( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + = = 11,7%

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1 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO Corso Sperimentale P.N.I. Tema di MATEMATICA - 9 giugno 00 Svolgimento a cura della prof.ssa Sandra Bernecoli e del prof. Luigi Tomasi (luigi.tomasi@libero.it) RISPOSTE AI QUESITI DEL QUESTIONARIO Quesito n. Le partite di calcio della serie A, con 8 squadre, sono in totale (andata e ritorno) in numero di 06 perché si tratta del numero di disposizioni semplici, di classe, a partire da 8 oggetti: D 8, = 8 7 = 06. Quesito n. Sia A l evento si estrae la scatola A. Sia B l evento si estrae la scatola B. Sia C l evento si estrae la scatola C. D/A rappresenta l evento è stata estratta una lampada difettosa condizionata al fatto che è stata p D / A = 5/00. estratta la scatola A. Quindi: ( ) D/B rappresenta l evento è stata estratta una lampada difettosa condizionata al fatto che è stata estratta la scatola B. Quindi p( D / B ) = 0 /00. D/C rappresenta l evento è stata estratta una lampada difettosa condizionata al fatto che è stata estratta la scatola C. Quindi p( D / C ) = 0 /00. Sia D l evento si sceglie a caso una scatola e si estrae una lampada. L evento D è unione degli eventi incompatibili D A, D B, D C : D = D A D B D C. Inoltre, si ha: Pertanto ( ) ( ) ( ) p( D A) = p( A) p( D / A) p( D B) = p( B) p( D / B) p( D C) = p( C) p( D / C). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p( D) = p D A + p D B + p D C = = p( A) p D / A + p( B) p D / B + p( C) D / C = = + + = =,7% Quesito n. Chiamiamo x la misura dell altezza del cono. Per il teorema di Pitagora, il raggio di base del cono è: Il volume del cono sarà pertanto: r HA x = =. V ( x) = π ( x ) x

2 con 0 x. Occorre rendere massima la funzione: La derivata di f è: ( ) f ( x) = x x. =. f '( x) x Esaminando il segno della f '( x ) si trova che il volume massimo si ha per x =. In tale caso il 6 raggio di base del cono vale r =. Il volume massimo, espresso in dm, vale dunque 6 V = π,5... dm =, 5... cl. 7 Quesito n. Basta prendere un polinomio che abbia quattro zeri, per esempio il polinomio di quarto grado: p( x) = x x x x. ( )( )( ) Consideriamo la funzione polinomiale p ( x) p( x) = + (ottenuta con una traslazione dalla precedente); ovviamente il grafico di p ( ) x intersecherà la retta y= in quattro punti.

3 Figura Quesito n. 5 n n La funzione f ( x) = x + an x +... a x + a0 rappresenta una funzione polinomiale definita in R e, quindi, ivi continua e derivabile. La derivata prima della funzione data è: n n f '( x) = nx + n a x +... a. ( ) n Se x e x sono due radici di y = f ( x) si potrà applicare il teorema di Rolle alla funzione f ( x ) relativamente all intervallo [ x, x ] e quindi esisterà almeno uno zero, interno a tale intervallo, della funzione f '( x ). Quesito n. 6 L equazione x + bx 7 = 0 ha almeno una radice reale, per ogni valore di b, perché lim x + bx 7 = ±. x ± ( ) Conviene esaminare la funzione, ovviamente continua e derivabile ovunque, che ha per espressione: g( x) = x + bx. Il centro di simmetria di quest ultima curva è l origine degli assi (è dispari), ovvero il suo punto di flesso O (0, 0). Affinché g( x) = x + bx abbia tre radici reali, la funzione deve avere un massimo relativo e un minimo relativo. Poiché g '( x) = x + b, deve essere b < 0. In tale ipotesi, le ascisse dei punti di minimo e di massimo relativi sono rispettivamente: b x = ±. La funzione f ( x) = x + bx 7 = g( x) 7 può essere vista come la g( x) = x + bx traslata verso il basso di 7. Per fare in modo che f ( x ) abbia tre radici, occorre che il valore del massimo di g( x ) b sia maggiore di 7. Si ottiene pertanto: f > 7, ovvero: ( b) 9 > 7.

4 Di conseguenza, si ha Figura 98 b < ; per b si può prendere un qualunque valore b < 6, , ad esempio, b =. Quesito n. 7 La verifica dell uguaglianza è facile da effettuare. Si ha ovviamente: π dx = [ arctan x] =, x da cui si ottiene l uguaglianza:

5 = π + x dx. 0 L integrale notevole + x può utilizzare il metodo dei rettangoli e trovare approssimazioni per eccesso e per difetto suddividendo l intervallo [0, ] di ampiezza in n parti uguali, attribuendo a n valori naturali crescenti. dx può essere dunque utilizzato per un calcolo approssimato di π. Si 0 Sia h =. Un approssimazione per eccesso, dal momento che la funzione integranda è decrescente n nell intervallo [0,], la si ottiene calcolando la seguente somma: h f (0) f ( h) f ( h)... f (( n ) h) > π. Un approssimazione per difetto la si ottiene calcolando la seguente somma: h f ( h) + f ( h) + f ( h) f ( nh) < π. Se si usa invece la formula dei trapezi, con n = 0, si ottiene (figura ): n π = dx ( f ( a) f ( b) ) f ( a ih) 0 x n i= ovvero, sostituendo: n π = dx ( f (0) f () ) f i, x i= 0. Quesito n. 8 Figura Il valore dell integrale è ovviamente π. Il solido richiesto potrebbe essere un solido di rotazione ottenuto ruotando attorno all asse delle x tra le rette x=0 e x= la curva grafico di (figura 5). f ( x) = x 5

6 Figura 5 Dal momento che l integrale definito è un numero potrebbe anche essere un qualsiasi solido il cui volume sia uguale a π/, per esempio un cilindro di raggio di base e altezza. Ma, dato il testo ambiguo, potrebbe anche non essere un solido di rotazione, ad esempio un parallelepipedo π rettangolo con base un quadrato di lato e altezza uguale a. Gli esempi, ovviamente, sono infiniti. Quesito n.9 Se f ''( x) = sin x, allora integrando f '( x) = cos x + c, con c R, ed essendo f '(0) = si avrà c=. Se f '( x) = cos x +, integrando un altra volta si ottiene f ( x) = sin x + x + k, con k R. Si può allora calcolare f f ( ) π π 0 = sin + π = π. Quesito n.0 Si consideri la funzione f ( x) = x x +. Tale funzione è continua e derivabile in R. La funzione ha limite per x che tende a e limite + per x che tende a +. Si ha che f '( x ) = 0 per x = e x = e che x è il punto di massimo relativo e x è il punto di minimo relativo per la funzione. Dal momento che f ( ) = > 0 e f () = < 0, la funzione ammetterà tre radici distinte di cui una cade tra e, una tra e e la terza tra e. Essendo f (0) = e f () = allora uno zero cadrà tra 0 e. Per trovarne una approssimazione migliore si potrà ad esempio utilizzare il metodo di bisezione. Calcolando f(/)= /8<0 si può concludere che la radice cade tra 0 e /; Calcolando f(/)=7/6>0 si può concludere che la radice cade tra / e /; Calcolando f(/8)= 7/5<0 si può concludere che la radice cade tra / e /8. Si può proseguire dimezzando ogni volta l intervallo e assumendo come valore approssimato il punto di mezzo dell intervallo. La radice più vicina all origine (figura 6), compresa tra 0 e, vale circa α = 0,

7 Figura 6 7