Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale. Analisi e Geometria 2 Docente: 12 settembre 2013

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1 Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale Analisi e Geometria 2 Docente: 12 settembre 213 Cognome: Nome: Matricola: Ogni risposta dev essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessità, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non è consentito l uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni. 1. a) Calcolare il rango della matrice per ogni valore di k R A k = k b) Determinare l unico valore di k per cui v = [ ] T è un autovettore di Ak ; qual è il relativo autovalore? c) Per il valore di k determinato al punto b), scrivere una base ortonormale di R 3 formata da autovettori di A k. a) Sottraendo alla seconda riga metà della prima riga, e sommando alla terza riga la prima si ottiene la matrice U k = k 4 Perciò il rango è 2 se k 4, ed è 1 se k = 4. b) Il vettore A k v = k è della forma λv se e solo se λ = 9 e k = 4. Quindi il valore cercato è k = 4, e l autovalore relativo all autovettore v di A 4 è 9 c) La matrice A 4 è simmetrica, quindi è diagonalizzabile e i suoi autovalori sono regolari. Poiché il rango di A 4 è 1, la matrice ha λ = come autovalore doppio. Per il punto b, anche λ = 9 è un altro autovalore: siccome la somma delle molteplicità degli autovalori è 3, non ci sono altri autovalori e λ = 9 è un autovalore semplice. In particolare, l autospazio relativo a λ = 9 ha dimensione 1 e coincide con la retta generata da v. Per il teorema spettrale, l autospazio H relativo a λ = (il nucleo) è il piano ortogonale all autovettore v, cioè il piano di equazione 2x + y 2z =. Un base di H è costituita dai due vettori u = [ 1 2 ] T e w = [ 1 1 ] T. Un vettore di H nonnullo e perpendicolare a w è z = u u w w 2 w = = 1/ /2 Normalizzando w, z e v otteniamo una base ortonormale di R 3 formata da autovettori di A 4 : { } w w, z z, v = 1, v ,

2 2. Sia f(x) la funzione 2π -periodica pari tale che f(x) = π x per x π. a) Tracciare il grafico di f(x) nell intervallo [ 2π, 2π]. b) Calcolare i coefficienti di Fourier di f(x). c) Per quali valori di x [, 2π] la serie di Fourier di f(x) converge a f(x)? b) La funzione è pari quindi b n = per ogni n 1. Si ha che a = 2 π ha cos(nx) dx =, e quindi a n = 2 π = 2 π (π x) cos(nx)dx = 2 π ( 1 n 2 ( 1)n 1 ) n 2 = 2 (1 ( 1)n ) n 2 π x cos(nx)dx = 2 ([ x sin(nx) π n (π x)dx = π, mentre per n 1 si π c) Dato che f è continua in R, la serie di Fourier di f converge a f(x) per ogni x [, 2π] ) sin(nx) = n

3 3. Sia f(x, y) = e x (2x 2 xy + y 2 ). a) Si dimostri che 2x 2 xy + y 2 > per ogni (x, y) R 2 \ {(, )}, e se ne deduca che O = (, ) è l unico punto di minimo assoluto di f(x, y). b) Si determinino i punti critici di f(x, y) e se ne studi la natura. c) Si scriva lo sviluppo di Taylor del II ordine di f(x, y) nel punto ( 2, 1). a) La forma quadratica Q(x, y) = 2x 2 xy+y 2 è definita positiva (determinante e traccia della matrice associata sono positivi). La funzione f(x, y) è ovunque positiva tranne che nell origine dove si annulla, quindi O = (, ) è l unico punto di minimo assoluto di f(x, y). b) I punti critici di f sono le soluzioni del sistema: f x = e x (2x 2 xy + y 2 + 4x y) =, f y = e x ( x + 2y) =. Dalla seconda equazione si ricava x = 2y, e sostituendo nella prima si trova y =, y = 1. I punti critici sono (, ) e ( 2, 1). Il punto (, ) è un punto di minimo come già osservato. Il punto ( 2, 1) è un punto di sella per il criterio della matrice hessiana. c) Lo sviluppo di Taylor del II ordine col resto di Peano è: f(x, y) = f( 2, 1) + 1 [ fxx ( 2, 1)(x + 2) 2 + 2f xy ( 2, 1)(x + 2)(y + 1) + f yy ( 2, 1)(y + 1) 2] o ( (x + 2) 2 + (y + 1) 2) = [ = e ] 2 (x + 2)2 (x + 2)(y + 1) + (y + 1) 2 + o ( (x + 2) 2 + (y + 1) 2)

4 4. a) Nel piano cartesiano si disegni il dominio D = { (x, y) : e x + e x y 5 } 2 formato dai punti che si trovano al di sotto della retta y = 5 2 e al di sopra della curva y = ex + e x. b) Nello spazio cartesiano si consideri il solido V = D [, 2] = {(x, y, z) : e x + e x y 52 }, z 2. Si calcoli il flusso uscente dalla superficie che delimita V del campo vettoriale F(x, y, z) = 2xi + 3xe z j zk. b) Il flusso richiesto, per il teorema della divergenza, è pari all integrale triplo su V della divergenza di F. Si ha che divf = 1 quindi il flusso risulta uguale (numericamente) al volume del cilindroide V, che è pari (numericamente) all area di D per l altezza che vale 2. La retta y = 5 2 interseca la curva y = ex + e x ln 2 ( ) 5 nei punti di ascissa x = ln 2 e x = ln 2. L area di D è ln 2 2 ex e x = 5 ln 2 3, il flusso è 1 ln 2 6.

5 1. a) Calcolare il rango della matrice per ogni valore di k R. A k = k b) Determinare l unico valore di k per cui v = [ ] T è un autovettore di Ak ; qual è il relativo autovalore? c) Per il valore di k determinato al punto b), scrivere una base ortonormale di R 3 formata da autovettori di A k. a) Sommando alla seconda riga la prima riga, e sottraendo alla terza riga metà della prima si ottiene la matrice U k = k 1 Perciò il rango è 2 se k 1, ed è 1 se k = 1. b) Il vettore 18 A k v = k è della forma λv se e solo se λ = 9 e k = 1. Quindi il valore cercato è k = 1, e l autovalore relativo all autovettore v di A 1 è 9 c) La matrice A 1 è simmetrica, quindi è diagonalizzabile e i suoi autovalori sono regolari. Poiché il rango di A 1 è 1, la matrice ha λ = come autovalore doppio. Per il punto b ), anche λ = 9 è un altro autovalore: siccome la somma delle molteplicità degli autovalori è 3, non ci sono altri autovalori e λ = 9 è un autovalore semplice. In particolare, l autospazio relativo a λ = 9 ha dimensione 1 e coincide con la retta generata da v. Per il teorema spettrale, l autospazio H relativo a λ = (il nucleo) è il piano ortogonale all autovettore v, cioè il piano di equazione 2x 2y + z =. Un base di H è costituita dai due vettori u = [ 1 2 ] T e w = [ 1 1 ] T. Un vettore di H nonnullo e perpendicolare a w è z = u u w w 2 w = = 1/2 1/ Normalizzando w, z e v otteniamo una base ortonormale di R 3 formata da autovettori di A 1 : { } w w, z z, v 1 = 1 1 1, v ,

6 2. Sia f(x) la funzione 2π -periodica pari tale che f(x) = x π per x π. a) Tracciare il grafico di f(x) nell intervallo [ π, 3π]. b) Calcolare i coefficienti di Fourier di f(x). c) Per quali valori di x [ π, π] la serie di Fourier di f(x) converge a f(x)? b) La funzione è pari quindi b n = per ogni n 1. Si ha che a = 2 π si ha cos(nx) dx =, e quindi a n = 2 π = 2 π (x π) cos(nx)dx = 2 π ( 1 n 2 ( 1)n 1 ) n 2 = 2 (( 1)n 1) n 2 π x cos(nx)dx = 2 ([ x sin(nx) π n (x π)dx = π, mentre per n 1 π c) Dato che f è continua in R, la serie di Fourier di f converge a f(x) per ogni x [, 2π] ) sin(nx) = n

7 3. Sia f(x, y) = e y (y 2 2xy + 3x 2 ). a) Si dimostri che y 2 2xy + 3x 2 > per ogni (x, y) R 2 \ {(, )}, e se ne deduca che O = (, ) è l unico punto di minimo assoluto di f(x, y). b) Si determinino i punti critici di f(x, y) e se ne studi la natura. c) Si scriva lo sviluppo di Taylor del II ordine di f(x, y) nel punto ( 2 3, 2). a) La forma quadratica Q(x, y) = y 2 2xy + 3x 2 è definita positiva (determinante e traccia della matrice associata sono positivi). La funzione f(x, y) è ovunque positiva tranne che nell origine dove si annulla, quindi O = (, ) è l unico punto di minimo assoluto di f(x, y). b) I punti critici di f sono le soluzioni del sistema: f x = e y ( 2y+6x) =, f y = e y (y 2 2xy+3x 2 +2y 2x) =. Dalla seconda equazione si ricava y = 3x, e sostituendo nella prima si trova x =, x = 2. I punti critici 3 sono (, ) e ( 2 3, 2). Il punto (, ) è un punto di minimo come già osservato. Il punto ( 2, 2) è un 3 punto di sella per il criterio della matrice hessiana. c) Lo sviluppo di Taylor del II ordine col resto di Peano è: f(x, y) = = f( 2 3, 2) + 1 [f xx ( 23 2, 2)(x + 23 )2 + 2f xy ( 23, 2)(x + 23 )(y + 2) + f yy( 23 ], 2)(y + 2)2 + + o ((x + 23 ) )2 + (y + 2) 2 = [ 8 = e (x )2 2(x )(y + 2) 1 ] 3 (y + 2)2 + o ((x + 23 ) )2 + (y + 2) 2.

8 4. a) Nel piano cartesiano si disegni il dominio D = {(x, y) : e 2x + e 2x y 52 }, formato dai punti del primo quadrante che si trovano al di sotto della retta y = 5 2 y = e 2x + e 2x. b) Nello spazio cartesiano si consideri il solido V = D [, 1] = {(x, y, z) : e 2x + e 2x y 52 }, z 1. e al di sopra della curva Si calcoli il flusso uscente dalla superficie che delimita V del campo vettoriale F(x, y, z) = 3xi 2yj + xe y k. b) Il flusso richiesto, per il teorema della divergenza, è pari all integrale triplo su V della divergenza di F. Si ha che divf = 1 quindi il flusso risulta uguale (numericamente) al volume del cilindroide V, che è pari (numericamente) all area di D. La retta y = 5 2 interseca la curva y = e2x + e 2x nei punti di ascissa x = 1 2 ln 2 e x = ln 2. L area di D è 2 ln 2 ( ) 5 2 e2x e 2x = 5 2 ln ln 2