Integrazione numerica

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1 Docee: Cludo Esco Iegrzoe umerc Lezoe s su ppu del pro. Mrco Gvo

2 Iegrzoe umerc Iegrzoe umerc Formule d qudrur. Grdo d esezz. 3 Meodo de coece deerm. 4 Formule d qudrur erpolore. 5 Formule d Newo-Coes semplc. Formule d Newo-Coes compose. 6 Errore delle Formule d Newo-Coes.

3 Iegrzoe umerc Iegrzoe umerc Cosdermo l prolem d clcolre l egrle deo I d d u uzoe :[,]R. Le ormule d qudrur soo ormule che coseoo l clcolo pprossmo d egrl de. 3

4 Iegrzoe umerc L pprossmzoe dell egrle deo I d vee per mezzo d u ormul d qudrur del po I che rpprese u comzoe lere degl + vlor ssu dll uzoe e pu, de od,,,, co coece ss, de pes,,,,. 4

5 Fsso, edmo pprossmre l vlore eso I co I. Al vrre d pes e de od s oegoo dere ormule d qudrur. Dremo che u ormul d qudrur h grdo d esezz o precsoe lgerc r>= se I p=ip per og polomo p d grdo l pù r. Pochè og ormul d qudrur h lmeo grdo d esezz, cosderdo l polomo p =, oemo zuo che I Iegrzoe umerc p I p 5

6 Iegrzoe umerc Meodo de coece deerm Per cosrure u ormul d qudrur, ss rrrmee + od ds,,,, s possoo deermre pes,,, modo che l ormul grdo d esezz. I, grze ll lerà dell egrle, è sucee mporre l codzoe d esezz su polom dell se coc I I,,..., 6

7 Pochè l egrle eso clcol clmee per v lc, I mpoedo l esezz dell ormul d qudrur o l grdo oemo oss l ssem lere Iegrzoe umerc d I co V mrce +*+ d Vdermode o sgolre e c veore de erm o.,,...,,,...,,,..., V c,, V 7 s

8 8 Rssumedo, dl ssem lere co s oee l veore coeee coece dell ormul d qudrur Iegrzoe umerc V c c c c c... V c co c I

9 Iegrzoe umerc Il meodo de coece deerm cosee, geerle, d oeere pes che coducoo precsoe lgerc per og scel rrr degl + od,,,. Tle meodo o è coveee dl puo d vs compuzole poché molo cososo ed sle. U meodolog lerv coduce lle ormule d qudrur erpolore. 9

10 Iegrzoe umerc Formule d qudrur erpolore. Nelle ormule d qudrur erpolore, ss rrrmee + od ds,,,, s sosusce l uzoe egrd co l polomo erpolore d grdo psse per pu d,,,,,,. Tle polomo erpolore, ell orm d Lgrge, coduce d u esplc ormul per l clcolo de pes,,,.

11 I, dll relzoe dove oemo Iegrzoe umerc L k k k k,...,,,, L p d L d L d p I

12 Iegrzoe umerc oss, l ormul d qudrur erpolor co + od h pes,,, d d I L d

13 Iegrzoe umerc Teorem Og ormul erpolor co + od h grdo d esezz lmeo. Dmosrzoe Cosderdo + od d erpolzoe, se è u polomo d grdo l pù llor, per l ucà del polomo erpolore, l polomo erpolore p cocde co. L es s oee osservdo che le ormule erpolore soo ese per cosruzoe sul polomo erpolore. 3

14 Formule d Newo-Coes semplc Soo ormule d qudrur erpolore su [,] cosrue su od equspz d psso h Fsso h, l ormule pes dpedoo solo d. Le ormule s dvdoo : Iegrzoe umerc h,,..., Chuse se gl esrem e soo clus r od,, h / Apere se gl esrem e o soo clus r od h, h, h / 4

15 5 Trme l cmo d vrle el cso d ormule chuse s h dove S oee così co vlore sso, dpedee solo d. Iegrzoe umerc w h I d h d h L h d L k k h L k k d w h

16 Iegrzoe umerc Alogmee, el cso ormule pere s h L d h L h d h d Nelle ormule d Newo-Coes, poché od soo poszo sse, s oegoo pes,,, che possoo essere clcol u vol per ue. S oegoo così semplc elle coee pes l vrre del grdo. Vedmo lcu esemp. 6

17 Formul de regol = per è l ormul per oeu per =. è che de ormul del puo medo. S h d cu I h Iegrzoe umerc, w d 7

18 8 Formul de rpez = chus è l ormul chus oeu per =. S h d cu Iegrzoe umerc ] [ ] [ h I /, /, d w d w

19 9 Formul d Cvler-Smpso = chus è l ormul chus oeu per =. S h d cu Iegrzoe umerc 4 6 I 3 /, 3 4 /, 3 /, d w d w d w

20 Iegrzoe umerc.

21 Iegrzoe umerc.

22 Iegrzoe umerc.

23 Iegrzoe umerc. 3

24 Osservzo: I pes delle ormule d qudrure d Newo Coes soo smmerc rspeo l cero, oss =, = -, = -, Queso è dovuo ll smmer dell se d Lgrge su od smmerc. Iegrzoe umerc Pochè pes soo smmerc, og ormul d Newo-Coes è es su og uzoe dspr egr su u domo smmerco, oss [-,] s osserv che l cso l egrle deo è sempre ugule. Qud og ormul d Newo-Coes è es su og polomo d grdo dspr. Ne cosegue che le ormule d grdo pr ho grdo d 4 esezz + l prmo dspr successvo ll pr.

25 Nell prc, o s ulzzo ormule d Newo-Coes d grdo elevo ell orm precedee, de semplce. Queso poché : o sempre l poloo erpolore coverge uormemee ll uzoe, che se ques ulm è molo regolre ddrur mee dervle, e qud che l egrle può rsulre o precso; Iegrzoe umerc l ulzzo d ormule d grdo elevo rmec rsul essere umercmee sle poché, per >6, pes,,, o rsulo pù essere 5 u d sego posvo.

26 Iegrzoe umerc Formule d Newo-Coes compose Cosdermo u dscrezzzoe d + pu equspz su [,] d psso h=-/ h,,..., Per l ddvà dell egrle s h I d Per pprossmre I possmo qud sommre opporue pprossmzo degl egrl su dom 6 d mpezz more. d

27 Iegrzoe umerc Srudo l propreà ddv dell egrle rspeo l domo d egrzoe, s suddvde l ervllo [,] sooervll cogu ed equspz e s ulzz su cscu sooervllo u ormul d Newo-Coes ell orm semplce. I, poché l mpezz h del domo d egrzoe d og egrle può essere res suceemee pccol, u ormul d Newo-Coes d grdo sso rsul gà suceemee ccur. I l modo s oegoo ormule d qudrur molo precse e umercmee sl. Tl ormule vegoo dee ormule d Newo-Coes compose. 7

28 8 Formul de regol compos Cosderdo l ormul de regol semplce su cscuo degl sooervll [ -, ], =,, s oee l ormul de regol compos Iegrzoe umerc C h I d

29 Iegrzoe umerc. 9

30 3 Formul de rpez compos Cosderdo l ormul de rpez semplce su cscuo degl sooervll [ -, ], =,, s oee l ormul de rpez compos Iegrzoe umerc h I C ] [ d

31 Iegrzoe umerc. 3

32 3 Formul d Smpso compos Cosderdo l ormul d Cvler-Smpso semplce su cscuo degl / sooervll [ -, ], =,,/ per pr s oee l ormul d Smpso compos Iegrzoe umerc 4 3 / / h I C 4 6 d

33 33 Errore elle ormule d Newo-Coes Rcordmo che se C + [,] llor esse u vlore.c. dove p è l polomo erpolore d grdo. Applcdo le rsulo lle ormule d qudrur erpolore, s oee dove Iegrzoe umerc...! p E d d p I I E!...

34 Iegrzoe umerc Oemo così l seguee espressoe per l errore delle ormule d qudrur erpolore E co,, dove l ulm uguglz è dovu d u geerlzzzoe del eorem dell med. Nelle ormule d Newo-Coes, poché l seme de od è equspzo, è possle clcolre esplcmee gl egrl d... d d!! d 34

35 Iegrzoe umerc Ad esempo, per =, rsolvedo lcmee l egrle d d 6 3, oemo l seguee espressoe per l errore commesso dll ormul d qudrur de rpez semplce dove '' '' E d!,, seee o s cooscuo esplcmee. 3, 35

36 Le espresso rove per l errore possoo essere clmee esese l cso dell ormul d qudrur compose: serà sommre coru de sgol error su og sooervllo. Ad esempo el cso dell ormul d qudrur de rpez compos, cosderdo l errore ll ervllo - esmo [ -, ], =,, E dove ''! Iegrzoe umerc '' 3 '' 3, d, e sommdo l error, s oee l errore 36 h

37 commesso dll ormul de rpez compos co E C '' Iegrzoe umerc h '', do dl eorem dell med. h 3 h Come coseguez, poché h=-/, s h che l errore ede zero per. S osserv che le rsulo è dovuo ll rduzoe zero dell mpezz h d cscu sooervllo [ -, ], =,,. '' 37

38 38 Svolgedo clcol logh per le ormule d Newo-Coes de regol e d Smpso, semplc e compose, poso M =m [,], s oee l ell seguee Iegrzoe umerc / 9 Smpso Trpez 4 4 Regol Formule compose Formule semplc h M E M E h M E M E h M E M E C C C

39 Iegrzoe umerc Esempo: umero d od co.d.q. d Smpso compos S =e. I l cso M =m [,] = e per og. S eoee che l errore commesso dll ormul d qudrur d Smpso compos è mggoro d E e h 8 C I queso cso, se voglmo u errore more d -6, egrdo su [,]=[,3], occorre ulzzre + od co e 8 4 oss e