Esame di Stato di Liceo Scientifico- Sessione ordinaria 2003 Corso Sperimentale P.N.I. Tema di MATEMATICA

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1 L.Lecci\Sol. Problema 2\Esame di Stato di Liceo Scietifico\Sess. Ordiaria\Corso P.N.I.\ao23 Esame di Stato di Liceo Scietifico- Sessioe ordiaria 23 Corso Sperimetale P.N.I. Tema di MATEMATICA Problema 2 Sia f(a2 +b2 - +c co a,b,c umeri reali. Si determiio a,b,c i modo che:. la fuzioe sia pari; 2. f( f ( d 2 Si studi la fuzioe g otteuta sostituedo i valori così determiati e se e disegi il grafico G. Si cosideri la retta r di equazioe y4 e si determiio, approssimativamete, le ascisse dei puti i cui essa iterseca G mettedo i atto u procedimeto iterativo a scelta. Si calcoli l area della regioe fiita di piao racchiusa tra r e G. Si calcoli l itegrale g( d Si determii la fuzioe g il cui grafico è simmetrico di G rispetto alla retta r. Soluzioe La fuzioe è defiita su tutto l asse reale e per defiizioe è pari se risulta f(-f(; dal puto di vista grafico la proprietà idicata implica che il diagramma della fuzioe è simmetrico rispetto all asse delle ordiate. Essedo f(-a2 - +b2 +c, la codizioe per la parità si traduce ell uguagliaza algebrica a2 +b2 - +c a2 - +b2 +c che elaborata diveta (a-b(2 2 - che dovedo essere soddisfatta per ogi reale richiede che sia ab. 2 Osservato che f(a+b+c, e quidi co ab, f(2a+c, dovedo essere f(2 segue 2a+c2 c2-2a. Impoedo le due suddette codizioi l espressioe aalitica della fuzioe diveta f(a2 +a a. 3 Per la terza codizioe si deve calcolare l itegrale defiito ed imporre che il suo valore sia quello assegato. Si ha: a [ a( a] d [ 2 2 ] + [ 2( a ] 3a 3 f ( d + 2( a 2 2 Risolvedo l equazioe otteuta si trova a. La fuzioe g( ( idicata el testo è pertato g( Studio della fuzioe Abbiamo già precisato che la fuzioe è defiita su tutto l asse reale. E ua fuzioe trascedete espoeziale, è cotiua i ogi puto del domiio. Sego e zeri La fuzioe è strettamete positiva e quidi o ha zeri. ( No si capisce perché l autore del testo abbia deciso di assegare alla fuzioe u uovo simbolo, deomiadola g i luogo di f. Peraltro risulta poco appropriata la scelta del ome per la fuzioe g, che si può cofodere co la fuzioe derivata prima della fuzioe g( trovata.

2 L.Lecci\Sol. Problema 2\Esame di Stato di Liceo Scietifico\Sess. Ordiaria\Corso P.N.I.\ao23 Limiti e asitoti E sufficiete studiare il limite per + ; per - il valore del limite, per la parità della fuzioe, è lo stesso. + lim (2 2 + il diagramma della fuzioe o preseta asitoti orizzotali. + Il diagramma o preseta eache asitoti obliqui (2. Ifatti risulta g( H ( 2 2 lim lim lim Si tega presete che ello studio del limite è stata applicata le regola di De l Hôpital. Mootoia, massimi e miimi relativi La derivata prima della fuzioe è g ((2-2 - e risulta g (> >-, quidi >, metre è g (; deduciamo che la fuzioe è strettamete decrescete ell itervallo ]- ;[, strettamete crescete ell itervallo ];+ [ (3 ed il puto è di miimo relativo proprio, oché di miimo assoluto e f(2. Cocavità e flessi La derivata secoda della fuzioe è g (( ( 2 che è strettamete positiva i tutto il domiio, pertato la curva o preseta flessi e volge la cocavità verso l alto. Itersezioi della curva co la retta r: y4 Fig. g( La curva e la retta hao due puti i comue disposti simmetricamete rispetto all asse delle ordiate; le loro ascisse si determiao risolvedo l equazioe g( che si può scrivere ache ella forma seguete ( log 2 (2 3, oppure log 2 (2 + 3 Come si vede le soluzioi dell equazioe soo due, soo valori opposti come possiamo provare algebricamete osservado che ( (2 3( (2 + 3 (4 3 Il testo del problema richiede di mettere i atto u procedimeto iterativo per determiare i valori delle due radici. Foriamo u metodo per determiare il valore 2 co u errore iferiore a -3, quidi u valore decimale i cui le prime tre cifre dopo la virgola soo esatte. Cosiderado la fuzioe d(4-g(, si tratta di determiare il suo uico zero positivo. La fuzioe è cotiua ed agli estremi dell itervallo [;2 ] assume sego discorde, ifatti (2 Ua giustificazioe veloce della o esisteza dell asitoto obliquo si può dare osservado che il termie 2 -, per + è ifiitesimo, metre il termie espoeziale 2 è u ifiito che o ha ordie ma è superiore a qualsiasi ordie di ifiito prestabilito, duque ache all ordie uo che rappreseta l ordie di ifiito della fuzioe lieare s(m+q, co m. (3 I accordo co la simmetria del diagramma rispetto all asse delle ordiate

3 L.Lecci\Sol. Problema 2\Esame di Stato di Liceo Scietifico\Sess. Ordiaria\Corso P.N.I.\ao23 d(4-2-,5,5 metre d(24-4-,25-,25. Per il teorema di esisteza degli zeri deduciamo che iteramete all itervallo cosiderato la fuzioe si aulla almeo ua volta; d altra parte, la sua derivata prima d (( ell itervallo cosiderato è strettamete egativa, quidi la fuzioe è strettamete decrescete e pertato lo zero suddetto è uico. Sia α il valore dello zero cercato (4. Osserviamo ora che la derivata secoda della fuzioe i ogi puto dell itervallo ( ma ache di tutto il domiio è egativa: d (( ( 2 quidi la cocavità della curva è rivolta verso il basso. Ricerca dello zero co il metodo delle tageti e delle secati di Newto-Fourier U metodo efficace per la ricerca dello zero i esame è rappresetato dal metodo delle tageti e delle secati idicato. Date le caratteristiche della fuzioe, co il metodo delle tageti si costruisce ua successioe strettamete decrescete di approssimazioi per eccesso di α,, 2,.,, +, ( covergete al valore α, assumedo come puto iiziale 2. Com è oto, si cosidera la retta tagete al diagramma della fuzioe el puto P ( ;d( e si determia l ascissa i cui tale retta taglia l asse ; si cosidera quidi la retta tagete al diagramma della fuzioe el puto P ( ;d( e si determia l ascissa 2 i cui tale retta taglia l asse ; e così via, iterado il procedimeto fio a coseguire l approssimazioe richiesta dello zero. I sitesi, se si suppoe di aver trovato l approssimazioe, per l approssimazioe successiva +, si scrive l equazioe della retta tagete el puto P ( ;d( che è y-d( d ( (- (2 e si determia + poedo y ella precedete equazioe. Si ottiee la seguete espressioe algebrica per + d( + (3 d (' Teedo coto delle espressioi aalitiche della fuzioe d( e della sua derivata prima d ( la (3 assume la forma (3. (2 2 Avviado le elaborazioi, come si diceva co 2, si hao i valori riportati i tabella Tab. per i quali soo riportate 3 cifre decimali. I valori idicati Tab.- Valori per eccesso di α otteuti soo stati otteuti co Ecel. co le tageti Aalizzado i valori trovati si ota che già il primo Cifre dec. valore calcolato, preseta be quattro + stabili cifre decimali esatte e quidi rappreseta 2, u approssimazioe dello zero co errore iferiore ad,938233, /., , Ricerca dello zero co il metodo delle SECANTI, , Se si adotta il metodo delle secati, sempre per le, , caratteristiche della fuzioe, come puto iiziale si, , sceglie il primo estremo dell itervallo, si scrive, , quidi l equazioe della secate che cogiuge i due estremi A(;d(, B(2;d(2 e si determia l ascissa del puto i cui la retta taglia l asse ; il valore (4 Si tratta del valore (2 3 log 2 + già trovato algebricamete.

4 L.Lecci\Sol. Problema 2\Esame di Stato di Liceo Scietifico\Sess. Ordiaria\Corso P.N.I.\ao23 trovato rappreseta la secoda approssimazioe dello zero cercato, cioè il puto della successioe. Si determia il puto P ( ;d( del diagramma della fuzioe e si procede co il processo iterativo scrivedo l equazioe della retta secate che cogiuge i puti P e B, quidi si trova Fig.2 l ascissa 2 del puto i cui questa taglia l asse ; iterado il processo si costruisce la successioe di puti,, 2,.,, +, che rappresetao delle approssimazioi per difetto dello zero cercato. Suppoedo di aver determiato l approssimazioe, l equazioe della secate che uisce i puti P ( ;d( e B è y d( (4 2 d(2 d( e poedo y si trova l ascissa del puto i cui la retta taglia l asse, cioè l approssimazioe +. Si ottiee l espressioe d( + (2 d(2 d( (5 Sostituedo a d( l espressioe dovuta si ha , (2 (5. Implemetado la formula (5. acora i u foglio elettroico si ricavao le elaborazioi umeriche riportate ella tabella Tab.2 E iteressate cofrotare i valori delle approssimazioi otteuti co i due metodi. Si ota che la successioe costruita co il metodo delle secati coverge meo rapidamete della successioe otteuta co il metodo delle tageti. Calcolo dell area della regioe di piao delimitata dal diagramma della fuzioe e dalla retta r: y4 Teuto coto della simmetria della regioe piaa, co + 2 log 2 (2 + 3, il valore dell area richiesta è dato dal seguete itegrale defiito (4 2 2 d (2 + 3 Calcolo dell itegrale idefiito d d d d arctg C g (2 ( 2 2 (2 + (2 Equazioe della curva simmetrica rispetto alla retta r:y4 Tab.2- Valori per difetto di α otteuti co le secati Cifre dec. stabili, , , , , , , , , , , , , , ,

5 L.Lecci\Sol. Problema 2\Esame di Stato di Liceo Scietifico\Sess. Ordiaria\Corso P.N.I.\ao23 Si devoo scrivere le equazioi della simmetria assiale avete per asse la retta r e sottoporre l equazioe del diagramma della fuzioe yg( alla trasformazioe. Idicata co σ r la simmetria assiale essa trasforma il geerico puto P(;y del piao cartesiao el puto P ( ;y essedo, (y+ y /24 y8- y (6 Per otteere l equazioe della curva trasformata ello stesso riferimeto cartesiao i cui è rappresetata la curva yg( si devoo sostituire le (6 i quest ultima equazioe ed elimiare gli apici. Quidi y y y I relazioe ai simboli utilizzati el testo del problema si ha pertato g ( I Fig.3 soo rappresetate le due fuzioi g( e g ( ello stesso riferimeto cartesiao. Fig.3