2009 (Ingegneria Edile e Architettura)
Soluzione della prova scritta di Analisi Matematica II del 5 Aprile 009 Ingegneria Edile e Architettura x. Calcolare J = ds essendo γ la curva ottenuta intersecando γ + y il cilindro di equazione x + y
DettagliFunzioni derivabili (V. Casarino)
Funzioni derivabili (V. Casarino) Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in = 0 delle funzioni: a) 5 b) 3 4 c) + 1 d) sin. ) Scrivere l equazione della retta tangente
DettagliAlcuni esercizi: funzioni di due variabili e superfici
ANALISI MATEMATICA T- (C.d.L. Ing. per l ambiente e il territorio) - COMPL. DI ANALISI MATEMATICA (A-K) (C.d.L. Ing. Civile) A.A.008-009 - Prof. G.Cupini Alcuni esercizi: funzioni di due variabili e superfici
DettagliEsercizi svolti. a 2 x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio.
Esercizi svolti 1. Sia sin(x ) f(x) = x ( 1 + x 1 ) se x > 0 a x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio.. Scrivere l equazione della retta tangente nel punto di ascissa
Dettagli1 Integrali curvilinei
Integrali curvilinei Richiamo: + x dx x + x + x log ) + + x. Exercise Verificare la formula precedente. Exercise Calcolare a + b x dx, con a, b qualsiasi. Exercise 3 Calcolare la lunghezza dell arco di
DettagliSoluzioni degli esercizi proposti nella sessione estiva Terni Perugia. F NdS. div F = 2 div F dxdydz = 2volume (V ) = 36π.
Soluzioni degli esercizi proposti nella sessione estiva 2-2 Terni Perugia ) Sia F = (2x, y, z) e V il volume delimitato dalle superfici: la semisfera S := z = 9 x 2 y 2 ed il disco S 2 di equazione z =,
Dettagli1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: c) x + 1 d)x sin x.
Funzioni derivabili Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: a)2x 5 b) x 3 x 4 c) x + 1 d)x sin x. 2) Scrivere l equazione della retta tangente
DettagliDERIVATE SUCCESSIVE E MATRICE HESSIANA
FUNZIONI DI DUE VARIABILI 1 DERIVATE SUCCESSIVE E MATRICE HESSIANA Derivate parziali seconde e matrice hessiana. Sviluppo di Taylor del secondo ordine. Punti stazionari. Punti di massimo o minimo (locale
DettagliArgomento 6: Derivate Esercizi. I Parte - Derivate
6: Derivate Esercizi I Parte - Derivate E. 6.1 Calcolare le derivate delle seguenti funzioni: 1) log 5 3 + cos ) + 3 + 4 + 3 3) 5 tan 4) ( + 3e ) sin 5) arctan( + 1) 6) log 7) 10) + + 3 8) 3 3 1 + 16 11)
DettagliTEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA I
TEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA I Corso di laurea quadriennale) in Fisica a.a. 003/04 Prova scritta del 3 aprile 003 ] Siano a, c parametri reali. Studiare l esistenza e, in caso affermativo, calcolare
DettagliRisposta La curva r è regolare a tratti per via di quanto succede della sua rappresentazione parametrica nel punto t = 1: pur riuscendo
ANALISI VETTORIALE OMPITO PER LE VAANZE DI FINE D ANNO Esercizio Sia r(t) la curva regolare a tratti x = t, y = t, t [, ] e x = t, y = t, t [, ]. alcolare la lunghezza di r, calcolare, dove esistono, i
DettagliStudiamo adesso il comportamento di f(x) alla frontiera del dominio. Si. x 0 lim f(x) = lim. x 2 +
Esercizi del 2//09. Data la funzione f(x) = ln(x 2 2x) (a) trovare il dominio, gli eventuali asintoti e gli intervalli in cui la funzione cresce o decresce. Disegnare il grafico della funzione. (b) Scrivere
DettagliSIMULAZIONE - 29 APRILE QUESITI
www.matefilia.it SIMULAZIONE - 29 APRILE 206 - QUESITI Q Determinare il volume del solido generato dalla rotazione attorno alla retta di equazione y= della regione di piano delimitata dalla curva di equazione
Dettagli1. Calcolare, giustificandone l esistenza, il seguente integrale: y (1 + x) 2 dxdy, ydxdy. x 2 dxdy,
. Calcolare, giustificandone l esistenza, il seguente integrale: ( + x dxd, = {(x, R :, x }.. isegnare il dominio = {(x, R : x, + x } e calcolare dxd. 3. Calcolare x dxd, è il triangolo di vertici ( 3,,
DettagliCorsi di laurea in ingegneria aerospaziale e ingegneria meccanica Prova scritta di Fondamenti di Analisi Matematica II. Padova, 19.9.
Corsi di laurea in ingegneria aerospaziale e ingegneria meccanica Prova scritta di Fondamenti di Analisi Matematica II Padova, 19.9.2016 Si svolgano i seguenti esercizi facendo attenzione a giustificare
Dettaglia) Il denominatore dev essere diverso da zero. Studiamo il trinomio x 2 5x + 6. Si ha: x 1,2 = 5 ± se x ], 2[ ]3, + [;
ESERCIZIO - Data la funzione f (x) + x2 2x x 2 5x + 6, si chiede di: a) calcolare il dominio di f ; (2 punti) b) studiare la positività e le intersezioni con gli assi; (3 punti) c) stabilire se f ha asintoti
DettagliCorso di Metodi Matematici per l Ingegneria A.A. 2016/2017 Esercizi svolti sulle funzioni di variabile complessa (1)
Corso di Metodi Matematici per l Ingegneria A.A. 2016/2017 Esercizi svolti sulle funzioni di variabile complessa 1) Marco Bramanti Politecnico di Milano November 7, 2016 1 Funzioni olomorfe e campi di
DettagliA Analisi Matematica 2 (Corso di Laurea in Informatica) Simulazione compito d esame
COGNOME NOME Matr. Firma dello studente A Analisi Matematica (Corso di Laurea in Informatica) Simulazione compito Tempo: ore. Prima parte: test a risposta multipla. Una ed una sola delle 4 affermazioni
Dettagli{ x + 2y = 3 αx + 2y = 1 αx + y = 0. f(x) = e x 2 +3x+4 x 5. f(x) = x 3 e 7x.
0 Gennaio 006 Teoria: Definizione di derivata puntuale e suo significato geometrico Esercizio Determinare l equazione del piano contenente i vettori u = (,, 3 e v = (,, e passante per P o = (,, Scrivere
DettagliEsercizi proposti. x b) f(x) = 2. Determinare i punti di non derivabilità delle funzioni
Esercizi proposti 1. Calcolare la derivata prima f () per le seguenti funzioni: a) f() = c) f() = ( 1 + 1 b) f() = 1 arctan ) d) f() = cos ( ( + ) 5) e) f() = 1 + sin 1 f) f() = arcsin 1. Determinare i
Dettagli1. Funzioni implicite
1. Funzioni implicite 1.1 Il caso scalare Sia X R 2 e sia f : X R. Una funzione y : (a, b) R si dice definita implicitamente dall equazione f(x, y) = 0 in (a, b) quando: 1. (x, y(x)) X x (a, b); 2. f(x,
DettagliEsercizi su serie numeriche, integrali ed equazioni differenziali utili per la preparazione all esame scritto 1
Esercizi di Analisi Matematica Paola Gervasio Esercizi su serie numeriche, integrali ed equazioni differenziali utili per la preparazione all esame scritto Es Determinare il carattere delle seguenti serie
DettagliIstituzioni di Matematiche Modulo B (SG)
Istituzioni di Matematiche Modulo B (SG) II foglio di esercizi ESERCIZIO 1. Per ciascuna funzione f(, ) calcolare le derivate parziali f (, ) e f (, ) e determinare il relativo dominio di definizione.
DettagliEsercizi su massimi e minimi locali
Esercizi su massimi e minimi locali Determinare i punti di massimo locale, di minimo locale o di sella delle seguenti funzioni: 1. f(x, y = (x 1 2 + y 2 2. f(x, y = (x 1 2 y 2 3. f(x, y = x 2 + xy + y
DettagliPrima parte: DOMINIO E INSIEMI DI LIVELLO
FUNZIONI DI DUE VARIABILI 1 Prima parte: DOMINIO E INSIEMI DI LIVELLO Domini e disequazioni in due variabili. Insiemi di livello. Elementi di topologia insiemi aperti, chiusi, limitati, convessi, connessi
DettagliPolitecnico di Bari - A.A. 2012/2013 Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica Esame di ANALISI MATEMATICA - 3 Luglio 2013.
Esame di ANALISI MATEMATICA - 3 Luglio 2013 (1) Studiare il carattere della serie numerica n 1( 1) n F 0 (n), dove F (x) = Z x 0 log(1 + e t2 ) dt (x 1). (6 punti) log(1 + e t2 ) (2) ata la funzione f(x,
DettagliLUISS Laurea specialistica in Economia e Finanza Anno Accademico 2010/2011
LUISS Laurea specialistica in Economia e Finanza Anno Accademico 1/11 Corso di Metodi Matematici per la Finanza Prof. Fausto Gozzi, Dr. Davide Vergni Soluzioni esercizi 4,5,6 esame scritto del 13/9/11
DettagliESERCIZIO SVOLTO N 1 ESERCIZIO SVOLTO N 2. Determinare e rappresentare graficamente il dominio della funzione
ESERCIZIO SVOLTO N 1 Determinare e rappresentare graficamente il dominio della funzione f(x, y) = y 2 x 2 Trovare gli eventuali punti stazionari e gli estremi di f Il dominio della funzione è dato da dom
DettagliSOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 TEMA DI MATEMATICA ESAME DI STATO 2017
SOLUZIONE DEL PROBLEMA TEMA DI MATEMATICA ESAME DI STATO 7. Studiamo la funzione f() per verificare che il suo grafico sia compatibile con il profilo della pedana. Dominio della funzione. R Eventuali simmetrie
DettagliPolitecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 1 Seconda prova in itinere 31 gennaio 2011
Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria Seconda prova in itinere 3 gennaio Cognome: Nome: Matricola: Compito A Es. : 8 punti Es. : 8 punti Es. 3: 8 punti Es. 4: 8 punti Es. 5:
DettagliGeometria analitica del piano II (M.S. Bernabei & H. Thaler)
Geometria analitica del piano II (M.S. Bernabei & H. Thaler) Equazione della retta in forma esplicita Sia data una retta r ax + by + c = 0 con b 0. Svolgendo questa equazione per y otteniamo e ponendo
DettagliIntegrali multipli - Esercizi svolti
Integrali multipli - Esercizi svolti Integrali di superficie. Si calcoli l integrale di superficie Σ z +y +4(x +y ) dσ, dove Σ è la parte di superficie di equazione z = x y che si proietta in = {(x,y)
DettagliProf. R. Capone Esercitazioni di Matematica IV Corso di studi in Matematica
Forme differenziali lineari Sia Ω R un insieme aperto e siano A, B, C: Ω R funzioni continue in Ω. Si definisce forma differenziale ω in Ω l espressione ω = A(, y, z)d + B(, y, z)dy + C(, y, z)dz Data
DettagliEsercizi geometria analitica nello spazio. Corso di Laurea in Informatica. Docente: Andrea Loi. Correzione
Esercizi geometria analitica nello spazio Corso di Laurea in Informatica Docente: Andrea Loi Correzione 1. Denotiamo con P 1, P 13, P 3, P 1, P, P 3, P i simmetrici di un punto P rispetto ai piani coordinati
DettagliMassimi e minimi relativi in R n
Massimi e minimi relativi in R n Si consideri una funzione f : A R, con A R n, e sia x A un punto interno ad A. Definizione: si dice che x è un punto di massimo relativo per f se B(x, r) A tale che f(y)
DettagliM557 - ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO
M7 - ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO Tema di: MATEMATICA Il candidato risolva uno dei due problemi e cinque quesiti scelti nel questionario. PROBLEMA 1 Nel primo quadrante del
DettagliX = x + 1. X = x + 1
CONICHE. Esercizi Esercizio. Classificare, ridurre a forma canonica (completando i quadrati), e disegnare le seguenti coniche: γ : x y + x = 0; γ : x + 4x y + = 0; γ 3 : x + y + y + 0 = 0; γ 4 : x + y
DettagliESERCIZIARIO SULL'APPLICAZIONE DELLE DERIVATE
ESERCIZIARIO SULL'APPLICAZIONE DELLE DERIVATE Determinare l incremento della funzione f (x) = x 2 relativo al punto x 0 e all incremento x x 0, nei seguenti casi:. x 0 =, x = 2 2. x 0 =, x =. 3. x 0 =,
DettagliMassimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti
Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un grado di difficoltà maggiore. Esercizio 1. Determinare i punti di massimo e minimo assoluti
DettagliAnalisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compito, secondo semestre 2012/2013
Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compito, secondo semestre 2012/2013 Primo compito. Si consideri la regione stokiana E di R 3 definita dalle disuguaglianze: { + y 2 a 2 0 z tan α)x b) dove
DettagliCurve e integrali curvilinei: esercizi svolti
Curve e integrali curvilinei: esercizi svolti 1 Esercizi sulle curve parametriche....................... 1.1 Esercizi sulla parametrizzazione delle curve............. 1. Esercizi sulla lunghezza di una
DettagliBy Fabriziomax. Storia del concetto di derivata:
By Fabriziomax Storia del concetto di derivata: Introduzione: La derivata fu inventata da Newton per risolvere il problema pratico di come definire una velocita e un accelerazione istantanea a partire
DettagliFunzioni. iniettiva se x y = f (x) f (y) o, equivalentemente, f (x) = f (y) = x = y
Funzioni. Dati due insiemi A e B (non necessariamente distinti) si chiama funzione da A a B una qualunque corrispondenza (formula, regola) che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B.
DettagliGeometria BATR-BCVR Esercizi 9
Geometria BATR-BCVR 2015-16 Esercizi 9 Esercizio 1. Per ognuna delle matrici A i si trovi una matrice ortogonale M i tale che Mi ta im sia diagonale. ( ) 1 1 2 3 2 A 1 = A 2 1 2 = 1 1 0 2 0 1 Esercizio
DettagliRETTE E PIANI. ove h R. Determinare i valori di h per cui (1) r h e α sono incidenti ed, in tal caso, determinare l angolo ϑ h da essi formato;
RETTE E PIANI Esercizi Esercizio 1. Nello spazio con riferimento cartesiano ortogonale Oxyz si considerino la retta r h ed il piano α rispettivamente di equazioni x = 1 + t r h : y = 1 t α : x + y + z
DettagliPrima prova di verifica in itinere di ANALISI MATEMATICA II. 12 Marzo 2008 Compito A. 1 (punti 3)
anno accademico 007-008 Prima prova di verifica in itinere di ANALISI MATEMATICA II Marzo 008 Compito A (punti ) y = x + xy + y x. (punti 4) y + y x = ln x x y. (punti ) y = y + y ln y. 4 (punti 6) Determinare
DettagliAnalisi Matematica II (Prof. Paolo Marcellini)
Analisi Matematica II (Prof. Paolo Marcellini) Università degli Studi di Firenze Corso di laurea in Matematica Esercitazioni del 04/03/014 e 06/03/014 Michela Eleuteri 1 eleuteri@math.unifi.it web.math.unifi.it/users/eleuteri
DettagliESERCIZI DA SVOLGERE PER MAGGIO (la parte in verde, il resto lo dovreste avere già svolto).
ESERCIZI DA SVOLGERE PER MAGGIO (la parte in verde, il resto lo dovreste avere già svolto). 1. Data la funzione : x 2 e x minimo e di massimo. Determinare inoltre gli eventuali flessi e gli intervalli
DettagliSoluzioni. 1. Calcolare la parte reale e immaginaria del numero complesso. z = i i. 3 (2 + i) = i i = i.
20 Roberto Tauraso - Analisi 2 Soluzioni 1. Calcolare la parte reale e immaginaria del numero complesso R. z = i + 3 2 i. z = i + 3 2 i 2 i = 6 5 + ( 1 + 3 5 3 (2 + i) = i + 2 4 + 1 ) i = 6 5 + 8 5 i.
DettagliSoluzioni dello scritto di Analisi Matematica II - 10/07/09. C.L. in Matematica e Matematica per le Applicazioni
Soluzioni dello scritto di Analisi Matematica II - /7/9 C.L. in Matematica e Matematica per le Applicazioni Proff. K. Payne, C. Tarsi, M. Calanchi Esercizio. a La funzione f è limitata e essendo lim fx
DettagliCinematica in due o più dimensioni
Cinematica in due o più dimensioni Le grandezze cinematiche fondamentali: posizione, velocità, accelerazione, sono dei vettori nello spazio a due o tre dimensioni, dotati di modulo, direzione, verso. In
DettagliCognome: Nome: Matricola: a. Si enunci e dimostri il teorema della media integrale per funzioni continue. (5 punti)
Analisi e Geometria Seconda Prova 3 gennaio 207 Docente: Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell Informazione Cognome: Nome: Matricola: a. Si enunci e dimostri il teorema della media
DettagliFacoltà di Architettura Valle Giulia Corso di Laurea Specialistica Quinquennale U.E. 1 CALCOLO INTEGRALE PER LE FUNZIONI DI UNA VARIABILE
Facoltà di Architettura Valle Giulia Corso di Laurea Specialistica Quinquennale U.E. Istituzioni di Matematica 2 a.a. 2007-2008 http://www.dmmm.uniroma.it/persone/capitanelli CALCOLO INTEGRALE PER LE FUNZIONI
DettagliCompito di Meccanica Razionale M-Z
Compito di Meccanica Razionale M-Z 11 giugno 213 1. Tre piastre piane omogenee di massa m aventi la forma di triangoli rettangoli con cateti 4l e 3l sono saldate lungo il cateto più lungo come in figura
DettagliDIFFERENZIAZIONE. Sia f una funzione reale di variabile reale con dominio un intervallo. Se f è derivabile in un punto x 0, allora: f(x) f(x 0 ) lim
DIFFERENZIAZIONE 1 Regola della catena Sia f una funzione reale di variabile reale con dominio un intervallo. Se f è derivabile in un punto x 0, allora: f(x) f(x 0 ) lim = f (x 0 ). x x 0 x x 0 Questa
DettagliEsercizi. f(x, y, z) = exp(xz) + zy sin(xyz) + cos(xy 3 )
Esercizi 1. Determinare le derivate parziali di f(x, y, z) = exp(xz) + zy sin(xyz) + cos(xy 3 ) 2. Scrivere l equazione del piano tangente e della retta normale al grafico ln(xy) + cos(x + y) nel punto
Dettagliy (b) f(x, y) = y log x sin x (c) f(x, y) = tan y (d) f(x, y) = e x y (f) f(x, y) = cos(x 2 + y 2 )
FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI. Siano date le seguenti funzioni: (a) f(x, y) = 3x + y (c) h(x, y) = x y (b) g(x, y) = xy (d) k(x, y) = x + y Determinare e disegnare nel piano cartesiano il dominio delle funzioni
DettagliUniversità degli Studi di Salerno - Facoltà di Ingegneria Matematica II - Prova Scritta - 09/06/2006
Matematica II - Prova Scritta - 09/06/2006 f(x, y) = (y x)e x2 y 2, 2. Risolvere le seguenti equazioni differenziali: y 2 = 1 1 (2x y) 2, y 2y + y 2y = e x (x 1). 3. Calcolare il seguente integrale curvilineo
DettagliMassimi e minimi vincolati
Massimi e minimi vincolati Vedremo tra breve un metodo per studiare il problema di trovare il minimo e il massimo di una funzione su di un sottoinsieme dello spazio ambiente che non sia un aperto. Abbiamo
DettagliCALENDARIO BOREALE 1 EUROPA 2015 QUESITO 1
www.matefilia.it Indirizzi: LI0, EA0 SCIENTIFICO; LI0 - SCIENTIFICO - OPZIONE SCIENZE APPLICATE CALENDARIO BOREALE EUROPA 05 QUESITO La funzione f(x) è continua per x [ 4; 4] il suo grafico è la spezzata
DettagliESERCIZI DI ANALISI II Ingegneria per l Ambiente e il Territorio a.a. 2006/2007
ESERCIZI I ANALISI II Ingegneria per l Ambiente e il Territorio a.a. 006/007 FUNZIONI IN UE VARIABILI Insiemi di definizione eterminare gli insiemi di definizione delle seguenti funzioni in due variabili
DettagliDerivazione. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara
Derivazione Lorenzo Pareschi Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara http://utenti.unife.it/lorenzo.pareschi/ lorenzo.pareschi@unife.it Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara)
DettagliEsercizi sulle funzioni di due variabili: parte II
ANALISI MATEMATICA T- (C.d.L. Ing. per l ambiente e il territorio) A.A.009-00 - Università di Bologna - Prof. G.Cupini Esercizi sulle funzioni di due variabili: parte II (Grazie agli studenti del corso
Dettagli