Università degli Studi di Padova Dipartimento di Scienze Statistiche Corso di Laurea Triennale in. Statistica Economia e Finanza

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1 Universià degli Sudi di Padova Diparimeno di Scienze Saisiche Corso di Laurea Triennale in Saisica Economia e Finanza RELAZIONE FINALE UN TEST PER L AUTOCORRELAZIONE BASATO SULLO STIMATORE DI CAUCHY Relaore: Prof. Luisa Bisaglia Diparimeno di Scienze Saisiche Laureanda: Chiara Pasrello Maricola N Anno Accademico 2013/2014

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3 Sommario Inroduzione... 5 Capiolo 1 Un es per l auocorrelazione basao sullo simaore di Cauchy Inroduzione Il es di Cauchy Alri due es per la correlazione Il es di Ljung-Box Il es di Moni Capiolo 2 Un es per la bonà di adaameno di modelli ARMA soosimai Inroduzione Una variane del es di Cauchy Capiolo 3 Sudio di simulazione Inroduzione Livello empirico dei es Livello empirico con disribuzioni asinoiche Livello empirico con meodo Mone Carlo Poenza empirica dei es Poenza empirica per AR(1) Poenza empirica per ARMA soosimai Conclusioni Appendice A.1 Codice R per livello empirico con disribuzioni asinoiche e dai WN A.2 Codice R per livello empirico con algorimo MC e dai AR(1) A.3 Codice R per poenza empirica per dai AR(2) soosimai con AR(1) Bibliografia

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5 Inroduzione Queso lavoro rae spuno dall aricolo A Cauchy esimaor es for auocorrelaion di Colin M. Gallagher, Thomas J. Fisher & Jie Shen (2014), in cui gli auori propongono un es basao sullo simaore di Cauchy per verificare l ipoesi nulla di incorrelazione seriale. Nella mia esi viene presenao queso nuovo es per la correlazione seriale in una serie emporale sazionaria osservaa. Quando si ha a che fare con serie di numerosià limiaa, ad esempio pochi anni di dai mensili, il es più comunemene implemenao di Ljung-Box (LB) per l'auocorrelazione ha poco poere; perano può essere uile avere a disposizione dei es più efficaci nel riconoscere la presenza di correlazione significaiva con ridoe numerosià campionarie. Nell aricolo viene sviluppao un es che soddisfa proprio quese richiese; gli auori sosengono infai che il es basao sullo simaore di Cauchy sia più poene nel deerminare la correlazione in piccoli campioni rispeo ad alri es radizionali basai sulla funzione di auocorrelazione campionaria. Lo simaore di Cauchy era già sao considerao precedenemene in leeraura per la sima di parameri in processi auoregressivi (Gallagher, 2001), per l idenificazione del modello (Gallagher, 2002), e per calcolare inervalli di confidenza per parameri auoregressivi (So e Shin, 1999, Gallagher e Tunno, 2008). Nell aricolo queso es di Cauchy (abbreviao in seguio con CT, per Cauchy Tes) per la correlazione seriale viene poi modificao per ricavare una saisica di bonà di adaameno per modelli ARMA soosimai. I comporameni in campioni finii del es di Cauchy e della sua variane sono analizzai con uno sudio di simulazione e vengono confronai con la saisica di Ljung-Box (LB) e il es di Moni. Lo scopo di quesa esi è, dunque, quello di replicare quano eseguio dagli auori nell aricolo sopra ciao e confermare i risulai da essi oenui, verificando che la nuova saisica proposa sia effeivamene più poene rispeo alle alre. 5

6 La esi è suddivisa in re capioli: i primi due cosiuiscono la pare eorica, menre l ulimo ripora i risulai delle simulazioni. Nel primo capiolo si inroduce la saisica basaa sullo simaore di Cauchy e ne viene derivaa la disribuzione asinoica soo l'ipoesi nulla di dai indipendeni e idenicamene disribuii (iid). L ulima pare del capiolo è dedicaa alla descrizione degli alri due es, LB e Moni, che verranno confronai col CT. Nel secondo capiolo si accenna al problema della bonà di adaameno ai dai di un modello ARMA, si descrive la variane del CT da applicare come es di correlazione ai residui di ARMA soosimai, e viene derivaa la disribuzione asinoica. Nel erzo capiolo sono, infine, sineizzai gli esii degli esperimeni condoi per confronare il comporameno delle saisiche propose; i livelli e le poenze empiriche dei es sono sai ricavai uilizzando sia le rispeive disribuzioni asinoiche, sia un algorimo di ipo Mone Carlo. 6

7 Capiolo 1 Un es per l auocorrelazione basao sullo simaore di Cauchy 1.1 Inroduzione Lo sudio della correlazione nell analisi empirica delle serie emporali è imporanissima per poer idenificare il modello che meglio si adaa ai dai, per migliorare l accuraezza delle previsioni e per eviare inferenza erraa sui parameri di regressione. Tuavia, se la correlazione non è presene c'è il rischio di aggiungere inuili complicazioni al modello, nonché errori nella fase di sima. È, quindi, un passo imporane verificare prima di uo l esisenza di correlazione seriale nel processo di sudio. Diamo allora una breve definizione di auocorrelazione. In un processo socasico sazionario, {X } con T, la funzione di auocovarianza dipende solo dalla disanza emporale (lag) k ra due variabili X e X +k e non dagli isani e +k, e può essere scria nel seguene modo: X X, k 0, 1, 2,..., k E k k Nei processi socasici sazionari l auocovarianza assume un ruolo fondamenale, in quano è un indice delle relazioni lineari esiseni ra coppie di v.c. componeni il processo socasico prese con uno sfasameno pari a k. Inolre, l auocovarianza di un processo socasico sazionario è una funzione pari di k, cioè γ k =γ -k. Dao un processo socasico sazionario X di media μ, varianza σ 2 e funzione di auocovarianza γ k, la funzione di auocorrelazione (o ACF, da AuoCorrelaion Funcion) è definia come: k, k k, k 0, 1, 0 2,... 7

8 L ACF è una misura della correlazione ra X e X +k e fornisce le sesse informazioni della funzione di auocovarianza, in quano ne è la normalizzazione, ma ha il vanaggio di essere un numero puro, indipendene dall unià di misura di X. La funzione di auocorrelazione soddisfa le segueni proprieà: 1 0 k k 1 k (è una funzione pari) Si può, inolre, definire la funzione di auocorrelazione parziale (PACF) per enere in considerazione che la correlazione ra due variabili può essere dovua al fao che esise effeivamene un legame lineare direo ra le variabili o al fao che quese ulime sono correlae con una erza variabile. Molo spesso nelle serie soriche la correlazione ra X e X -k può essere dovua alla correlazione che quese variabili hanno con X -1, X -2,, X - k+1. La PACF misura l auocorrelazione ra X e X -k al neo delle variabili inermedie. La funzione di auocorrelazione parziale è dunque pari alla correlazione condizionaa P Corr X, X X,..., X ). k ( k 1 k1 8

9 1.2 Il es di Cauchy Sia {X } una serie emporale debolmene sazionaria osservaa al empo = 1, 2,..., n. Dal momeno che possiamo sempre sorarre la media campionaria, senza perdia di generalià assumeremo che E(X ) = 0. Consideriamo l equazione X ( k) X Z, k = 1, 2,..., m, (1) k ( k) dove ρ(k) è la correlazione al lag k, e (k ) Z ha media 0 e varianza 2 2 E( X ( k) X k ). Per esempio, se {X } è un processo auoregressivo di ordine 1, l equazione (1) assumerà la forma: X 1, X con {ε } che consise di una successione di v.c. indipendeni e idenicamene disribuie (iid) secondo una N(0,σ 2 ), e perano (k ) Z si ricava per differenza come Z ( k) X k X k. D alra pare, se {X } è una successione iid allora per ogni k vale che Z ( k) Z X. Si noi che per cosruzione lineare di X basao su X k. (k ) Z e X k sono incorrelae e ρ(k)x k è il miglior prediore Se {X } è un processo gaussiano, allora E( X X X (1.1) k ) ( k) k Dall equazione (1.1) si noa che, per ogni funzione g misurabile, E ( X k g( X k )) ( k) E( X k g( X )). In paricolare, sia Noiamo che g r ( X k ) X k Sk, con r 0 e S = sign(x ). r r1 E( X X k Sk ) ( k) E X k, 9

10 o equivalenemene E( X X S ). (2) r k k ( k) r1 E X k Prendendo r = 1, l equazione (2) corrisponde all usuale auocorrelazione al riardo k; r alri valori di r danno la correlazione ra X e X S. Per ogni successione di v.c. indipendeni, ρ(k) = 0 per ciascun valore di k diverso da zero. Il caso speciale di r = 0 corrisponde alla correlazione ra {X } e la serie dei segni {S }; da qui in poi, consideriamo ρ(k) daa dall equazione (2) con r = 1. k k Per un qualsiasi processo ARMA inveribile, con innovazioni iid, la funzione ρ(k) daa dall equazione (2) soddisfa le sesse proprieà e quindi assume anche gli sessi valori della funzione di auocorrelazione. Per processi ARMA non inveribili, consideriamo la correlazione ra valori preseni del processo e valori passai della serie dei segni. Per verificare se è presene correlazione significaiva in almeno uno dei primi m riardi, il sisema di ipoesi che andiamo a verificare è: H H 0 1 : ( k) 0, 2 : ( k) 0 k 1, 2,..., m per qualche 1 k m. In modo analogo si può valuare se la norma euclidea del veore ρ = (ρ(1),..., ρ(m)) è zero. Ora deriviamo una nuova saisica es per il sisema d ipoesi considerao e ne ricaviamo la disribuzione asinoica soo l ipoesi nulla di v.c. iid. 10

11 Per simare ρ(k) dai dai, possiamo ricorrere allo simaore dei momeni n r X X k Sk k 1 ˆ r ( k), (2.1) n r1 X k k 1 dove per r = 1 la (2.1) corrisponde alla usuale funzione di auocorrelazione campionaria e per r = 0 dà l espressione dello simaore di Cauchy per l auocorrelazione al riardo k. Diversamene dalle solie funzioni di covarianza e correlazione, la versione di Cauchy non è simmerica nei suoi argomeni. Per il es di correlazione presenao in quesa sezione, vengono usai solo valori posiivi di k, menre per il es di bonà di adaameno del Capiolo 2 useremo valori di k sia posiivi che negaivi. Ora consideriamo la seguene espressione: Z ( k) S ( ˆ ( k) ( k)) k X k 0. Per dai iid (ipoesi nulla), gli addendi a sinisra dell uguaglianza formano una successione dipendene da k ale che ( n k) 1/ 2 2 Z Sk N(0, k ), con che indica convergenza debole e σ k 2 = σ 2 per k = 1, 2,..., m. Per successioni simmeriche e iid, il asso di convergenza è abbasanza veloce e la disribuzione congiuna di ( Z,..., k1s1 Z nsnk ) è uguale a quella di ( Z k 1,..., Z n ) (si veda il Teorema 3.1 di Gallagher e Tunno, 2008). Inolre, per dai gaussiani la disribuzione della sommaoria è esaamene normale per ogni n. 11

12 12 È facile vedere che, soo l ipoesi nulla di dai iid, per ogni k k k k S X X k S Z ) ˆ 0 (, e dal momeno che per ogni, s,, 0, ; ) ( ), ( alrimeni l k s Z Var S Z S Z Cov l s s k ramie il eorema di Cramér Wold si giunge al seguene risulao. TEOREMA 2.1 Se {X} è una successione iid, H 0 è vera e ) (0,...,, 1 1 D N m n S X n S X m m, dove D è una marice diagonale con k-esimo elemeno 2 2 k. Noiamo che se i dai sono iid e gaussiani, allora le componeni del veore hanno ciascuna disribuzione marginale normale e sono ra loro incorrelae. Tuavia, se le componeni non sono indipendeni, la normalià della disribuzione congiuna vale solo al limie anche in quel caso. Per verificare il nosro sisema di ipoesi possiamo usare la norma euclidea del veore delle correlazioni campionarie di Cauchy sandardizzae, 2 ˆ ) ( ) ( k k k n S X k, dove k ˆ è un qualsiasi simaore consisene di σ k.

13 Usando risulai sandard 1, si oiene, quindi, il seguene risulao. COROLLARIO 2.2 Se {X } è una successione iid, H 0 è vera e m k1 2 2 ( ( k)) m, dove liberà. 2 m indica una variabile casuale con disribuzione chi-quadrao con m gradi di La varianza σ 2 k può essere simaa soo l ipoesi nulla sfruando i valori osservai di {X }, ma, per migliorare la performance delle nosre simulazioni, in seguio simeremo 2 σ k soo l ipoesi alernaiva con n 2 ( X ˆ 1( k) X k ) 2 k 1 ˆ k. (3) ( n k) Useremo poi la correlazione campionaria per simare ρ, dal momeno che ha un errore quadraico medio (MSE) minore rispeo allo simaore di Cauchy dell auocorrelazione. La saisica es del Corollario 2.2 è il nosro es di Cauchy 1, o CT, con cui ci proponiamo di verificare un ipoesi nulla di dai iid conro una generale alernaiva di correlazione seriale. 1 Per uleriori deagli, dimosrazioni e approfondimeni circa la saisica rimando all aricolo di riferimeno (Gallagher, Fisher e Shen, 2014). 13

14 1.3 Alri due es per la correlazione In quesa sezione vengono presenai alri due es per verificare la presenza di auocorrelazione nei dai, il es di Ljung-Box e il es di Moni, i quali saranno poi messi a confrono nel Capiolo 3 con il es di Cauchy appena ricavao. Recenemene, sono sae inrodoe in leeraura mole nuove saisiche, ra cui es asimmerici basai sul deerminane (Peña e Rodrìguez, ) e sulla raccia (Fisher e Gallagher, 2012) della marice di auocorrelazione campionaria, es asimmerici pormaneau, come una versione asimmerica del es dello simaore di Cauchy (simile a quella di Mahdi e McLeod, 2012), e variani pesae di Ljung-Box e di Moni (Fisher, 2011). Tuavia, per brevià, nelle prossime analisi saranno ralasciai confroni con quesi ulimi, e la nosra aenzione sarà focalizzaa solo sui es CT, LB e Moni radizionali. I es LB e Moni vengono enrambi considerai saisiche pormaneau. Un es pormaneau è un ipo di es usao per verificare ipoesi saisiche in cui l ipoesi nulla è ben specificaa, menre l ipoesi alernaiva è più libera. I es così cosruii possono avere la proprieà di essere almeno moderaamene poeni conro una generale e vasa gamma di possibili scosameni dall ipoesi nulla. Così facendo, nella saisica applicaa, un es pormaneau fornisce una via di procedere come un check generale in una siuazione dove ci sono moli modi in cui un modello può discosarsi dal processo generaore dei dai. L uso di quesi es evia di dover essere roppo specifici circa il paricolare ipo di scosameno che viene risconrao. La saisica di Ljung-Box, che è una versione miglioraa del es di Box-Pierce, e quella di Moni sono esempi di es pormaneau uilizzai nell analisi delle serie emporali per verificare la presenza di auocorrelazione. Procediamo dunque con la loro descrizione. 14

15 1.3.1 Il es di Ljung-Box Il es di Ljung-Box (che prende il nome da Grea M. Ljung e George E. P. Box, 1978) è un ipo di es saisico uilizzao per valuare se in una serie emporale ci sono alcune auocorrelazioni significaivamene diverse da zero. Invece di procedere analizzando ogni singolo lag disinamene, consise in una verifica complessiva di assenza di correlazione "globale" sulla base di un cero numero di riardi, conro una generica alernaiva di correlazione, e per queso è considerao un es pormaneau. Queso es è spesso conosciuo come Ljung-Box Q es, ed è sreamene legao al es di Box-Pierce (da George E. P. Box e David A. Pierce, 1970). In verià, la saisica es Ljung-Box fu descria in modo esplicio nel documeno che porò all'uso del Box- Pierce. Ques ulimo è una versione semplificaa del es di Ljung-Box, da cui è sao sosiuio nella maggior pare delle applicazioni moderne, perché i successivi sudi di simulazione ne mosrarono il scarso rendimeno. Sempre araverso sudi di simulazione è sao dimosrao che la saisica LB è preferia a BP per avere performance migliori soprauo in piccoli campioni. Diamo allora una definizione formale di quesa saisica. Il es di Ljung-Box ha lo scopo di verificare il seguene sisema di ipoesi: H H 0 1 : : 0 per almeno un i 1 i m, m 1,2,... i 2 k m H H 0 1 : dai incorrelai : dai correlai La saisica es è Q n( n 2) m k 1 ˆ 2 k n k dove n è la dimensione del campione di dai, ˆ k è la funzione di auocorrelazione campionaria al riardo k, e m è il numero di auocorrelazioni prese in esame. 15

16 Per dai indipendeni e idenicamene disribuii, la saisica es si disribuisce approssimaivamene come un. 2 m Tuavia, è opporuno soolineare che il es di Ljung-Box è comunemene uilizzao lavorando con modelli ARIMA come conrollo diagnosico per valuarne la bonà di adaameno. In queso caso, viene applicao per verificare la correlazione dei residui del modello simao, e non della serie originale, uilizzando come auocorrelazione campionaria dei residui osservai. ˆ k la funzione di Quando applicao ai residui di un modello ARIMA simao, i gradi di liberà del chiquadro devono essere aggiusai applicando un correivo, per enere in considerazione la sima dei parameri. Dao un ARIMA(p,0,q), soo l ipoesi di correa specificazione, la disribuzione asinoica del es LB è 2 m pq, con gradi di liberà pari a m-p-q, dove p e q sono gli ordini, rispeivamene, della pare auoregressiva e di quella a media mobile nel modello simao. Ad esempio, sudiando i residui di un processo AR(1), come faremo in seguio, il es 2 avrà disribuzione m Il es di Moni Una saisica simile al es di Ljung-Box fu inrodoa da Moni (1994). Anche queso es è considerao un es pormaneau, e si pone l obieivo di verificare il medesimo sisema di ipoesi; uavia, il es di Moni si differenzia dal precedene in quano al poso dell auocorrelazione campionaria, auocorrelazione parziale, Pˆ k, per k = 1, 2,, m. ˆ k, uilizza la funzione di 16

17 La saisica es è M n( n 2) m k1 ˆ 2 Pk n k dove n è la dimensione del campione, Pˆ k è l auocorrelazione parziale al riardo k, e m è il numero di riardi considerai. Per quano riguarda la sua disribuzione asinoica, vale quano deo per il es di Ljung- Box: soo l ipoesi nulla di dai incorrelai, la saisica es è approssimaivamene disribuia come un, menre se viene applicaa ai residui di un modello ARIMA 2 m simao e non alla serie originale avrà disribuzione 2 m pq, poso che il modello ARIMA sia correamene simao. Precedeni sudi di simulazione hanno dimosrao che la performance del es di Moni è comparabile a quella di Ljung-Box, ma è più poene per processi a media mobile soosimai; viceversa, LB ha presazioni migliori se viene soosimao l ordine della pare auoregressiva. Il es di Moni è sao scelo nell aricolo di riferimeno perché, diversamene dal solio, si basa sulla funzione di auocorrelazione parziale, ed inolre fornisce un alro ermine di confrono. 17

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19 Capiolo 2 Un es per la bonà di adaameno di modelli ARMA soosimai 2.1 Inroduzione Nell aricolo di Gallagher, Fisher e Shen a cui facciamo riferimeno viene presenaa una variane del es di Cauchy da applicare ai residui per valuare la bonà di adaameno, quando si lavora con modelli ARMA soosimai. Dopo l idenificazione del modello e la sima dei parameri, il passo finale è quello di valuarne l adeguaezza mediane opporune analisi e es diagnosici. Tra le assunzioni fondamenali da esaminare ci sono quelle che riguardano i residui. Sia {X } un processo auoregressivo a media mobile sazionario ed inveribile, scrio nella forma p i1 i q 0 j j j1 X X, (4) i con {ε } processo whie noise (cioè v.c. a media nulla, varianza cosane e incorrelae). Per ogni modello simao possiamo calcolare i residui simai, veri ε non osservabili. ˆ, che sono sime dei Il conrollo dell adeguaezza del modello ai dai è effeuao araverso un aena analisi della serie dei residui ˆ, alla base di cui c è la considerazione che se il modello è sao correamene idenificao e simao, allora sui residui ˆ devono poersi risconrare le ipoesi fae a priori sui disurbi ε. Tra quese la più imporane riguarda l incorrelazione seriale; infai, se i residui risulano incorrelai, significa che abbiamo modellao adeguaamene la sruura di dipendenza presene nei dai. La serie dei residui può essere raaa come una serie sorica a sé sane per la quale è possibile calcolare le funzioni di auocorrelazione empiriche. Per verificare l assenza di correlazione si può procedere in diversi modi, per esempio, esaminando le funzioni di auocorrelazione empiriche (ACF e PACF) dei residui, oppure araverso dei es. 19

20 E praica comune valuare la bonà di adaameno di un modello ARMA ramie un es pormaneau di significaiva correlazione. A al proposio si possono applicare ai residui del modello simao i es pormaneau ipicamene uilizzai nell analisi delle serie soriche, come il es di Ljung-Box o simili. Se il processo ARMA viene correamene idenificao, o evenualmene sovrasimao, il valore di ciascuna delle auocorrelazione ra i residui sarà approssimaivamene uguale a zero. Se invece il modello ARMA è soosimao, le auocorrelazioni si discoseranno da zero e assumeranno valori fino a 1. Un es di correa specificazione per valuare la bonà di adaameno del modello ai dai risulerà, perano, equivalene a un es che verifica l ipoesi d incorrelazione dei residui. 20

21 2.2 Una variane del es di Cauchy Il CT descrio nel capiolo precedene può essere modificao per deerminare la bonà di adaameno di un processo ARMA così specificao: x x... x z z 1... z 1 1 p p 1 q q, (5) dove {z } è una successione di v.c. iid di media zero e varianza σ 2 con P(z = 0) = 0. A al fine, simiamo il modello (5) usando il meodo della massima verosimiglianza o una qualsiasi alra procedura di sima con lo sesso comporameno asinoico del meodo dei minimi quadrai. Siano ora { ẑ } i residui simai del modello e ŝ = sign( ẑ ) i rispeivi segni. A differenza del CT del Capiolo 1 per cui sono sai usai solo valori posiivi di k, disinguiamo ra valori di k posiivi e negaivi, e modifichiamo il CT derivando una saisica cosruia coi residui simai ẑ invece che con la serie x. Per k > 0, consideriamo le due saisiche n zˆ ˆ ˆ sk k ( k) 1 e ˆ ( n k) sˆ ˆ ˆ zk k ( k) 1, ˆ ( n k) n dove ˆ è uno simaore consisene di σ. Vale il seguene Teorema: 21

22 TEOREMA 3.1 Se {X } è un processo che si può scrivere nella forma (5), allora per con n, ( ˆ( 1),..., ˆ( m), ˆ(1),..., ˆ( m))' N (0, W) I W ( I H) ( I H I H dove I è la marice idenica m m, H una marice di proiezione di rango p + q, e δ=(e z ) 2 / E(z 2 ). ), m Il corollario che segue può essere uilizzao per sviluppare un es di bonà di adaameno usando ˆ ( k ). COROLLARIO 3.2 Se {X } è un processo che si può scrivere nella forma (5), allora per 1 k m ˆ ( k) 2 m ˆ( k) k 1 2 Y 1 (1 ) Y 2 n, (1 ) Y dove Y 1, Y 2, e Y 3 sono variabili casuali indipendeni con disribuzione chi-quadrao con, rispeivamene, p + q, m p q, e m p q gradi di liberà. 2 3, 2 Per le dimosrazioni del Teorema e Corollario sopra enunciai si veda l aricolo di riferimeno (Gallagher, Fisher e Shen, 2014). 22

23 Capiolo 3 Sudio di simulazione 3.1 Inroduzione In queso capiolo sono sineizzai gli esii delle simulazioni condoe per confronare il comporameno delle saisiche propose nei precedeni capioli. L aenzione è rivola ad indagare i livelli empirici (size, in inglese) e le poenze empiriche dei es ad un livello di significaivià del 5%. Vengono presenai i risulai che mosrano le siuazioni nelle quali il CT fornisce dei migliorameni rispeo agli alri meodi. Il risulao principale è che per piccoli campioni la saisica proposa è in grado di deerminare più facilmene l auocorrelazione rispeo agli alri es basai sull auocorrelazione campionaria. Inolre, la saisica di Cauchy funziona relaivamene bene al crescere della numerosià campionaria. Tipicamene, le regole di decisione per un es si basano sui quanili della relaiva disribuzione asinoica; in queso capiolo sudieremo il comporameno delle nosre saisiche uilizzando sia le loro disribuzioni asinoiche, sia un meodo di ipo Mone Carlo esposo da Lin e McLeod (2006). I programmi per le simulazioni sono sai scrii con il sofware saisico R ( Alcuni dei comandi di R uilizzai per le analisi saisiche sono riporai in Appendice. In generale, i risulai oenui sono in linea con quelli suggerii dall aricolo di riferimeno Gallagher, Fisher e Shen (2014). 23

24 3.2 Livello empirico dei es Un aspeo imporane da enere in considerazione quando si vuole verificare la presenza di correlazione in una serie emporale è la scela del riardo m al quale condurre i es. Sono sai proposi vari suggerimeni in leeraura, ma non è noo un riardo oimale. Negli sudi che seguono, useremo i riardi m n e m n 3, basandoci su alcune regole del pollice in leeraura. Come già discusso riguardo al Corollario 2.2 del primo capiolo, nella nosra saisica CT può essere usao un qualsiasi simaore consisene per la deviazione sandard σ k. Per processi whie noise, l errore quadraico medio (MSE) calcolao dai dai funziona bene, ma si possono migliorare le presazioni dei es uilizzando lo simaore dall equazione (3). 2 ˆ k dao Iniziamo la nosra analisi sudiando il livello empirico delle varie saisiche es in campioni finii, al variare della numerosià campionaria. Per empirical size o livello empirico si inende una sima della probabilià di rifiuare H 0 quando è vera, ovvero della probabilià effeiva di commeere un errore del I ipo. In queso sudio H 0 è l ipoesi di assenza di correlazione nella serie sorica oggeo di analisi; il livello di significaivià considerao è pari ad α=0.05, dove α è la massima probabilià d errore del I ipo. Vogliamo che la size simaa non risuli disora rispeo a quella nominale del 5%; un es che rifiua l ipoesi nulla, sbagliando, all incirca nel 5% dei casi, sarà un es con capacià discriminaorie, ra ipoesi nulla ed alernaiva, oimali Livello empirico con disribuzioni asinoiche Per valuare se la disribuzione asinoica delle saisiche fornisce una buona approssimazione della vera disribuzione dei es soo l ipoesi nulla, abbiamo ricavao il livello empirico dei es. A al fine sono sae generae s=10000 serie di dai iid disribuii secondo una N(0,1) al variare della numerosià campionaria n=(20, 30, 50, 100, 200, 500), e sono sai calcolai i quaro es: CT con MSE, CT con deviazione sandard simaa con l equazione (3), LB e Moni. 24

25 Successivamene i risulai oenui sono sai confronai con i valori criici ricavai dalle disribuzioni asinoiche dei es, facendo incremenare di un unià i conaori relaivi a ciascun meodo ogni vola che i rispeivi valori criici venivano superai. Con dai WN, ui i es si approssimano ad un 2 m, quindi, ad un livello di significaivià α=0.05, si rifiua l ipoesi nulla se il valore del es è maggiore del 95-esimo quanile di un chi-quadrao con m gradi di liberà. Infine, si è ricavaa la proporzione di saisiche es che superava il valore criico, calcolando i rappori ra i valori dei conaori e il numero oale s di serie soriche simulae, oenendo così una sima della probabilià effeiva (o empirica) dell errore di I ipo dei es. Per faciliare l inerpreazione, il numero di vole che nelle serie simulae è saa rifiuaa erroneamene H 0 è sao espresso in percenuale. I comandi R uilizzai compaiono in Appendice A.1, menre i risulai delle simulazioni con m n sono riporai in Tabella 1.1 e quelli con m n 3 in Tabella 1.2. Tes/n m n CT(MSE) 5.41% 5.42% 5.11% 5.49% 5.9% 5.3% CT(3) 8.43% 7.89% 6.66% 6.54% 6.24% 5.55% LB 5.42% 5.63% 5.79% 6.18% 6.21% 5.33% Moni 6.36% 5.55% 5.48% 5.50% 5.72% 5.08% Tabella 1.1 Livello empirico dei es per dai WN calcolao uilizzando le disribuzioni asinoiche e con m n. 25

26 Tes/n m n CT(MSE) 6.68% 6.96% 6.74% 7.44% 8.56% 8.88% CT(3) 11.68% 10.4% 9.64% 8.79% 9.27% 9.41% LB 7.1% 7.58% 8.42% 8.75% 9.85% 9.79% Moni 5.68% 5.78% 4.95% 4.01% 3.81% 2.67% Tabella 1.2 Livello empirico dei es per dai WN calcolao uilizzando le disribuzioni asinoiche e con m n 3. Dall osservazione dei risulai possiamo noare che quando la varianza è calcolaa con l equazione (3), in enrambe le abelle l ampiezza effeiva del es di Cauchy si discosa di molo dal valore eorico del 5%, menre simando la varianza con l MSE, la size è più soddisfacene, specialmene per m n. Tuavia, il livello empirico del CT con equazione (3) migliora al crescere della dimensione campionaria, abbassandosi in enrambi gli sudi e avvicinandosi al 5% nella prima abella per n=500. I risulai delle simulazioni per il es di Ljung-Box sono abbasanza soddisfaceni nella prima abella, menre nella seconda si allonanano dal 5% all aumenare di m. La saisica Moni sembra avere complessivamene buone capacià discriminaorie ra H 0 e H 1, con probabilià di commeere un errore del I ipo che si aggirano aorno al 5%, pur essendo sensibile a numerosià campionarie ridoe (n=20, Tab. 1.1). Vogliamo ora verificare la presenza di correlazione nella serie dei residui nel caso di un modello ARMA simao. In queso ipo di analisi, ha senso uilizzare solo l equazione (3) per simare la varianza, quindi qui procederemo calcolando un unico CT. Come spiegao in precedenza nella pare eorica della esi, se un modello del ipo (4) è correamene specificao, i residui risuleranno indipendeni e idenicamene disribuii. 26

27 In queso paragrafo non ci occuperemo di valuare la bonà di adaameno del modello ai dai ramie l analisi dei residui, ma ci limieremo a considerare i residui simai come una serie di dai iid su cui verificare la presenza o meno di correlazione. Rimandiamo i commeni circa l adeguaezza di modelli simai al paragrafo 3.3.2, con l applicazione della variane del CT del Capiolo 2. Procediamo dunque in modo analogo a prima per ricavare la size delle saisiche es usando le disribuzioni asinoiche. Ho generao serie da un modello AR(1) al variare dei valori assuni dal paramero auoregressivo pari a =(0.3, 0.6, 0.9); ho simao il modello e ho esrao i residui. Ho proceduo calcolando i re es CT, LB e Moni sui residui. In seguio ho confronao i risulai oenui con i valori criici ricavai dalle disribuzioni asinoiche di ciascun es (facendo aenzione che in queso caso, raandosi di residui, i gradi di liberà del chi-quadrao devono esser correi da m a m-p-q, dunque m-1) e infine ho calcolao la proporzione di valori assuni dai es maggiori dei valori criici. Per facilià di inerpreazione ho espresso in percenuale il numero di vole che nelle serie simulae H 0 è saa rifiuaa in modo errao. Le probabilià di commeere un errore del I ipo dei es al variare di n = (20, 30, 50, 100, 200, 500) sono riporae in Tabella 2.1 con m n e in Tabella 2.2 con m n 3. 27

28 n m n AR(1) =0.3 AR(1) =0.6 AR(1) =0.9 CT(3) 9% 7.78% 7.63% 6.46% 6.54% 5.69% LB 4.63% 4.77% 4.96% 4.85% 5.6% 5.43% Moni 6.51% 5.84% 5.71% 4.89% 5.57% 5.04% CT(3) 8.81% 8.49% 7.14% 6.45% 6.04% 5.98% LB 4.76% 5.42% 4.81% 5.3% 5.68% 5.6% Moni 5.99% 5.81% 5.24% 5.49% 5.29% 5.41% CT(3) 8.56% 8.66% 7.39% 7.08% 6.56% 6.28% LB 5.5% 5.46% 5.36% 5.94% 5.78% 5.6% Moni 6.66% 6.32% 5.39% 5.45% 5.1% 5.33% Tabella 2.1 Livello empirico dei es per residui esrai da modelli AR(1) simai correamene, calcolao uilizzando le disribuzioni asinoiche e con m n. n m n AR(1) =0.3 AR(1) =0.6 AR(1) =0.9 CT(3) 10.96% 9.26% 8.91% 8.86% 8.83% 8.9% LB 5.35% 5.74% 6.61% 7.26% 8.7% 9.56% Moni 5.62% 5.55% 4.94% 4.17% 3.66% 2.78% CT(3) 11% 9.84% 9.2% 8.89% 8.87% 8.97% LB 5.63% 5.91% 7.04% 7.4% 8.74% 9.48% Moni 5.48% 5.19% 4.81% 4.09% 3.5% 2.61% CT(3) 10.91% 9.83% 9.3% 8.92% 8.96% 9.17% LB 6.94% 6.77% 7.27% 7.72% 8.66% 9.74% Moni 5.58% 5.33% 4.66% 3.84% 3.52% 2.67% Tabella 2.2 Livello empirico dei es per residui esrai da modelli AR(1) simai correamene, calcolao uilizzando le disribuzioni asinoiche e con m n 3. 28

29 I livelli empirici oenui dalle saisiche LB e Moni si discosano dal valore nominale del 5% per basse numerosià campionarie, ma generalmene migliorano all aumenare di n. Il es di Cauchy proposo in alcuni casi sembra avere probabilià di rifiuare erroneamene H 0 molo maggiori del 5%, ma in generale con l incremeno di n si sabilizza e risula comparabile agli alri due es. Deduciamo allora che le performance di ui e re i es migliorano al crescere di n; infai si può noare che nella Tabella 2.1 con sono vicine al 5% per ogni valore di. m n per n=500 le size di ui i es Tuavia, dalla Tabella 2.2 emerge anche che ue le saisiche mosrano una cera sensibilià per valori elevai di m. Forunaamene, le moderne ecniche compuazionali rendono queso problema quasi irrilevane poiché valori criici e p-value possono essere deerminai dalla vera disribuzione delle saisiche es, ramie meodi Mone Carlo. Inolre, uilizzando la disribuzione Mone Carlo non c è bisogno di preoccuparsi di decidere se usare l equazione (3) o il MSE per simare la varianza nel Cauchy es per processi WN; infai, per oenere risulai migliori, si raccomanda di usare l equazione (3). Non essendo del uo soddisfai degli errori del I ipo oenui nelle simulazioni precedeni con le disribuzioni asinoiche, sfruando il meodo Mone Carlo nell algorimo proposo da Lin e McLeod (2006), nel prossimo paragrafo cercheremo di oenere una valida approssimazione della disribuzione campionaria delle saisiche es e performance migliori. Riporiamo alla fine di queso paragrafo dei grafici di confrono ra disribuzione asinoica (soo H 0 ) e disribuzione empirica dei es per dai WN (Figura 1.1, 1.2, 1.3) e per serie di residui di AR(1) (Figura 2.1, 2.2, 2.3), per alcuni valori di m, n e. Si può noare dalle figure che al crescere di n le due disribuzioni endono a coincidere. 29

30 Densiy Densiy Densiy Densiy Densiy Densiy Densiy Densiy Hisogram of es_ct Hisogram of es_ct_ es_ct es_ct_3 Hisogram of es_lb Hisogram of Moni es_lb Moni Figura 1.1 Dai WN, s=10000, n=20, m=n/3=7 Hisogram of es_ct Hisogram of es_ct_ es_ct es_ct_3 Hisogram of es_lb Hisogram of Moni es_lb Moni Figura 1.2 Dai WN, s=10000, n=50, m=n/3=17 30

31 Densiy Densiy Densiy Densiy Densiy Densiy Densiy Hisogram of es_ct Hisogram of es_ct_ es_ct es_ct_3 Hisogram of es_lb Hisogram of Moni es_lb Moni Figura 1.3 Dai WN, s=10000, n=100, m= n=10 Hisogram of es_ct_3 Hisogram of es_lb es_ct_ es_lb Hisogram of Moni Moni Figura 2.1 Dai da AR(1), s=10000, =0.3, n=20, m= n=4 31

32 Densiy Densiy Densiy Densiy Densiy Densiy Hisogram of es_ct_3 Hisogram of es_lb es_ct_ es_lb Hisogram of Moni Moni Figura 2.2 Dai da AR(1), s=10000, =0.6, n=50, m=n/3=17 Hisogram of es_ct_3 Hisogram of es_lb es_ct_ es_lb Hisogram of Moni Moni Figura 2.3 Dai da AR(1), s=10000, =0.9, n=100, m= n=10 32

33 3.2.2 Livello empirico con meodo Mone Carlo In quesa sezione analizziamo il comporameno delle saisiche quando i p-value sono calcolai sfruando l algorimo descrio da Lin e McLeod in Improved Peňa- Rodriguez pormaneau es. (2006). È raccomandao l uso di un es Mone Carlo quando si ha a che fare con campioni di dimensione n<1000. L algorimo proposo è essenzialmene equivalene ad un boosrap paramerico, che si rivela paricolarmene uile quando si raa di approssimare la funzione di disribuzione campionaria di uno simaore o di una saisica d ineresse. I passi da compiere rifacendosi a ale procedura sono i segueni: 1. Daa una serie sorica, idenificare il modello ARMA più appropriao ai dai, simarlo e calcolare le saisiche es, T, sui residui, che si suppone siano iid. 2. Scegliere il numero di replicazioni Mone Carlo, B. Tipicamene 100 B Iniziare il boosrap simulando un'alra serie da un modello ARMA con le sesse caraerisiche della serie originale usando come parameri i coefficieni simai oenui al Passo 1 e, come innovazioni, i residui simai sempre al Passo 1 ricampionai con reinserimeno; dopo aver simao anche queso modello e averne esrao i residui, calcolare le saisiche es, T*, su di essi. 4. Ripeere il Passo 3 per B vole, conando il numero di vole k in cui il valore delle saisiche es T* è maggiore o uguale a quello delle T oenue al Passo Il p-value per i es è dao da (k + 1)/(B + 1). 6. Rifiuare l ipoesi nulla se il p-value è minore di un presabilio livello di significaivià (es. α=0.05). Il uo deve essere ripeuo per ciascuna delle s serie considerae; infine, se si desidera ricavare la size empirica dei es, calcolare la proporzione di vole che nelle s simulazioni viene rifiuaa l ipoesi nulla. Nelle nosre analisi simuliamo s=1000 serie indipendeni e uilizziamo B=1000 ierazioni boosrap. 33

34 Poiché per numerosià campionarie elevae (n=200 e n=500) avevamo oenuo risulai soddisfaceni, prossimi al 5%, applichiamo l algorimo solo a numerosià più basse. Calcoliamo dunque la size empirica applicando il meodo appena esposo a 1000 serie di dai WN e processi AR(1) correamene specificai, con paramero auoregressivo =(0.3, 0.6, 0.9). I comandi uilizzai per simulare, ad esempio, 1000 serie soriche indipendeni da un AR(1) con paramero auoregressivo pari a 0.6 e compose da n=48 osservazioni sono riporai in Appendice A.2. In Tabella 3.1 sono mosrai i risulai delle simulazioni con m n e in Tabella 3.2 quelli con m n 3, al variare di n = (12, 24, 36, 48, 96). 34

35 n m n CT(3) 5.3% 5% 4.2% 5.2% 4% WN LB 4.4% 6.3% 4.5% 5.7% 4.7% Moni 4.3% 5.8% 5.3% 5.1% 4.6% AR(1) 0.3 AR(1) 0.6 AR(1) 0.9 CT(3) 4.5% 5% 5.9% 5.5% 5.3% LB 4.6% 4.6% 5.4% 4.8% 4% Moni 3.9% 5.1% 5.8% 6.1% 5% CT(3) 3.2% 4.5% 5.6% 4.2% 4.5% LB 4.7% 6.2% 4.4% 4.5% 5.3% Moni 4.6% 5.5% 4.6% 4.6% 3.8% CT(3) 4.5% 5.1% 5.4% 4.1% 4.6% LB 5.6% 5.4% 5.2% 5.7% 5.3% Moni 5.8% 5.8% 5.7% 5.1% 4.8% Tabella 3.1 Livello empirico dei es per dai WN e modelli AR(1) simai correamene, calcolao uilizzando il meodo Mone Carlo e con m n. 35

36 n m n CT(3) 4.7% 5.3% 5.1% 4.7% 4.5% WN LB 5.1% 5.2% 4.7% 4.8% 5.2% Moni 4.4% 4.6% 4.8% 4.6% 4.9% AR(1) 0.3 AR(1) 0.6 AR(1) 0.9 CT(3) 4.4% 3.6% 4.2% 5.5% 3.9% LB 5.3% 5% 4.4% 5.3% 5.1% Moni 4.2% 5.1% 4.2% 5.2% 4.5% CT(3) 3.9% 5.4% 5.8% 3.9% 4.5% LB 4.5% 5.7% 4.9% 5% 4% Moni 3.9% 5.7% 5% 5.2% 5.5% CT(3) 3.9% 4.7% 5.2% 6.2% 4.9% LB 6.8% 4.8% 3.8% 4.6% 4.6% Moni 5.4% 5.4% 4.3% 4.4% 5.2% Tabella 3.2 Livello empirico dei es per dai WN e modelli AR(1) simai correamene, calcolao uilizzando il meodo Mone Carlo e con m n 3. Come ci aspeavamo e possiamo noare dalle Tabelle 3.1 e 3.2, ue le saisiche es hanno un errore del I ipo soddisfacene quando i p-value sono calcolai araverso il meodo Mone Carlo; al variare di ogni valore di e n, il livello empirico è, infai, quasi sempre vicino al 5%, dando evidenza di un noevole migliorameno nella sima della size effeiva dei es applicando il boosrap rispeo alle abelle precedeni usando le disribuzioni asinoiche. 36

37 3.3 Poenza empirica dei es Consideriamo ora la poenza empirica (empirical power, in inglese) dei es presi in esame. La poenza empirica di un es saisico è la probabilià di rifiuare H 0 quando è falsa, ovvero è la probabilià di non commeere un errore del II ipo (acceare H 0 quando è falsa); la poenza del es sarà ano maggiore quano più piccolo è l errore del II ipo, e viceversa. La poenza empirica è dunque la capacià di un es saisico di riconoscere la falsià di H 0 quando essa è effeivamene falsa. In quesa sezione sooponiamo a verifica ancora una vola lo sesso sisema d ipoesi. Per ricavare le poenze è necessario meersi soo l ipoesi alernaiva H 1 ; ci aspeiamo di rifiuare H 0 mole vole e di oenere valori il più ali possibile, prossimi al 100%, ossia che i es abbiano buone capacià discriminaorie di riconoscere la falsià dell ipoesi nulla. Nelle prossime pagine calcoleremo la poenza empirica dei es per modelli AR(1) uilizzando di nuovo sia disribuzioni asinoiche sia l algorimo MC, per poi passare alla poenza dei es di bonà di adaameno per ARMA soosimai. L obieivo è confermare la esi degli auori dell aricolo che il es dello simaore di Cauchy (e la sua variane) è più poene nel deerminare la correlazione in piccoli campioni rispeo ai es LB e Moni Poenza empirica per AR(1) Nel nosro primo sudio analizziamo un modello AR(1) con 0.3, 0.6, 0.9). Per far ciò incremeniamo la numerosià campionaria n da 10 a 100 con passo pari a 10 e calcoliamo le saisiche es al riardo m = n/3. Iniziamo simulando 1000 serie e uilizzando le disribuzioni asinoiche per il calcolo delle poenze empiriche. 37

38 Abbiamo generao le serie con le caraerisiche desiderae e calcolao le saisiche es direamene su di esse, invece che sui residui esrai dal modello simao come fao in precedenza. In queso modo ci meiamo soo l ipoesi alernaiva di dai non più iid, ma correlai e ci aspeiamo perano che i es rifiuino H 0 con probabilià elevae. Si è proceduo confronando gli esii dei es con i valori criici delle rispeive disribuzioni asinoiche. Abbiamo infine espresso in percenuale la proporzione con cui i es hanno rifiuao H 0 quando era falsa. I risulai oenui sono riporai nella Tabella 4.1 e nei grafici in Figura 3.1, 3.2 e 3.3. La poenza empirica assume valori compresi ra 0 e 1, ma per comodià qui sarà indicaa in ermini percenuali. n m=n/ AR(1) 0.3 AR(1) 0.6 AR(1) 0.9 CT(3) 17.8% 21.6% 22.6% 24.4% 26.2% 30% 31.4% 32.9% 35.7% 35.7% LB 4.7% 13.9% 17.7% 21.7% 25.4% 29.7% 31.4% 35.2% 39.2% 40.2% Moni 5.7% 9.2% 11.4% 14% 15.3% 17.3% 17.1% 19.9% 21.7% 22.8% CT(3) 41.8% 57.5% 71% 75.8% 82.7% 87.2% 88% 92.2% 93.3% 95.8% LB 8 % 39.2% 57.3% 72% 82.7% 86.4% 91.2% 94.2% 96.7% 97.4% Moni 12.7% 28.8% 44.6% 57.4% 67.8% 76.8% 80.3% 84.8% 90.6% 92.9% CT(3) 80.7% 93.7% 98.1% 99.5% 99.9% 99.9% 100% 100% 100% 100% LB 15.6% 73.8% 93% 98.1% 99.6% 99.8% 100% 100% 100% 100% Moni 19.8% 61.7% 87.2% 96.3% 99.1% 99.7% 99.9% 100% 100% 100% Tabella 4.1 Poenza empirica dei es per modelli AR(1), calcolaa uilizzando le disribuzioni asinoiche. 38

39 Empirical Power Empirical Power CT3 LB Moni Sample Size Figura 3.1 Poenza empirica dei es per AR(1) con =0.3, uilizzando le rispeive disribuzioni asinoiche. CT3 LB Moni Sample Size Figura 3.2 Poenza empirica dei es per AR(1) con =0.6, uilizzando le rispeive disribuzioni asinoiche. 39

40 Empirical Power CT3 LB Moni Sample Size Figura 3.3 Poenza empirica dei es per AR(1) con =0.9, uilizzando le rispeive disribuzioni asinoiche. Come si noa dalla Tabella 4.1 e dalle Figure 3.1, 3.2 e 3.3, dal comporameno asinoico delle saisiche es soo l ipoesi alernaiva si ricava che per =0.3 e n da 10 a 40 il CT regisra poenze maggiori rispeo agli alri due; da n=50 in poi il suo comporameno è simile al LB, fino ad essere olrepassao da queso a n=80; enrambi i es hanno poenze superiori a Moni, arrivando per n=100 a riconoscere la falsià di H 0 con probabilià aorno al 40%, conro un 23%. Ricordando che l auocorrelazione di un processo AR(1) è pari a k k, aumenando il valore di da 0.3 a 0.6 e a 0.9, aumenerà anche la correlazione nella serie. Con paramero auoregressivo pari a 0.6, infai, ue le saisiche rifiuano molo più spesso H 0 ; il CT ha ancora poenza maggiore rispeo agli alri fino a n=40, per n=50 e 60 i es CT e LB sono simili e maggiori di Moni, da 70 in poi LB supera CT fino a che per n=100 le re saisiche riporano circa la sessa poenza aorno al 95%. 40

41 Infine, per =0.9 e numerosià campionaria bassa (n=10) il CT risula di molo più poene rispeo agli alri due es, arrivando a rifiuare H 0 falsa per l 80% delle vole, conro il 20% degli alri. Da qui è ben evidene la maggiore poenza del es proposo in piccoli campioni, caraerisica che vogliamo soolineare in queso lavoro. A parire dalla numerosià n=20 anche le saisiche LB e Moni hanno poenze elevae e sempre più simili al CT, ano che già da n=50 in poi ui e re i es riconoscono la falsià di H 0 con probabilià del 100%. Facciamo ora la sessa indagine, ma calcolando i p-value delle saisiche uilizzando l algorimo di Lin e McLeod. Replichiamo il procedimeno del meodo descrio al paragrafo 3.2.2, con l unica differenza che al Passo 1 i es T si calcolano direamene sulle serie generae e non sui residui, meendoci soo l ipoesi alernaiva H 1 di dai correlai; il boosrap del Passo 3 rimane invariao (soo H 0 ): si calcolano i es T* sempre sui residui simai, che si suppone siano incorrelai. Gli esii degli esperimeni sono i segueni: 41

42 Empirical Power n m=n/ AR(1) 0.3 AR(1) 0.6 AR(1) 0.9 CT(3) 14.2% 17% 19.8% 19.8% 22.9% 25.1% 26.4% 26% 29.2% 28% LB 10.5% 15.3% 20.7% 21.4% 27.8% 27.8% 30.1% 31.3% 34.5% 35.3% Moni 11.2% 15.8% 14.9% 16.4% 21.5% 22.1% 22.9% 25.5% 24.8% 28% CT(3) 34.2% 52% 64% 71.3% 78.6% 85.3% 85.4% 91.2% 91.6% 94% LB 16.4% 44.7% 62.9% 71.6% 80.6% 87.1% 90.4% 94.1% 95.2% 97% Moni 19.6% 36.6% 53% 63.8% 75.3% 82.7% 84.9% 92.3% 92.9% 94.8% CT(3) 76.7% 93.5% 97.4% 99.6% 99.8% 99.8% 100% 100% 100% 100% LB 27.6% 77.6% 93% 98.2% 99.6% 99.8% 100% 100% 100% 100% Moni 29.4% 70.9% 88.7% 96.6% 99.2% 99.8% 100% 100% 100% 100% Tabella 4.2 Poenza empirica dei es per modelli AR(1), calcolaa uilizzando l algorimo MC. Le Figure 4.1, 4.2 e 4.3 rappresenano graficamene le poenze empiriche della Tabella 4.2 in funzione di n. CT3 LB Moni Sample Size Figura 4.1 Poenza empirica dei es per AR(1) con =0.3, uilizzando l algorimo Mone Carlo. 42

43 Empirical Power Empirical Power CT3 LB Moni Sample Size Figura 4.2 Poenza empirica dei es per AR(1) con =0.6, uilizzando l algorimo Mone Carlo. CT3 LB Moni Sample Size Figura 4.3 Poenza empirica dei es per AR(1) con 0.9, uilizzando l algorimo Mone Carlo. 43

44 Dalla Tabella 4.2 e dalle Figure 4.1, 4.2 e 4.3 possiamo rarre informazioni analoghe a quelle della Tabella 4.1; il CT ha una maggiore capacià di riconoscere la falsià di H 0 per piccoli campioni rispeo alle alre due procedure pormaneau, menre ue e re le saisiche sono comparabili per dimensioni campionarie sempre più grandi. È da ribadire qui che sono sai sceli proprio quesi esempi per mosrare le siuazioni in cui il CT proposo ha una buona performance. Ad esempio, per processi MA soosimai, es basai sulle auocorrelazioni parziali (come il es di Moni) generalmene hanno presazioni migliori del CT; uavia, una sua versione cosruia con le correlazioni parziali porebbe compeere in queso caso Poenza empirica per ARMA soosimai Vogliamo ora ricavare la poenza empirica dei es usai per valuare per la bonà di adaameno di un modello ARMA. Come descrio nell Inroduzione del Capiolo 2, una pare fondamenale del conrollo dell adeguaezza del modello ai dai consise in un aena analisi della serie dei residui. Ricordiamo, infai, che se il modello è sao correamene idenificao e simao, i residui dovranno risulare incorrelai; se invece il modello ARMA è soosimao, le auocorrelazioni si discoseranno da zero e assumeranno valori prossimi a 1. Verificando la presenza di auocorrelazione nei residui, si può quindi dedurre se il modello simao rappresena adeguaamene il processo generaore dei dai oppure no. In quesa sezione, come fao nella precedene, vogliamo esaminare la poenza dei vari es, confronando la loro capacià di riconoscere la falsià dell ipoesi di incorrelazione, dal momeno che siamo lavorando con dai che sappiamo a priori essere dipendeni proprio per nosra cosruzione. Per fare ciò, simuleremo due processi e vi adaeremo un modello sbagliao, soosimandoli; i es di correlazione che compareremo sono la variane del CT per modelli ARMA soosimai descria al Capiolo 2, il es LB e quello di Moni. Ancora una vola, miriamo a confermare la esi dell aricolo che il CT è più poene degli alri per piccoli campioni. 44

45 Nel primo esperimeno, la poenza delle re saisiche è sudiaa in funzione di n che varia da 10 a 100 con passo pari a 10 e riardo m = n/3; i p-value sono oenui con l algorimo di Mone Carlo. Generiamo s=1000 serie indipendeni da un processo AR(2) con parameri auoregressivi = 0.1 e = 0.8, e lo simiamo non correamene adaandovi un AR(1). Esraiamo poi i residui che, provenendo da un modello soosimao, saranno correlai; ci siamo dunque messi soo l ipoesi alernaiva e calcoliamo su di essi i es d ineresse. Per quano riguarda il boosrap, consideriamo un numero di replicazioni B=500 e non più 1000 per ridurre difficolà legae al empo e al carico compuazionale richieso da ale procedura. In ciascun ierazione abbiamo simulao una nuova serie da un modello AR(1) con paramero pari a quello simao prima e con innovazioni i residui simai sempre nel modello precedene ma ricampionai, in modo che perdessero la loro correlazione; l abbiamo simaa correamene, esrao i residui e calcolao i es su quesi. Nel boosrap siamo infai ancora soo l ipoesi nulla di dai incorrelai. Per i comandi del programma R usao qui rimandiamo ancora una vola all Appendice A.3, menre i risulai degli esperimeni si rovano in Tabella 5.1, con relaivo grafico in Figura 5.1. n m=n/ AR(2) simai come AR(1) =0.1 =0.8 CT(3) 4.7% 32.6% 64.1% 80.3% 91.1% 95.5% 97.7% 98.9% 99.3% 99.6% varian LB 3% 33.3% 68.3% 84% 93.8% 97% 98.3% 99.4% 99.8% 99.9% Moni 4.8% 28.7% 61.7% 80.1% 92.2% 95.6% 97.7% 99.1% 99.6% 99.9% Tabella 5.1 Poenza empirica dei es per modelli AR(2) soosimai, calcolaa uilizzando l algorimo MC. 45

46 Empirical Power CT3 LB Moni Sample Size Figura 5.1 Poenza empirica per AR(2) soosimai come AR(1), = 0.1 e = 0.8. Da quesi risulai possiamo noare che per un numero ridoo di osservazioni (n=10) la poenza del CT è maggiore rispeo a LB e prossima a Moni; via via che la numerosià campionaria, n, aumena il CT ha un andameno simile a LB, venendo anche superao da ques ulimo, ed enrambi i es dominano Moni, che è soliamene migliore nel deerminare componeni soosimae di processi a media mobile. Da n=50 in poi, le re saisiche hanno presazioni pressoché uguali e rifiuano H 0 da olre il 90% a circa il 100% delle vole, riconoscendo nella quasi oalià dei casi che i residui sono correlai e dunque che il modello da noi simao non spiega adeguaamene la reale sruura di dipendenza dei dai. Ripeiamo ora lo sesso procedimeno per esplorare la performance della poenza dei re es in un modello ARMA con ordine maggiore rispeo al caso appena affronao. I dai sono generai da un processo ARMA(2,1) con parameri = 0.2, = 0.7 e θ = 0.5, che viene soosimao sempre con un AR(1). 46

47 In quesa seconda analisi, le saisiche es sono calcolae di nuovo usando l algorimo di Mone Carlo con 500 ierazioni boosrap e numerosià campionaria che varia da n=10 a n=100 con passo 10, ma quesa vola al riardo m n. Ecco le poenze oenue: n m= n ARMA (2,1) simai come AR(1) =0.2 =0.7 θ= 0.5 CT(3) varian 3% 13.3% 39% 58% 73.2% 85.9% 88.2% 94.3% 96.6% 97.7% LB 2. 7 % 12.4% 43.8% 63.6% 77.7% 89.5% 92.1% 95.8% 97.8% 98% Moni 3. 5 % 8. 4 % 34.2% 54.3% 71.2% 84.8% 87.8% 94.1% 96.3% 97.7% Tabella 5.2 Poenza empirica dei es per modelli ARMA(2,1) soosimai, calcolaa uilizzando l algorimo MC. La Figura 5.2 mosra graficamene i risulai raggiuni. 47

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