LEZIONE 16 A = Verifichiamo se qualcuna fra le entrate a di A è suo autovalore. determinare per quale entrata a di A risulta rk(a ai 2 ) 1.

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1 LEZIONE Autovalori, autovettori ed autospazi di matrici. Introduciamo la seguente definizione. Definizione Siano k = R, C e A k n,n. Un numero λ k si dice autovalore di A su k) se rka λi n ) n 1. Se λ k, k = R, C, è un autovalore di A, l insieme E A λ) k n delle soluzioni del sistema A λi n )X = n,1 viene detto autospazio di A relativo a λ: ogni X E A λ) si dice autovettore di A relativo a λ. Quindi gli autovalori di A sono i λ R tali che il sistema A λi n )X = n,1 abbia soluzioni non banali. Esempio Si consideri A = Verifichiamo se qualcuna fra le entrate a di A è suo autovalore. determinare per quale entrata a di A risulta rka ai 2 ) 1. Poiché 2 rka I 2 ) = rk 3 5 rka 3I 2 ) = rk ) = 2, rka 2I 2 ) = rk 3 6 ) = 2, rka + 4I 2 ) = rk Si tratta di ) = 1, ) = 2, deduciamo che l unica entrata di A che sia suo autovalore è 2. Verifichiamo che anche 5 è autovalore di A. Infatti rka + 5I 2 ) = rk Per calcolare E A 2) R 2 si deve risolvere = ) x = y : 1 Typeset by AMS-TEX

2 AUTOVALORI, AUTOVETTORI ED AUTOSPAZI DI MATRICI E A 2) = { a2, 1) a R } R 2. Similmente per determinare E A 5) R 2 si deve risolvere ) x = y : E A 5) = { a1, 3) a R } R 2. Da questo esempio ricaviamo alcune osservazioni. Non è detto che gli autovalori di una matrice vadano cercati fra le entrate della matrice stessa 5 non è entrata di A). Non è detto che gli autovalori di una matrice siano le sue entrate diagonali della matrice stessa 2 e 5 non sono entrate diagonali di A). Come vedremo la ricerca degli autovalori di una matrice o di un endomorfismo è un problema assai più sottile, talvolta difficile o anche impossibile da risolvere in maniera esatta! Sia A k n,n : ricordo che un autovalore di A è un elemento λ k tale che rka λi n ) n 1 o, equivalentemente, un elemento λ k tale che deta λi n ) = si vedano la Proposizione e il Corollario 4.3.5). Sviluppandolo con la regola di Laplace si può verificare facilmente che deta ti n ) è un polinomio nella variabile t ed a coefficienti in k di grado esattamente n. Più precisamente 1) n t n + a 1 t n 1 + a 2 t n a n 1 t + a n, dove i coefficienti a i sono polinomi nelle entrate di A. Definizione Siano k = R, C e A k n,n. Il polinomio deta ti n ) è chiamato polinomio caratteristico di A. L equazione è detta equazione caratteristica di A. Quindi Proposizione Siano k = R, C e A k n,n. Gli autovalori di A su k sono le radici in k del polinomio caratteristico di A. In particolare A ha al massimo n autovalori a due a due distinti. Quindi, se A R n,n con n dispari, A ha almeno un autovalore in R, invece se n è pari A può non avere autovalori in R. Esempio Sia P R n,n C n,n una matrice ortogonale e sia λ C una radice del suo polinomio caratteristico. Se X = x 1,..., x n ) E A λ) C n allora t P X ) P X ) = t X t P P X = t XI n X = t XX = x x 2 n.

3 LEZIONE 16 3 D altra parte t P X ) P X ) = t λx ) λx ) = λ 2 = t XX = λ 2 x x 2 n). Dal confronto delle due relzioni così ottenute ricaviamo che λ è un numero complesso di modulo 1. In particolare se λ R allora λ = ±1. Se, per esempio, n è dispari deduciamo che una matrice ortogonale P R n,n ha sempre l autovalore reale ±1. Ciò il seguente interessante significato geometrico: ogni rotazione nello spazio ha un asse fisso, cioè è una rotazione intorno ad un asse. Esempio Si consideri la matrice 1 A = R 2,2. 1 Si noti che A è ortogonale speciale. Gli eventuali autovalori di A sono le radici in R di t 1 1 t = t Concludiamo che A non ha autovalori in R. Invece i suoi autovalori su C sono ±i, che hanno modulo 1. Per calcolare E A i) si deve risolvere i 1 x = : 1 i y E A i) = { a1, i) a C } C 2. Similmente per determinare E A i) risolviamo i 1 x = 1 i y : E A i) = { a1, i) a C } C 2. Esempio Ritorniamo all Esempio Allora gli autovalori di 1 2 A = R 2,2 3 4 sono le radici in R) di 1 t t = t2 + 3t 1 = t 2)t + 5). In particolare gli unici autovalori di A sono 2 e 5.

4 AUTOVALORI, AUTOVETTORI ED AUTOSPAZI DI MATRICI Esempio Sia A = R 3, Allora gli autovalori di A sono le radici in R) di 1 t t t = t + 3)2 t 3), sicché gli autovalori di A sono ±3. Per calcolare E A 3) si deve risolvere x y z = : E A 3) = { a2, 1, 3) a R } R 3. Similmente per determinare E A 3) risolviamo x y = : z E A 3) = { a b, a, b) a, b R } = { a 1, 1, )+b 1,, 1) a, b R } R 3. Esempio Sia dunque A = R 3,3 1 2 t 1 1 t 1 1 t = t 1)2 t 2). In particolare gli autovalori di A sono 1 e 2. Per calcolare E A 1) risolviamo il sistema x y =, z

5 LEZIONE 16 5 il cui spazio delle soluzioni è E A 1) = { a, 1, ) a R } R 3. Similmente calcoliamo E A 2) a partire dal sistema x y = : 1 z il suo spazio delle soluzioni è E A 2) = { a1, 1, ) a R } R 3. Esempio Sia A = R 3,3 1 2 dunque 1 t 2 1 t t = tt2 4t + 5). In particolare A ha un unico autovalore in R. Per calcolare E A ) risolviamo il sistema x y =, 1 2 z il cui spazio delle soluzioni è E A ) = { a2, 1, 1) a R } R 3. Per esercizio determinare gli autovalori complessi di A ed i relativi autospazi. Si noti che in tutti i casi sopra esaminati la dimensione di un certo autospazio E A λ) è limitata dalla molteplicità di λ come radice del polinomio caratteristico p A t). Questo è un risultato generale di cui omettiamo la dimostrazione. Definizione Siano k = R, C, A k n,n e λ k un suo autovalore. Chiamiamo molteplicità algebrica la sua molteplicità m a λ, A) di λ come radice di p A t). Chiamiamo molteplicità geometrica il numero m g λ, A) = n rka λi n ). In ogni caso A k n,n ha esattamente n autovalori complessi se contati con la loro molteplicità algebrica. Si noti che, in base a quanto visto nelle Lezioni 2 e 3, si ha m g λ, A) è il numero di parametri liberi da cui dipendono le soluzioni del sistema omogeneo A λi n )X = n,1.

6 DIAGONALIZZAZIONE DI MATRICI Proposizione Siano k = R, C, A k n,n e λ k un suo autovalore. Allora 1 m g λ, A) m a λ, A) Diagonalizzazione di matrici. Introduciamo la seguente importante definizione. Definizione Siano k = R, C e A k n,n. La matrice A si dice diagonalizzabile su k) se esiste una matrice P k n,n invertibile tale che P 1 AP sia una matrice diagonale. Il problema della digonalizzabilità di una matrice quadrata A è strettamente legato alle nozioni di autovalore ed autovettore. Supponiamo che A k n,n diagonalizzabile e sia P k n,n invertibile tale che P 1 AP sia diagonale, diciamo D = diagλ 1, λ 2,..., λ n ). Si noti che l identità matriciale P 1 AP = D equivale, nell ipotesi che P sia invertibile, e AP = P D. Sia P j k n la j esima colonna di P, che è non nulla perché P è invertibile: allora l uguaglianza AP = P D letta sulla colonna j esima diviene AP j = λ j P j, j = 1,..., n. Quindi P j è un autovettore di A e λ j è il relativo autovalore. Concludiamo che, se A è diagonalizzabile, che P ha per colonne n autovettori di A linearmente indipendenti e che l elemento j esimo sulla diagonale di D è esattamente l autovalore corrispondente alla colonna j esima di P. Viceversa, supponiamo di avere n autovettori di A, diciamo P 1,..., P n, tali che la matrice P avente P j come colonna j esima sia invertibile. Allora, procedendo a ritroso con il ragionamento sopra, si verifica che A è diagonalizzabile e che Λ = P 1 AP è una matrice avente l entrata di posizione j, j) coincidente con l autovalore relativo a P j. Abbiamo visto nella precedente lezione che, in generale, non è immediato che, data una matrice A k n,n abbia o meno autovalori ed autovettori. Osservazione Chiaramente ogni matrice diagonale D è diagonalizzabile! Infatti presa P = I n si ha P 1 DP = D. Esempio Si consideri la matrice si veda l Esempio ) A = R 3, Come visto nell Esempio , A ha i due autovalori ±3 e E A 3) = { a2, 1, 3) a R } R 3, E A 3) = { a 1, 1, ) + b 1,, 1) a, b R } R 3.

7 Siano P 1 = 2, 1, 3) = 2 1, P 2 = 1, 1, ) = 3 LEZIONE La matrice P avente tali colonne è , P 3 = 1,, 1) = 1. 1 ha rango 3, dunque è invertibile per esempio detp ) = 6 ). Per quanto visto sopra sappiamo a priori che P 1 AP = diag3, 3, 3) = verificarlo per esercizio). Ricordo che gli autovalori di A k n,n sono le radici λ 1,..., λ h R del polinomio caratteristico p A t). Inoltre ad ognuno degli autovalori λ i k di A rimangono associati due numeri interi non negativi, la sua molteplicità algebrica m a λ, A) e la sua molteplicità geometrica m g λ, A). La somma delle molteplicità delle radici di un polinomio è pari al grado del polinomio stesso. Quindi m a λ 1, A) + + m a λ h, A) n, e, se vale l uguaglianza, tutte le radici di p A t) devono essere in R. Quindi, se λ 1,..., λ h k sono le radici di p A t), tenendo conto della Proposizione 2.2.2, al massimo possiamo determinare m g λ 1, A) + + m g λ h, A) m a λ 1, A) + + m a λ h, A) n autovettori linearmente indipendenti. Se vale l uguaglianza, tutte le radici λ di p A t) devono essere in k e si deve avere m g λ, A) = m a λ, A) per ognuna di esse. In particolare, se o non tutte le radici di p a t) sono in k oppure se lo sono ma esiste almeno una di esse per cui m g λ, A) < m a λ, A), la matrice A non è diagonalizzabile. Esempio Si considerino le matrici di R 3,3 C 3,3 A 1 = , A 2 =

8 DIAGONALIZZAZIONE DI MATRICI SIMMETRICHE Nell Esempio abbiamo visto che A 1 ha come autovalori i numeri 1 e 2 e che m a 2, A) = 1 = m g 2, A), m a 1, A) = 2 > 1 = m g 1, A). Nell Esempio abbiamo visto che A 2 ha come unico autovalore in R il numero e che m a, A) = 1 = m g, A). Invece su C tale matrice ha i numeri, 2 + i e 2 i come autovalori e m a, A) = 1 = m g, A), m a 2 + i, A) = 1 = m g 2 + i, A), m a 2 i, A) = 1 = m g 2 i, A). Concludiamo che le due matrici date non sono diagonalizzabili su R. Invece A 2 è diagonalizzabile su C mentre A 1 non lo è. Viene naturale porsi il problema di dare un criterio per stabilire se una data matrice sia diagonalizzabile o meno su R o C. Si ha il seguente risultato fondamentale Proposizione Siano k = R, C e A k n,n. La matrice A è diagonalizzabile su k se e solo se valgono le due seguenti condizioni: i) tutte le radici di p A t) sono in k; ii) per ogni radice λ di p a t) risulta m g λ, A) = m g λ, A) Diagonalizzazione di matrici simmetriche. Come visto nel paragrafo precedente, il fatto che una matrice sia diagonalizzabile o meno non può essere, in generale, stabilito a priori ma solo dopo lo studio dei suoi autospazi. C è però una classe di matrici la cui diagonalizzabilità è assicurata da un risultato generale di cui omettiamo la dimostrazione e su cui torneremo nelle prossime lezioni. Proposizione Sia A Sim n R). Allora A è diagonalizzabile. Si noti che la proposizione precedente assicura la diagonalizzabilità su R, cioè l esistenza di una matrice invertibile P R n,n tale che P 1 AP = D R n,n sia diagonale. Esempio Sia Risulta A = t t t = t3 + 3t + 2 = t + 1) 2 t 2), Concludiamo che gli autovalori di A sono 1 e 2: inoltre per la Proposizione m a 1, A) = m g 1, A) = 2 e m a 2, A) = m g 2, A) = 1. Per determinare E A 1) risolviamo il sistema x y z =.

9 LEZIONE 16 9 Quindi E A 1) = { a1, 1, ) + b1, 1, 2) a, b R}. Per determinare E A 2) risolviamo il sistema x y = z Quindi E A 2) = { a1, 1, 1) a R }. Posto P = risulta P 1 AP = Osservazione Per renderci conto della potenza della Proposizione osserviamo che, spesso, è assai difficile determinare esattamente gli autovalori di una matrice: può però essere utile poternme determinare la diagonalizzabilità. Per esempio 21 3/ /4 π e /4 e 1 1/11 3/2 π A = è senza dubbio diagonalizzabile perché simmetrica a coefficienti reali.