Sistemi di coordinate. Moto nello spazio tridimensionale. Coordinate cartesiane ortogonali: z P = P(x,y,z) x Coordinate cilindriche: z.
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- Cecilia Filippi
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1 Moto nello spio tridimensionle L loliione spio-temporle di un evento - triettori e posiione nell triettori l vrire del tempo - l posiione rispetto un PUO O DI IFEIMEO sistem di oordinte spili origine O i.e. di un punto ritrrio sistem di ssi orientti rispetto i quli misurre gli spostmenti (distne e/o ngoli) l vrire del tempo ell Meni lssi ( newtonin ), le proprietà geometrihe dello spio sono le stesse in ogni punto dello spio lo spio e isotropo (quelle dell geometri eulide ) Il tempo in Meni lssi, è un prmetro ssoluto he ordin l suessione degli eventi nell stess mnier in ogni punto dello spio ed in tutti i sistemi di oordinte (nhe in moto reltivo uno rispetto ll ltro) : esso è misurto d orologi (sistemi fisii he esiisono fenomeni periodii) il ui proedere è ssunto essere lo stesso in tutti i punti dello spio e indipendentemente dl loro stto di moto ssolute del onetto di ontemporneità di eventi in punti diverso dello Fisi I 1 spio L posiione puo essere individut dl rggio vettore r r ( u + ( u oordinte rtesine r + tn(θ ) ( r( os( θ ( ) ( r( sin( θ ( ) rispetto un origine O oordinte polri Fisi I 1 Sistemi di oordinte Coordinte rtesine ortogonli: P P(,,) Coordinte ilindrihe: ϕ Coordinte sferihe : θ r r ϕ r P P(,ϕ,) P P(r,ϕ,θ) Fisi I 3 Grnde vettorile: introduione Considerimo l posiione di un punto P nello spio rispetto d un punto O preso ome riferimento. Devo fornire un direione, un verso e un modulo (he ne speifi l distn ioe l grnde in un unità di misur) r prototipo di un grnde vettorile: direione modulo di r modulo, direione e verso sono proprietà intrinsehe dell grnde vettorile ( indipendenti dl sistem di oordinte selto per rppresentrle) - definito un sistem di oordinte, nello spio tridimensionle un grnde vettorile è individut d tre numeri, omponenti del vettore he l rppresentno nel sistem o - le omponenti di un vettore soddisfno determinte proprietà di trsformione per mimenti del sistem di oordinte, in modo tle d rispettre l invrin delle Fisi proprietà I intrinsehe del vettore. 4 O r P
2 vettori Modulo Versore: vettore di modulo unitrio Direione Verso Operioni :. Moltipliione per uno slre k k Versore u u modulo: k Somm di due vettori di versori u Fisi I u + u 5 u u regol del prllelogrmm + Somposiione di un vettore lungo due direioni u, u u Versori : oordinte rtesine Versore u : vettore di modulo unitrio indi un direione e un verso su di ess Versori degli ssi oordinti : u (1,,) u (,1,) u (,,1) u u Espressione di un vettore o somposiione in funione dei versori degli ssi oordinti : Versore u di :vettore di modulo unitrio prllelo e oonorde d u u + u + u 1,,, u Vettore rppresentto ttrverso le sue proieioni sugli ssi rtesini u Fisi I 6 u u + u + u u 3 Operioni on i vettori in oordinte rtesine Moltipliione per uno slre s u + u + u ( s,, ) s s u + s u + s u (s, s, s ) differen i vettori differen di due vettori somm del primo on l opposto del seondo regol del prllelogrmm d - +(- ) - d - d - d - d Somm di due vettori in oordinte rtesine regol del prllelogrmm + ( u + u + u ) + ( u + u + u ) (,, ) Fisi I Proprietà ommuttiv : + + Fisi I 8 4
3 Prodotto slre di due vettori Compito 1//17 Dinmi del Punto: Un prtiell di mss m15 g sle su un guid semiirolre sr fiss, di rggio.5 m on veloit' iniile v 15 m/s, e rggiunge l sommit' on veloit' v 1.5 m/s. Clolre: ) L'impulso J trsferito ll guid E un quntità slre: s osϑ s s in prtiolre: ( osϑ ) ( osϑ ) u u u 1 u u u u u θ Proieione di sul vettore Proieione di sul vettore u Fisi I 9 Fisi I 1 5 Prodotto slre in oordinte rtesine e modulo di un vettore Prodotto slre ont. Dlle proprietà preedenti, è file rivre l espressione del prodotto slre in funione delle oordinte rtesine dei vettori : ( u + u + u ) ( u + u + u ) u + u 1 u Vle l proprietà distriutiv: " ( + ) d d osϑd ( osϑ + os ϑ ) osϑ + osϑ + θ θ θ d osθ osθ dosθ d osθ + osθ Modulo di un vettore + + Fisi I 11 Fisi I 1 6
4 Coseni direttori e proieione di un vettore su un sse : u osα Proieione di sull sse u os β... sull sse u osγ... sull sse os α + os β + 1 os α + os β + os γ u u u (1,,) u (,1,) u (,,1) α γ os γ Fisi I 13 u Es.. Un prtiell si spost d A(1,,3) B(1,3,1). Si determinino i oseni direttori dei vettori iniile e finle e il vettore spostmento OA A sqrt(1+4+9) sqrt(13) A A osα à osα 1/sqrt(13) osβ /sqrt(13) osγ 3/sqrt(13) BA vettore spostmento (1-1,3-,3-1) (,1,) Es 3. Dti i due punti nel pino A(1,1,1) e B(,-1,3) si determini l espressione del versore u he individu l direione ed il verso del Vettore spostmento d A B, vettore (B-A). (B-A) (-1,-1-1,3-)(1,-,1 ) B-A sqrt( 1+4+1) sqrt(6) U B-A (1/sqrt(6), -/sqrt(6), 1/sqrt(6) ) Fisi I 14 7 E un vettore: Modulo: Direione: sinθ perpendiolre l pino individuto d e Verso: definito dll regol dell mno destr (o dell vite destrogir ) Vlgono le proprietà : - nti-ommuttiv : - distriutiv: Prodotto vettorile di due vettori Fisi I 15 θ ( ) ( + ) + Prodotto vettorile in oordinte rtesine u u u u u u u u u u π/ u u u Espressione del prodotto vettorile in funione delle oordinte rtesine : ( u + u + u ) ( u + u + u ) ( u u ) + ( u u ) +... ( u u ) u ( ) u ( ) u + ( ) u uu u In form mtriile : " Fisi I 16 u 8
5 1 ) Un punto mterile P si spost nel pino (,) dll origine O degli ssi oordinti di un lunghe s 1 3 m in direione e suessivmente di s 4 m nell direione he form un ngolo θ3 o on l direione. Si sriv l espressione nliti delle omponenti del vettore spostmento totle r (r,r ) e si determi l distn dll origine del punto finle P: r... r.. r s 1 (,3) s (4 os(3),4sin(3) ) r(+4 os(3), 3+4 sin(3) ) r sqrt(4 os(3) sin(3) os(3) sin(3) ) Sqrt( sin(6) ) )Due vettori e (3,4) formno un ngolo θ45 o ed il loro prodotto slre vle s 5. Clolre il modulo del vettore : 3) Dti i vettori A 3u on un ngolo di 36 on sse negtivo e B 7u onorde on sse positivo, lolre i moduli dei vettori CA+B e DA-B. Clolre le omponenti in un sistem di ssi rtesini. ( os , sin36.59) ispost.a(-.4, 1.76), B(7,) C4.18u D1.34u. C(-.4+7, 1.76) Fisi I 17 Fisi I 18 9 Sistemi di oordinte : l posiione di un punto e sempre individut d tre oordinte Coordinte rtesine ortogonli: P P(,,) Coordinte ilindrihe: ϕ Coordinte sferihe : θ r r ϕ r P P(,ϕ,) P P(r,ϕ,θ) Fisi I 19 Fisi I 1
6 r ( Moto nel pino Vriione dell posiione v dr Δr Δs r( t + Δ ds L posiione puo essere individut dl rggio vettore r Δs Δr ro ord rispetto un origine l limite, per Δtà, ord e ro oinidono lim Δr lim Δs Δt Δt u è il versore tngente ll triettori nel punto u dove si lol l derivt. d informione sullo spostmento. In modulo d r dr ds L veloità nel pino Coordinte rtesine dr d d v u + u vu + vu v v + v Coordinte polri : r, θ v r v θ d v veloità rdile v r d v dr d( r ur ) dr dur v ur + r dr dθ ur + r uθ vrur + vθ uθ dr veloità trsvers dθ vθ r L veloità Fisi I è sempre tngente ll triettori e h modulo 1 Coordinte urvilinee dr ds v u ds v Fisi I tngente ll triettori (fig. in slide 18 ) ppresentione he mostr ome l veloit si 11 L elerione nel pino ds ρ dϕ ds ρ dϕ dv v u + u ρ u + u + + dv d r v v u omponenti rtesine Se il moto è urvilineo, è sempre Fisi divers I d ero e dirett verso l onvità 3 dv du u + v L urv può essere pprossimt lolmente un trtto di ironferen on entro in C e rggio di urvtur CPρ d u dϕ 1 ds v u u u ρ ρ dv dv dv u + u u + u + v ( 6 t 4) u +8 u on t>. Determinre : le dimensioni dei prmetri e D. L istnte in ui l veloit e null e l istnte in ui l veloit e // sse. Fisi I 4 1
7 Fisi I 5 Fisi I 6 13 Moto irolre θ s L triettori è un ironferen (o un ro di ironferen) à utiliimo oordinte polri Il rggio vettore h ome modulo il rggio di urvtur L posiione viene individut d s( θ( v v u d ω θ r r v s ( o d θ ( veloità ngolre ds dθ v vθ ω L veloità mi ontinumente direione à il moto è elerto (ome ogni moto urvilineo) v ω dv dω α θ dω d elerione normle elerione tngente elerione ngolre sempre rivolt verso il Fisi entro I 7 α Moto irolre uniforme v ostnte, ω ostnte, α v ω ostnte θ s Legge orri: Moto periodio θ( θ + ωt s( s + vt π π v ω Le proieioni sugli ssi rtesini: osθ os( θ + ω sin θ sin( θ + ω Desrivono due moti rmonii, tr loro in qudrtur, on pulsione UMEICAMEE ugule ll veloità ngolre Unità di misur [ω] rdinti/seondi rd/s Fisi I 8 14
8 Moto irolre uniformemente elerto ostnte, α ostnte ω ω + α t, θ θ + ω t + ω ( ω + α t, ) 1 vriile Unità di misur [α] rd/s Fisi I 9 α t Le equioni hnno form nlog quelle del moto rettilineo uniformemente elerto e vievers, dθ dω θ (, ω(, α( θ ( θ + ω( ω( ω + α( otione vettorile L direione dell veloità ngolre è perpendiolre l pino del moto Il verso viene o dll regol dell vit (vtppi) dω Il vettore elerione ngolre α se ω h direione fiss à α h l stess direione Il verso dipende dl segno dell vriione di ω QUAO VISO VALE SOLO PE IL MOO CICOLAE v ω r r v ω r r sin ϕ dv d (ω r ) " dω dr r + ω α r + ω v + Fisi I 3 ϕ 15 Oppure ω π / Τ Fisi I 31 Fisi I 3 16
9 θ Le equioni del moto sono: v t v( v + v gt u v osθ u + ( v sinθ g u ostnte v Moto prolio Condiioni iniili (t ): prte dll origine v v osθ u + v sin θ u g g u v u + v u (, g) vriile vt v osθ t ( 1 v sinθ t osθ ( gt g ( ) tnθ v θ os Equione dell triettori Fisi I (prol rivolt verso il sso) 33 t v (1) Moto prolio () L lte mssim: ondiione d v oppure d L prol inontr l sse in due punti: Condiione in (1) ( ) tnθ g A sol.: v os θ 1) (ll origine) ) G : gittt v osθ sinθ v sinθ G M g g M θ v sin ( M ) g L gittt mssim G ondiione: empo di volo: tg tm v d G Il tempo di slit è ugule quello di dises dθ L veloità l suolo e ugule quell iniile (1) v( M ) v o v θ 45 Fisi I GM 34 g 17 ( v sinθ g Fisi I 35 Fisi I 36 18
10 Fisi I 37 Fisi I Fisi I 39 Fisi I 4
11 Moto prolio (3) Sen grvit Moto prolio (4) on grvit Fisi I 41 Fisi I 4 1
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