Fisica per Medicina. Lezione 2 - Matematica e Cinematica. Dr. Cristiano Fontana

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1 Fisica per Medicina Lezione - Matematica e Cinematica Dr. Cristiano Fontana Dipartimento di Fisica ed Astronomia Galileo Galilei Università degli Studi di Padova 17 ottobre 17 Indice Richiami di matematica Esponenziale e logaritmo Funzioni trigonometriche Calcolo infinitesimale Cinematica Velocità ed accelerazione Tipi di moto /41 FISICA PER MEDICINA Lezione - Matematica e Cinematica Dr. Cristiano Fontana 17 ottobre 17

2 Proprietà delle potenze Definizioni a n = a a... a }{{} n volte (1) a n m = m a n () Potenze colla stessa base a n a m = a n+m (6) a n a m = an m (7) (a n ) m = a n m (8) Valori notevoli n = n (3) a = 1 a (4) = indeterminata (5) Potenze collo stesso esponente (a b) n = a n b n (9) ( a ) n a n = b b n (1) 3/41 FISICA PER MEDICINA Lezione - Matematica e Cinematica Dr. Cristiano Fontana 17 ottobre 17 Logaritmi Definizioni Il logaritmo è definito come la funzione inversa della potenza: ovvero a n = b log a b = n (11) log a (a n ) = n. (1) È definito solo per b >, b R. Valori notevoli log a 1 = (13) log a a = 1 (14) Identità log a (x y) = log a x + log a y (15) ( ) x log a = log y a x log a y (16) y log a x = log a x y (17) 1 y log a x = log a log a x = log b x log b a y x (18) (19) 4/41 FISICA PER MEDICINA Lezione - Matematica e Cinematica Dr. Cristiano Fontana 17 ottobre 17

3 Funzione esponenziale e logaritmo naturale I Exponential Logarithm La funzione esponenziale è una particolare funzione molto importante, è definita come: exp (x) = e x () ove e è detto numero di Nepero e vale e (1) La sua funzione inversa è il logaritmo naturale: log (e x ) = x. () 5/41 FISICA PER MEDICINA Lezione - Matematica e Cinematica Dr. Cristiano Fontana 17 ottobre 17 Funzione esponenziale e logaritmo naturale II Proprietà dell esponenziale Ogni potenza può essere ricondotta all esponenziale: a x = e x log a (3) 1 Exponential Logarithm /41 FISICA PER MEDICINA Lezione - Matematica e Cinematica Dr. Cristiano Fontana 17 ottobre 17

4 Fattoriale 1 Factorial Il fattoriale di un numero è definito come n! = n i = n (n 1) 3 1 (4) i=1 per sua natura è definito solo sui numeri naturali. Per convenzione si definisce anche! = 1. (5) 7/41 FISICA PER MEDICINA Lezione - Matematica e Cinematica Dr. Cristiano Fontana 17 ottobre 17 Funzioni trigonometriche I y (x,y ) r s θ sin θ cos θ x Le funzioni trigonometriche sono funzioni di un angolo, che mettono in relazione i lati di un triangolo rettangolo. cos θ = x r sin θ = y r = adiacente ipotenusa = opposto ipotenusa tan θ = y x = sin θ cos θ (6) (7) (8) Un suggerimento... Coseno e seno sono in ordine alfabetico come x e y. 8/41 FISICA PER MEDICINA Lezione - Matematica e Cinematica Dr. Cristiano Fontana 17 ottobre 17

5 Funzioni trigonometriche II Valori notevoli θ θ cos θ sin θ rad 1 3 π 6 45 π 4 6 π π 1 18 π π 1 Identità trigonometriche 9/41 FISICA PER MEDICINA Lezione - Matematica e Cinematica Dr. Cristiano Fontana 17 ottobre 17 Limiti L + L - L M Limit Function Un limite rappresenta un metodo di esprimere il valore a cui tende una funzione attorno ad un punto x, che può trovarsi anche all infinito. Si indica colla notazione: lim f (x) = L (9) x x ove L può essere finito o infinito. 1/41 FISICA PER MEDICINA Lezione - Matematica e Cinematica Dr. Cristiano Fontana 17 ottobre 17

6 Limite finito attorno ad un punto finito L + Limit Function L L - x - x x + Formalmente si dice L è il limite di f ( ) per x che tende a x, se per ogni ɛ >, ɛ R esiste un δ >, δ R tale che < x x < δ allora f (x) L < ɛ; ovvero lim f (x) = L ɛ > δ > : < x x < δ f (x) L < ɛ x x (3) 11/41 FISICA PER MEDICINA Lezione - Matematica e Cinematica Dr. Cristiano Fontana 17 ottobre 17 Limite finito all infinito L + L - L M Limit Function Formalmente si dice L è il limite di f ( ) per x che tende a, se per ogni ɛ >, ɛ R esiste un M >, M R tale che M < x allora f (x) L < ɛ; ovvero lim f (x) = L ɛ > M > : M < x f (x) L < ɛ (31) x 1/41 FISICA PER MEDICINA Lezione - Matematica e Cinematica Dr. Cristiano Fontana 17 ottobre 17

7 Limite infinito attorno ad un punto finito N Function x - x x + Formalmente f ( ) ha limite + per x che tende a x, se per ogni N >, N R esiste un δ >, δ R tale che < x x < δ allora N < f (x); ovvero lim f (x) = + N > δ > : < x x < δ N < f (x) x x (3) 13/41 FISICA PER MEDICINA Lezione - Matematica e Cinematica Dr. Cristiano Fontana 17 ottobre 17 Limite infinito all infinito Function N M Formalmente f ( ) ha limite + per x che tende a +, se per ogni N >, N R esiste un M >, M R tale che M < x allora N < f (x); ovvero lim f (x) = + N > M > : M < x N < f (x) (33) x 14/41 FISICA PER MEDICINA Lezione - Matematica e Cinematica Dr. Cristiano Fontana 17 ottobre 17

8 Calcolo di limiti Dato allora valgono: lim f (x) = L f e lim g(x) = L g (34) x x x x [ lim x x ] f (x) ± g(x) ] [ lim f (x) g(x) x x lim x x = L f ± L g (35) = L f L g (36) f (x) g(x) = L f L g se L g (37) Limiti notevoli e forme indeterminate /41 FISICA PER MEDICINA Lezione - Matematica e Cinematica Dr. Cristiano Fontana 17 ottobre 17 Derivata f(x ) Tangent Function La derivata rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al punto considerato di una funzione, ovvero il tasso di variazione istantaneo della funzione. È definita tramite il limite del rapporto incrementale: df dx (x ) = f f (x + ɛ) f (x ) (x ) = lim ɛ ɛ (38) x 16/41 FISICA PER MEDICINA Lezione - Matematica e Cinematica Dr. Cristiano Fontana 17 ottobre 17

9 Calcolo di derivate Le derivate sono applicazioni lineari e vale: d dx a = a R (39) d dx a f (x) = a d f (x) (4) dx d [ ] f (x) + g(x) = d dx dx f (x) + d g(x) (41) dx [ ] f (x) g(x) = f (x) g(x) + f (x) g (x) (4) d dx d f (x) dx g(x) = f (x) g(x) f (x) g (x) g(x) (43) d ( ) dx f g(x) = f ( ) g(x) g (x) (44) Regole di derivazione 17/41 FISICA PER MEDICINA Lezione - Matematica e Cinematica Dr. Cristiano Fontana 17 ottobre 17 Integrale Function Positive area Negative area L integrazione è l operazione inversa della derivazione. f (x) dx = F(x) (45) + - F (x) = f (x) (46) (47) La funzione F( ) è detta primitiva e, nel caso di funzioni ad una variabile, rappresenta l area sottesa dal loro grafico: a b F (b) F (a) = b a f (x) dx (48) (49) 18/41 FISICA PER MEDICINA Lezione - Matematica e Cinematica Dr. Cristiano Fontana 17 ottobre 17

10 Calcolo di integrali Gli integrali sono applicazioni lineari e vale: a f (x) dx = a f (x) dx (5) [ f (x) + g(x)] dx = f (x) dx + g(x) dx (51) f (x)g (x) dx = f (x)g(x) f (x)g(x) dx (5) Integrali comuni 19/41 FISICA PER MEDICINA Lezione - Matematica e Cinematica Dr. Cristiano Fontana 17 ottobre 17 Indice Richiami di matematica Esponenziale e logaritmo Funzioni trigonometriche Calcolo infinitesimale Cinematica Velocità ed accelerazione Tipi di moto /41 FISICA PER MEDICINA Lezione - Matematica e Cinematica Dr. Cristiano Fontana 17 ottobre 17

11 Posizione La posizione di un punto è una grandezza vettoriale (espressa per mezzo delle sue coordinate). r = x y z (53) 1/41 FISICA PER MEDICINA Lezione - Matematica e Cinematica Dr. Cristiano Fontana 17 ottobre 17 Posizione e distanza La distanza è una grandezza vettoriale? No, è una grandezza scalare: è il modulo del vettore differenza tra due punti. d = r = r r 1 (54) /41 FISICA PER MEDICINA Lezione - Matematica e Cinematica Dr. Cristiano Fontana 17 ottobre 17

12 Traiettoria È l insieme delle posizioni durante il moto. 3/41 FISICA PER MEDICINA Lezione - Matematica e Cinematica Dr. Cristiano Fontana 17 ottobre 17 Velocità È una grandezza vettoriale che indica il rapporto tra lo spazio percorso ed il tempo impiegato per percorrerlo. Velocità media v = x t (55) Velocità istantanea Derivata della posizione in funzione del tempo: v = d r dt = lim r t t (56) 4/41 FISICA PER MEDICINA Lezione - Matematica e Cinematica Dr. Cristiano Fontana 17 ottobre 17

13 Direzione della velocità Il vettore velocità è sempre tangente alla traiettoria. 5/41 FISICA PER MEDICINA Lezione - Matematica e Cinematica Dr. Cristiano Fontana 17 ottobre 17 Velocità Analisi dimensionale Essendo una grandezza derivata la sua unità di misura è espressa come una combinazione di altre unità fondamentali. [v] = [ x] [ t] = [L] [t] = m s (57) Esempi: Limiti di velocità nel SI: 5 km h = 5 km h 1 m km 1 36 s/h = 5 m 3.6 s Velocità della luce nel vuoto: = 13.9 m/s (58) m/s = m/s.1 km/m = 3 km/s (59) 6/41 FISICA PER MEDICINA Lezione - Matematica e Cinematica Dr. Cristiano Fontana 17 ottobre 17

14 Accelerazione È una grandezza vettoriale che indica il rapporto tra una variazione di velocità ed il tempo impiegato per avere questa variazione. Accelerazione media a = v t (6) Accelerazione istantanea È la derivata seconda della posizione in funzione del tempo, ovvero la derivata della velocità in funzione del tempo. a = d r dt = d v dt v = lim t t (61) 7/41 FISICA PER MEDICINA Lezione - Matematica e Cinematica Dr. Cristiano Fontana 17 ottobre 17 Direzione dell accelerazione L accelerazione può avere una direzione qualunque ma può essere scomposta in due componenti: ove: a = a T + a C (6) a T è la componente tangenziale (parallela alla velocità) che rappresenta la variazione del modulo della velocità, a C è la componente perpendicolare alla velocità, che rappresenta la variazione della direzione della velocità. È spesso detta accelerazione centripeta. 8/41 FISICA PER MEDICINA Lezione - Matematica e Cinematica Dr. Cristiano Fontana 17 ottobre 17

15 Accelerazione Analisi dimensionale Esempi: [a] = [ v] [ t] = [v] [t] = [L] [t ] = m s (63) Accelerazione di una Lamborghini (-1 km/h in.5 s): a = v t = 1 km/h.5 s = 1/3.6.5 m/s = 11.1 m/s (64) Accelerazione di gravità: g = 9.8 m/s (65) 9/41 FISICA PER MEDICINA Lezione - Matematica e Cinematica Dr. Cristiano Fontana 17 ottobre 17 Quantità di moto La quantità di moto è una grandezza vettoriale definita come: In generale per un sistema a più corpi: p = m v (66) p = i m i v i (67) Analisi dimensionale: [p] = [m][v] = [M] [L] [t] = N s (68) 3/41 FISICA PER MEDICINA Lezione - Matematica e Cinematica Dr. Cristiano Fontana 17 ottobre 17

16 Legge oraria Un moto può essere descritto completamente dalla sua legge oraria, ovvero dalla relazione che lega la sua posizione al tempo trascorso. r(t) = x(t) y(t) (69) z(t) Da cui è possibile ricavare le espressioni della velocità ed accelerazione, derivando le funzioni delle componenti: v(t) = d r dt (t) = v x (t) v y (t) v z (t), a(t) = d r dt (t) = a x (t) a y (t) a z (t) (7) 31/41 FISICA PER MEDICINA Lezione - Matematica e Cinematica Dr. Cristiano Fontana 17 ottobre 17 Moto uniforme I Un oggetto non soggetto ad accelerazioni si muove di moto uniforme. Per praticità, possiamo assumere che la direzione del moto sia l asse x e possiamo considerare il moto come unidimensionale. r(t) = x(t) r(t) = x(t) (71) Per ottenere x(t) integriamo l accelerazione: a = (7) v(t) = dt = v (73) x(t) = v(t) dt = v dt = v t + x (74) 3/41 FISICA PER MEDICINA Lezione - Matematica e Cinematica Dr. Cristiano Fontana 17 ottobre 17

17 Moto uniforme II Riassumiamo: a = (75) v(t) = v (76) x(t) = v t + x (77) ove v e x sono costanti arbitrarie legate alle condizioni iniziali. v() = v (Velocità iniziale) (78) x() = x (Posizione iniziale) (79) 33/41 FISICA PER MEDICINA Lezione - Matematica e Cinematica Dr. Cristiano Fontana 17 ottobre 17 Moto uniformemente accelerato I Un oggetto soggetto ad accelerazione costante si muove di moto uniformemente accelerato. Prendiamo in considerazione un moto con a v e quindi unidimensionale. Per ottenere x(t) integriamo l accelerazione: a = a (8) v(t) = a dt = a t + v (81) x(t) = v(t) dt = a t + v dt = 1 a t + v t + x (8) 34/41 FISICA PER MEDICINA Lezione - Matematica e Cinematica Dr. Cristiano Fontana 17 ottobre 17

18 Moto uniformemente accelerato II Riassumiamo: a = a (83) v(t) = a t + v (84) x(t) = 1 a t + v t + x (85) Esempi: Quanto spazio percorre la Lamborghini per arrivare a 1 km/h? t = v a 1 km/h = =.5 s (86) 11.1 m/s x( t) = 1 a t = m/s (.5 s) = 34.7 m (87) 35/41 FISICA PER MEDICINA Lezione - Matematica e Cinematica Dr. Cristiano Fontana 17 ottobre 17 Moto di un proiettile I Moto parabolico in due dimensioni Un corpo sulla terra è soggetto ad un accelerazione, in prima approssimazione, costante, pari a g = 9.8 m/s. Condizioni iniziali: v cos θ a(t) = v() = r() = (88) g v sin θ ove θ è l angolo di lancio. Possiamo considerare solo il piano xz ed ignorare y. La legge oraria diventa quindi: ( r(t) = v cos θ t v sin θ t g t ) (89) 36/41 FISICA PER MEDICINA Lezione - Matematica e Cinematica Dr. Cristiano Fontana 17 ottobre 17

19 Moto di un proiettile II Equazione della traiettoria Dalla legge oraria ( v r(t) = cos θ t v sin θ t g t ) { x = v cos θ t z = v sin θ t g t (9) si ricava quindi t = z(x) = v sin θ v cos θ x x v cos θ g v x x = tan θ x g v x (91) (9) x (93) 37/41 FISICA PER MEDICINA Lezione - Matematica e Cinematica Dr. Cristiano Fontana 17 ottobre 17 Moto di un proiettile III Massima altezza 1..8 Il punto di massima altezza è raggiunto quando z [m] v z (t) = v z gt = ˆt = v z g (94) quindi ˆx = v sin θ cos θ g (95)..4 ẑ = v sin θ g (96) 1 x [m] 38/41 FISICA PER MEDICINA Lezione - Matematica e Cinematica Dr. Cristiano Fontana 17 ottobre 17

20 Moto di un proiettile IV Gittata z [m] Cerchiamo gli zeri dell equazione della traiettoria quindi z(x) = (97) x max = ˆx (98) = v sin θ cos θ g = v sin(θ) g (99) (1).4 1 x [m] che è massima quando sin(θ) è massimo, ovvero quando θ = /41 FISICA PER MEDICINA Lezione - Matematica e Cinematica Dr. Cristiano Fontana 17 ottobre 17 Moto di un proiettile V Applicazioni pratiche 4/41 FISICA PER MEDICINA Lezione - Matematica e Cinematica Dr. Cristiano Fontana 17 ottobre 17

21 Moto di un proiettile VI Esempio Determinare g in px/s e v in px/s. Possiamo usare le formule di ẑ (96) e ˆt (94): ẑ = v sin θ g t = ˆt = v sin θ g (11) (1) ottenendo: g = 31 px/s (13) v = 6 px/s (14) 41/41 FISICA PER MEDICINA Lezione - Matematica e Cinematica Dr. Cristiano Fontana 17 ottobre 17