Movimento dello stato nei sistemi lineari

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1 Parte 2, 1 Movimento dello stato nei sistemi lineari

2 Parte 2, 2 Soluzione generale nel caso a tempo continuo

3 Si consideri un sistema dinamico lineare libero (senza ingresso) Parte 2, 3 In generale abbiamo visto che qualunque soluzione di deve soddisfare anche Si definisce la sequenza di approssimazioni successive:

4 Parte 2, 4 Evidentemente dove e` la matrice identica di dimensione

5 Parte 2, 5 Si dimostra che la sequenza di funzioni converge uniformemente all unica soluzione di su sottoinsiemi compatti di con serie di Peano-Baker

6 Parte 2, 6 Si vede subito che Inoltre, differenziando l espressione di si ha subito E` ora evidente che assegnato lo stato iniziale e conoscendo la matrice di funzioni del tempo risulta univocamente determinato La matrice prende il nome di matrice di transizione dello stato per il sistema ed ha un importanza fondamentale nello studio del comportamento dei sistemi lineari.

7 Parte 2, 7 Si consideri ora un sistema dinamico lineare libero tempo-invariante La matrice di transizione dello stato assume ora una forma particolare; si ha infatti:

8 Si dimostra che la sequenza di funzioni Parte 2, 8 converge uniformemente all unica soluzione di su sottoinsiemi compatti di con Osserviamo che in realta` non dipende dagli istanti e separatamente, ma dipende dalla differenza e questa e` una conseguenza della tempo-invarianza. Con leggero abuso notazionale si scrivera`

9 Si consideri ora un sistema dinamico con ingresso Parte 2, 9 Si supponga che la soluzione di assuma la forma dove e` la matrice di transizione dello stato associata a Per Poi, ricordando che ha, si soluzione di quindi unica soluzione di

10 Riassumendo: Parte 2, 10 ha soluzione unica Se Se Movimento forzato Movimento libero e la soluzione totale e` esprimibile come

11 Si consideri ora un sistema dinamico con ingresso ed eq. d uscita Parte 2, 11 Si ottiene immediatamente Se Se risposta forzata risposta libera e la risposta totale e` esprimibile come

12 Parte 2, 12 Soluzione generale nel caso a tempo discreto

13 Si consideri un sistema dinamico lineare libero a tempo discreto Parte 2, 13 Evidentemente puo` essere determinato iterando l equazione di stato (non serve risolvere un problema differenziale) Quindi, in analogia col caso a tempo continuo, abbiamo con matrice di transizione dello stato a tempo discreto

14 Consideriamo ora un sistema dinamico lineare a tempo discreto con ingresso Parte 2, 14 Evidentemente

15 Quindi, utilizzando Parte 2, 15 otteniamo Se Se Movimento forzato e la soluzione totale e` esprimibile come Movimento libero

16 Consideriamo ora un sistema dinamico lineare a tempo discreto con ingresso ed equazione d uscita Parte 2, 16 Evidentemente Se Se Risposta forzata Risposta libera e la risposta totale e` esprimibile come

17 Parte 2, 17 Descrizione esterna di sistemi lineari: Caso a tempo discreto

18 Premesse Parte 2, 18 Consideriamo l impulso unitario a tempo discreto: ed il gradino unitario a tempo discreto Evidentemente e Inoltre una sequenza arbitraria puo` essere espressa come

19 Parte 2, 19 Consideriamo ora un sistema lineare a tempo discreto (ingresso e uscita scalari) Analizziamo in quali condizioni, la relazione esterna tra ingresso e uscita puo` rappresentare compiutamente il sistema dal punto di vista ingressouscita per una opportuna funzione Ipotesi: le sequenze per qualunque fissato e sono tali per cui e` ben definita. Per esempio, e Nelle condizioni in cui la lineare e` ben definita, essa e` anche una relazione

20 Parte 2, 20 Supponiamo ora che indichi la risposta del sistema all istante causata da un impulso unitario applicato all istante Per la linearita` la risposta del sistema all istante impulso all istante di ampiezza e` causata da un Sempre per la linearita`, la risposta del sistema all istante causata da due impulsi agli istanti e di ampiezze e e` Pertanto, all istante la sequenza in uscita al sistema dinamico causata da una sequenza d ingresso si puo` esprimere dove rappresenta quindi la risposta all istante causata da un impulso unitario applicato all istante

21 Parte 2, 21 Consideriamo ora un sistema lineare a tempo discreto (ingresso e uscita scalari) tempo-invariante se e` la risposta a ne consegue che e` la risposta a Quindi, con leggero abuso notazionale si definisce e pertanto si ottiene la ben nota somma di convoluzione Evidentemente, con un cambio di variabile si ha anche

22 Parte 2, 22 La proprieta` di causalita` implica ed e` implicata dal fatto che l uscita deve essere identicamente nulla prima che un ingresso sia applicato. E quindi quando il sistema e` causale si ha Si definisce che il sistema e` in quiete all istante se e cio` implica

23 Parte 2, 23 Se quindi si sa che il sistema e` in quiete all istante si puo` scrivere e nel caso di sistema causale in quiete all istante si ha infine

24 Possiamo generalizzare al caso di sistema lineare a tempo discreto (ingresso e uscita vettoriali) Parte 2, 24 Si vede subito che si puo` scrivere dove la matrice di risposta impulsiva a tempo discreto e` data da e indica la componente della risposta del sistema all istante causata da un impulso unitario applicato all istante sulla componente dell ingresso mentre tutte le altre componenti dell ingresso sono identicamente nulle. Tutte le considerazioni e definizioni del caso scalare si estendono al caso vettoriale senza difficolta`

25 Parte 2, 25 Infine, nel caso in cui si disponga di una descrizione in eq. di stato con stato iniziale nullo e ricordando che otteniamo subito che nel caso tempo-invariante diventa

26 Parte 2, 26 Descrizione esterna di sistemi lineari: Caso a tempo continuo

27 Ricordiamo: funzione impulso di Dirac Parte 2, 27 L impulso di Dirac non e` una funzione nel senso usuale del termine ma e` una cosiddetta distribuzione o funzione generalizzata definita come: Si può vedere come il tali che: di una successione di funzioni

28 Descrizione esterna di sistemi lineari a tempo continuo Si dimostra (Antsaklis-Michel) che Parte 2, 28 Se con matrice di risposta impulsiva dove e` la componente della risposta all istante ad un impulso all istante applicato sulla componente dell ingresso mentre tutte le altre componenti dell ingresso sono identicamente nulle

29 Parte 2, 29 Per la causalita` l uscita deve essere nulla prima dell applicazione di un ingresso. Quindi Possiamo riscrivere Si puo` quindi dire che il sistema e` in quiete all istante se

30 Parte 2, 30 Nel caso tempo-invariante Siccome caratterizza le risposte al tempo ad ingressi impulsivi applicati in la causalita` implica Inoltre, se il sistema e` in quiete all istante invariante non si perde in generalita`) (nel caso tempo ed operando la trasformata di Laplace membro a membro dove e` la trasformata di Laplace della matrice di risposta impulsiva e coincide con la matrice di trasferimento del sistema.

31 Parte 2, 31 Infine, nel caso in cui si disponga di una descrizione in eq. di stato con stato iniziale nullo e osservando che otteniamo subito

32 Parte 2, 32 Calcolo del movimento nel caso lineare tempo-invariante a tempo continuo

33 Abbiamo visto che nel caso di un sistema dinamico lineare libero tempoinvariante Parte 2, 33 l unica soluzione e` data da con Si definisce la matrice di transizione in termini dell esponenziale di matrice per cui

34 Parte 2, 34 e quindi, ponendo si ha L esponenziale di matrice gode delle seguenti importanti proprieta`

35 Parte 2, 35 Possiamo ora particolarizzare la relazione tra descrizione interna in equazioni di stato ed esterna tramite la risposta impulsiva nel caso tempo-invariante; abbiamo quindi da cui

36 Calcolo di Parte 2, 36 L esponenziale di matrice gioca un ruolo fondamentale e quindi il suo calcolo e` inevitabile per determinare il movimento dello stato. Esempio 1 Esempio 2 Tuttavia in generale il calcolo e` molto piu` complicato.

37 Calcolo di col metodo della serie infinita Parte 2, 37 Sia una matrice costante (reale o complessa) e sia Si dimostra che ogni elemento della matrice su qualunque intervallo per converge uniformemente Inoltre Quindi, per un fissato, si puo` valutare per valori crescenti di fino a che gli elementi di non cambiano piu` in modo significativo In alcuni casi particolari per un valore specifico. Questo e` il caso, per esempio, in cui tutti gli autovalori di sono nulli per cui esiste tale che

38 Calcolo di similitudine col metodo della trasformazione di Parte 2, 38 Consideriamo la cui soluzione e` definendo otteniamo e quindi, Supponiamo ora che che la trasformazione di similitudine sia tale che sia in forma canonica di Jordan

39 Parte 2, 39 Consideriamo innanzitutto il caso in cui ammetta la costruzione di una base di autovettori linearmente indipendenti associati agli autovalori (non necessariamente distinti) Allora e quindi

40 Consideriamo ora il caso generale in cui vi siano autovalori multipli. E` sempre possibile costruire vettori linearmente indipendenti tali che Parte 2, 40 dove e e` una matrice di dimensione della forma in cui non necessariamente e

41 Ora evidentemente Parte 2, 41 dove Per quanto riguarda si ha dove e` la matrice identica di ordine e e` una matrice nilpotente ( ) data da

42 D altra parte si ha subito Parte 2, 42 Siccome, la matrice si puo` determinare con il metodo della serie infinita, ovvero e quindi

43 Calcolo di mediante il teorema di Cayley-Hamilton Parte 2, 43 Data una matrice quadrata di dimensione e sia il suo poliniomio caratteristico della forma Si dimostra che Ne consegue: Dato un qualunque polinomio esistono tali che Infatti dividendo per abbiamo dove il grado di e` al piu` e siccome si ha

44 Vediamo ora come utilizzare il teorema di C.H. per determinare Si ha Parte 2, 44 Dal teorema di C.H. consegue che I coefficienti si determinano molto facilmente. Fattorizziamo il pol. caratteristico e consideriamo due funzioni e analitiche. Se Esempio. Sia e

45 Calcolo di mediante la trasf. di Laplace Parte 2, 45 Consideriamo nuovamente TdL ad ambo i membri ed operando la Quindi

46 Parte 2, 46 Consideriamo poi TdL ad ambo i membri ed operando la Utilizzando prodotto, otteniamo immediatamente e la proprieta` della TdL del

47 Modi di risposta Consideriamo nuovamente Parte 2, 47 Ricordiamo dove sono gli autovalori distinti di ed e` la molteplicita` algebrica di tali autovalori. Ovviamente Si dimostra che dove La dimostrazione si basa sull espansione in fratti semplici

48 Quindi: Parte 2, 48 puo` essere sempre espressa come somma di termini vengono denominati modi di risposta del sistema se un autovalore ha molteplicita` algebrica in generale ad esso possono essere associati modi di risposta evidentemente possono esservi particolari scelte di per cui modi di risposta si combinano o non si manifestano del tutto nella risposta complessiva quando gli autovalori di e si ha sono distinti dove

49 Parte 2, 49 Esempio 1

50 Esempio 2 Parte 2, 50

51 Parte 2, 51 Esempio 3 Non tutti i modi sono necessariamente presenti in la presenza o meno di tutti i modi dipende dal numero e dimensione dei sottoblocchi di Jordan associati ad autovalori multipli

52 Parte 2, 52 Esempio 3 bis Ora tutti i modi sono presenti in blocco di Jordan di ordine 2 a causa del

53 Parte 2, 53 Diversa caratterizzazione dei modi di risposta nel caso di autovalori distinti Vogliamo scrivere i modi di risposta nel caso di autovalori distinti in modo da rendere esplicite alcune proprieta` da cui consegue la presenza o meno nella risposta di alcuni modi. In questo caso e Si dimostra che dove autovettore destro associato a autovettore sinistro associato a Infatti si vede subito che (autovalori distinti implica autovettori l.i.)

54 Ora, se lo stato iniziale e` parallelo ad uno degli autovettori di l unico modo di risposta che si manifesta nel movimento dello stato e` Parte 2, 54 Esempio e quindi se il modo non si manifesta nel movimento libero conseguente a tale stato iniziale

55 Studio qualitativo del termine Parte 2, 55

56 Studio qualitativo del termine Parte 2, 56

57 Parte 2, 57 Descrizione interna in equazioni di stato in relazione alla descrizione esterna ingresso-uscita di sistemi lineari tempo-invarianti a tempo continuo

58 Ricordiamo: si consideri un sistema lineare descritto da eq. di stato con stato iniziale nullo Parte 2, 58 e si aveva Inoltre nel caso tempo-invariante abbiamo e

59 Funzione di trasferimento Parte 2, 59 Riprendiamo alcuni concetti da Fond. di Automatica generalizzandoli quando necessario. Consideriamo Operando la trasf. di L. ad ambo i membri dell eq. di stato: Se Funzione di trasferimento

60 Vediamo la struttura della funzione di trasferimento: Parte 2, 60 Considerando ora la componente i-esima del vettore di uscita Per cui (sovrapposizione effetti)

61 Funzione di trasferimento di sistemi equivalenti Parte 2, 61 Ricordiamo

62 Parte 2, 62 La funzione di trasferimento non dipende dalla particolare scelta di variabili di stato considerata per la rappresentazione interna

63 Riassumendo: Parte 2, 63 Rappresentazione Interna Rappresentazione Esterna? Realizzazione

64 Parte 2, 64 Rappresentazione Interna Rappresentazione Esterna Si tiene conto della struttura interna del sistema Rappresentazione IN/OUT del sistema Funzione di trasferimento, risposta impulsiva

65 Proprieta` della FDT nel caso scalare Parte 2, 65 Riprendiamo da Fond. di Automatica alcune proprieta`:

66 Nel caso di ingresso ed uscita scalari: Parte 2, 66 Matrice compl. algebrici polinomio di grado polinomio di grado polinomio di grado

67 Quindi: Parte 2, 67 polinomio di grado se polinomio di grado

68 Parte 2, 68 In conclusione (caso scalare): funzione razionale (rapporto di polinomi) in polinomio di grado ha grado solo se salvo cancellazioni

69 Parte 2, 69 Se ci sono fattori comuni: e` un fattore di di grado ha grado solo se

70 Parte 2, 70 Poli e zeri di una FDT nel caso scalare Poli: radici di Zeri: radici di I poli sono autovalori di Un autovalore di puo` non essere un polo in caso di cancellazioni (vedi esempi) Il caso con piu` ingressi ed uscite richiede alcune cautele aggiuntive

71 Esempio 1 Parte 2, 71 e` un fattore di di grado

72 Parte 2, 72 La parte della dinamica descritta da e` nascosta Come si vedra` piu` avanti nel corso la presenza di dinamica nascosta e` legata alla non minimalita` della descrizione in eq. di stato (raggiungibilita`, indistinguibilita`)

73 Esempio 2 Parte 2, 73 e` un fattore di di grado

74 Parte 2, 74 questa parte della dinamica evolve senza essere influenzata dall evoluzione di la parte della dinamica descritta da e` nascosta Nuovamente, come vedremo piu` avanti nel corso la presenza di dinamica nascosta e` legata alla non minimalita` della descrizione in eq. di stato (raggiungibilita`, indistinguibilita`)

75 FDT nel caso generale - considerazioni Parte 2, 75 Abbiamo visto che nel caso di piu` ingressi ed uscite si ha Il concetto di polo e zero tuttavia si complica.

76 Esempio 3 Parte 2, 76 Come vedremo i poli di in questo caso coincidono con gli autovalori di e quindi tutta la dinamica si vede nella FdT. Tuttavia basta modificare le matrici e perche` si manifesti il problema di dinamiche nascoste, ovvero di autovalori di non presenti nell insieme di poli di

77 Parte 2, 77 Definizione alternativa di FDT nel caso scalare ovvero

78 Parte 2, 78 Calcolo del movimento nel caso lineare tempo-invariante a tempo discreto

79 Si consideri un sistema dinamico lineare libero a tempo discreto Parte 2, 79 Ricordiamo con Quindi, avendo otteniamo

80 Parte 2, 80 Nel caso di un sistema dinamico lineare libero a tempo discreto tempoinvariante Abbiamo con Quindi, avendo otteniamo

81 Modi di risposta Analogamente al caso a tempo continuo si esprime semplici ; poniamo in fratti Parte 2, 81 Ricordiamo dove sono gli autovalori distinti di ed e` la molteplicita` algebrica di tali autovalori. Ovviamente Si dimostra che dove La dimostrazione si basa sull espansione in fratti semplici

82 Quindi: Parte 2, 82 puo` essere sempre espressa come somma di termini vengono denominati modi di risposta del sistema se un autovalore ha molteplicita` algebrica in generale ad esso possono essere associati modi di risposta evidentemente possono esservi particolari scelte di per cui modi di risposta si combinano o non si manifestano del tutto nella risposta complessiva quando gli autovalori di e si ha sono distinti dove

83 Parte 2, 83 Diversa caratterizzazione dei modi di risposta nel caso di autovalori distinti Come nel caso a tempo continuo vogliamo scrivere i modi di risposta nel caso di autovalori distinti in modo da rendere esplicite alcune proprieta` da cui consegue la presenza o meno nella risposta di alcuni modi. In questo caso Si dimostra che dove autovettore destro associato a e autovettore sinistro associato a Infatti si vede subito che (autovalori distinti implica autovettori l.i.)

84 Ora, se lo stato iniziale e` parallelo ad uno degli autovettori di l unico modo di risposta che si manifesta nel movimento dello stato e` Parte 2, 84 Esempio e quindi se il modo non si manifesta nel movimento libero conseguente a tale stato iniziale

85 Parte 2, 85 Osservazioni La determinazione dell evoluzione dello stato in forma numerica e` molto semplice il calcolo di si puo` affrontare anche con tecniche viste per il calcolo di anche se spesso non e` necessario; per esempio la tecnica facente uso del teorema di Cayley-Hamilton puo` rivelarsi utile (si vedano gli esempi durante le esercitazioni) In analogia col caso a tempo continuo, e` utile l analisi di tramite trasformazione di similitudine

86 Calcolo di similitudine col metodo della trasformazione di Parte 2, 86 Consideriamo la cui soluzione e` otteniamo e quindi, definendo Supponiamo ora che che la trasformazione di similitudine sia tale che sia in forma canonica di Jordan

87 Parte 2, 87 Consideriamo innanzitutto il caso in cui ammetta la costruzione di una base di autovettori linearmente indipendenti associati agli autovalori (non necessariamente distinti) Allora e quindi

88 Consideriamo ora il caso generale in cui vi siano autovalori multipli. E` sempre possibile costruire vettori linearmente indipendenti tali che Parte 2, 88 dove e e` una matrice di dimensione della forma in cui non necessariamente e

89 Ora evidentemente Parte 2, 89 dove Per quanto riguarda si ha dove e` la matrice identica di ordine e e` una matrice nilpotente ( ) data da

90 Parte 2, 90 D altra parte si ha subito e quindi e` possibile definire i modi di risposta a tempo discreto come termini del tipo Le dimostrazioni sono analoghe al caso a tempo continuo con gli ovvi cambiamenti (si veda la bibliografia).

91 Studio qualitativo del termine Parte 2, 91 a) poli semplici

92 Studio qualitativo del termine Parte 2, 92 a) poli multipli (doppi)

93 Studio qualitativo del termine Parte 2, 93 b) poli semplici

94 Studio qualitativo del termine Parte 2, 94 b) poli multipli (doppi)

95 Parte 2, 95 Descrizione interna in equazioni di stato in relazione alla descrizione esterna ingresso-uscita di sistemi lineari tempo-invarianti a tempo discreto

96 Ricordiamo: Parte 2, 96 si consideri un sistema lineare descritto da eq. di stato con stato iniziale nullo e si aveva Inoltre nel caso tempo-invariante abbiamo

97 Funzione di trasferimento Parte 2, 97 Consideriamo Operando la Z-trasformata ad ambo i membri dell eq. di stato: Se Funzione di trasferimento

98 Vediamo la struttura della funzione di trasferimento: Parte 2, 98 Considerando ora la componente i-esima del vettore di uscita Per cui (sovrapposizione effetti)

99 Funzione di trasferimento di sistemi equivalenti Parte 2, 99 In perfetta analogia con il caso a tempo continuo:

100 Parte 2, 100 La funzione di trasferimento non dipende dalla particolare scelta di variabili di stato considerata per la rappresentazione interna

101 Parte 2, 101 Proprieta` della FDT nel caso a tempo discreto perfettamente analoghe a quelle viste a tempo continuo

102 Parte 2, 102 Caso notevole: Sistemi a tempo discreto ottenuti da campionamento di Sistemi a tempo continuo

103 Consideriamo lo schema generale Parte 2, 103 Segnale costante a tratti, digitale Segnale continuo, analogico Segnale discreto, digitale Segnale discreto, digitale

104 Per quanto riguarda il convertitore A/D, abbiamo Parte 2, 104 Per quanto riguarda il convertitore D/A, si ottiene che prende il nome di tenuta di ordine 0. Ipotizziamo di trascurare l effetto di digitalizzazione, ovvero della rappresentazione di numeri reali su parole di lunghezza limitata L analisi di questo sistema ibrido si semplifica parecchio andando a considerare il sistema a tempo discreto in figura:

105 Ora: Parte 2, 105 e quindi Se ora assumiamo che l uscita del sistema sia campionata ad istanti con e se abbiamo

106 Parte 2, 106 Ora consideriamo il caso tempo-invariante. e se si pone Osserviamo infine che se ne consegue