FUNZIONI TRIGONOMETRICHE E IPERBOLICHE

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1 FUNZIONI TRIGONOMETRICHE E IPERBOLICHE Indice. Qualche formula di trigonometria.. Identità fondamentale.. Periodicità.. Alcune formule notevoli.4. Alcuni valori notevoli.5. Formule di addizione 5.6. Formule di duplicazione 6.7. Formule di bisezione 6.8. Formule di prostaferesi 7.9. Identità di Eulero 7. Funzioni trigonometriche inverse 7.. Arco coseno 7.. Arco seno 0.. Arco tangente 0. Esercizi.. Funzioni trigonometriche.. Funzioni trigonometriche inverse 8

2 FUNZIONI TRIGONOMETRICHE E IPERBOLICHE. Qualche formula di trigonometria,5 0,5 x cos x sin x -,4 - -,6 -, -0,8-0,4 0 0,4 0,8,,6,4-0,5 - -,5 Figura. Il coseno ed il seno di un arco x.. Identità fondamentale.. cos x + sin x =, x R. Dimostrazione. Questa formula è una conseguenza diretta della definizione di cos x e sin x, oltre che del Teorema di Pitagora... Periodicità.. cosx + k π = cos x, x R, k Z. sinx + k π = sin x, x R, k Z.4 tanx + k π = tan x, x m + π, m, k Z,

3 .. Alcune formule notevoli. FUNZIONI TRIGONOMETRICHE E IPERBOLICHE.5 cos x = cos x, x R.6 sin x = sin x, x R.7 cosx + π = cos x sinx + π = sin x, x R m + π.8 tan x = tan x, x, m Z π π.9 cos x = sin x e sin x = cos x, x R π.0 tan x = tan x,.4. Alcuni valori notevoli. 0 π 6 π 4 x m π, m Z π π cos 0 sin 0 tan 0 Dimostrazione. Tutti questi valori possono essere determinati utilizzando la definizione di coseno, seno, tangente ed il Teorema di Pitagora. Per esempio, per construzione si ha. cos π 4 = sin π 4, et questa quantità corrisponde alla lunghezza del cateto di un triangolo rettangolo isoscele, la cui ipotenusa misura. Dal Teorema di Pitagora troviamo quindi cos π 4 + sin π 4 =. Tenendo conto di., l ultima identità implica cos π 4 =,

4 4 FUNZIONI TRIGONOMETRICHE E IPERBOLICHE Figura. La costruzione geometrica per il calcolo di cosπ/6 e sinπ/6. e quindi, tenendo conto che sempre per costruzione cosπ/4 è positivo, si ha come desiderato cos π 4 =. Troviamo adesso il valore di cosπ/6 e sinπ/6: a tal fine, si consideri il triangolo A B C in Figura. Il triangolo è costruito in modo che l ipotenusa A C abbia lunghezza. Raddoppiando il triangolo rettangolo riflettendolo lungo il segmento A B, si ottiene un nuovo triangolo A C C. Si vede facilmente che il triangolo così ottenuto è equilatero: in particolare, vale π sin = B C = 6 A C =. Per trovare il valore del coseno, basta adesso usare il Teorema di Pitagora: si ha π π cos = sin = = 4 =, come volevamo. Infine, consideriamo l angolo π/: per determinarne coseno e seno, basterà usare le formule.9. Otteniamo quindi π π cos = sin π π = sin = 6,

5 FUNZIONI TRIGONOMETRICHE E IPERBOLICHE 5 ed anche π π sin = cos π π = cos = 6. I valori della tangente si calcolano facilmente, usando che per definizione è il rapporto tra seno e coseno..5. Formule di addizione.. cosx y = cos x cos y + sin x sin y. cosx + y = cos x cos y sin x sin y.4 sinx y = sin x cos y cos x sin y.5 sinx + y = sin x cos y + cos x sin y.6 tanx y =.7 tanx + y = tan x tan y + tan x tan y tan x + tan y tan x tan y Dimostrazione. La formula per cosx y è dimostrata nell Esercizio.. A partire da questa formula, si possono dimostrare tutte le altre. Per esempio, utilizzando che il coseno è una funzione pari ed il seno è una funzione dispari, si ha cosx + y = cosx y = cos x cos y + sin x sin y = cos x cos y sin x sin y, ed abbiamo quindi dimostrato la.. Per dimostrare la terza formula.4, si utlizza la relazione.9 tra coseno e seno π π sinx y = cos x y = cos x + y π π = cos x cos y sin x sin y = sin x cos y cos x sin y. Infine, dimostriamo come ottenere la quinta formula.6. Si ha sinx y sin x cos y sin y cos x cos y sin x tan y cos x tanx y = = = cosx y cos x cos y + sin x sin y cos y cos x + sin x tan y sin x tan y cos x = cos x + sin x tan y cos xtan x tan y = cos x + tan x tan y tan x tan y = + tan x tan y, che dimostra quello che volevamo.

6 6 FUNZIONI TRIGONOMETRICHE E IPERBOLICHE Lo studente provi come utile! esercizio a dimostrare le altre formule..6. Formule di duplicazione..8 cos x = cos x sin x = cos x = sin x.9 sin x = sin x cos x.0 tan x = tan x tan x Dimostrazione. Queste formule non sono nient altro che un caso particolare delle formule di addizione viste sopra, basta scegliere x = y in.,.5 e.7, rispettivamente. A titolot d esempio, dimostriamo la.8: si ha cosx = cosx + x = cos x cos x sin x sin x = cos x sin x. Utilizzando l identità fondamentale., possiamo riscrivere anche cosx = cos x sin x = cos x cos x = cos x e cosx = cos x sin x = sin x sin x = sin x. Questo conclude la dimostrazione..7. Formule di bisezione.... x + cos x cos = x cos x sin = x cos x tan = + cos x Dimostrazione. A titolo d esempio, dimostriamo la.. Come sempre, lo studente provi a dimostrare le altre. Dalla formula di duplicazione.8, sappiamo che cos x = cos x = cos x, ovvero abbiamo cos x = cos x +. Prendendo la radice quadrata, si ottiene la conclusione desiderata. Si ricordi che per ogni α R, vale α = α.

7 .8. Formule di prostaferesi. FUNZIONI TRIGONOMETRICHE E IPERBOLICHE 7.4 cos p + cos q = cos p + q.5 cos p cos q = sin p + q.6 sin p + sin q = sin p + q.7 sin p sin q = sin p q cos p q sin p q cos p q cos p + q Dimostrazione. Di nuovo, queste formule non sono altro che una diretta conseguenza delle formule di addizione. Dimostriamo la.4 a titolo di esempio, lo studente provi a dimostrare le altre come esercizio. Osserviamo innanzitutto che possiamo scrivere p = p + q + p q e q = p + q p q, quindi dalla formula di addizione del coseno., si ottiene cos p + cos q = cos p + q + cos p + q cos p q = cos p + q Per le altre formule si procede in modo analogo..9. Identità di Eulero. cos p q cos p q. sin p + q + sin p + q.8 e i x = cos x + i sin x, x R... Arco coseno. La funzione. Funzioni trigonometriche inverse cos : R [, ] sin p q sin p q è suriettiva, ma non iniettiva, essendo periodica. Se però restringiamo la funzione coseno all intervallo [0, π], questa nuova funzione resta suriettiva ed inoltre è anche iniettiva. Possiamo quindi definire la sua funzione inversa: essa si chiama arco coseno. Per definizione di funzione inversa, essa è definita tramite arccos : [, ] [0, π] y l unica soluzione x [0, π] dell equazione cos x = y

8 8 FUNZIONI TRIGONOMETRICHE E IPERBOLICHE 5,5 0-7,5-5 -,5 0,5 5 7,5 0 -,5-5 Figura. Il grafico della funzione coseno 5,5 0-7,5-5 -,5 0,5 5 7,5 0 -,5-5 Figura 4. Il grafico della funzione seno Si ha quindi arccos y = l unico angolo compreso tra 0 e π il cui coseno vale y.

9 FUNZIONI TRIGONOMETRICHE E IPERBOLICHE 9 5,5 0-7,5-5 -,5 0,5 5 7,5 0 -,5-5 Figura 5. Il grafico della funzione tangente Dalla sua costruzione, vale arccoscos x = x, per ogni x [0, π] e x = cosarccos y, per ogni y [, ]. Esempio.. Si ha arccos = π, perché π/ è l unico angolo compreso tra 0 e π il cui coseno vale /. Fate attenzione all esempio seguente. Esempio. Esempio trappola!. Quanto vale 7 arccos cos 6 π Si avrebbe voglia di rispondere 7/6 π...sbagliato! Infatti, dal momento che 7 π [0, π], 6 sappiamo che questa non è la risposta corretta. Dalla definizione di arccos, sappiamo che la risposta deve essere l unico angolo compreso tra 0 e π il cui coseno vale cos7/6 π. Quindi, dal momento che 5 7 cos 6 π = cos 6 π, =?

10 0 FUNZIONI TRIGONOMETRICHE E IPERBOLICHE e 5/6 π è l unico angolo tra 0 et π con questa proprietà, si ha che la risposta corretta è 7 arccos cos 6 π = 5 6 π... Arco seno. La funzione sin : R [, ] è suriettiva, ma non iniettiva. Se si considera la restrizione del seno all intervallo [ π, π ], questa funzione diventa biettiva. La sua funzione inversa si chiama arco seno, che per definizione di funzione inversa è definita tramite [ arcsin : [, ] π, π ] y l unica soluzione π/ x π/ dell equazione sin x = y Dalla sua definizione, possiamo anche dire arcsin y = l unico angolo compreso tra π/ e π/ il cui seno vale y. Ovviamente, si avrà come d abitudine [ π arcsinsin x = x, per ogni x, π ] e x = sinarcsin y, per ogni x [, ]. Esempio.. Abbiamo per esempio arcsin = π 6 e arcsin = π 4... Arco tangente. Per quanto riguarda la funzione tangente, anch essa è periodica, quindi non può essere iniettiva. D altra parte, su ogni intervallo della forma π/ + k π, π/ + k π essa è strettamente crescente e quindi inieittiva. In particolare, la sua restrizione tan : π, π R, è biettiva, possiamo quindi quindi definirne la funzione inversa. Si tratta della funzione arco tangente arctan : R π, π y l unica soluzione π/ < x < π/ dell equazione tan x = y Dalla sua definizione, segue che arctan y = l unico angolo compreso strettamente tra π e π la cui tangente vale y. Essa ha dunque le proprietà π arctantan x = x, per ogni x, π e y = tanarctan y, per ogni y R.

11 .. Funzioni trigonometriche. FUNZIONI TRIGONOMETRICHE E IPERBOLICHE. Esercizi Esercizio.. Giustificare geometricamente la formula cosx y = cos x cos y + sin x sin y, x, y R. Dimostrazione. Innanzitutto, osserviamo che si può supporre senza perdità di generalità x y, dato che la funzione coseno è pari e quindi cosx y = cosy x. Inoltre, possiamo supporre x > y, visto che se x = y la formula è ovviamente vera. Per semplicità, facciamo l ipotesi ulteriore che x, y [0, π/]. Facendo riferimento alla Figura 6, si vede che cosx y = OC, dobbiamo quindi dimostrare che Osserviamo che OC = cos x cos y + sin x sin y. OM = cos x cos y, e che MC = sin x OM sin y sin y = sin x sin y cos x cos y sin y. Otteniamo quindi cosx y = OC = OM + MC = cos x cos x + sin x sin y cos y cos y sin y = cos x cos y sin y + sin x sin y = cos x cos y + sin x sin y, che termina la dimostrazione, sotto l ipotesi 0 y x π/. Esercizio.. Dimostrare che, ponendo t = tanx/ per dei valori di x da precisare, si ha cos x = t + t sin x = t + t tan x = t t. Dimostrazione. Si osservi che se t = tan x/, allora per ogni x π, π si ha e dunque x = arctan t, cos x = cos arctan t = cos arctan t = + tan arctan t = t + t,

12 FUNZIONI TRIGONOMETRICHE E IPERBOLICHE y M C O x y y Figura 6. La formule d addition du cosinus dove si è utilizzato la formula di duplicazione per il coseno.8 e la relazione. + tan x = cos x. Per dimostrare la formula per sin x, si procede in modo simile: si ha sinx = sin arctan t = sinarctan t cosarctan t = tanarctan t cos arctan t = t + t, dove si è utilizzato di nuovo la formula.. Infine, per quanto riguarda la terza formula, si ha tan x = sin x cos x = t + t + t t = t t, e ovviamente bisogna avere x ±π/. Esercizio.. Dimostrare che sin x = sin x 4 sin x Si osservi che dalla definizione di tangente e dall identità fondamentale., si ha + tan x = + sin x cos x = cos x + sin x = cos x cos x. Attenzione! Possiamo dividere per cosarctan t perché questa quantità è diversa da 0...sapreste dire perché?

13 FUNZIONI TRIGONOMETRICHE E IPERBOLICHE Dimostrazione. Si ha x = x + x, quindi sin x = sin x cos x + cos x sin x = sin x cos x + sin x sin x, grazie alle formule di duplicazione.8 e.9. Per concludere, è sufficiente usare l identità fondamentale cos x + sin x =, dunque sin x = sin x 4 sin x, e questo termina la dimostrazione. Esercizio.4. Dimostrare che cos x = 4 cos x cos x. Esercizio.5. Risolvere l equazione cos x + cos x + cos x = 0. Dimostrazione. Useremo due metodi diversi. Primo metodo. Usando l esercizio precedente e la formula di duplicazione.8, si ha cos x + cos x + cos x = cos x + cos x + 4 cos x cos x = 4 cos x + cos x cos x = cos x cos x + cos x + = cos x + cos x, quindi l equazione iniziale è equivalente a cos x + cos x = 0. Le soluzioni di questa equazione sono date dagli x R tali che cos x = o cos x =. Quindi l insieme di tutte le soluzioni è dato da { π + k π, 4 π + k π, π 4 + k π } : k Z. Secondo metodo suggerito dallo studente Guillaume Guion. Usando la formula di prostaferesi.4, si ha x + x x x cosx + cosx = cos cos = cosx cos x, quindi l equazione iniziale è equivalente a cosx cos x + cosx = 0, ovvero cosx cos x + = 0. Possiamo adesso risolvere l equazione come prima.

14 4 FUNZIONI TRIGONOMETRICHE E IPERBOLICHE Esercizio.6. Risolvere l equazione cos x 54 π π = cos 4 x. Dimostrazione. Dalla definizione della funzione coseno, si ha cos α = cos β α = β + k π o α = β + k π, k Z. Utilizzando questo con le scelte α = x 5 4 π et β = π 4 x, si ottiene e anche x 5 4 π = π x + k π, k Z, 4 x 5 4 π = x π + k π, k Z. 4 Le soluzioni dell equazione sono quindi date da { π Questo termina l esercizio. Esercizio.7. Risolvere l equazione cos x + π + k π, k + π : k Z }. = sin x + 4 π. Dimostrazione. Innanzitutto, usando la formula.9 sin x + 4 π π = cos x + 4 π abbiamo che l equazione iniziale diventa cos x + π = cos π 4 x. Come nell esercizio precedente, questo vuol dire che = cos π 4 x, x + π = π x + k π, 4 k Z, e x + π = π + x + k π, 4 k Z. Troviamo quindi le soluzioni { 7 6 π + k π, } π + k π : k Z. Questo conclude l esercizio.

15 Esercizio.8. Risolvere l equazione FUNZIONI TRIGONOMETRICHE E IPERBOLICHE 5 cosx + sinx =. Dimostrazione. Possiamo utilizzare un astuzia: osserviamo che se moltiplichiamo l equazione per / cosx + sinx =, questa nuova equazione è equivalente a quella iniziale, ovvero esse ha le stesse soluzioni. Qual è il vantaggio di aver moltiplicato per /? Ricordiamoci che cos π = sin π =, quindi utilizzando la formula di addizione. la nostra equazione diventa cos x π =. Questo vuol dire che oppure x π = π + k π, k Z, x π = 4 π + k π, k Z e dunque l insieme delle soluzioni è dato da { π + k π, 5 } 6 π + k π : k Z. Questo termina l esercizio. Esercizio.9. Risolvere l equazione Dimostrazione. Innanzitutto, dovremo avere tan x = tan x.. x π + k π = k + π et x π 6 + k π = k + π 6, altrimenti le quantità tan x e tan x sono prive di senso. In seguito, si osservi che Quindi tan α = tan β α = β + k π. tan x = tan x x = x + k π, k Z. Tenendo conto della restrizione., si trova dunque { } k π : k Z avec k pair. come insieme delle soluzioni.

16 6 FUNZIONI TRIGONOMETRICHE E IPERBOLICHE Esercizio.0. Risolvere l equazione Dimostrazione. Poniamo per semplicità allora l equazione da risolvere diventa cos 4 x + sin 4 x =. X = cos x e Y = sin x, X + Y = sotto il vincolo X + Y =. Questo corrisponde a trovare le soluzioni del sistema { X + Y = X + Y = Non è difficile vedere procedendo per esempio per sostituzione che tutte e sole le soluzioni di questo sistema sono date da { { X = 0 X = Y = Y = 0 Tornando alla variabile iniziale x, troviamo che deve quindi valere { cos { x = 0 cos sin x = x = sin x = 0 quindi le soluzioni sono tutte le x che annullano il seno od il coseno, ovvero Questo termina l esercizio. x = k π, k Z. Esercizio.. Siano A, B R, dimostrare che esiste r 0 e ϕ R tali che. A cos x + B sin x = r cosx ϕ, per ogni x R. Dimostrazione. Osserviamo che per la formula di addizione. vale r cosx ϕ = r cos ϕ cos x + r sin ϕ sin x, quindi per dimostrare., ci basterà provare che esistono r, ϕ tali che A = r cos ϕ, B = r sin ϕ. Cominciamo osservando che se A = B = 0, allora. è vera con r = 0 e ϕ qualunque. Supponiamo adesso che A e B non siano contemporaneamente nulli, ovvero che si abbia A +B 0. Utilizzando l identità fondamentale., possiamo intanto trovare r. Infatti, dovrà aversi A + B = r, Ovvero r = A + B. Dunque, per terminare ci manca di dimostrare che esiste ϕ R tale che A B cos ϕ = et sin ϕ = A + B A + B.

17 FUNZIONI TRIGONOMETRICHE E IPERBOLICHE 7 Notiamo che se A = 0 e B 0, allora bisogna che ϕ soddisfi 4 cos ϕ = 0 et sin ϕ = B B, e dunque se A = 0 e B 0, una possibile soluzione è data da π, se B > 0, ϕ = π, se B < 0. Se A 0, allora possiamo dire che ϕ deve soddisfare Troviamo allora come possibile soluzione ϕ = arctan π + arctan tan ϕ = B A. A, se A > 0, B A, se A < 0. B Per capire il secondo caso, bisogna osservare che arctan x è sempre compresa tra π/ e π/, quindi il suo coseno è sempre positivo. Ma dato che il segno di A ci da anche il segno di cos ϕ, quando A < 0 bisogna aggiungere a arctanb/a mezzo giro, i.e. π: in questo modo, la tangente di π + arctanb/a resta la stessa grazie alla periodicità della tangente, ma il suo coseno cambia di segno. Esercizio.. Applicare l esercizio precedente all espressione cos x + sin x. Dimostrazione. Ci basta usare l esercizio precedente, con la scelta A = B =. Allora si ottiene la formula. con r = e ϕ = arctan = π 4, ovvero cos x + sin x = cos x π, 4 terminando così l esercizio. 4 Ricorda: se x R, si ha x = x.

18 8 FUNZIONI TRIGONOMETRICHE E IPERBOLICHE.. Funzioni trigonometriche inverse. Esercizio.. Dimostrare che per ogni x [, ], si ha arcsin x + arccos x = π/. Dimostrazione. Osserviamo innanzitutto che per x = e x = la formula è vera. Adesso si consideri il caso 0 x < : si vede che in questo l identità viene direttamente dalla costruzione geometrica di seno e coseno. Infatti si costruisca un triangolo rettangolo avente l ipotenusa di lunghezza ed un cateto di lunghezza x. Chiamiamo α l angolo adiacente al cateto di lunghezza x e β l angolo ad esso opposto. Dalla definizione di coseno e seno, si avrà quindi x = cos α e x = sin β, ovvero α = arccos x e β = arcsin x. Ricordando che α + β = π/, si ottiene allora la conclusione desiderata. Per il caso < x < 0, basterà osservare che visto che l arco seno è dispari, e anche che Quindi si ha arcsinx = arcsin x, arccosx = π arccos x. arcsinx + arccosx = π arcsin x + arccos x, e se < x < 0, allora 0 < x < e quindi si può utilizzare la prima parte dell esercizio e concludere. Esercizio.4. Calcolare arcsin 4 sin sin arcsin Dimostrazione. Si osservi che 4 sin π e π/ [ π/, π/], quindi si ottiene π 5 arcsin 8 arccos sin cos arcsin 5 5 π 4 π = sin π 4 π = sin, 4 sin π = π. Il secondo è un po più complicato, ma grazie all Esercizio., sappiamo che 8 arccos sin 5 π = π 8 arcsin sin 5 π.

19 Osserviamo adesso che 8 sin 5 π FUNZIONI TRIGONOMETRICHE E IPERBOLICHE 9 8 = sin 5 π = sin 5 π π = sin 5 π, e che /5 π [ π/, π/], quindi alla fine 8 arccos sin 5 π = π arcsin sin 5 π = π + 5 π = 9 0 π. Per il terzo, non c è molto da fare: dalla definizione di funzione inversa, si ha sin arcsin = 5 5, dato che /5 [, ]. Infine, per l ultimo, osserviamo innanzitutto che per costruzione della funzione arco seno si ha π arcsin 5 π quindi 0 cos arcsin. 5 Utilizzando questa informazione e l identità fondamentale., si ha cos arcsin = cos 5 arcsin = sin arcsin 5 5 = = Questo conclude l esercizio. Esercizio.5. Calcolare Dimostrazione. Cominciamo osservando che cosarcsinx et sinarccosx. π arcsinx π, x [, ], quindi cosarcsinx è sempre una quantità positiva. Allora cosarcsinx = cos arcsinx = sin arcsinx = x. In modo simile, si ha 0 arccosx π, quindi sinarccosx è di nuovo sempre positivo. Si avrà quindi sinarccosx = sin arccosx = cos arccosx = x, concludendo.

20 0 FUNZIONI TRIGONOMETRICHE E IPERBOLICHE Esercizio.6. Calcolare cosarctanx e sinarctanx. Dimostrazione. Come prima, grazie al fatto che π < arctanx < π, si ha che cosarctanx è sempre positivo e quindi cosarctanx = cos arctanx = dove si è utilizzato che + tan arctanx = + tan x = cos x, x π + k π, k Z. Per il seno, bisogna fare un po più di attenzione: si vede che e sinarctanx 0, se x 0, sinarctanx < 0, se x < 0. Quindi si avrà sinarctanx = sin arctanx = cos arctanx = x + x = + x x =, se x 0, + x + x, e ovvero sinarctanx = sin arctanx = cos arctanx = x + x = + x x =, se x < 0, + x sinarctanx = x + x, x R. Fine! Esercizio.7. Calcolare tanarccosx, per ogni x [, 0 0, ], e tanarcsinx, per ogni x,.

21 FUNZIONI TRIGONOMETRICHE E IPERBOLICHE Dimostrazione. Ci basterà usare l Esercizio.5 precedente e la definizione di tangente. Si ha dunque tanarccosx = sinarccosx x cosarccos x =, x 0 x e anche tanarcsinx = sinarcsinx cosarcsin x = x, < x <. x Esercizio.8. Verificate che valgono le identità seguenti.4 arctanx + arctan = π x, x > 0 e arctanx + arctan = π x, x < 0. Dimostrazione. Ci basterà dimostrare la.4: poi basta utilizzare che la funzione arco tangente è dispari per dedurre da questa la seconda identità. Sia dunque x > 0, consideriamo un triangolo rettangolo aventi cateti di lunghezza x e. Sia α l angolo opposto al cateto di lunghezza x si veda Figura 7, per definizione di α β x Figura 7. La costruzione per dimostrare la formula.4 tangente si ha x = tan α, ovvero α = arctanx.

22 FUNZIONI TRIGONOMETRICHE E IPERBOLICHE Allo stesso modo, si avrà = x tan β, c est-à-dire β = arctan dove si indica con β l angolo opposto al cateto di lunghezza. complementati, si ottiene π = α + β = arctanx + arctan. x concludendo così l esercizio., x Dato che α e β sono