Vi prego di segnalare ogni inesattezza o errore tipografico a

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1 ESERCIZI DI GEOMETRIA 4 Vi prego di segnalare ogni inesattezza o errore tipografico a mll@unife.it Geometria proiettiva Esercizio 1. Dire quali tra le seguenti coordinate omogenee dei punti in P 2 rappresentano lo stesso punto: a) [1, 0, 0]; [5, 0, 2] b) [3, 5, 7]; [ 6, 10, 14] c) [1, 2, 1]; [7, 2, 20]. Esercizio 2. Siano p = [1, 3, 7] e q = [2, 1, 0] due punti di P 2. Determinare un equazione della retta p, q. Esercizio 3. Determinare l equazione parametrica della retta di P 2 passante per i punti p = [1, 1, 0] e q = [ 2, 1, 1]. Successivamente determinare un equazione cartesiana di essa. Esercizio 4. Determinare un equazione della retta passante per i punti p = [2, 1, 0, 3] e q = [1, 1, 2, 0] in P 3. Esercizio 5. Determinare un equazione della retta passante per i punti p = [1, 1, 1, 1] e q = [0, 0, 2, 3] in P 3. Esercizio 6. Determinare un equazione della retta di P 3 passante per i punti p = [0, 0, 0, 1] e q = H 1 H 2 H 3, con H 1 = (x 1 + x 2 = 0), H 2 = (x 2 x 3 = 0) e H 3 = (x 3 = 0). Esercizio 7. Determinare un equazione della retta in P 4 passante per i punti p = [1, 2, 1, 0, 1] e q = [ 2, 0, 1, 1, 0]. Esercizio 8. Determinare il punto improprio (rispetto a x 0 ) delle seguenti rette di A 2 (C): a) 3x + y + 1 = 0; b) x 2y 1 = 0; c) 2ı x + 3y + 9 = 0; d) x + 1 = 0; e) y + 6 = 0; f) x 2y = 0. Esercizio 9. Determinare un equazione in coordinate omogenee delle rette dell esercizio precedente. Esercizio 10. Determinare l equazione in coordinate non omogenee delle seguenti rette di P 2 C : a) 7x 0 4x 1 + x 2 = 0; b) 2x 1 x 2 + ı x 0 = 0; c) ı x 0 + 2ı x 2 x 1 = 0; d) (1 ı)x 0 + 2x 2 = 0. 1

2 2 ESERCIZI DI GEOMETRIA 4 Esercizio 11. Determinare l equivalente proiettivo della formula di Grassmann.

3 ESERCIZI DI GEOMETRIA 4 3 Esercizio 12. Determinare le possibili posizioni reciproche di: i) due rette l, r di P 2 ; ii) una retta l e un piano H di P 3 ; iii) due rette l, r di P 3. Esercizio 13. Siano l, r P 3 due rette. Dimostrare che l r = l, r = P 3. Esercizio 14. Dati due punti p, q P n, con p q, dimostrare che esiste un unica retta per p e q. Osservazione 1. Per dualità abbiamo: siano l, r P n due rette distinte, dimostrare che esiste un unico p tale che p = l r. Esercizio 15. Dimostrare che il fascio di rette per un punto di P 2 descrive tutte e sole le rette per un punto di P 2. Esercizio 16. Data una retta l in P 3, descrivere un oggetto proiettivo che parametrizzi tutti i piani di P 3 che contengono l. Esercizio 17. Determinare l oggetto proiettivo che parametrizza le rette di P 3 passanti per un punto fissato p P 3. Esercizio 18. Verificare che, date l, r P 3 due rette sghembe, allora r parametrizza il fascio di piani di P 3 contenenti l. Esercizio 19. Siano p, q P n due punti. Abbiamo per definizione che p, q è il più piccolo spazio lineare che contiene p e q. Dimostrare che p, q è la retta passante per p e per q. Esercizio 20. Siano l P n una retta e Λ P n uno spazio lineare. Dimostrare che se Λ l contiene {p, q}, dove p q, allora la retta l è contenuta in Λ, i.e. l Λ. Esercizio 21. Siano l 1, l 2 P 3 due rette e p P 3 \ (l 1 l 2 ). Dimostrare che esiste un unica retta l p tale che p l p e l p l i, per i = 1, 2. Esercizio 22. Siano l, Π P 4 rispettivamente una retta e un piano tali che l Π =. Dimostrare che per ogni punto p P 4 \ (l Π) esiste un unica retta passante per p che interseca sia l che Π. Esercizio 23. Determinare lo spazio generato dall insieme delle rette di P 3 passanti per un punto che intersecano una retta data in un altro punto, i.e. siano p un punto e l una retta di P 3, con p / l; consideriamo l insieme S = {r i } i I, dove r i è una retta passante per p tale che r i l, per ogni i I. Determinare S. Esercizio 24. Mostrare che dati un punto p P n e una retta l P n, con p / l, allora l insieme delle rette che passano per p ed intersecano l è un piano. Esercizio 25. Dimostrare che ogni proiettività ω : P 2 R P2 R ha almeno un punto fisso. Esercizio 26. Determinare le equazioni di una proiettività ω : P 2 P 2 tale che fissi la retta l := (x 0 + x 1 2x 2 = 0), ma non sia l identità. Esercizio 27. Determinare le equazioni di una proiettività ω : P 2 P 2 tale che fissi la retta l := (x 0 + x 1 x 2 = 0), ma non sia l identità.

4 4 ESERCIZI DI GEOMETRIA 4 Esercizio 28. Dire se esiste una proiettività ω : P 3 P 3 tale che ω(l 1 ) = L 2 e ω(m 1 ) = M 2, dove { { { { x0 = 0 x0 = 0 x2 = 0 x L 1 L x 1 = 0 2 M x 2 = 0 1 M 0 + x 1 = 0 x 3 = 0 2 5x 2 + x 1 x 0 = 0 Esercizio 29. Dire se esiste una proiettività ω : P 3 P 3 tale che ω(l 1 ) = L 2 e ω(m 1 ) = M 2, dove { { { { x0 = 0 x0 = 0 x2 = 0 x L 1 L x 1 = 0 2 M x 2 = 0 1 M 0 + x 1 = 0 x 3 = 0 2 2x 2 + x 1 x 3 = 0 Esercizio 30. Sia Λ P n uno spazio lineare di dimensione r. Mostrare che esiste una proiettività ω : P n P n tale che x n = 0 ω(λ) = Π. x r+1 = 0 Esercizio 31. Scrivere l enunciato duale del teorema di Desargues. Esercizio 32. Scrivere l enunciato duale del teorema di Pappo. Esercizio 33. Osservare che l enunciato del teorema di Pappo e l enunciato duale del teorema di Pappo coincidono. Esercizio 34. Descrivere la trasformazione della parabola di equazione 4x 1 = x 2 2 in una circonferenza omogeneizzando e poi deomogeneizzando con altre coordinate. Esercizio 35. Dimostrare che date tre rette r 1, r 2, r 3 in P 3 tali che r i r j =, per ogni i j, esiste almeno una retta che le interseca tutte. Esercizio 36. Date quattro rette r 1, r 2, r 3, r 4 in P 4 tali che r i r j =, per ogni i j, dire se esiste una retta che le interseca tutte. Esercizio 37. Dimostrare che date tre rette r 1, r 2, r 3 in P 4 tali che r i r j =, per ogni i j, esiste un unica retta che le interseca tutte. Esercizio 38. Determinare il duale dello spazio lineare { x0 x L 1 = 0 x 2 2x 4 = 0 P4. Mostrare che per ogni punto p P 4 \ L esiste un unico iperpiano che contiene L e passa per p. Determinare l equazione dell iperpiano passante per il punto q = [1, 2, 1, 3, 0]. Esercizio 39. Determinare le coordinate duali del piano di P 3 contenente la retta { x0 = 0 l x 1 = 0 e passante per p = [1, 0, 0, 0] e determinare l equazione del fascio di piani per l. Esercizio 40. Mostrare che l insieme delle rette tangenti ad una conica non singolare di P 2 è una conica non singolare in (P 2 ). Esercizio 41. Determinare l immagine di una quadrica liscia di P n attraverso la proiettività indotta dalla polarità.

5 ESERCIZI DI GEOMETRIA 4 5 Esercizio 42. Sia C P 2 una conica liscia e sia p P 2 \C un punto, dove P 2 = P(k) con k campo algebricamente chiuso. Dimostrare che esistono due rette tangenti a C e passanti per p. Esercizio 43. Sia C P 2 una conica liscia e sia p P 2 \C un punto, dove P 2 = P(k) con k campo algebricamente chiuso. Descrivere come è possibile determinare le due rette tangenti a C e passanti per p. Esercizio 44. Data C P 2 C la conica di equazione C = (x2 0 2x 1 x 0 + x 2 2 = 0). Determinare un equazione delle rette tangenti a C e passanti per p = [1, 0, 0]. Esercizio 45. Data C P 2 C la conica di equazione C = (x x 1 x 2 = 0). Determinare un equazione delle rette tangenti a C e passanti per p = [1, 1, 1]. Esercizio 46. Data C P 2 C la conica di equazione C = (x x 2 1 x 0 x 2 = 0). Determinare un equazione delle rette tangenti a C e passanti per p = [1, 2, 7]. Esercizio 47. Dati cinque punti in posizione generale in P 2, dimostrare che esiste un unica conica liscia C P 2 passante per tali punti. Esercizio 48. Date cinque rette di P 2 di cui tre mai concorrenti, dimostrare che esiste un unica conica liscia tangente a tali rette. Esercizio 49. Determinare un equazione della conica C P 2 tangente alle rette di equazioni l 1 = (x 0 = 0), l 2 = (x 1 = 0), l 3 = (x 2 = 0), l 4 = (x x 1 + x 2 = 0) e l 5 = (2 x x x 2 = 0). Esercizio 50. Dimostrare che l intersezione tra un cono quadrico di P 3 e un piano di P 3 non passante per il vertice del cono è una conica liscia. Dimostrare inoltre che il cono quadrico è l unione delle rette passanti per il vertice e per un punto della conica. Esercizio 51. Dimostrare che il nucleo della mappa ϕ a : V 3 V : v a v ha dimensione 2 se a 0. Esercizio 52. Dimostrare che due coniche C 1, C 2 P 2 C si intersecano sempre. Esercizio 53. Dimostrare che due coniche lisce in P 2 C ammettono sempre una tangente in comune. Esercizio 54. Sia Q P n una quadrica irriducibile e ridotta. Dimostrare che Q = P n. Esercizio 55. Sia Q P 3 una quadrica liscia e sia p P 3 \Q un punto. Consideriamo tutti i punti di q Q tali che Π q Q il piano tangente a Q in tale punto passa per p. Dimostrare che i punti q appartengono ad una conica liscia. Esercizio 56. Determinare le due schiere di rette per la quadrica liscia Q = (x x 2 1 = x x 2 3) P 3.

6 6 ESERCIZI DI GEOMETRIA 4 Geometria differenziale Esercizio 57. Sia α : J R 3 : s α(s) una curva regolare. Dimostrare che k(s) = 0, per ogni s J, se e solo se la traccia di α è contenuta in una retta. Esercizio 58. Sia α : J R 3 : s α(s) una curva regolare parametrizzata dalla lunghezza dell arco tale che α (s) 0. Dimostrare che α è una curva piana se e solo se τ(s) = 0, per ogni s J. Esercizio 59. Sia β : J R 3 : t β(t) una curva regolare. Dimostrare che β(t) = c, dove c è una costante, se e solo se β(t) β (t) = 0, per ogni t J. Esercizio 60. Consideriamo l elica cilindrica α : J R 3 s (a cos s c, a sin s c, b s c ) dove c 2 = a 2 + b 2, con a, b 0. i) Mostrare che α è parametrizzata dalla lunghezza dell arco. ii) Determinare curvatura e torsione. Esercizio 61. Determinare la lunghezza della spirale logaritmica α : (t 0, + ) R 2 t (a e b t cos t, a e b t sin t) dove a > 0 e b < 0. [Osservare che la traccia di α ha lunghezza finita.] Esercizio 62. Sia α : [0, 1] R 2 t (t, t sin π t ), t una curva. Mostrare che la traccia di α ha lunghezza infinita. Esercizio 63. Siano p, q R 3 due punti e una curva regolare. Dimostrare che b a α : [a, b] R 3 a p b q α (t) dt p q. [La curva più breve tra due punti è il segmento che li unisce.] Esercizio 64. Consideriamo l elica cilindrica α : J R 3 s (a cos s c, a sin s c, b s c ) dove c 2 = a 2 +b 2, con a, b 0. Mostrare che le direzioni tangenti formano un angolo costante con un vettore fissato. Esercizio 65. Mostrare che una curva α è un elica se e solo se le rette normali r(t) = α(s) + t n(s) sono parallele ad un piano fissato. Inoltre determinare tale piano nel caso in cui α sia l elica cilindrica.

7 ESERCIZI DI GEOMETRIA 4 7 Esercizio 66. Sia α : J R 3 : s α(s) una curva regolare parametrizzata dalla lunghezza dell arco con curvatura k(s) e torsione τ(s). Dimostrare che il rapporto k(s) è costante (i.e. non dipende da s) se e solo se la τ(s) curva α è un elica. Esercizio 67. Dimostrare che la sfera S 2 non può contenere eliche. [Consideriamo la circonferenza un elica degenere.] Esercizio 68. Sia α : J R 3 una curva regolare parametrizzata dalla lunghezza dell arco. Mostrare che se tutte le rette normali r(t) = α(s) + t n(s) passano per un punto fissato, allora la traccia di α è contenuta in una circonferenza. Esercizio 69. Sia α : J R 3 una curva regolare parametrizzata dalla lunghezza dell arco. Mostrare che se la curva α ha torsione nulla e curvatura costante, allora la traccia di α è contenuta in una circonferenza. Esercizio 70. Sia α : J R 3 una curva regolare parametrizzata dalla lunghezza dell arco. Mostrare che se tutte le rette tangenti r(t) = α(s) + t t(s) passano per un punto fissato, allora la traccia di α è contenuta in una retta. Osservazione 2. Nell esercizio 70 la condizione di regolarità della curva α è necessaria. Ciò significa che esistono delle curve non regolari le cui rette tangenti passano per un punto fissato, ma la traccia di tali curve non è contenuta in una retta. Come esempio, possiamo considerare la curva α : J R 3 : t (t, t, 0). Tale curva non è regolare perchè α (t) non è definito nel punto P = (0, 0, 0). Abbiamo che le rette tangenti ad α passano tutte per il punto P, però la traccia di α non è contenuta in una retta. Esercizio 71. Dire se esiste una curva regolare α : J R 3 le cui rette binormali r(t) = α(s) + t b(s) passano tutte per un punto fissato. Esercizio 72. Sia α(t) = (a cos t, a sin t), a > 0, a 1, la circonferenza di centro l origine e raggio a. Dopo aver dimostrato che α non è parametrizzata dalla lunghezza dell arco, trovare una parametrizzazione β a velocità unitaria della curva. Infine esibire la base di Frenet e calcolare la curvatura della curva rispetto alla parametrizzazione a velocità unitaria. Osservazione 3. L esercizio 72 ci suggerisce che se abbiamo una curva piana non parametrizzata dalla lunghezza dell arco e vogliamo calcolare la curvatura di essa, bisogna trovare una nuova parametrizzazione della curva a velocità unitaria. Purtroppo non risulta sempre facile trovare una parametrizzazione a velocità unitaria per una curva piana. Nell esercizio 73 ricaviamo la formula per calcolare la curvatura di una curva avente una parametrizzazione non a velocità unitaria. Esercizio 73. Sia α : J R 2 : s α(s) = (x(s), y(s)) una curva regolare non parametrizzata dalla lunghezza dell arco. Determinare la Base di Frenet e la curvatura di tale curva senza considerare una nuova parametrizzazione di essa a velocità unitaria. Esercizio 74. Determinare la curvatura della parabola parametrizzata da α : R R 2 : t (2at, at 2 ), dove a > 0.

8 8 ESERCIZI DI GEOMETRIA 4 Esercizio 75. Calcolare la lunghezza dell elica circolare γ : R R 3 : t (a cos t, b sin t, bt), con a, b > 0. Esercizio 76. Trovare una parametrizzazione a velocità unitaria delle seguenti curve: i) α : R R 2 : t (c 1 +r cos t, c 2 +r sin t), con r 0, circonferenza di centro (c 1, c 2 ) e raggio r; ii) γ : R R 3 : t (a cos t, b sin t, bt), con a, b > 0, elica circolare. Esercizio 77. Determinare la base di Frenet e la curvatura delle seguenti curve piane: i) α : R R 2 : t (c 1 +r cos t, c 2 +r sin t), con r 0, circonferenza di centro (c 1, c 2 ) e raggio r; ii) β : R R 2 : t (a cos t, b sin t), con a, b > 0, ellisse; iii) γ : R R 2 : t (2at, at 2 ), con a > 0, parabola. Esercizio 78. Determinare la curvatura e l evoluta della cicloide α : (0, 2π) R 2 : t (t sin t, 1 cos t). Esercizio 79. Determinare la curvatura e l evoluta della spirale logaritmica α : (0, + ) R 2 : t (ae bt cos t, ae bt sin t), con a > 0, b < 0. Esercizio 80. Determinare la base di Frenet, il piano osculatore, la curvatura e la torsione dell elica circolare γ : R R 3 : t (a cos t, b sin t, bt), con a, b > 0 e a 2 + b 2 = 1. Esercizio 81. Sia α : J R 3 una curva regolare tale che α(j) sia contenuta nella sfera S 2. Dimostrare che la curvatura di α è costante se e solo se la torsione di α è nulla. Esercizio 82. Determinare un equazione parametrica della curva α : J R 2 che soddisfa la seguente proprietà: β(t) α(t) = 1, dove β(t) è il punto di intersezione tra la tangente alla curva α(j) in α(t) e l asse delle ordinate. La curva α è detta trattrice. Esercizio 83. Sia α : J R 3 una curva chiusa contenuta in un disco (il bordo del disco è una circonferenza di raggio r). Dimostrare che esiste un punto, corrispondente a t 0 J, tale che k(t 0 ) 1 r. Esercizio 84. Sia α : J R 3 una curva dotata di apparato di Frenet tale che α(j) Sr 2. Dimostrare che per ogni t J si ha che k(t) 1. [Non vi sono rette r contenute nella sfera]. Esercizio 85. Sia α : J R 3 una curva regolare con curvatura costante k 0. Dimostrare che α(j) è contenuta in una sfera S 2 se e solo se α(j) è contenuta in una circonferenza. Esercizio 86. Siano C = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 = 1} R 3 un cilindro e Π λ = {(x, y, z) R 3 z = λx} un piano al variare di λ R. Mostrare che Π λ C è una curva regolare per ogni λ R e stimare la lunghezza di tale curva.

9 ESERCIZI DI GEOMETRIA 4 9 Esercizio 87. Dimostrare che la curvatura e la torsione (a meno del segno) sono invarianti metrici per una curva. Esercizio 88. Dimostrare che il cilindro, la sfera e il toro sono superfici regolari. Esercizio 89. Dimostrare che il cono è una superficie non regolare. Esercizio 90. Scrivere una parametrizzazione del toro. Dimostrare che il toro, come superficie di rotazione, è regolare. Infine determinare la prima forma fondamentale del toro rispetto a tale parametrizzazione. Esercizio 91. Scrivere una parametrizzazione come superfici di rotazione e determinare la prima forma fondamentale rispetto a tale parametrizzazione delle seguenti superfici: sfera, cilindro. Esercizio 92. Sia α : J R 3 : u (0, α 1 (u), α 2 (u)) una curva regolare tale che α 1 (u) > 0, per ogni u J. Determinare una parametrizzazione della superficie di rotazione S R 3 ottenuta dalla rotazione di α(j) attorno all asse z. Dimostrare che tale superficie di rotazione S è regolare e determinare la prima forma fondamentale di S rispetto a tale parametrizzazione. Esercizio 93. Dimostrare che una superficie di rotazione S R 3 ammette sempre una prima forma fondamentale del tipo E = 1, F = 0 e G = h 2 (u, v), per qualche funzione differenziabile h : B 2 R. Esercizio 94. Scrivere una parametrizzazione delle superfici di rotazione viste (sfera, cilindro, toro) tale che la loro prima forma fondamentale sia del tipo E = 1, F = 0 e G = h 2 (u, v), per qualche funzione differenziabile h : B 2 R. Esercizio 95. Dimostrare che le quadriche di rango massimo sono superfici regolari dal punto di vista della geometria differenziale. Inoltre dimostrare che lo spazio tangente differenziale è la direzione dello spazio tangente immerso delle quadriche. [Le nozioni di regolarità differenziale e proiettiva coincidono.] Esercizio 96. Trovare la prima forma fondamentale delle seguenti superfici: - X(u, v) = (a u cos v, b u sin v, u 2 ) paraboloide ellittico. - X(u, v) = (a sin u cos v, b sin u sin v, c cos u) ellissoide. - X(u, v) = (a u cosh v, b u sinh v, u 2 ) paraboloide iperbolico. - X(u, v) = (a sinh u cos v, b sinh u sin v, c cosh u) iperboloide a due falde. Esercizio 97. Sia S la superficie con parametrizzazione ) h : B 2 R 3 : (u, v) (u, v, u2 2 v2. 3 Dimostrare che S è regolare. Esercizio 98. Sia α : R R 3 una curva regolare parametrizzata dalla lunghezza dell arco. Definiamo S la superficie, detta sviluppabile delle tangenti di α, come l unione di tutte le tangenti immerse alla curva α. 1) Scrivere una parametrizzazione di S e dimostrare che S è regolare in tutti i suoi punti eccetto in quelli appartenenti alla curva α. 2) Determinare la prima forma fondamentale di S rispetto alla parametrizzazione scritta. 3) Dimostrare che S è localmente isometrica al piano. 4) Determinare il vettore normale N p, con p S.

10 10 ESERCIZI DI GEOMETRIA 4 Esercizio 99. Sia α : J R 3 una curva regolare non piana e sia S la superficie ottenuta dalla rotazione di α(j) attorno all asse di equazione (y = z = 0). Supponiamo che α(j) (y = z = 0) =. Dire se S è una superficie regolare e se è una superficie di rotazione di quelle viste in precedenza. Esercizio 100. Sia S R 3 l iperboloide iperbolico di equazione x 2 + y 2 z 2 = 1. Dimostrare che S è una superficie regolare. Determinare i piani tangenti ad S passanti per i punti p(x 0, y 0, 0) e dimostrare che questi piani sono tutti paralleli alla retta x = y = 0. Esercizio 101. Ricavare le equazioni parametriche dell elicoide, superficie ottenuta tracciando dall elica cilindrica α : (0, 2π) R 3 : t (a cos t, a sin t, b t), con a, b > 0, le rette parallele al piano z = 0 che intersecano la retta x = y = 0. Esercizio 102. Sia Q una quadrica di R 3. Dimostrare che la definizione di punti ellittici, iperbolici e parabolici attraverso il segno della curvatura gaussiana coincide con la definizione data in geometria proiettiva attraverso l intersezione della quadrica con il piano tangente. Esercizio 103. Sia S R 3 una superficie regolare. Siano p S un punto e H un piano passante per p tale che H T p S. Dimostrare che H S è la traccia di una curva regolare in un intorno di p. Esercizio 104. Mostrare che il cono di base una circonferenza è localmente isometrico al piano nei punti in cui esso è regolare. Esercizio 105. Si consideri la superficie S = {(x, y, z) R 3 3x 2 + 5y 2 = z}. Si mostri che S è regolare, si ricavi una parametrizzazione f : U R 2 S in un intorno di P (0, 0, 0) e si determini T P S. Si determini la prima forma fondamentale di S nella parametrizzazione scelta e il vettore normale N P. Infine si determini il differenziale della mappa di Gauss in P. Esercizio 106. Sia f : J (0, 2π) R 3 (u, v) (α 1 (u) cos v, α 1 (u) sin v, α 2 (u)) la parametrizzazione di una superficie di rotazione S. Si determini il versore normale N P, la curvatura gaussiana K P e la curvatura media H P, per ogni P S. Esercizio 107. Sia f : J (0, 2π) R(( 3 (u, v) a + r cos u ) ( cos v, a + r cos u ) sin v, a + r sin u ) r r r la parametrizzazione del toro S. Si determini la curvatura gaussiana K P, per ogni P S. [Individuare i punti ellittici, i punti iperbolici e i punti parabolici di S]. Esercizio 108. Sia f : B 2 R 2 R 3 (u, v) (r cos u, r sin u, v) la parametrizzazione di un cilindro S. Si determini il versore normale N P, la curvatura gaussiana K P e la curvatura media H P, per ogni P S.

11 Esercizio 109. Sia f : B 2 R 2 R 3 ESERCIZI DI GEOMETRIA 4 11 (u, v) (r cos u, r sin u cos v, r sin u sin v) la parametrizzazione di una sfera S di centro l origine e raggio r. Si determini il versore normale N P, la curvatura gaussiana K P e la curvatura media H P, per ogni P S. Esercizio 110. Dare un esempio di superficie S che non sia un piano, ma contenente un punto planare. [S è la superficie detta sella di scimmia ]. Esercizio 111. Sia S R 3 una superficie regolare. Dimostrare che se esiste un retta l S, allora i piani tangenti ad S lungo i punti di l contengono l come spazi immersi oppure contengono la direzione di l come spazi vettoriali. Esercizio 112. Siano S 1, S 2 due superfici regolari e sia p S 1 S 2 un punto tale che T p S 1 T p S 2. Dire se S 1 S 2 è una curva regolare in un intorno di p. Esercizio 113. Dimostrare che una superficie regolare S è contenuta in una sfera S 2, se tutte le rette normali ad S passano per un punto. Esercizio 114. Dimostrare che una superficie S è contenuta in una superficie di rotazione, se tutte le rette normali ad S intersecano una retta fissata l.