40 ESERCIZI SUL CALCOLO DIFFERENZIALE ECONCETTICOLLEGATI

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1 40 ESERCIZI SUL CALCOLO DIFFERENZIALE ECONCETTICOLLEGATI Derivate parziali e piani tangenti Scrivere l equazione del piano tangente al grafico delle funzioni: f(, y) = (y ) + log nel punto = y = y + f(, y) =y + log y nel punto (, ) f(, y) =() sin(y) (cos(y)) y nel punto (, ) f(, y) = (cos( y)) log(+) nel punto = y =. f(, y) =3+(y ) log(e y)in = y = f(, y) =(+) +y in = y =0 f(, y) =e ye in = 0, y = f() = (cos y +sin) cos in =, y =0 Calcolare le derivate parziali di f(, y) =sin e y + log(cos( + y)) f(, y) = +y + log( 3y) f(, y) =( y) 4 log( y) f(, y) = p (y )( + y) f(, y) = p sin(y ). Punti di non derivabilità Dire quali sono e di che tipo i punti di non derivabilità delle seguenti funzioni: f() = p log p ( )( ) f() = p p + f() = log p +4 f() = p p p p f() = + + f() = + f() =r p + f() = p Derivate destra/sinistra Calcolare derivata destra e sinistra in 0 di f() = p 4 sin( 3) f() = sin p sin f() = tan( 7) + cos f() = log( + p cos ) p f() = p p sin cos f() = sin sin(3 ) se 6= 0 0 se =0 4

2 Limiti Calcolare (se si può usando il teorema dall Hôpital) log( + )! + log(3 3 + ) log( ) log! + arctan(3 3) log( +sin)!+ log( + 3) 3 3p + + 3p log e sin 3 log(cos()) ( + ) 3 e sin e p + 3 sinh sin sin cosh cos log(cos ))!4 + p p e sin + + p p !+ 3e Monotonia Calcolare gli intervalli di monotonia delle funzioni f() =e 3 ( 3 + 7) f() =(+ 3 )e f() = + log f() =p + f() = log 3 f() = log + Estremi relativi/punti critici Trovare gli estremi relativi e i punti critici delle seguenti funzioni f() =4 4 3 f() = 6 + log f() = 3p ( ) e se R \ {, 0, } f() = 0 se {, 0, } 4 f() = se R \ {, 0, } 0 se {, 0, } se 6 {, 0, } f() = se {, 0, } 5

3 Convessità, concavità, flessi Discutere convessità e calcolare i punti di flesso delle seguenti funzioni f() = f() = f() =min{( 3), ( ) } f() =min{5, +} f() =( + 3)e Dare un esempio di funzione con f 00 (0) = 0 ma per la quale 0 non è punto di flesso, e con y = asintoto orizzontale a ±. Provare che se f e g sono convesse allora h() = ma{f(),g()} definisce una funzione convessa (usare la definizione tramite la disuguaglianza di convessità). Esercizi risolvibili con studi di funzione Discutere al variare di il numero di soluzioni di = e. Discutere al variare di il numero di soluzioni di log + = 0. Discutere al variare di il numero di soluzioni di 3 + log =. Tracciare un grafico approssimato della funzione f() =( )e.direse esistono (senza calcolarli) numeri reali tali che f() = 0 ha esattamente una soluzione, giustificando la risposta. Tracciare un grafico approssimato di f() = ( 3)e (senza studio della convessità). Dire per quali valori di a l equazione (e Dire per quali valori di R l equazione soluzioni. ) = a ha una sola soluzione 3 = ammette esattamente due Dire per quali valori di R l equazione e =3 + ammette esattamente due soluzioni. Dire per quali valori di a l equazione log = a ha soluzione. Dire per quali valori di R l equazione ( 3)e = ammette esattamente due soluzioni. 5e Dire per quali valori di R l equazione = ammette soluzioni. +6e Determinare il numero di soluzioni di = giustificando la risposta. Discutere al variare di a il numero delle soluzioni di f() = a, dove f() = arctan. Discutere al variare di a il numero delle soluzioni di f() =a e f() = a, dove + f() = log

4 Polinomi di Taylor Calcolare i polinomi di Taylor di ordine e centro 0 delle seguenti funzioni: f() =(+3) log(+) f() = log p! + e sin p! +5 f() = log 3p +3 f() =sin e cos(3) f() = e + + Calcolare il polinomio di Taylor di centro 0 e ordine 3 di f() =(+sin) (cos +sin ) f() = sin(tan ) Calcolare i seguenti iti usando i polinomi di Taylor: e sin 3 log(cos()) ( + ) 3 e sin e p + 3 ( + 3) log(+) ( + 4) log(+) + cos cos sinh sin sin cosh cos log(cos )) 4sinlog( + ) arctan sin e 3 Esercizi vari Provare che se f è pari allora f 0 è dispari e se f è dispari allora f 0 è pari. Dedurre che la derivata seconda di una funzione pari è pari e di una funzione dispari è dispari. Trovare il dominio di log(e ) Trovare il dominio di log(e ) Provare che f() = arctan + log è invertibile nel suo dominio, e calcolare la derivata di f in /4 7

5 Dare un esempio di una funzione f con un punto angoloso in 3, tale che f() =!+ + e f() =! Dare un esempio di una funzione f con un punto di cuspide in 3, tale che f() =!+ + e f() =! Dare un esempio di una funzione continua e strettamente decrescente con un punto angoloso in =3ef 0 (3) =. Discutere al variare di a R gli estremi relativi della funzione se apple a f() = ( ) se >a 8