lungo la curva. 2 x 2 + y 2 (4p)v- Si calcoli il raggio di curvatura nei vari istanti e in funzione della posizione. =: L.
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- Giacomo Valentino
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1 Anlisi Mtemtic II, Anno Accdemico 7-8. Ingegneri Edile e Architettur Vincenzo M. Tortorelli 5 Settembre 7: prim prov in itinere. N. mtr./nno iscr. Cognome docente/ crediti Nome Istruzioni l fine dell vlutzione: compilre l intestzione in stmptello in tutti fogli. Le risposte vnno motivte, e scritte su i fogli intestti. ESERCIZIO Si γ l curv del pino (t = e t cos t, y(t = e t sin t, t. (pi- L curv è semplice? È regolre? Si clcoli l lunghezz del suo sostegno. (3pii- Nei punti di intersezione con gli ssi si determini l pendenz dell tngente. Trccire pprossimtivmente il sostegno di γ giustificndo che gir infinite volte ttorno (,. (piii- Si clcoli il bricentro del sostegno. [Si ssum e t cos tdt = 5 e t cos t + 5 e t sin t, e t sin tdt = 5 e t cos t 5 e t sin t]. (piv- Si clcoli il lvoro di F (, y = + y, + y lungo l curv. + y (4pv- Si clcoli il rggio di curvtur nei vri istnti e in funzione dell posizione. e /n ESERCIZIO Per ogni n N + si f n ( = + + e, > n/, =. (pi- Si mostri che le f n sono continue su [; +. Si determini il ite puntule f(. (3pii- Si dimostri che f n f uniformemente in [, ] per ogni >. (piii- Si clcoli, se esiste f n ( d. (4piv- Si h convergenz uniforme nche in [, [? sin t ESERCIZIO 3 (pi- Per quli R esiste t t =: L? [Ricordre sin t = t+o(t, t.] (3pii- Per quli R esiste (,y (, =: L. ( + y, (, y (, (piii- Per quli l f(, y = ( + y è differenzibile in (,? L, (, y = (, (3piv- L F ( =: f(, ydy = dy è continu in ogni? + y (5pv- È derivbile in = +? Nel cso si clcoli l derivt. [Uno tr i diversi pprocci è quello di cmbire vribile nell integrle z = y.] ESERCIZIO 4 (p i- Si f(, y = cos( + y tn( + y. Clcolre l equzione del pino tngente l grfico di f nel punto ( π, π,. (pii- Si mostri che Z = {(, y, R 3 : e y + yz 3 = }, in un intorno del punto P = (,,, è il grfico di un y = g(, z. Si clcoli l equzione del pino tngente in P. (3piii- Si F (u, v = (u v, uv, u + v. Si determini l equzione del pino tngente in F (, ll immgine di F ristrett d un intorno di F (, = (,,. (3piv- Si Φ(, y = (e + y, y =: (u, v. Si mostri che è loclmente invertibile in (, e si clcoli y (,.
2 SOLUZIONI ESERCIZIO Si γ l curv del pino di equzioni prmetriche (t = e t cos t, y(t = e t sin t, t. i- L curv è semplice? È regolre? Si clcoli l lunghezz del suo sostegno. ii- Nei punti di intersezione con gli ssi si determini l pendenz dell tngente. Si trcci pprossimtivmente il sostegno di γ giustificndo che gir infinite volte ttorno (,. iii- Si clcoli il bricentro del sostegno. [Si ssum e t cos tdt = 5 e t cos t + 5 e t sin t, e t sin tdt = 5 e t cos t 5 e t sin t]. iv- Si clcoli il lvoro di F (, y = + y, + y lungo l curv. + y v- Si clcoli il rggio di curvtur nei vri istnti e in funzione dell posizione. Soluzione: i- - - poichè γ(t R = (t + y (t = e t è iniettiv nche γ(t è iniettiv; - - poichè γ (t = e t (cos t, sin t + e t ( sin t, cost = e t ( cos t sin t, sin t + cos t = (, si h γ (t R = e t = + y > : γ è regolre. - - L lunghezz per t è + γ (t R 3dt = + e t dt =. ii- - - Si h γ = (, per y =, γ = ( y, y per = : le pendenze sono ed. - - L prim componente dell velocità = = e t (cos t + sin t cmbi segno d positivo negtivo sull bisettrice del qurto qudrnte, e d negtivo positivo su quell del secondo. L second y = = e t (cos t sin t cmbi segno d positivo negtivo sull bisettrice del primo qudrnte, e d negtivo positivo su quell del terzo. Poichè, per esempio, y(t = e t sin t = h infinite soluzioni cui corrispondono diverse distnze dll origine infiniti giri ttorno ll origine iii- Essendo γ semplice le coordinte del bricentro del sostegno sono ( + + ( = e t cos t dt, e t sin t dt = 5,. 5 + iv- Conviene il clcolo diretto: F = F (γ(t γ (t R dt = γ + + y = ( + ( dt =. + y + z ( ds, l(γ γ y ds = l(γ γ
3 v- Poichè ( γ (t = ( y, y = (y, = e t (sin t, cos t, l cuvtur l qudrto è γ γ ( γ 4 γ γ = 4( + y 4 4( + y ( + y ( y y + y = 4( + y ( + y = ( + y = et. Quindi il rggio di curvtur è e t = + y. e /n ESERCIZIO Per ogni n N + si f n ( = + + e, > n/, =. i- Si mostri che le f n sono continue su [; +. Si determini il ite puntule f( dell successione {f n }. ii- Si dimostri che f n f uniformemente in [, ] per ogni >. iii- Si clcoli, se esiste f n ( d. iv- Si h convergenz uniforme nche in [, [? Soluzione: i- - - Poichè n > si h per + che l esponenzile nel denomintore tende. Quindi f n ( = f n (, Poiché nche gli rgomenti degli esponenzili sono negtivi, e tendono (l numertore ed (l denomintore, per n. Risult f n ( = +. ii- Si h f n+ ( f n ( per ogni : essendo il numertore positivo crescente in n, e il denomintore positivo decrescente in n. Inoltre il ite puntule f è un funzione continu. Per il criterio del Dini su ogni intervllo itto [; ],, vi è convergenz uniforme. iii- Per il teorem di B. Levi, essendo l convergenz crescente non negtiv e /n d = + + e n/ + d = π. iv- L rispost è sì, essendo il ite puntule infinitesimo +. Inftti, dto > ε > per [ ε si h convergenz uniforme su ; + =: ε sup + f n( sup ε + ε n N+. ε [ ] D ltr prte, per ii- vi è convergenz uniforme in ; ε, quindi esiste ν ε N + tle che sup + f n( ε n ν ε. ε Pertnto, si h che per ogni ε (; vi ν ε per cui + f n( ε n ν ε che è l tesi. sup sin t ESERCIZIO 3 i- Per quli R esiste t ii- Per quli R esiste (,y (, t =: L? [Ricordre sin t = t + o(t, t.] =: L. ( + y, (, y (, iii- Per quli l f(, y = ( + y è differenzibile in (,? L, (, y = (, iv- L F ( =: f(, ydy = dy è continu in ogni? + y v- È derivbile in = +? Nel cso si clcoli l derivt.
4 Soluzione: i- Per < il ite è nullo. Per ite destro e sinistro sono non nulli e di segno opposto, quindi il ite non esiste. ii- Si rgoment sull bse del precedente risultto. - - Per < : poichè se r = + y nche y si h ( + y = y + o( y ( + y, in coordinte polri ( + y = r cos φ sin φ + o(r 4 = r ( cos φ sin φ + o(r (. r - - Per il ite non esiste per chè i iti di restrizioni sono diversi. Per = y l sin funzione divent inftti +. Per = l funzione è null. ( iii- Per l funzione non è continu in (,. Quindi, poichè l differenzibilità in un punto comport l continuità nel punto, solo tr gli < si devono isolre quelli per cui l funzione è differenzibile. - - Per l differenzibilità conviene usre l definizione di differenzibilità e ncor lo sviluppo di Tylor per il seno e le coordinte polri. Si osserv che f(, = f(, y e quindi le derivte przili in (, sono nulle. Quindi se fosse differenzibile dovrebbe esser f(, y = o( + y. Per (, y (, f(, y = r cos φ sin φ + o(r 4 = r ( cos φ sin φ + o(r (, r quindi se r ( = o(r per r + l funzione srebbe differenzibile con differenzile nullo. Ciò ccde se e solo se ( > cioè se >. iv- - - L continuità negli > è dovut l ftto che è uniformemente continu in + y [ ; 3 ] [; ]. - - Per l continuità in = si ssume che <. Se < y si h + y =. Inoltre per y si h χ [;](y =. Per convergenz + + y domint sul dominio di integrzione [; ] si pss l ite sotto segno di integrle. v- Con il cmbimento di coordinte z = y si h F ( = + y dy = sin z ( + z dz = sin z + z dz. Per studire l derivbilità in + F ( conviene usre l definizione, e vedere se esiste +. M F ( = sin z dz. Poichè per convergenz domint l integrle è infinitesimo, + z per il teorem di de l Hôpitl tle ite esiste se esiste quello del rpporto delle derivte z cos z z cos z ed è d esso egule: dz = dz ove si è derivto sotto segno di + z + z integrle essendo l derivt dell integrnd domint per z e < (non restrittivo supporlo poichè +. Ancor per convergenz domint per + si h z cos z + z dz z + z dz = + u du = log. ESERCIZIO 4 i- Si f(, y = cos( + y tn( + y. Clcolre l equzione del pino tngente l grfico di f nel punto ( π, π,. ii- Si mostri che in un intorno di P = (,,, l insieme Z = {(, y, R 3 : e y +yz 3 = } è il grfico di un y = g(, z. Si clcoli l equzione del pino tngente Z in P. iii- Si F (u, v = t (u v, uv, u + v. Si determini l equzione del pino tngente in F (, ll immgine di F ristrett d un intorno di F (, = (,,.
5 ( e iv- Si Φ(, y = + y y =: ( u v. Si mostri che è loclmente invertibile in (, e si clcoli y (,. Soluzione: i- Per definizione l equzione del pino tngente l grfico di un funzione f differenzibile, in un proprio punto (p, q, f(p, q è quell del trslto del grfico del differenzile z = f(p, q + f f (p, q( p + (p, q(y q. y Nel cso (p, q = ( π, π, f(p, q =, f = sin( + y + ( + (tn( + y + y cos y tn( + y. Pertnto f ( π, π = e per simmetri f y ( π, π =. L equzione è quindi z =. ii- Il grdiente dell funzione G il cui luogo di zeri è Z è (ye y 3, e y + z, y che vlutto nel punto P = (,, Z dà ( 3,,. Per il teorem del Dini, Z in un intorno di P è grfico con vribile dipendente y. L equzione del pino tngente l luogo di zeri di G srà quindi quell del trslto del nucleo del differenzile di G 3( + y =. iii- Nelle ipotesi del teorem del rngo, l equzione del pino tngente ll immgine di un opportun restrizione di F d un intorno di (, è, in form prmetric, l immgine del differenzile trslt y = F (, + s F F (, + t (,, s, t R, v z Essendo il cso, in qunto F u (u, v = t (u, v, u e F v (u, v = t (, u,, che vlutti in (, dnno rispettivmente t (,, e t (,,, linermente indipendenti, si h s t y = + s + t = + s + t z + s + t, s, t R. Direttmente in form crtesin: essendo le derivte przili indiopendenti l equzione del pino tngente è ((, y, z F (, F F (, (, = ((, y, z (,, (,, (,, = = det y z v = 4(y + 3(z =. iv- Si verificno le ( ipotesi del teorem di invertibilità ( locle. L ppliczione Φ è di clsse e C con JΦ(, y =, quindi JΦ(, = h determinnte ugule e y dunque è invertibile. Perciò l invers Ψ di un restrizione di Φ d un intorno di (,, esiste in un intorno di Φ(, = (, e si h J[Ψ](, = [JΦ(, ]. { e + y = u Ovvero derivndo rispetto d u l identità si ottiene e + y = y = v, y + y =, e quindi clcolndo nel punto (u, v = (,, per cui (, y = (, si ricv il sistem linere y (, + (, = per cui y (, =. (, =,
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