Scuole italiane all estero Americhe

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1 PROVA D ESAME SESSIONE ORDINARIA 6 Scuole itline ll esteo Ameiche Il cndidto isolv uno dei due polemi e ispond quesiti del questionio. Dut mssim dell pov: 6 oe. È consentito l uso dell clcoltice non pogmmile. PROBLEMA Considet l funzione G: R " R così definit: t G^h e sin ^thdt, svolgi le ichieste che seguono.. Discuti cmpo di esistenz, continuità e deivilità dell funzione G^h. Individu gli intevlli di positività/negtività e le eventuli intesezioni con gli ssi ctesini.. Detemin l esistenz degli sintoti dell funzione G^h, motivndo oppotunmente l ispost.. Individu i punti stzioni dell funzione G^h, iconoscendone l tipologi, e i punti di flesso. Disegn quindi il gfico dell funzione, motivndo le scelte ftte.. Studi l ndmento dei coefficienti ngoli delle ette tngenti ll funzione G^h nei suoi punti di flesso tngente oliqu, deteminndo in pticole se tli ette fomno un fscio di ette pllele. PROBLEMA Si C il gfico dell funzione f^h! R, - $ e definit sull insieme R dei numei eli.. Reltivmente l gfico C, most come vino le coodinte del suo punto di flesso P in funzione del pmeto e veific che in tle punto l pendenz del gfico è indipendente d. -. Dopo ve veificto che l funzione p^h log^ $ e h è un pimitiv di f, detemin l e dell egione pin compes t C, l sse, l sse e l ett di equzione log^h. Che vloe deve ssumee peché tle e si ugule?. Dimost che g^h log -, è l funzione inves di f e tccine il gfico. Pov inolte che l suddett funzione g è cescente in tutto il suo dominio e che il gfico dell funzione h, definit come h^h f^h g^h, intesec l sse in un unico punto.. Considet, pe! R, l funzione F^h f^thdt, detemin le equzioni dei suoi sintoti e tcci il gfico di F^h. Znichelli Editoe, 8

2 QUESTIONARIO Te ciconfeenze di ggio sono tngenti estenmente un ll lt. Qul è l e dell egione inten che esse delimitno? In un un ci sono iglie, ognun delle quli è oss o ne. Stilie qunte sono quelle nee, spendo che estendo iglie senz ipoe l pim esttt, l poilità di este lmeno un igli ne è 7 8. Dto un cilindo equilteo e l sfe esso cicoscitt, qul è l poilità che un punto inteno ll sfe cd ll inteno del cilindo? Un solido h pe se l egione R del pino ctesino compes t il gfico dell funzione: f ^h, e l sse delle nell intevllo 6 le sue sezioni ottenute su pini pependicoli ll sse sono tutti tingoli isosceli di ltezz, con! R. Detemine in modo che il volume del solido si pi. Il gfico di un polinomio di gdo è tngente ll sse nell oigine e intesec nuovmente l sse in un punto di sciss positiv. L sciss e l odint del punto di mssimo eltivo sono t loo uguli e divese d. Detemine l e dell egione pin limitt che è compes t l sse e il gfico del polinomio, spendo che nche tle e coincide numeicmente con il vloe comune ll sciss e ll odint nel punto di mssimo. Il gfico in figu è quello dell deivt pim fl^h di un funzione f^h continu in R. Il gfico ipotto è simmetico ispetto ll oigine ed h come sintoti le ette di equzione e. Descivee le pincipli ctteistiche eltive ll ndmento dell funzione f^h e tccine, indictivmente, un possiile gfico. Tccie inolte il gfico dell funzione fm^h. Sono dte le funzioni f^h e - e g^h e. Detemine l e dell egione limitt cchius dll sse e di gfici di f e di g. Un gioctoe di set si esecit i tii liei. Nomlmente h un quot di cnesti dell 8%. Con qule poilità v cnesto esttmente due volte su te tii? Individu un evento E pe il qule vlg: P^Eh c m $ 8,, $. Dti i punti A(; ; 7), B (6; ; ), C (6; ; ):. si dimosti che il tingolo ABC è isoscele e ettngolo;. quli sono le coodinte del punto D tle che ABCD si un qudto? Si consideino nello spzio il punto P (; ; -) ed il pino di equzione - z.. Veifice che P! ;. detemine le equzioni delle supefici sfeiche di ggio 6 che sono tngenti d in P. O Figu Znichelli Editoe, 8

3 SOLUZIONE SESSIONE ORDINARIA 6 Scuole itline ll esteo Ameiche PROBLEMA. Consideimo l funzione integnd g^h e sin, è definit e continu pe ogni ele. Pe il teoem fondmentle del clcolo integle, l funzione integle t H^h g^thdt ^e sin thdt è continu e deivile con Hl^h g^h. L funzione dt t G^h ^e sin thdt può essee llo vist come l composizione dell funzione h^h con H^h: G^h H^h Hh ^ ^ hh. Poiché H^h e h^h sono deivili, nche G^h è deivile (e definit e continu) in R, con: Gl ^h Hl^h^hh$ hl^h g^h^hh $ hl^ h ^e sin h $ e sin. Studimo il segno e le intesezioni con gli ssi di G^h. Poiché l funzione integnd g^h e sin è sempe positiv e null solo nei punti, con inteo, l funzione G^h isult positiv pe e negtiv pe. Inftti: pe, G^h g^thdt ;. pe, G^h g^thdt " G^h- g^thdt L unico punto di intesezione del gfico di G^h con gli ssi è llo l oigine del sistem di ifeimento, in qunto G^h.. L funzione G^h è continu su R, quindi non h sintoti veticli. Stilimo se l funzione G^h mmette sintoti desto o sinisto. Pe, l funzione integnd g^h e sin oscill f e e, quindi l e sottes d g^h ument sempe più, in modo esponenzile, ll umente di. In pticole, in ogni intevllo del tipo 6 n; ^n h@ il gfico di g^h pesent un pinncolo come illustto in figu pgin seguente, con gn ^ h g^^n hh. Questi pinncoli hnno l se di mpiezz e l ltezz che segue l ndmento di e, quindi l loo e ument sempe più, in mnie esponenzile. Znichelli Editoe, 8

4 g() e sin e O π π Figu Nel clcolo di G^h, ll umente di, si vnno somme mn mno le ee di questi pinncoli, petnto G^h h un ndmento esponenzile pe e non mmette sintoto pe ". Volendo fomlizze l situzione, cechimo un minonte pe l e del pinncolo, fcile d clcole. Ossevimo che in ogni intevllo 6 n; ^n h@ è sicumente: n e sin $ e sin, quindi n n n n n ^e sin hd $ ^e sin hd e sin d. ^n h ^ h ^ h n Clcolimo pe pti l integle indefinito: ^ h sin d sin $ sind - cos $ sin cos $ cosd - cos $ sin -sin d n ". sin d - cos $ sin d " sin d ^- cos$ sin ch L integle indefinito isult llo: n ^n h sin d 8 ^- cos $ sin hb n ^n h 8 ^- cos^n h$ sin^n h ^n hhb-8 ^- cosn$ sin n nhb 8 ^n hb- 8 nb ottenendo infine l minozione: ^n h ^n h n n ^e sin hd $ e sin d $ e. n n n L e del pinncolo eltivo ll intevllo 6 n; ^n h@ è dunque mggioe di $ e, e quindi h un ndmento di tipo esponenzile mn mno che gli intevlli consideti si spostno veso dest. L funzione G^h, che ppesent l e dei pinncoli compesi nell intevllo 6 h petnto ndmento esponenzile e non mmette sintoto oliquo (né, ovvimente, oizzontle). Znichelli Editoe, 8

5 Pe potemmo pocedee in mnie simile, vlutndo l e dei pinncoli e moste che queste ee tendono pe "-, sempe con ndmento esponenzile, in modo tle che il loo contiuto nel clcolo di G^h è così idotto d pote un sintoto oizzontle. e,, g() e sin π π O Figu Possimo pocedee peò più pidmente, ossevndo che g^h e sin # e, quindi l e sottes l gfico di g^h ;@ è sicumente positiv e infeioe dell e A sottes e :. t t A e d lim e d lim 6 lim e e t t t ^ - h - "- "- t "- Quindi, l e sottes dl gfico di g^h ;@ è un vloe compeso f e. Ottenimo llo: lim G ^ h lim g ^ hd lim - g ^ hd - lim g ^ hd -, "- "- "- "- dove imo scmito gli estemi di integzione e cmito il segno ll integle, peché. L funzione G^h pesent dunque un sintoto oizzontle sinisto di equzione -, con Cechimo i punti stzioni di G^h studindo gli zei e il segno dell deivt pim. L deivt pim Gl^h e sin è sempe positiv, tnne nei punti dove si nnull: G e sin l^ h " " sin " ", con inteo. L funzione G^h è quindi cescente in R e pesent in punti di flesso tngente oizzontle. Pe i flessi, clcolimo l deivt second: Gll^h D6 e $ e sin e $ sin$ cos $ e sin^sin $ cos h. Deteminimo gli zei dell deivt second: Gll^h " sin sin $ cos. Dl pimo temine icvimo: sin " ; Znichelli Editoe, 8

6 il secondo temine pot : sin sin $ cos " cos - " tn - " ctn^- h " ctn^- h, con ctn^-h --,, (imo diviso entmi i memi pe cos peché i punti che nnullno cos non sono soluzione dell equzione). Studimo o il segno di: sin > cos < sin^sin $ cos h tn < sin$ cos $ ^tn h, che coincide col segno di Gm^h. Ossevndo il disegno lto, dove sull sse delle scisse imo ipotto il vloe dell gomento, possimo dedue il segno in ogni intevllo; ottenimo: sin$ cos $ ^tn h $ pe # # " # #. L deivt second Gll^ h è dunque positiv, e G^h volge l concvità veso l lto, pe ; Figu negli lti intevlli Gll^ h è negtiv o null e G^h volge l concvità veso il sso. I punti di flesso hnno coodinte: " ; in pticole sono punti di flesso tngente oizzontle, sono punti di flesso tngente oliqu. Rissumendo, l funzione G^h: è negtiv pe e positiv pe, si nnull in ; h sintoto oizzontle sinisto -, con - - ; h punti di flesso tngente oizzontle in ; sin > cos < tn > sin < cos < tn > h punti di flesso tngente oliqu in ; volge l concvità veso l lto in, veso il sso ltove. Pe individue i punti ctteistici del gfico, icodimo che --,, - 7, e -,, quindi nell intevllo l situzione dei flessi e dei punti stzioni è schemtizzt nel seguente disegno (i punti si susseguono poi con peiodicità ). O α sin < cos > tn < sin > cos > tn > sin < cos > tn > 6 Znichelli Editoe, 8

7 α π π α π π G'() fl. oizz. fl. oizz. fl. oizz. Figu fl. oliquo fl. oliquo Simo o in gdo di disegne un gfico ppossimto dell funzione. Consideti i vloi in gioco (che umentno esponenzilmente pe, mente tendono pidmente ll sintoto oizzontle pe ), disegnimo due gfici septi pe G^h. α π π π α O Figu 6 Figu 7 O α π π α π π. I punti di flesso tngente oliqu hnno coodinte, con --, e inteo. Il coefficiente ngole dell ett tngente l gfico di G^h, in tli punti, vle: G e $ ` j sin e sin e l` j 8 ` jb ^ h sin, quindi i coefficienti ngoli diffeiscono uno dll lto, pe l pesenz del fttoe e che vi l vie di. Le ette tngenti l gfico nei punti di flesso oliquo non fomno un fscio di ette pllele. PROBLEMA - -. Consideimo l funzione f ^h e - ^ h, con! R e. L funzione è definit e deivile in R ; pe detemine i punti di flesso, clcolimo l deivt second: fl^ h - $ ^ e h $ ^- e h e ^ e h ; 7 Znichelli Editoe, 8

8 fll^ h - e - ^ e - h - e - $ ^- h^ e - h - $ ^- e - h - e - ^ e - h - e - ^ e - h - e - ^ e - h e ^ e - e ^ e h 6 -e e ^ e h ^- e h Gli zei e il segno di fm^h sono individuti dll ultimo fttoe: fll^h $ " - e $ " e # " # ln. L funzione f^h volge quindi l concvità veso l lto pe ln pesent un flesso. L odint del flesso è: f^ln h -ln e, $ quindi il punto di flesso h coodinte P`ln ; j. L ett tngente C in P h coefficiente ngole pi : - -ln -ln - f ln e e - l^ h ^ h $ $. ln, veso il sso pe ln e in L pendenz dell ett tngente nel punto di flesso vle sempe, quindi è indipendente dl vloe di.. Ossevimo che l funzione log ust nel testo del polem indic l funzione logitmo ntule (in - se e). Veifichimo dunque che p^h ln^ e h è un pimitiv di f^h, cioè povimo che pl^h f^h: e e pl^ h $ - e f - ^ h - e e - ^ h. e Tccimo il gfico ppossimtivo di f^h, in modo d ppesente l egione indict dl polem. Olte qunto già dedotto su f^h, ossevimo che: l funzione è positiv su R ; l deivt pim è sempe positiv, quindi f^h è cescente in R ; lim f ^ h, quindi l funzione h l sse come sintoto oizzontle sinisto; "- lim f ^ h, quindi l funzione h l ett, come sintoto oizzontle desto. " Possimo tccie il gfico C dell funzione. A titolo di esempio, disegnimo il gfico nel cso. ( ) P ; f() e O ln Figu 8 8 Znichelli Editoe, 8

9 Se ln, cioè, l ett ln e l egione R di cui doimo clcole l e si tovno dest dell sse delle odinte (come esemplificto in figu). Se ln, cioè, l ett ln e l egione R si tovno sinist dell sse delle odinte. Se ln, cioè, l ett ln si tov sull sse delle odinte e l e dell egione è null. Clcolimo l e A dell egione nei pimi due csi. Se ln : ln ln ln A f^hd 6p^h@ 6ln^ e - h - 6ln^ e - $ ln ln ln ln ln ln ln - ^ h - ^ h f p ln. Se :. ln A f^hd - f^hd -ln ln Deteminimo in modo che l e dell egione si. Se : ln " e " e ^ h -. Ossevimo che: e^ h- e e ^ - h, quindi l soluzione e^ h - è ccettile, pe ogni : Se : -ln " e " e -. Imponimo che il vloe tovto si compeso f e : e - " - e " e ^ - h " e - ; e - " - e e " ^ e - h - e " 6. Quindi l soluzione e - è ccettile solo pe e -, con e - -, 8.. Aimo già dimostto che f^h è cescente, quindi è invetiile. Mostimo o che l funzione g^h ln - è l inves di f^h fcendo vedee che entme le composizioni di funzioni ^f% gh^h e ^g% f h^h coispondono ll funzione identità: f g f ln e ^ ^ hh - ln - - -, - - $ Znichelli Editoe, 8

10 uguglinz vlid nel dominio di g^h; - - g f g ln e e ^^hh - ln ln ln e e $ e e - e - e Il gfico di g^h può essee llo ottenuto d quello di f^h tmite simmeti ispetto ll isettice del pimo e tezo qudnte. g() f() O Figu L funzione g^h è definit e continu in, è sempe cescente (peché è cescente f^h e pe l simmeti) e h gli sintoti veticli e ; isult dunque suiettiv. L funzione h^h f^h g^h h lo stesso dominio di g^h, è continu in ed è stettmente cescente, poiché è somm di due funzioni continue e stettmente cescenti. Inolte, essendo f ^h limitt 6 ;, isult: lim h^h lim 6 f ^h g^h@ - ; lim h^h lim 6 f^h g^h@. " " " - " - Possimo concludee che l funzione h^h è continu, stettmente cescente e suiettiv, quindi il suo gfico intesec un e un sol volt l sse delle scisse.. Ricodimo che l funzione p^h è un pimitiv di f^h, quindi: F^h f^thdt 6p^th@ 6ln^ e - 6ln^ e ln^ e h - ln^ h. L funzione integle è definit e continu su R, quindi non pesent sintoti veticli. Studimo l esistenz dell sintoto desto. Dl limite: - lim F^h lim 6 ln^ e h - ln^ h@ - ln^ h, " " deducimo che potee esistee l sintoto oliquo. Clcolimo: F - ^ h ln^ e h ln^ h m lim lim ; - E - ; " " Znichelli Editoe, 8

11 - q lim 6F^h - m@ lim 6ln^ e h - ln^ - ln^ h- ln^ h. " " I due limiti sono finiti, quindi F^h mmette sintoto oliquo di equzione ". Studimo l esistenz dell sintoto sinisto. Il limite: - lim F^h lim 6 ln^ e h - ln^ h@ " - " - si pesent nell fom -- ln^ h. Risolvimo l fom indetemint costituit di pimi due temini: - - lim 6ln^ e lim 6ln^ e h ln "- "- - ln^ h pe - lim ln6 e ^ e h@ lim ln^e h ln, "- "- quindi: lim F^h ln- ln^ h ln "- e l funzione F^h pesent l sintoto oizzontle di equzione ln pe "-. Pe tccie il gfico di F^h consideimo che: F ^ h è definit e continu in R ; F ^ h è sempe cescente, poiché F l^ h f ^ h è positiv su tutto R ; F ^ h e, poiché è cescente, isult F ^ h pe e F^h pe ; F ^ h volge sempe l concvità veso l lto, poiché F ll^ h f l^ h è positiv su tutto R ; F ^ h h due sintoti di equzione ln e - ln^ h. Con queste infomzioni, tccimo il gfico plusiile di F^h. F() ln( ) O ln Figu Znichelli Editoe, 8

12 QUESTIONARIO I centi delle te ciconfeenze di ggio e tngenti estenmente ppesentno i vetici di un tingolo equilteo di lto. L e dell egione R inten delimitt dlle ciconfeenze può essee clcolt come diffeenz f l e del tingolo equilteo e l e dei te settoi cicoli di ggio e mpiezz 6, equivlenti d un unico settoe cicole di ggio e mpiezz 8, cioè d un semicechio di ggio. Ottenimo: Ae( R) Ae - Ae tingolo semicechio 6 R 6 6 se ltezz ggio $ $ - $ $ $ $ - $ $ - - 6,. Figu Indichimo con n il numeo delle iglie nee. Eseguimo due estzioni senz eimmissione dell pllin e imponimo che l poilità p di este 7 lmeno un pllin ne si 8. Consideti gli eventi: E «pim pllin esttt è ne», E «second pllin esttt è ne», e gli eventi conti: E «pim pllin esttt è oss», E «second pllin esttt è oss», l poilità di este lmeno un pllin ne è dt dll poilità che l pim pllin si ne (è indiffeente questo punto il coloe dell second pllin) più l poilità che l pim pllin si oss e l second ne: n - n n 7 p p^eh p^ Eh $ p_ E E i $ 8 " n n^ - nh 7 " n - n 7 " n! - $ 7!! " n -. Nell un ci sono quindi plline nee e osse. L soluzione n non è ccettile peché n deve essee minoe di. In ltentiv, l espessione dell poilità p in funzione di n potev essee tovt come l evento contio dell estzione di due plline osse: -n - n 7 p - p ^ E h $ p _ E E i - $ 8. In un cilindo equilteo l ltezz h è ugule l dimeto del cechio di se. Il ggio R dell sfe cicoscitt si clcol col teoem di Pitgo: R. Il volume del cilindo è: O R Vc Ase $ h $ Figu Znichelli Editoe, 8

13 Il volume dell sfe è: 8 Vs R ^ h. Il ppoto f il volume del cilindo e il volume dell sfe fonisce l poilità che un punto scelto cso ll inteno dell sfe icd ll inteno del cilindo: V c p V , " %. s L funzione, nell intevllo 6 è cescente d. L funzione f^h intevllo, è llo decescente d., nello stesso V O A' A A A' f() Figu Fissto! 6 l sezione con un pino pependicole ll sse delle scisse è un tingolo isoscele l cui se misu f^h, e l cui ltezz è lung. L e del tingolo è dunque: A^h $ $ $. Ossevimo che deve essee $, peché l ltezz del tingolo deve essee ppesentt d un numeo non negtivo. Clcolimo il volume V del solido integndo le ee dei tingoli pe che v d : V A^hd d d ln ln ln ln. 6 ^ h@ ^ - h Imponimo che tle volume si ugule : 8 ln " - 7,. ln Un geneico polinomio di tezo gdo h espessione nlitic: p^h c d. Deteminimo i pmeti,, c e d imponendo le condizioni esplicitte nel quesito. Il gfico P del polinomio pss pe l oigine: p^h " d " p^h c. Znichelli Editoe, 8

14 Il gfico P è tngente ll sse nell oigine: pl^h, con pl^h c " c " p^h. Il gfico P intesec l sse in un lto punto di sciss positiv: p^h " " " - "-. Le coodinte del punto di mssimo eltivo sono uguli e divese d. Deteminimo il punto di mssimo eltivo: pl ^h ; pl^h " " " " -, che è positivo peché - pe un punto pecedente. Affinché il punto si di mssimo deve essee: p^h cescente, e pl^h, sinist di -, qundo ; p^h decescente, e pl^h, dest di -, qundo. Deve llo essee: e, pe il punto pecedente:. Imponimo che l odint del punto di mssimo eltivo si ugule ll sciss: p - - " " - - " - "- $ " -. Il polinomio è quindi del tipo: p ^ h -, con. Il gfico P intesec l sse delle scisse, olte che in, nche in: - - " -$. L e dell egione sottes dl gfico di p^h in : ; D è dt dll integle: A p d d ^ h - :- D Znichelli Editoe, 8

15 Il vloe di tle e deve essee numeicmente ugule ll sciss - del punto di mssimo eltivo. Poiché -, il punto di mssimo eltivo h sciss: - - $ -. Quindi l e deve vlee: A "- "- " 8 8 `- 8 j " 7 7 $ `- j" ` j " 8. Di conseguenz vle: $ ` j -. Il polinomio p^h cecto h espessione: 7 p 8 ^ h -. M p() 7 8 O Figu 6 Le pincipli ctteistiche di fl^h e di f^h sono le seguenti: f l^ h è un funzione dispi, quindi f^h è un funzione pi (simmetic ispetto ll sse ); f l^ h è positiv pe - quindi f^h è cescente pe - ; f l^ h è negtiv pe -, quindi f^h è decescente pe - ; f ^ h pesent un punto di mssimo eltivo in - e in ; f l^ h non è definit in, con lim fl^h ; poiché f^h è continu su R pe ipotesi, l unic possiilità è che f ^h pesenti in un cuspide veso il sso; " f l^ h decesce pe e pe, quindi f ll^ h pe! e f ^ h volge l concvità veso il sso pe e pe ; Znichelli Editoe, 8

16 f l^ h mmette sintoto oliquo di equzione - pe "!, questo vuol die che pe "!, il gfico di fl^h si vvicin sempe più e h ndmento simile l gfico di -. L funzione f ^h, pe "!, h llo ndmento simile l gfico di f l^ h d - d - c, cioè pe "!, il gfico di f ^h si compot ppossimtivmente come il gfico dell pol ivolt veso il sso di equzione - c. Disegnimo un gfico plusiile pe f ^h; ossevimo che con le infomzioni ccolte non è possiile stilie in modo univoco qule ltezz disegne il gfico. Detto in lti temini, disegnto un gfico plusiile C pe f ^h, nche tutti gli lti gfici che si ottengono d C medinte tslzione veticle ppesentno gfici plusiili pe f ^h. Questo discende dl ftto che tutte le funzioni del tipo f ^h, con costnte, hnno pe deivt l funzione ssegnt fl^h. f'() f() O Figu Ricvimo dl gfico di fl^h le ctteistiche di fll^ h: f l^ h e di conseguenz fll^ h non sono definite in ; f ll^ h è sempe negtiv; f l^ h è un funzione dispi, quindi fll^ h è un funzione pi; f l^ h h sintoto veticle con lim fl^h - e lim fl^h, quindi fll^h, che ppesent " - " l deivt pim di fl^h e quindi ppesent il coefficiente ngole delle ette tngenti l gfico di fl^h, tende - pe " ; f l^ h h ndmento sintotico ugule -, quindi l su deivt pim fll^h, pe "!, si compot come l deivt pim di -, che è - ; in conclusione, fll^h h sintoto oizzontle - pe "!. Tccimo il gfico plusiile di fll^h. 6 Znichelli Editoe, 8

17 f'() f() O f''() Figu 6 7 I gfici di f^h e - e di g^h e si possono tccie ptendo dl gfico di e : f e - e e - ^ h $ si ottiene d e pplicndo pim l simmeti ispetto ll sse e poi diltndo lungo l sse del fttoe e - ; g e e ^ h ^ h si ottiene elevndo l qudto e. f() e g() e e e O Figu 7 Ossevimo che i due gfici si intesecno pe, in qunto f^h g^h e, e che hnno entmi l sse come sintoto oizzontle. Il quesito chiede di detemine l e dell egione limitt cchius dll sse e di gfici di f^h e g^h. Ossevimo che tle egione non è limitt, quindi il quesito contiene un eoe che può genee il duio su qule si effettivmente l egione d considee. Pe esempio, volendo pivilegie l infomzione che l egione si limitt, si potee considee l egione limitt cchius di gfici di f^h e g^h e dll sse (non dll sse ). Nel duio, sviluppimo entmi i clcoli. 7 Znichelli Editoe, 8

18 L e dell egione illimitt compes f l sse e i gfici di f^h e g^h è: A g d f d t lim e d - ^ h ^ h lim e d - s "- s t " t - - t lim e d lim - - e d lim lim e t s s - t "- " "- " s s s - t lim ^e -e h- lim ^e - e h ^ e -h-^- e h e e e -, 8. "- t " s L e dell egione limitt cchius dll sse e di gfici di f^h e g^h è: - - A 6 f^h- g^h@ d ^e - e hd 8-e - e B `-e - e j-`-e - e j - e e -,. 8 Indichimo con p 8, l poilità che il gioctoe fcci cnesto in un tio lieo. L distiuzione di poilità è di tipo enoullino, quindi l poilità che il gioctoe fcci esttmente cnesti su tii è: - p^x h c mp ^- ph $ 8, $,, 8 " 8, %. Un evento E l cui poilità si espimiile con l fomul: - p^eh c m$ 8, $, c m$ p $ ^ - ph è quello di fe esttmente cnesti su tii liei.. In un sistem di ifeimento Oz consideimo i punti di coodinte: A^7 ; ; h, B^6 ; ; h, C^6 ; ; h. Clcolimo l lunghezz dei te lti: AB ^- 6h ^- h ^7- h 6 ; AC ^- 6h ^- h ^7 - h 6 8; BC ^6-6h ^ - h ^- h Il tingolo ABC è quindi isoscele, peché h i due lti AB e BC conguenti. Poiché vle l elzione: AC AB BC, in qunto 6 6, il tingolo è nche ettngolo, con ipotenus AC.. Il qudto è l unico qudilteo in cui le digonli sono pependicoli, conguenti e si intesecno nel loo punto medio. Quindi il punto di coodinte geneiche D^; ; zh è il vetice di un qudto ABCD se isult simmetico di B ispetto ll ett AC. Deve llo essee: C 8 M D M B D " - ; D M B Figu 8 B A 8 Znichelli Editoe, 8

19 z M M z B B z D D " " Le coodinte di M sono: M A - ; D M B z z - z ; D M B C 6 ; Possimo infine icve le coodinte di D: ; D M B $ - 8- ; D M B $ z z - z - 6. D M B $ Il punto D h coodinte D^6 ; ; h. M A C z z 8 ; z A C 7 M. Nel sistem di ifeimento Oz consideimo il punto P^ ; ;- h e il pino di equzione :- z.. Pe stilie se il punto gice sul pino, sostituimo le coodinte di P nell equzione del pino: ^h- $ ^h ^- h " -- ". Aimo ottenuto un identità, quindi P!.. Se R è un supeficie sfeic di ggio 6 tngente d in P, llo il cento C di R individu un ett CP pependicole l pino e CP è lungo 6. Il vettoe di diezione delle ette pependicoli d è costituito di coefficienti delle incognite di, quindi: ^; - ; h. L ett pssnte pe P e pependicole d h equzioni pmetiche: t : * -t. z - t Deteminimo i punti C di che distno 6 d P: CP 6 " CP 6 " ^ t- h ^-t- h ^- t h 6 " t t t 6 " 6t 6 " t 6 " t! 6. Ottenimo due punti: C^- 6; 6; -- 6 h; C ^ 6; - 6; - 6 h. L supeficie sfeic R di cento C e ggio 6, che isult tngente d in P, h equzione: ^ - 6h _ -- 6i ^z 6h 6. L supeficie sfeic R di cento C e ggio 6, che isult sempe tngente d in P, h equzione: ^ -- 6h _ - 6i ^z - 6h 6. Znichelli Editoe, 8