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1 LICEO SCIENTIFICO ESEDRA SCUOLA PARITARIA Classe V LS Prof. Francesco Marchi Appunti su: algebra dei iti Introduzione Abbiamo studiato i iti delle funzioni elementari, ad esempio abbiamo visto che: ln x = + (1) ln x = (2) x + x3 = + (3) x x3 = (4) A partire da questi dati, come possiamo calcolare, ad esempio, i seguenti iti? (ln x + x2 ) (5) + x 3 ) (6) x +(x2 ln x x 3 (7) x (x3 x 2 ) (8) Per poter calcolare questi iti, dobbiamo vedere come si calcola il ite di una somma di funzioni di cui conosciamo il ite, il ite del loro rapporto e così via. Si parla, a tal proposito, di algebra dei iti. Spiegazione qualitativa Prima di dare le formule e le definizioni relative all algebra dei iti, cerchiamo di capire com è possibile calcolare i iti proposti sopra. A tal proposito, ricordiamoci la definizione intutitiva di ite, ad esempio il ite all infinito: sostituendo valori sempre più grandi alla x, si guarda a quale valore si avvicina la f(x). Relativamente alla funzione f(x) = x 3 x 2, avremo allora i seguenti iti: x f(x) = x 3 x

2 x f(x) = x 3 x Si intuisce allora, sulla base di questi valori assunti dalla funzione, che i iti all infinito saranno i seguenti: (x3 x 2 ) = + ; x (x3 x 2 ) = Qualitativamente, possiamo dire che la funzione x 3 cresce più velocemente della funzione x 2 (cioè assume valori più grandi) e perciò tende a prevalere. Adesso vediamo meglio le regole che esprimono questi concetti. L algebra dei iti Supponiamo di sapere quanto fa il ite di due funzioni, f(x) e g(x), per x che tende ad uno stesso valore, x. Sia cioè: f(x) = l; g(x) = m x x x x Sia x, sia l, sia m possono essere finiti o infiniti. Vogliamo ora calcolare i iti della somma, della sottrazione, del prodotto e del rapporto di f(x) e g(x). Bisognerà distinguere vari casi, a seconda che i iti siano: finiti e diversi da zero; uguali a zero; infiniti. Nei seguenti schemi sono riassunte le regole per il calcolo dei iti di somma, sottrazione, prodotto e quoziente. I iti per i quali non è indicato il risultato sono scritti fra parentesi tonde: tali iti sono noti come forme indeterminate, e di essi parleremo nel prossimo paragrafo. Per quanto riguarda l algebra del prodotto di due funzioni e del loro rapporto, nelle tabelle sono proposti risutati come ± e simili: infatti, per determinare il segno di un prodotto o di un rapporto, si seguono le normali regole algebriche (più per meno fa meno,... ). Tabella 1: Limite della somma x x [f(x) + g(x)] l + m m + l m + = + m = l = = + (+ ) + l = ( + ) = 2

3 Tabella 2: Limite del prodotto x x [f(x) g(x)] l + m m l m = m (+ ) = ± m ( ) = ± l = = ( + ) ( ) + + l = ± (+ ) + + = + + = l = ± ( ) + = = + Tabella 3: Limite del quoziente x x [f(x)/g(x)] l + m m l m = ± m ± + = m = l = ( ) + = = + + l = ± + = ± ( ) ( + + ) ± + l = ± = ± ( ) ( ) ± + 3

4 Tabella 4: Limite delle potenze x x [f(x)] g(x) l 1 + m l m m = 1 m 1 = m v. iti potenze v. iti potenze l = ( ) 1 = l = 1 1 = = 1 ( 1 + ) ( 1 ) + + l = + ( + ) + 1 = l = ( ) 1 = + Come abbiamo già detto, nelle tabelle precedenti alcune espressioni sono messe dentro parentesi tonde. Tali espressioni sono dette forme indeterminate: nel prossimo paragrafo vediamo in cosa consistono. Le forme indeterminate Forma indeterminata significa che l espressione non ha un valore determinato, ovvero fisso: ad esempio, (+ ) può valere 4,, +, 43 π o qualsiasi altra cosa. Da cosa dipende il valore assunto da una forma indeterminata? Dipende dalla particolare funzione di cui si vuol calcolare il ite. Ad esempio avremo: 3 + x 4 x 5 x + x 3 = ; Impareremo a risolvere le forme indeterminate più avanti. 3 + x 5 6x 5 x + 4 = 1 6 ; e così via Tabella 5: Riassunto delle forme indeterminate somma + prodotto ± quoziente ± ± potenza 1 ± ± Il calcolo dei iti Vediamo ora quali casi si possono presentare nel calcolo di un ite e quale procedura seguire. Come prima cosa, sostituisci il valore della x nell espressione della funzione. In seguito, si distinguono vari casi: 4

5 Se il risultato ottenuto è un numero, hai finito: quello è il risultato. Es.: x 2 (x 2 + 3) = 7 Il ite non esiste. Es.: sin x non esiste. E necessario applicare un criterio di confronto. Es.: (e x sin x) = + Se compaiono degli infiniti o degli zeri, guarda la tabella relativa all algebra dei iti: se non viene una forma indeterminata, sei in grado di dire il risultato. Es.: (x + 7)/(3 x 2 ) = Se ottieni una forma indeterminata, il procedimento cambia a seconda del tipo di forma indeterminata e del tipo di funzione (vedi schema seguente). Vediamo allora di dare una classificazione dei metodi relativi alla soluzione delle forme indeterminate: + / / Per polinomi: (x 3 x 2 ) = + Per funzioni irrazionali: ( 9x + 1 7x 4) = + Per funzioni razionali fratte: (x 3 x 2 )/(2 + 5x) = + Per funzioni irrazionali fratte: x 7x4 x 3 /(x 3 + 4x 1) = Per funzioni razionali fratte: x (x + x 3 )/(x 2 + x 6 ) = + Come sopra (ma da fare tramite scomposizione): x 3 (27 + x 3 )/() = 27 Per funzioni irrazionali fratte: x 4 ( 5 + x 3)/(x 2 16) = 1/48 Riconducibili ad un ite notevole: x (sin 8x)/x = 8 Riconducibili alle forme / o / 1 Riconducibili ad un ite notevole: (1 + 1/x) 2x = e 2 Valutare i iti tramite il computer Le regole che abbiamo esposto sono sufficienti per calcolare tutti i iti che incontrerai e possono esser considerate come un formulario. Per valutare un ite ti suggeriamo anche uno strumento piuttosto semplice, ma molto utile, anche per affrontare i prossimi argomenti. Si tratta del software Geogebra, scaricabile gratuitamente dal seguente sito (sezione download): Questo software, una volta installato, permette di disegnare grafici di funzioni complesse quanto vuoi; basandosi sul grafico di una funzione potete poi intuire il valore dei suoi iti. Vediamo un esempio. Supponiamo di voler studiare i iti della seguente funzione: f(x) = 25 x 2 Possiamo allora utilizzare il programma Geogebra, digitando, nella barra che compare in basso (a fianco della scritta Inserimento ), la seguente espressione: f(x)=(x+3)/(25-xˆ2) Dopo aver premuto invio, apparirà il grafico che qui abbiamo riportato in Figura 1 5

6 Figura 1: Grafico della funzione x+3 25 x 2 Da tale figura possiamo intuire (non si tratta di una dimostrazione!) il valore dei seguenti iti: x 25 x 2 = (9) 25 x 2 = (1) = + x 5 25 x2 (11) = x x2 (12) = + x x2 (13) = x x2 (14) 6