ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE A.A. 2017/2018. Esercizi: lezione 28/11/2017

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1 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE A.A. 2017/2018 Esercizi: lezione 28/11/2017 Valutazioni di operazioni finanziarie Esercizio 1. Un titolo con vita residua di 18 mesi, acquistato per un nominale pari a N, paga cedole annuali con tasso cedolare i > 0. Determinare quanto può essere al massimo il corso secco del titolo affinché il rendimento sia positivo. Soluzione. Il valore della cedola del titolo è pari a c = N i. Il titolo prevede la corresponsione di una cedola fra 6 mesi e di un altra cedola fra un anno e mezzo, unitamente al rimborso del valore nominale. Quindi G(x) = C tq + in + in + N. (1 + x) 1 2 (1 + x) 3 2 Poiché il rendimento r è il TIR dell investimento, abbiamo che C tq + in + in + N = 0 (1 + r) 1 2 (1 + r) 3 2 da cui otteniamo che il corso tel quel del titolo è C tq = in + in + N. (1 + r) 1 2 (1 + r) 3 2 Il corso secco del titolo si ottiene scorporando dal suo corso tel quel una quota della cedola, ossia il rateo della cedola. Poiché il periodo di maturazione della cedola non di competenza dell acquirente del titolo è di 6 mesi (esattamente la metà), il rateo è pari a RT = c 1 2 = 1 2 i N, quindi il corso secco del titolo è pari a C s = C tq RT = in + in + N 1 (1 + r) 1 2 (1 + r) i N. Consideriamo il corso secco come funzione del rendimento r, con r 0: C s (r) = in + in + N 1 (1 + r) 1 2 (1 + r) i N. 1

2 2 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA Tale funzione è evidentemente strettamente decrescente su tutto il dominio (si vede facilmente che C s(r) < 0 per ogni r 0), dunque C s (r) ammette il suo massimo valore proprio in corrispondenza del minimo valore (limite) accettabile di r, ossia quando r = 0. Pertanto, essendo C s (r) < C s (0) = N (1 + 3 ) 2 i, per ogni r > 0, il corso secco non puó mai raggiungere il valore limite N( i). Tanto per fissare le idee, se N = 100 e i = 10%, allora il massimo valore (limite) del corso secco di un tale titolo sarebbe pari a 115 euro. Esercizio 2. Un investimento biennale è descritto dal seguente cash-flow {(0, 10000); (1, 8000); (2, 6500)}. a) Determinare il TIR dell investimento; b) se i costi opportunitá sono i 1 = 20% nel primo anno e i 2 = 25% nel secondo, si determini il GVAN dell investimento; c) determinare le due quote di periodo g 1 e g 2 che scompongono il GVAN trovato al punto precedente in funzione dell outstanding capital non ricorsivo w relativo alla data t = 1 e verifcare che la loro somma dia effettivamente il GVAN trovato al punto precedente. Soluzione. a) Per il calcolo del TIR, si imposta l equazione x (1 + x) 2 = 0, nella variabile x > 1. L unica soluzione accettabile (si può facilmente scrivere come una equazione di secondo grado) è x = 30%. b) Il GVAN richiesto è dato da GV AN = , = 1000 > 0, 1, 2 1, 25 il che significa che a quei costi opportunità l investimento è conveniente, perché garantisce un plusvalore di 1000 euro. c) Ricordando che la formula generale della quota di periodo k-esima del VAN di un qualunque investimento A a costo opportunitá i è data da g k (i) = w k + a k w k 1 (1 + i) (1 + i) k, e tenendo conto del fatto che dobbiamo adattarla perché noi in questo caso abbiamo a che fare con un GVAN, si ha che le due quote di periodo g 1 (i 1 ) e g 2 (i 1, i 2 ), che scompongono il GVAN trovato al punto precedente, tenendo

3 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA 3 conto che l outstanding capital all epoca t = 1 è genericamente w, sono date da g 1 (i 1 ) = w , 25 w, g 2 (i 1, i 2 ) = 1, 2 (1, 2)(1, 25). Verificate che effettivamente g 1 + g 2 = 1000, comunque sia scelto w. Durata Media Finanziaria (Duration) Esercizio 3. Un titolo presenta il seguente cash-flow: {(0; 1000), (1; 500), (2; 538, 125)}. Stabilire se la duration di tale titolo cade a meno di sei mesi della sua scadenza naturale. Soluzione. Prima di tutto, bisogna determinare il rendimento di tale titolo, ossia il TIR. Il discounted cash-flow è dato da G(x) = , x (1 + x) 2. L equazione algebrica G(x) = 0 è di secondo grado: se la risolvete nella variabile v = 1/(1 + x), risulterá 538, 125v v 1000 = 0. Tale equazione ammette una sola soluzione accettabile, ossia positiva, e, se poi ritornate alla variabile originaria, troverete che x = 2, 5%. Pertanto la duration di tale titolo è , , 025 (1, 025) D = 2 1, 512, 1000 ossia un anno e poco piú di sei mesi, quindi a meno di sei mesi della sua scadenza naturale. Esercizio 4. Un titolo obbligazionario biennale di prezzo 100 e e cedola finale a 2 = 54, 08 e ha duration D pari a un anno e mezzo. Calcolare il rendimento r e la prima cedola a 1. Soluzione. La formula della duration D di un titolo biennale a rendimento r, cedole a 1, a 2 e prezzo P é data da a 1 1+r D = + 2 a 2 (1+r) 2, P che si trasforma algebricamente in 2a 2 v 2 + a 1 v P D = 0, (1)

4 4 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA ove v é l incognita v = 1/(1 + r) > 0. Allo stesso tempo, siccome r é il TIR associato al discounted cash-flow del titolo, sappiamo che che si trasforma algebricamente in Se ora sottraiamo l Eq. (3) all Eq. (1), si ottiene ossia P = a r + a 2 (1 + r) 2, (2) a 2 v 2 + a 1 v P = 0. (3) a 2 v 2 P D + P = 0, a 2 v 2 = P (D 1), riuscendo in tal modo a collegare v (e quindi il rendimento r) a tre dati del problema, ossia la cedola finale, il prezzo e la duration. Dall ultima equazione, tornando alla vecchia variabile r, si ottiene facilmente r = a2 P (D 1) 1. Inserendo i dati, si trova che r = 4%. Infine, di nuovo inserendo i dati noti piú il rendimento appena trovato nella Eq. (2), si arriva facilmente a a 1 = 52 e. Esercizio 5. Un titolo obbligazionario A ha cash-flow pari a {(0; a 0 ); (1; 50); (2; 50); (3; 50); (4; 1050)}; mentre un secondo titolo B ha cash-flow pari a {(0; b 0 ); (1; 200); (2; 200); (3; 200)}. a) Supposto che i prezzi dei due investimenti siano unitari, ossia riferiti alla quota minima acquistabile, determinare i suddetti prezzi, sapendo che entrambi i titoli hanno un rendimento del 3%; b) volendo investire oggi un capitale pari a C = , 65e in quote sia di A che di B con duration di portafoglio pari a 3, trovare quante quote del titolo A e di B si devono acquistare. Soluzione. a) Siccome il rendimento (comune ai due titoli e pari al 3%) non é altro che il TIR di ogni titolo, impostiamo il procedimento per il titolo A e lasciamo al volenteroso lettore il compito di impostare il procedimento per il titolo B. Il discounted cash-flow di A é dato da G A (x) = a x + 50 (1 + x) (1 + x) (1 + x) 4.

5 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA 5 Noi sappiamo che 0, 03 é esattamente l unica soluzione accettabile dell equazione G A (x) = 0, quindi immettiamo in G A il valore x = 0, 03 e troveremo a , (1, 03) (1, 03) (1, 03) 4 = 0 da cui facilmente a 0 = 50 1, (1, 03) (1, 03) , 34, (1, 03) 4 ossia il prezzo unitario del titolo A é circa di 1074, 34. e Allo stesso modo, si trova che il prezzo unitario del titolo B é circa di 565, 72. e b) Calcoliamo la duration di ogni titolo, con approssimazione alla seconda cifra decimale. Abbiamo che 50 1, (1, 03) D A = (1, 03) (1, 03) 4 3, , 34 D B = 200 1, (1, 03) (1, 03) 3 565, 72 1, 98. Se sfruttiamo l equazione della duration di un portafoglio di due titoli data da D A,B = α D A + (1 α)d B, si ha che D A,B = α D A + (1 α)d B = 3 e se ora sostituiamo D A = 3, 73 e D B = 1, 98, otteniamo 3, 73 α + 1, 98 (1 α) = 3 1, 75 α = 1, 02 α 0, 58. Pertanto, le quote del titolo A che si devono acquistare sono date da n A = C A = α C 0, , 65 = 494, 05. P A P A 1074, 34 Allo stesso modo, si ha che le quote del titolo B da acquistare sono n B = C B (1 α) C 0, , 65 = = 679, 41. P B P B 565, 72 Esercizio 6. (Difficile) Consideriamo tre titoli obbligazionari descritti dai seguenti cash-flow: a) Calcolare il rendimento dei tre titoli, sapendo con certezza che é il medesimo. b) Calcolare la duration dei tre titoli.

6 6 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA A ,25 0 B ,7625 E c) Volendo investire un certo capitale C 0 in un portafoglio titoli P(A, B, E), comprendente quote sia di A che di B che di E, in modo che tra due anni e mezzo possiate saldare un debito di 225, e, calcolate quanto deve essere C 0 e quante quote rispettivamente dei titoli A, B e E si devono acquistare, con il vincolo che le quote di A e di B devono essere le stesse. Soluzione. a) Assumendo che il rendimento sia uguale per tutti e tre i titoli, basta calcolare il rendimento di uno dei tre. Pertanto, determiniamo il rendimento di A: , , 25 (1 + x)2 = 0 = 100 (1 + x) 2 (1 + x) 2 110, 25 = (1 + x) 2 110, 25 = = 1, 1025 x = 1, = 0, 05, 100 dunque il rendimento (comune) dei tre titoli è il 5%. Se si vuole verificare che il rendimento sia effettivamente comune anche agli altri due, basta ripetere la stessa procedura di calcolo per B e C. b) I titoli A e B sono titoli a zero coupon, quindi le loro duration sono esattamente le scadenze finali, ossia D A = 2; D B = 3. Calcoliamo la duration del titolo E: D E = 5 1, (1, 05) , 95. c) Volendo investire un certo capitale C 0 per poi ricavare tra due anni e mezzo un montante almeno pari al debito che devo saldare, é ovvio che io mi debba prefiggere di comprare un portafoglio di titoli, fra A, B ed E, che abbia duration pari a 2, 5. Siccome a tale scadenza io so che il mio portafoglio (per definizione stessa di duration) avrá un rendimento almeno pari al 5%, allora questo significa che al rendimento minimo del 5% il mio capitale C 0, capitalizzato per due anni e mezzo, deve dare come montante esattamente 225, e. Pertanto, per trovare C 0, dobbiamo attualizzare di 2 anni e

7 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA 7 mezzo il valore del debito al rendimento del 5%, quindi otteniamo: 225, C 0 = 200e. (1, 05) 5 2 Denotiamo ora con α e β le frazioni di C 0 destinate a comprare rispettivamente quote del titolo A e B, ossia α = C A /C 0 e β = C B /C 0. Conseguentemente, é evidente che C E /C 0 coincide con 1 α β. La duration di portafoglio diviene quindi: D A,B,E = α D A + β D B + (1 α β) D E, (4) dove D A,B,E = 2, 5; D A = 2; D B = 3 e D E = 1, 95. Poiché si devono acquistare lo stesso numero di quote di A e B, abbiamo che: n A = n B C A P A = C B P B α C 0 P A = β C 0 P B. Siccome P A = P B = 100, otteniamo direttamente che α = β. Dunque la (4) diventa: D A+B+E = α D A + α D B + (1 2 α) D E, ossia 2, 5 = 2 α + 3 α + (1 2 α) 1, 95 da cui si ricava 5 α + 1, 95 3, 9 α 2, 5 = 0 1, 1 α = 0, 55 α = 0, 5. Allora il numero di quote di A, B e E che dobbiamo acquistare è dato da: n A = n B = α C = 1; n E = (1 2 α) C 0 = 0, 100 ossia una quota di A e una di B e nessuna di E.