VERIFICA DI IPOTESI STATISTICHE
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- Romolo Zamboni
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1 VERIFICA DI IPOTESI STATISTICHE La proedura della VERIFICA DI IPOTESI STATISTICHE, o proedura dei test statistii, riguarda il problema di voler avere maggiori iformazioi sul valore di u erto parametro γ della popolazioe, he risulta iogito, e osiste el fissare ell ipotesi u erto valore γ del parametro. Quidi, sulla base dei risultati ampioari, si stabilise se la differeza risotrata fra il valore ipotizzato γ e il valore ampioario g sia dovuta a ause aidetali o a ause sistematihe; di osegueza si deide se aettare o rifiutare l ipotesi prefissata. Sulla popolazioe vegoo poste due ipotesi omplemetari e disgiute, delle quali ua deve essere vera e l altra falsa: la proedura del test statistio ha lo sopo di far segliere ua delle due. La prima ipotesi, he solitamete omprede la relazioe di uguagliaza, viee detta ipotesi base o ipotesi di ullità o ipotesi ulla: H. L altra ipotesi viee detta ipotesi alterativa: H. H : γ γ H : γ γ TEST BILATERALE o TEST A DUE CODE H : γ γ H : γ > γ TEST UNILATERALE o TEST A CODA DESTRA H : γ γ H : γ < γ TEST UNILATERALE o TEST A CODA SINISTRA
2 Al fie di verifiare quale delle due ipotesi sia vera, si opera per mezzo di ua : essa è ua fuzioe di uo STIMATORE G del parametro γ i questioe ed è ua variabile asuale tabulata (ivee i software statistii riorroo ad altre teihe equivaleti basate sul p-value. Fissato u Livello di sigifiatività pari ad, lo spazio dei valori possibili della viee diviso i due isiemi omplemetari e disgiuti, detti ZONE CRITICHE (i valori he le idividuao soo detti VALORI CRITICI: - u isieme, detto ZONA o INTERVALLO DI ACCETTAZIONE, omprede i valori o desità di probabilità maggiore, pari a -, ed è ostruito i modo da avere ua probabilità totale di verifiarsi elevata, dato H ; - l altro isieme, detto ZONA o INTERVALLO DI RIGETTO o RIFIUTO, omprede i valori o desità di probabilità miore, pari a, ed ha ua probabilità totale di verifiarsi piuttosto piola. Sul ampioe estratto si alola la : a se il valore della appartiee al primo isieme, allora si aetta l ipotesi ulla H ; b i aso otrario, allora si rifiuta H e si aetta H.
3 VERIFICA DI IPOTESI SULLA MEDIA DELLA POPOLAZIONE Per fare ifereza su µ si utilizza lo stimatore Media ampioaria m. A seoda della distribuzioe ampioaria di m si seglie la opportua: se m si distribuise ormalmete allora selgo u ; se m stadardizzata si distribuise seodo ua v.. t di Studet allora selgo t. H : µ µ H : µ µ TEST BILATERALE o TEST A DUE CODE u Fissato ed essedo u test BILATERALE, si idividuao i due valori ritii zoe ritihe: ZONA DI ACCETTAZIONE (di H : u, + u ZONE DI RIFIUTO (di H :, u e + u,+ ± u e quidi le Quidi si ofrota il valore della alolato sul ampioe (: u o i valori ritii: a se il valore della appartiee alla ZONA DI ACCETTAZIONE, allora si aetta l ipotesi ulla H ; b i aso otrario, ovvero se la appartiee alle ZONE DI RIFIUTO, allora si rifiuta H e si aetta H. OPPURE s t
4 Fissato ed essedo u test BILATERALE, si idividuao i due valori ritii ritihe: ZONA DI ACCETTAZIONE (di H : t, + t ZONE DI RIFIUTO (di H :, t e + t,+ ± t e quidi le zoe Quidi si ofrota il valore della alolato sul ampioe (: t o i valori ritii: a se il valore della appartiee alla ZONA DI ACCETTAZIONE, allora si aetta l ipotesi ulla H ; b i aso otrario, ovvero se la appartiee alla ZONE DI RIFIUTO, allora si rifiuta H e si aetta H. ESERCIZIO Da ua erta popolazioe è stato estratto u ampioe asuale di osservazioi (: di media m,65 e variaza S,653. Verifiare l ipotesi he la media della popolazioe sia uguale a,8 (5%. SOLUZIONI Le ipotesi i ampo soo H : µ,8 H : µ, 8 Poihé il ampioe è di dimesioe elevata (: >3 allora la media ampioaria m si distribuise Normalmete; quidi il TEST da appliare è il test u: u Dove però è iogito, essedo iogita la variaza della popolazioe; allora bisoga riorrere alla variaza ampioaria orretta S e quidi la formula del test diveta: S u Per determiare la variaza ampioaria orretta bisoga orreggere il valore pari a,653 della variaza del ampioe: S (,653,636 da ui S,636, Da ui:
5 u,65,8 + 5,8335,4365 Dalle tavole della variabile ormale stadardizzata si riavao i due valori ritii al livello di sigifiatività del 5% (test bilaterale: ± u ±,96 Poihé il valore del test alolato u +5,8335 risulta estero alla zoa di aettazioe, si rifiuta l'ipotesi ulla ovvero o si ritiee he la popolazioe d'origie possa avere ua media pari a,8. : µ µ : µ > µ H u H TEST UNILATERALE o TEST A CODA DESTRA Fissato ed essedo u test UNILATERALE a oda destra, si idividua il valore ritio quidi le zoe ritihe: ZONA DI ACCETTAZIONE (di H : (, +u + u,+ ZONA DI RIFIUTO (di H : ( + u e Quidi si ofrota il valore della alolato sul ampioe (: u o il valore ritio: a se il valore della appartiee alla ZONA DI ACCETTAZIONE, allora si aetta l ipotesi ulla H ; b i aso otrario, ovvero se la appartiee alla ZONA DI RIFIUTO, allora si rifiuta H e si aetta H. OPPURE
6 s t Fissato ed essedo u test UNILATERALE a oda destra, si idividua il valore ritio quidi le zoe ritihe: ZONA DI ACCETTAZIONE (di H : (, +t + t,+ ZONA DI RIFIUTO (di H : ( + t e Quidi si ofrota il valore della alolato sul ampioe (: t o il valore ritio: a se il valore della appartiee alla ZONA DI ACCETTAZIONE, allora si aetta l ipotesi ulla H ; b i aso otrario, ovvero se la appartiee alla ZONA DI RIFIUTO, allora si rifiuta H e si aetta H. : µ µ : µ < µ H u H TEST UNILATERALE o TEST A CODA SINISTRA Fissato ed essedo u test UNILATERALE a oda siistra, si idividua il valore ritio quidi le zoe ritihe: u,+ ZONA DI ACCETTAZIONE (di H : ( ZONA DI RIFIUTO (di H : (, u u e Quidi si ofrota il valore della alolato sul ampioe (: u o il valore ritio: a se il valore della appartiee alla ZONA DI ACCETTAZIONE, allora si aetta l ipotesi ulla H ; b i aso otrario, ovvero se la appartiee alla ZONA DI RIFIUTO, allora si rifiuta H e si aetta H.
7 OPPURE s t Fissato ed essedo u test UNILATERALE a oda siistra, si idividua il valore ritio quidi le zoe ritihe: t,+ ZONA DI ACCETTAZIONE (di H : ( ZONA DI RIFIUTO (di H : (, t t e Quidi si ofrota il valore della alolato sul ampioe (: t o il valore ritio: a se il valore della appartiee alla ZONA DI ACCETTAZIONE, allora si aetta l ipotesi ulla H ; b i aso otrario, ovvero se la appartiee alla ZONA DI RIFIUTO, allora si rifiuta H e si aetta H.
8 VERIFICA DI IPOTESI SULLA VARIANZA DELLA POPOLAZIONE (ell ipotesi di popolazioe distribuita ormalmete H : H TEST BILATERALE o TEST A DUE CODE : χ ν S Fissato ed essedo u test BILATERALE, si idividuao i due valori ritii le zoe ritihe: ZONA DI ACCETTAZIONE (di H : χ, χ ZONE DI RIFIUTO (di H :, χ e χ,+ χ e χ, e quidi Quidi si ofrota il valore della alolato sul ampioe (: χ o i valori ritii: a se il valore della appartiee alla ZONA DI ACCETTAZIONE, allora si aetta l ipotesi ulla H ; b i aso otrario, ovvero se la appartiee alla ZONE DI RIFIUTO, allora si rifiuta H e si aetta H. ESERCIZIO Da ua popolazioe distribuita ormalmete è stato estratto u ampioe asuale di osservazioi (: o variaza ampioaria orretta S Verifiare l ipotesi he la variaza della popolazioe sia uguale a 4 (%. SOLUZIONI Le ipotesi i ampo soo H : 4 H : 4 La variaza ampioaria orretta si distribuise ome ua v.. hi-quadrato, a meo di u oeffiiete di proporzioalità; quidi il TEST da appliare è il test χ : S ν χ 9,9597 4
9 Co % e ν- si idividuao i due valori ritii χ χ, 6 e χ χ 5,9.,5 Poihé il valore del test alolato χ 9, 9597 risulta itero alla zoa di aettazioe, si aetta l'ipotesi ulla ovvero si ritiee he la popolazioe d'origie possa avere ua variaza pari a 4.,995 H > : H TEST UNILATERALE o TEST A CODA DESTRA : χ ν S Fissato ed essedo u test UNILATERALE, si idividua il valore ritio χ, e quidi le zoe ritihe:, χ ZONA DI ACCETTAZIONE (di H : ( ZONA DI RIFIUTO (di H : ( χ,+ Quidi si ofrota il valore della alolato sul ampioe (: χ o il valore ritio: a se il valore della appartiee alla ZONA DI ACCETTAZIONE, allora si aetta l ipotesi ulla H ; b i aso otrario, ovvero se la appartiee alla ZONA DI RIFIUTO, allora si rifiuta H e si aetta H. H < : H TEST UNILATERALE o TEST A CODA SINISTRA : ν χ S
10 Fissato ed essedo u test UNILATERALE, si idividua il valore ritio ritihe: ZONA DI ACCETTAZIONE (di H : ( χ,+, χ ZONA DI RIFIUTO (di H : ( χ, e quidi le zoe Quidi si ofrota il valore della alolato sul ampioe (: χ o il valore ritio: a se il valore della appartiee alla ZONA DI ACCETTAZIONE, allora si aetta l ipotesi ulla H ; b i aso otrario, ovvero se la appartiee alla ZONA DI RIFIUTO, allora si rifiuta H e si aetta H.
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