Enrico Borghi RELATIVIZZAZIONE DELL EQUAZIONE FONDAMENTALE DELLA MECCANICA NEWTONIANA PER UN CORPO CONTINUO

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1 Enrio Borghi RELATIVIZZAZIONE DELL EQUAZIONE FONDAMENTALE DELLA MECCANICA NEWTONIANA PER UN CORPO CONTINUO Ci proponiamo di relativizzare l equazione fondamentale della Meania newtoniana per un orpo ontinuo espressa dall eq. (C24 dell Appendie C he qui risriviamo (ρ mu + (ρ m U U + f ( ( ρm U k + ( ρm U k U l kl + f k ; k,l,2,3 x l x l Teniamo onto del fatto he, trattandosi di una desrizione euleriana di materia in movimento (v. Appendie C, le quantità ρ m ρ m (R,t (densità di massa, U U (R,t (ampo di veloità, (R,t (tensore degli sforzi e f f (R,t (densità di forza di volume sono misurate all istante t nel punto R on riferimento a un sistema di oordinate S dal quale la materia in movimento viene osservata. Si ha quindi per definizione: ρ m dm d dove dm è una porzione di materia e d è un volumetto infinitesimo riferito a S. Per un sistema di oordinate solidale on la porzione di materia dm in movimento si può srivere: ρ m dm d e dalla Teoria della Relatività speiale si ha d d ; m m (2 (3

2 E. Borghi - Relativizzazione della Meania newtoniana (orpi ontinui periò e infine ρ m d d m ρ m ρ m Ora osserviamo he la ( si può srivere osì: ρ m ( U + + ρ m ( U U dm d + f Tenendo onto della (4 e della (A5 dell Appendie A dello studio Relativizzazione dell equazione fondamentale della Meania newtoniana per una partiella he qui risriviamo U α U x U y U z ; U α e passando alla notazione indiiale si ottiene U (ρ k U m U x U y U z (4 ; α,,2,3 (5 + x l ( ρm U k U l + kl f k ; k,l,2,3 (6 dove kl è la versione relativistia di kl e f k f k è la parte spaziale della densità di forza relativistia espressa da (v. eq. (7 dello studio sopramenzionato f α f U f x f y f z f U f ; f α x f y f z ; α,,2,3 (7 Riprendiamo ora in onsiderazione l equazione di onservazione della massa, (v. Appendie C, eq. (C9 he, ome riordiamo dall Appendie C, non è impliita nella (C24 e quindi neppure nella (6. Si ha ρ m + (ρ m U (8 2

3 E. Borghi - Relativizzazione della Meania newtoniana (orpi ontinui Dal punto di vista relativistio non è la sola massa di un sistema fisio he si onserva, ma è la somma della massa e dell energia. Oorre periò tener presente l equazione di onservazione dell energia espressa dalla (E4 dell Appendie E e risrivere la (8 nel modo seguente ( ρ m + w m + ( ρ m U + S m f U dove si noti he la (E4 è stata divisa per per rendere omogenei gli addendi entro iasuna oppia di parentesi tonde. Infatti: [S m / ] [w m / ] Riordando la (4 si può srivere: ρ m energia volume veloità M densità di massa 2 L3 potenza MLT superfiie veloità2 L 3 densità di quantità di moto + w m + ρ m U + S m f U Moltiplihiamo per : ρ m + w m + ρ m U + S m f U Si ha osì infine, tenendo onto della (5 e della (7: U (ρ U m + w m + ( ρ x l m U U l + Sl m f ; l,2,3 (9 dove w m e S m sono rispettivamente le versioni relativistihe di w m e S m (v., ad esempio, Landau-Lifsits, Teoria dei ampi, par. 35. Ora onsideriamo l insieme delle quattro equazioni ostituito dalla (9 e dalle tre (6 nelle quali aggiungiamo all argomento della derivata temporale la quantità S k m/,k,2,3, trasurabile per valori di U/ osihé le (6 diventano: U (ρ k U m + Sk m + x (ρ l m U k U l + kl f k ( Notiamo l analogia on la densità di quantità di moto elettromagnetia espressa da S e / dove S e è il vettore di Poynting. 3

4 E. Borghi - Relativizzazione della Meania newtoniana (orpi ontinui Introduiamo il seguente 4-tensore simmetrio di seondo ordine E αβ ρ m U α U β ; E ρ m U U ( ovvero U U U U U U 2 U U 3 U U U U U U 2 U U 3 E αβ ρ m ρ m U 2 U U 2 U U 2 U 2 U 2 U 3 U 3 U U 3 U U 3 U 2 U 3 U 3 U U 2 U 3 U U 2 U 3 U U U U 2 U U 3 U 2 U U 2 U 2 U 2 U 3 U 3 U U 3 U 2 U 3 U 3 (2 osihé la (9 e la ( possono essere sritte rispettivamente osì: ( E + w x m + x l ( E k + Sk m x ( E l + Sl m f + x l ( E kl + kl f k ; k,l,2,3 (3 Introduiamo anhe il 4-tensore simmetrio di seondo ordine T, detto tensore energiasforzo meanio, osì definito w m S m / S2 m / S3 m / T αβ S m/ 2 3 S 2 m/ S 3 m/ (4 osihé le (3 diventano ( E αβ + T αβ x β f α Introduendo il tensore energetio ; α,β,,2,3 ; (E + T f si ha infine T αβ (E αβ + T αβ ; T αβ T βα ; [T] energia volume L MT 2 (5 T αβ x β fα ; T f (6 Questa equazione rappresenta la versione relativizzata dell equazione fondamentale della Meania newtoniana per un orpo ontinuo. 4

5 E. Borghi - Relativizzazione della Meania newtoniana (orpi ontinui Essa esprime on la sua omponente temporale T β x β la legge di onservazione della massa-energia della distribuzione di materia e on le sue omponenti spaziali T kβ x β fk ; k,2,3 l equazione del moto di tale materia. Se manano gli sforzi interni, ome quando si è in presenza di materia disaggregata, si ha U U U U U U 2 U U 3 w m U U U U U U 2 U U 3 T αβ E αβ + T αβ ρ m + U 2 U U 2 U U 2 U 2 U 2 U 3 U 3 U U 3 U U 3 U 2 U 3 U 3 Ora osserviamo he periò ρ m U U ρ m ρ m ρ m U U k ρ m U k U ρ m ρ m U k U l ρ m U k T αβ E αβ + T αβ ρ m U U 2 U 3 U l f U k ρ m U k ρ m Uk ρ m U k U l ρ m Uk U l U U 2 U 3 U U U U 2 U U 3 w m + U 2 U U 2 U 2 U 2 U 3 U 3 U U 3 U 2 U 3 U 3 Se U/ si ha ρ m ρ m (v. eq. (4 e w m w m 2 ρ m U 2 e sono trasurabili tutte le omponenti di E αβ rispetto a E periò T αβ ρ m + 2 ρ m U 2 5

6 E. Borghi - Relativizzazione della Meania newtoniana (orpi ontinui e quindi ( T αβ ρ m + U 2 2 Poihé U 2 / è trasurabile rispetto a si ottiene infine T αβ ρ m (7 6

7 APPENDICI C, D, E dello studio Reinterpretare l Elettromagnetismo per spiegare la Meania quantistia

8 E. Borghi - Appendie C Appendie C Rihiamiamo aluni onetti fondamentali utilizzati nella desrizione fenomenologia di un orpo ontinuo (Meania newtoniana dei orpi ontinui. Innanzitutto un orpo oupa una erta porzione di spazio tridimensionale, ioè un sottoinsieme di R 3, esprimibile mediante l integrale d Ciasun punto R di si sposta nel tempo seguendo una erta traiettoria. Questa può essere desritta in due modi diversi. Si può far riferimento a una equazione del tipo: R R(R,t (C he fornise, per ogni istante t, la posizione raggiunta dal punto he in t ha la posizione R. La (C è la versione ontinua della ollezione di equazioni he desrivono il moto di un insieme disreto di punti R (i R (i (t ; i,2,3,... intendendo on iò he quest ultima può essere trasformata nella (C faendo assumere all indie i una ontinuità di valori orrispondenti a quelli he può assumere R. Questo può essere onsiderato la etihetta identifiativa di un punto di, osì ome l indie i è l etihetta identifiativa di una partiella. La desrizione dei punti fornita dalla (C è detta lagrangiana o materiale. Si può d altra parte introdurre una espressione del tipo R R (R,t (C2 la quale fornise la etihetta identifiativa R del punto he si trova a transitare in R all istante t. La (C2 può essere riavata per inversione della (C, se è diverso da zero il determinante della matrie jaobiana della trasformazione. Questa desrizione è detta euleriana o spaziale. L insieme dei vettori R ostituise un ampo (vettoriale di etihette identifiative. Esempi. Nella desrizione euleriana si può introdurre un ampo salare di densità di massa ρ m ρ m (R,t he fornise la densità di massa ρ m del punto he si trova a transitare in R al tempo t; oppure un ampo vettoriale di veloità U U (R,t he fornise la veloità U del punto he si trova a transitare in R al tempo t, e. Nella desrizione lagrangiana si ha invee rispettivamente ρ m ρ m (R,t 8

9 E. Borghi - Appendie C U U(R,t Queste espressioni indiano ome variano nel tempo rispettivamente la densità di massa e la veloità del punto he in t si trovava in R. La selta dell una o dell altra desrizione dipende dal fenomeno he si sta studiando. Ad esempio la desrizione spaziale è utilizzabile on vantaggio quando si studiano ampi di pressioni o veloità, nei quali di solito lo sviluppo matematio non viene spinto fino al alolo delle posizioni iniziali delle partielle. La desrizione lagrangiana mette invee in evidenza le posizioni iniziali. La veloità di variazione nel tempo di una proprietà fisia P di un ontinuo è detta derivata onvettiva o derivata materiale di quella proprietà rispetto al tempo. La derivata onvettiva si intende eseguita lungo la traiettoria di iasun punto del ontinuo e può essere immaginata ome la variazione nel tempo misurata da un osservatore he si muova solidalmente ol punto. Nel aso di desrizione lagrangiana, in ui è P P(R,t, si ha dp(r,t P(R,t + P R k R k Ma R k / periò dp(r,t P(R,t e quindi la derivata materiale oinide on la ordinaria derivata parziale. Nel aso di desrizione euleriana si ha P P ( R(t,t periò (C3 ovvero dp (R,t P (R,t dp P + P R k R k P (R,t + (P U P + U ( P + P R k Uk (R,t (C4 (C5 dove si noti he dp/ si ridue all ordinaria derivata parziale se U, oppure se P (ioè se la proprietà P non varia nello spazio, oppure se il prodotto salare di U e P è nullo (ioè se P varia in direzione perpendiolare a U. Esempi. Consideriamo un lago esposto al sole e in esso un bagnante dotato di un termometro e fermo in un punto. Il bagnante osserverà, nell aro di una giornata, una variazione della temperatura dell aqua del lago dovuta al variare delle ondizioni di insolazione (v. eq. (C5 on U e on la proprietà fisia P espressa dalla temperatura dell aqua. Supponiamo ora he in un tratto di riva del lago sia presente una sorgente he rende la temperatura dell aqua diversa da quella dell aqua in prossimità della riva opposta. Se il bagnante nuota dall una all altra riva portando on sé il termometro osserverà una variazione temporale di temperatura dovuta a due ause (v. eq. (C5: una, indipendente dal 9

10 E. Borghi - Appendie C moto del bagnante, dovuta alla variazione delle ondizioni di insolazione del lago durante la (lunga nuotata, e un altra dipendente dal modulo, dalla direzione e dal verso della veloità U on ui il bagnante nuota rispetto al modulo, direzione e verso del gradiente di temperatura dell aqua dovuto alla presenza della sorgente. Se la proprietà P è la densità di massa ρ m, si avrà, nella desrizione lagrangiana e in quella euleriana dρ m (R,t ρ m(r,t dρ m (R,t ρ m (R,t + U (R,t ( ρ m Se la proprietà P è il ampo di veloità U dei punti del orpo, si avrà nella desrizione lagrangiana e in quella euleriana du (R,t du(r,t U (R,t U(R,t + (U U (R,t * * * Consideriamo ora una proprietà fisia di un ontinuo espressa da un integrale di volume. Nella desrizione euleriana si ha P n (t (t e n (R,td ; [e n ] [proprietà] volume (C6 dove e n è il ampo della densità volumia della proprietà (n india un ordine di tensorialità qualsiasi e (t è la porzione di spazio oupata dal ontinuo all istante t. Ci proponiamo di alolare la derivata materiale della P n : dp n d e n (R,td Per fare iò erheremo innanzitutto l espressione della P n nella desrizione lagrangiana. A questo fine osserviamo he la desrizione lagrangiana della densità della proprietà si ottiene effettuando la sostituzione osihé R R(R,t e n (R,t l n (R,t ; d Jd J(R,tdR dr 2 dr 3 (C7 essendo J il determinante jaobiano della trasformazione da R a R, determinante he viene simboliamente indiato osì: ( R, R 2, R 3 J J R, R2, (R, R 2, R 3 R3 (R, R2, R3

11 E. Borghi - Appendie C e he ha le seguenti espressioni equivalenti: J R R R R 2 R R 3 J R R R R 2 R R R R R 2 R R R R 2 R R R 2 R R 2 R 2 R 2 R R 2 R 2 R 2 R 2 R R 2 R R 2 R i R j R k ε ijk R R 2 ijk R R 2 ε R i R j R k (C8 Per ottenere la (C7 onsideriamo (v. figura un punto R R, R2, R3 e ostruiamo un volumetto avente la forma di un parallelepipedo infinitesimo d on un vertie in R e spigoli ostituiti da segmenti generati ome spostamenti infinitesimi paralleli agli assi oordinati da R l a R l + dr l,l,2,3. Si ha osì d dr dr2 dr3 Nella desrizione euleriana si ha in orrispondenza un volumetto d avente un vertie in R e spigoli ostituiti da tre segmenti generati da spostamenti infinitesimi non più paralleli agli assi oordinati ma diretti da R a R + dr (m (on m,2,3 essendo dr (m dr (m,dr (m2,dr (m3 (nella figura viene indiato solamente lo spostamento dr ( dr (,dr (2,dR (3 ed essendo R l (R, R 2, R 3 + dr (l R l (R + dr, R 2, R 3 R l (R, R 2, R 3 + dr (2l R l (R, R 2 + dr 2, R 3 R l (R, R 2, R 3 + dr (3l R l (R, R 2, R 3 + dr 3

12 E. Borghi - Appendie C osihé dr (ml R l (, R m + dr m, R l (R, R 2, R 3 Rl R m dr m (C9 dove il soprassegno sugli indii ripetuti sta a indiare he non è sottintesa l operazione di somma. Ora è noto he il volume d è espresso da d dr ( dr ( dr (2 dr (3 dr (2 dr (3 dr (2 dr (22 dr (23 dr (3 dr (32 dr (33 osihé tenendo onto della (C9 si può srivere (a b ε. : (ab ε ijk a i b j k ovvero d R R dr R R 2 dr 2 R dr 3 R 2 R dr R 2 R 2 dr 2 R 2 dr 3 R dr R 2 dr 2 dr 3 ε ijk R i R R i R j R k d ε ijk R R 2 d he, tenuto onto della (C8, oinide on la (C7. dr R j R 2 Ritorniamo alla (C6 ed effettuiamo in essa le sostituzioni (C7 osihé P n (t l n (R,tJd R k dr 2 dr 3 (C Abbiamo osì ottenuto l espressione della proprietà fisia del ontinuo nella desrizione lagrangiana. In questa desrizione il alolo della derivata materiale della P n (t è faile: Ma ( dj d εijk dp n d ( ln J d R ( R 2 ijk R d R i R j R k +ε R i R 2 R j ( dln J + l n R k dj d ijk R +ε R i R 2 R j ( d (C Consideriamo la derivata materiale nel primo termine a membro destro e osserviamo he l argomento della derivata è una funzione di R,t periò (v. eq. (C3 R k d R R i R R i R R i U (R,t R i U R l R r R l R r R i 2

13 E. Borghi - Appendie C Per semplifiare la srittura poniamo U R l R l R r U R r osihé Segue d R R i U R r R r R i ε ijk ( d R R 2 R i R j R k ( U ε ijk R r R 2 R r R i R j R k { ε ijk U R R 2 R R i R j R k ; r,2,3 + U R 2 R 2 R 2 R i R j + R k + U R 2 R i R j } Ora osserviamo he il seondo termine entro parentesi graffe è simmetrio rispetto agli indii i e j, mentre il terzo termine è simmetrio rispetto a i e k osihé il prodotto ontratto del tensore di Levi-Civita, he è antisimmetrio rispetto a tutte le oppie dei suoi indii, on iasuno di questi termini dà zero e quindi rimane: ε ijk ( d R R 2 R i R j R k Con ragionamenti simili si ottiene: ( ijk R d R 2 ε R i R j e quindi la (C diviene periò ijk U R R 2 ε R R i R j R k R k U2 R R 2 J ; εijk R2 R i R j U R R 2 εijk R R i R j R k ( d R k dj ( U R + U2 R + U3 J Uk J ( UJ 2 Rk dp n A questo punto, operando la trasformazione { } dln + l n( U Jd R R (R,t e tenendo presente la (C7 ritorniamo alla desrizione euleriana: dp n U3 J R k U R J (C2 { den (R,t + e n (R,t ( U (R,t } d (C3 Abbiamo osì ottenuto quello he i eravamo proposti di alolare, ioè l espressione della derivata materiale di P n, proprietà fisia di un ontinuo espressa da un integrale di volume. 3

14 E. Borghi - Appendie C Tenendo presente la definizione di derivata materiale per una grandezza euleriana (v. eq. (C5 si può risrivere la (C3 nel modo seguente: Esempi. dp n { } en + U ( e n + e n ( U d (C4 In meania newtoniana la massa m di un orpo avente densità volumia ρ m e ontenuto in un volume m ρ m d (C5 si onserva nel tempo, nel senso he può variare solo se vi è passaggio di materia in entrata o usita attraverso la superfiie di. Si ha quindi dm d ρ m d Dalla (C3, essendo e n ρ m e P n m, si ottiene ( dρm + ρ m ( U d mentre dalla (C4, essendo U ( ρ m + ρ m ( U (ρ m U, si riava ( ρm + (ρ m U d (C6 (C7 equivalente alla (C6. Dalle (C6 e (C7 si riavano le versioni puntuali delle equazioni di onservazione: dρ m + ρ m ( U (C8 ρ m + (ρ m U (C9 Riordando il teorema di Gauss si può srivere la seonda delle (C7 nel modo seguente: ρ m d + ρ m U nd (C2 Essa mostra he la massa di un orpo ontinuo dotato di volume può mutare solo se vi è flusso di massa in ingresso o in usita attraverso la superfiie di. Se ρ m U è il vettore densità volumia di quantità di moto, allora l equazione fondamentale della meania newtoniana per un orpo ontinuo avente volume e superfiie è: d ρ m U d nd + f d (C2 4

15 E. Borghi - Appendie C dove è il tensore degli sforzi meanii e f è una densità di forza di volume. Se assumiamo e n ρ m U ; P n ρ m U d otteniamo dalla (C4 dp n d { ρm U ρ m U d periò la (C2 può essere risritta in questo modo ( ρm U + U ( (ρ m U } + ρ m U( U d + U ( (ρ m U + ρ m U( U d nd + f d (C22 Tenendo presente he U ( (ρ m U + ρ m U( U (ρ m U U si ottiene infine ( ρm U + (ρ m U U d nd + f d (C23 Le (C2, (C22 e (C23 sono espressioni equivalenti della legge fondamentale della Meania newtoniana per un orpo ontinuo. Appliando il Teorema di Gauss all integrale di superfiie e supponendo n rivolta verso l interno di si ottiene la seguente versione puntuale della (C23: ρ m U + (ρ m U U + f (C24 * * * Riprendiamo in onsiderazione la (C3 e supponiamo he e n rappresenti non una densità riferita al volume ome si è supposto finora (v. eq. (C6, ma una densità riferita alla massa he indihiamo on e n (m : [e n (m ] [proprietà] (C25 massa Ne segue he si può srivere periò la (C3 diviene dp n [ρ m e n (m ] massa [proprietà] volume massa { dρ m e (m n { dρ m e(m n { (dρm + ρ m e (m n ( U } d + ρ de n (m m + ρ m ( U e n (m 5 [e n ] (C26 + ρ m e (m n ( U } d } de n (m + ρ m d

16 E. Borghi - Appendie C Se vale la (C8 ne segue he dp n de n (m ρ m d (C27 Le (C3, (C4 e (C27 sono modi diversi di formulare la derivata materiale di una proprietà fisia di un ontinuo espressa da un integrale di volume. Esempio. L integrando a membro sinistro della (C2 può essere onsiderato ome il prodotto di ρ m e della densità di massa di quantità di moto espressa da U quantità di moto massa densità di massa di q. di m. (C28 e quindi per il membro sinistro della (C2 vale la (C27, osihé d d(densità di massa di q. di m. du ρ m U d ρ m d ρ m d periò la (C2 diviene du ρ m d nd + f d (C29 he è un altro modo di esprimere la legge fondamentale della Meania newtoniana per un orpo ontinuo. Appliando il Teorema di Gauss e supponendo n rivolta verso l interno di si ottiene du ρ m d ( + f d la ui versione puntuale è ρ m du + f (C3 6

17 E. Borghi - Appendie D Appendie D Determiniamo l espressione della densità dell energia potenziale di deformazione elastia w D di un orpo avente volume, superfiie e normale n (int rivolta verso l interno (l indiazione int verrà talvolta omessa per semplifiare la srittura in stato di tensione elastia desritta dal tensore degli sforzi. Assumiamo le seguenti definizioni e onvenzioni (n ( n (n (n n f densità di forza di volume agente entro (D forza di superfiie agente su ; (n è positiva se è una forza di pressione e quindi n è diretta verso l interno di definizione del tensore degli sforzi (D2 kl lk simmetria del tensore degli sforzi (D3 s vettore spostamento (D4 e ( s + s definizione del tensore della deformazione 2 (D5 : e ; ij ijkl e kl legge di Hooke (D6 ρ m U + f equazione newtoniana della meania (v. eq. (C3 (D7 f equazione dell equilibrio del orpo elastio (D8 e teniamo presente he la teoria lassia della deformazione, alla quale i stiamo riferendo, prende in onsiderazione pioli spostamenti e pioli gradienti dello spostamento. In queste ipotesi la differenza fra la desrizione lagrangiana e la desrizione euleriana (v. Appendie C tende ad annullarsi osihé in luogo dei tensori lagrangiano ed euleriano di deformazione si onsidera un unio tensore di deformazione e (v. eq. (D5, e la derivata materiale (V. Appendie C tende a diventare indistinguibile dalla derivata parziale ordinaria periò la (C3 viene espressa dalla (D7. In entrambe le Appendii D ed E si farà impliitamente riferimento a queste assunzioni. Ciò posto, indihiamo on ds uno spostamento infinitesimo di un generio punto di he assumiamo in ondizioni di equilibrio. Lo spostamento è molto lento e il orpo rimane in equilibrio. Il lavoro ompiuto dalle forze f agenti in e dalle forze (n agenti sulla superfiie, è espresso da dw D f dsd + Ma il orpo è in equilibrio, periò, per la (D8 dw D ( ds d + 7 (n dsd (n dsd

18 E. Borghi - Appendie D Ma e quindi o anhe periò (a,b ds da ui Ma b ( a + a : ( b ı k b k ( l ı l a mn ı m ı n + a mn ı m ı n : ( r ı r b s ı s dw D b n ( m a mn + a mn ( m b n m (a mn b n b ( a + a : ( b (a b ( a b + a : ( b (a b ( ds ( ds : (ds ( dsd : ( dsd + (n dsd ds 2 ( ds + ds + 2 ( ds ds de + ( ds ds 2 (D9 dove si è tenuto onto della (D5, periò dw D ( dsd : ded 2 : ( ds ds d + (n dsd Il terzo integrale a membro destro è nullo perhé è il prodotto salare del tensore simmetrio per il tensore antisimmetrio ds ds periò dw D ( dsd : de d + (n dsd Applihiamo il teorema di Gauss al primo termine a membro destro. Poihé la normale n è rivolta verso l interno segue dw D ds nd (n dsd : ded + : de d + (n dsd (n dsd e infine ovvero, in termini di densità dw D : ded Questa espressione differenziale è esatta se dw D : de ij de ij ij e kl kl e ij (D 8

19 Ma per un orpo elastio vale la legge di Hooke (v. eq. (D6 osihé E. Borghi - Appendie D ij e kl ijkl ; kl e ij klij periò la (D è verifiata se ijkl klij (D Questa ondizione di simmetria esiste per un orpo isotropo. Assumeremo he il orpo he stiamo onsiderando lo sia, periò è possibile definire una energia potenziale elastia he aloliamo nel modo seguente (v. eq. (D6 dw D ijkl e kl de ij Sambiamo gli indii ij on gli indii kl e teniamo onto della (D e sommiamo a membro a membro dw D klij e ij de kl ijkl e ij de kl 2dw D ijkl (e kl de ij + e ij de kl ijkl d(e kl e ij d( ijkl e kl e ij ovvero, per la (D6 e quindi 2dw D d( : e w D 2 : e (D2 Questa è l espressione della densità di energia potenziale elastia he i eravamo proposti di determinare. 9

20 E. Borghi - Appendie E Appendie E È data una distribuzione di materia dotata di densità di massa ρ m in un ampo di veloità U. Consideriamo la porzione di materia ontenuta in un volume irondato da una superfiie ; la normale n alla superfiie è rivolta verso l interno e quindi n n (int. In è presente un ampo di forze di volume aventi densità f; la materia è in uno stato di deformazione elastia desritta dal ampo tensoriale e dovuta a uno stato di tensione elastia desritta dal ampo tensoriale. Indihiamo on w m la densità volumia di energia meania presente in espressa dalla somma delle densità volumihe di energia inetia e di energia potenziale di deformazione elastia w D della materia: Dalla Appendie D (v. eq. (D2 riaviamo w m 2 ρ mu 2 + w D w D 2 : e e quindi la densità volumia di energia meania totale w m è espressa da w m 2 ρ mu 2 2 : e della quale ora i interessa determinare la derivata rispetto al tempo. A questo fine ominiamo ol onsiderare la d w m d d 2 ρ mu 2 d 2 d : e d Poniamo e quindi P n dp n d 2 ρ mu 2 d 2 ρ mu 2 d Ma 2 U2 dt dm densità massia dell energia inetia T 2 m U 2 osihé dp n d Tenendo presente la (C27 possiamo srivere ρ m dt dm d dp n e quindi d dt d d ρ m d ρ m dm 2 U2 d ρ m ( 2 U Ud ρ m U du d d w m d ρ m U du d d : ed 2 2

21 E. Borghi - Appendie E Questa equazione, per quanto si è detto sulla teoria lassia della deformazione all inizio dell Appendie D, può essere onsiderata valida sia nella desrizione euleriana sia nella desrizione lagrangiana, periò da ui w m d ρ m U U d 2 : e d w m ρ m U U : e 2 Ora osserviamo he si ha (legge di Hooke, eq. (D6: (E ( : e 2 2 ( : e : e 2 : e Ma in un orpo isotropo vale la (D periò ovvero e quindi ( : e 2 : e + e ( : e : 2 e ( : 2 : e + e ( : e : 2 e kl ijkl eij ij ekl klij e ( : e e : e ( : e : e ( : e : 2 + e ( : e : 2 dove si è tenuto onto della (D6. Segue, per la (D5 e ( : e : : e Ora osserviamo he : de : ( s + s 2 : ( s 2 + s ( 2 : s + ( s 2 : ( s 2 : ( 2 sk kl l ( 2 s k kl l Ma è simmetrio (v. eq. (D3 dell Appendie D e quindi Segue ( : e 2 ( s 2 : ( 2 s k lk l : e ( 2 : s + 2 : ( 2 2 : ( s s ( : s : ( U

22 E. Borghi - Appendie E Inserendo nella (E e riordando la (D7, ioè ρ m U + f, possiamo srivere w m U ( + f : ( U ( U ( + : ( U + f U Tenendo presente l eq. (D9 dell Appendie D segue (a,b U w m ( U + f U (E2 dove f U è la densità volumia di potenza sviluppata dalle forze di volume. Poniamo S m U ; S k m kl U l ; [S m ] potenza superfiie (E3 Il vettore S m rappresenta la densità volumia di flusso di potenza assoiata allo stato di tensione elastia. Segue w m S m + f U (E4 he è l espressione he i eravamo proposti di determinare. 22