Disequazioni razionali (in una variabile)

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1 5 settembre 8 Disequazioni razionali (in una variabile) Forma normale: f f f < f > Disequazioni razionali intere Nelle disequazioni razionali intere la funzione f è un polinomio. Disequazioni di grado f è un binomio: a + b Si risolvono: ) applicando i principi di equivalenza. Esempio: eqv. ) con la regola dei segni eqv. + + S = segni binomio S = Prima di tutto si risolve l equazione associata = per trovare lo zero (la radice) del binomio. Dopo di che il segno del binomio si stabilisce sostituendo prima con un valore più grande della radice, poi con un valore più piccolo della radice. 3) graficamente Sappiamo che le espressioni razionali intere di primo grado in (binomi di primo grado) a + b corrispondono nel piano cartesiano a rette crescenti, se a >, decrescenti se a < Nel nostro esempio è una retta decrescente perché a = S = Dove il grafico della funzione sta sopra la retta dei, il segno del binomio è positivo, dove sta sotto, il segno del binomio è negativo.

2 5 settembre 8 Disequazioni di grado f è un trinomio: a b c + + Non si possono risolvere applicando solo i principi di equivalenza Si risolvono: ) scomponendo in fattori e applicando la regola dei segni si risolve l equazione associata a + b + c = per trovare gli zeri (le radici) del trinomio e si riscrive la disequazione scomponendo il trinomio: a ( )( ) I segni si stabiliscono applicando la regola dei segni al prodotto a ( )( ) Esempio: si risolve l equazione associata = per trovare gli zeri (le radici) del trinomio e si riscrive la disequazione scomponendo il trinomio: = + + = ( ) ( ) = ( + )( ) = ( )( ) + I segni del prodotto e del trinomio si stabiliscono componendo la seguente tabella: valore di fattore fattore Trinomio > + < < < + S =

3 5 settembre 8 La regola dei segni si può applicare anche rappresentando su rette cartesiane distinte e sovrapposte i segni dei due binomi che si ottengono dalla scomposizione. Nel nostro esempio: ) metodo grafico Per applicare questo metodo si tiene conto che ogni espressione, e quindi ogni funzione data con una espressione, corrisponde ad una linea nel piano cartesiano. Nel caso di polinomi di secondo grado: a + b + c la linea è data da un tipo di curva detta parabola, rivolta verso l alto, se a >, verso il basso, se a <, tale curva interseca l asse delle nei punti che risolvono l equazione associata: a > a < Svolgiamo nuovamente di nuovo l esempio visto sopra. Soluzioni dell equazione associata: = = segni del trinomio Dove il grafico della funzione sta sopra la retta dei valori della, il segno del trinomio è positivo, dove sta sotto, il segno del trinomio è negativo. 3

4 5 settembre 8 Casi particolari di disequazioni di grado Data una disequazione razionale intera di secondo grado: sono possibili tre casi: Casi a b c + + oppure a b c + + > > E il caso visto sopra, che si risolve con la scomposizione o graficamente. = Il trinomio è un quadrato: + + = ( ) a b c a che ha il segno di a oppure è nullo < Il trinomio non ha radici reali è ha lo stesso segno di a a > a + b + c S =R a > a + b + c > S = { } a < a + b + c > S = a < a + b + c S = { = } a > a + b + c S =R a < a + b + c > S = Metodo semplificato Come nel metodo grafico si trovano le soluzioni dell equazione associata, che si riportano sulla retta cartesiana. Il segno del trinomio, a partire da destra della radice maggiore, è quello del coefficiente di, percorrendo poi la retta reale nel verso opposto a quello positivo, ogni volta che s incontra una radice dell equazione associata si cambia il segno, purché sia una radice singola (dispari); se la radice è doppia (pari), non si cambia il segno. Le radici sono singole (dispari) quando sono due distinte; sono doppie (pari) quando sono due coincidenti, cioè quando = e il trinomio è un quadrato. Esempio. ) ( ) ± = = = = 4 + S = Si inizia da destra della radice maggiore con il segno meno perché a =, negativo; dopo la prima radice che si incontra si cambia segno perché sono radici singole (sono due). ) < = = = 4 + < ( ) ( ) radice doppia { } S = 4

5 5 settembre 8 Disequazioni di grado maggiore di Nella forma normale di queste disequazioni ( f ) f è un polinomio di grado maggiore di, oppure il prodotto di o più polinomi di secondo grado (minimo: uno di primo e uno di secondo). La soluzione si ottiene scomponendo il polinomio in fattori di primo o secondo grado e applicando la regola dei segni. Si può applicare anche il metodo semplificato: si parte da destra della radice maggiore con il segno del coefficiente della di grado massimo (Se ci sono più fattori, con il segno che si ottiene dalla regola dei segni, moltiplicando i coefficienti delle di grado massimo dei diversi fattori); percorrendo poi la retta reale nel verso opposto a quello positivo, ogni volta che s incontra una radice dell equazione associata si cambia il segno, purché sia una radice dispari; se la radice è pari, non si cambia il segno. Le radici sono dispari quando sono ripetute un numero dispari di volte; sono pari quando sono ripetute un numero pari di volte. Esempio 4 3 ( )( )( ) + > ± Calcolo radici del primo fattore: S = { < < < < } doppia ( ) ± = Si parte a destra della radice più grande con il segno meno perché i coefficienti delle di grado massimo sono: Sistemi di disequazioni + (primo fattore) (secondo fattore) + (terzo fattore) f > Si dice sistema di disequazioni la congiunzione di due o più disequazioni: g <... La soluzione di un sistema è data dall intersezione delle soluzioni delle singole disequazioni. 4 3 ( )( )( ) + > ± ± Intersezione: S = < <

6 5 settembre 8 Disequazioni con valore assoluto Definizione di valore assoluto di un numero reale a: a se a a = a se a < Le disequazioni con valore assoluto si risolvono applicando questa definizione: f < g Le soluzioni dei due sistemi vanno poi unite. f < g f < g se f f f g f g se f < f Esempio. < < > < se S = { } < > < se < 3 S = < < < 3 < La soluzione della disequazione si ottiene unendo le soluzioni dei due sistemi: S = S S = > 3 Casi particolari Sia g ( ) = k e sia k una funzione costante positiva ( k > ) allora: f > k f < k k < f < k f < k f > k f < k f > k Esempi: ) S = { } ) { } S = 3) > < > 3 S = < > 6

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