Autovalori, Autovettori, Diagonalizzazione.

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1 Autovalori Autovettori Diagonalizzazione Autovalori e Autovettori Definizione Sia V uno spazio vettoriale sul campo K = R o C e sia T : V V un endomorfismo Un vettore non nullo v V \ {O} si dice autovettore di T relativo all autovalore λ K se si ha T v = λv Proposizione : Sia V uno spazio vettoriale sul campo K = R o C e sia T : V V un endomorfismo Allora λ K è autovalore di T KerT λid V {O} Inoltre v V è una autovettore di T relativo all autovalore λ K v KerT λid V \ {O} Dimostrazione: Basta osservare che equivale a T λid V v = O Definizione Sia V uno spazio vettoriale sul campo K e sia T : V V un endomorfismo Se λ K è un autovalore di T il sottospazio V λ = KerT λid V si dice autospazio di T relativo all autovalore λ e la sua dimensione dimv λ si dice molteplicità geometrica di λ Proposizione : Sia T : V V un endomorfismo di uno spazio vettoriale V e sia B una base di V Allora la matrice di T relativa a B è diagonale B è composta di autovettori di T Dimostrazione: Sia B = {v v n } Se i v i sono tutti autovettori relativi a autovalori λ i allora T v i = λ i v i per ogni i e quindi la matrice di T relativa a B è diagonale con i λ λ n sulla diagonale Viceversa se la matrice di T relativa a B è diagonale con i λ λ n sulla diagonale allora T v i = λ i v i per ogni i e quindi B è composta di autovettori di T Corollario 3: Una matrice quadrata A è simile a una matrice diagonale l applicazione L A : K n K n ammette una base di autovettori Definizione 3 Un endomorfismo T : V V di uno spazio vettoriale V si dice diagonalizzabile se esiste una base di V rispetto alla quale T ha matrice diagonale Questo equivale a richiedere che esiste una base di autovettori di V Una matrice A quadrata di ordine n si dice diagonalizzabile se è simile a una matrice diagonale ossia se esiste una matrice non singolare B tale che B AB è diagonale Teorema 4: Sia T : V V un endomorfismo di uno spazio vettoriale V di dimensione n sul campo K Siano B una base di V e sia A la matrice di T relativa a B Allora i La funzione p T : K K definita da p T λ = deta λi n è un polinomio di grado n che non dipende dalla scelta della base B

2 ii Uno scalare λ K è un autovalore di T p T λ = Dimostrazione: i Dimostriamo che p T λ non dipende dalla scelta della base Sia A la matrice di T relativa a un altra scelta di base B di V Se B è la matrice del cambio di base da B a B allora A = B AB Occorre provare che deta λi n = deta λi n Questo segue utilizzando il Teorema di Binet: deta λi n = detb AB λi n = detb AB B λi n B = det B A λi n B = detb deta λi n detb = detb deta λi n detb = deta λi n Dimostriamo che p T λ è un polinomio di grado n per induzione sulla dimensione n di V Se n = il fatto è ovvio Supponiamo che sia vero per n Allora a λ a a n a p T λ = deta λi n = det a λ a n a n a n a n λ a λ a n = a λdet + monomi di grado n in λ a n a n λ e quindi per l ipotesi induttiva p T λ è un polinomio di grado n ii Lo scalare λ K è autovalore di T KerT λ Id V {O} A λ I n non è invertibile deta λ I n = Definizione 4 Sia T : V V un endomorfismo di uno spazio vettoriale V Il polinomio p T λ si dice polinomio caratteristico di T Definizione 5 Sia λ un autovalore di un endomorfismo di uno spazio vettoriale V la molteplicità algebrica di T è la molteplicità di λ come radice del polinomio p T λ Come conseguenza immediata del Teorema 4 e del Teorema Fondamentale dell Algebra si ha il seguente Corollario 5: Ogni endomorfismo di uno spazio vettoriale su C di dimensione n ha esattamente n autovalori contati con la molteplicità Spesso invece che con endomorfismi si ha a che fare solo con matrici Ricapitoliamo brevemente le ovvie nozioni di autovalore di autovettore autospazio e molteplicità nel caso di matrici: Definizione 6 Se A M n K è una matrice quadrata di ordine n Un vettore non nullo x K n \ {O} si dice autovettore di A relativo all autovalore λ K se si ha Ax = λ x Inoltre p A λ = deta λi n che secondo la Definizione 4 è il polinomio caratteristico dell applicazione L A si dice polinomio caratteristico di A e le sue radici sono gli autovalori di A Si dice autospazio relativo a un autovalore λ di A il sottospazio V λ = KerA λ I n = KerL A λ Id K n La molteplicità geometrica di un autovalore λ di A è la dimensione dell autospazio V λ La molteplicità algebrica di un autovalore è la sua molteplicità come radice del polinomio caratteristica

3 Diagonalizzabilità Nel paragrafo precedente abbiamo dato due nozioni di molteplicità per un autovalore di un endomorfismo di uno spazio vettoriale di dimensione finita È possibile dare un criterio di diagonalizzabilità in termini di molteplicità Si dimostra infatti che affinchè un endomorfismo di uno spazio di dimensione n su un campo K sia diagonalizzabile occorre e basta che contati con la loro molteplicità algebrica ci siano n autovalori nel campo K e che per tutti gli autovalori le molteplicità algebriche e geometriche coincidano L idea è che affinchè un endomorfismo sia diagonalizzabile debbano esserci abbastanza autovalori e che per ogni autovalore ci siano abbastanza autovettori linearmente indipendenti Per capire cosa succede cominciamo con due esempi tipic di endomorfimi e matrici non diagonalizzabili Il primo illustra la situazione in cui non ci sono abbastanza autovalori il secondo il caso in cui non ci sono abbastanza autovettori linearmente indipendenti Esempio Sia A = e si consideri L A : R R definita come al solito da L A x = Ax Il polinomio caratteristico di A è λ + e quindi non vi sono autovalori in R di A Si conclude allora che L A : R R non è diagonalizzabile e che A non è simile a una matrice diagonale reale ossia non esiste una matrice invertibile B reale tale che B AB sia diagonale Esempio Sia A = e si consideri L A : R R definita come al solito da L A x = Ax Dato che il polinomio caratteristico di di L A e di A è λ Si vede subito che l unico autovalore di L A e di A è D altra parte l autospazio corrispondente x è {x = x = } che ha dimensione Dunque non può esistere una base di R x costituita da autovettori di L A o di A e quindi L A e A non sono diagonalizzabili Cominciamo con la seguente Proposizione : Sia T : V V un endomorfismo di uno spazio vettoriale V su un campo K Se v v k sono autovettori di T corrispondenti a autovalori distinti λ λ k allora v v k sono linearmente indipendenti Dimostrazione: Procediamo per induzione su k Se k = il risultato è banale Supponiamo il risultato vero per k Siano α α k scalari tali che O = α v + + α k v k α k v k Allora O = T α v + + α k v k = α T v + + α k T v k = α λ v + + α k λ k v k + α k λ k v k Moltiplicando la per λ k e sottraendo alla otteniamo: O = α λ λ k v + + α k λ k λ k v k + α k λ k λ k v k = α λ λ k v + + α k λ k λ k v k Per l ipotesi induttiva α λ λ k = = α k λ k λ k = e quindi α = = α k = dato che λ i λ j se i j Ma allora da segue anche α k = 3

4 Proposizione : Sia V spazio vettoriale di dimensione n su un campo K Se un endomorfismo T : V V ha n autovalori distinti in K T è diagonalizzabile Dimostrazione: Il risultato è immediata conseguenza della Proposizione : se λ λ n K sono autovalori a due a due distinti di T e v v n sono autovettori corrispondenti allora v v n sono linearmente indipendenti e quindi dato che dimv = n formano una base per V Proposizione 3: Siano V spazio vettoriale di dimensione n su un campo K e T : V V un endomorfismo Per ogni autovalore λ K di T la molteplicità geometrica è minore o uguale della molteplicità algebrica Dimostrazione: Siano r la molteplicità geometrica e s la molteplicità algebrica di λ Sia {v v r } una base dell autospazio V λ e sia {v v r v r+ v n } un suo completamento a una base di V La matrice A di T relativa a questa base ha questa forma: λ λ C A = λ B dopo C è una matrice r righe e n r colonne e B è una matrice n r righe e n r colonne Allora se P T P A e P B sono rispettivamente il polinomio caratteristico di T della matrice A e della matrice B si ha P T λ = P A λ = λ λ r P B λ e quindi la moteplicità algebrica di λ è s r Siamo pronti per enunciare il criterio di diagonalizzabilità annunciato: Teorema 4: Sia T : V V un endomorfismo di uno spazio vettoriale V su un campo K di dimensione n Allora T è diagonalizzabile se e solo se T ha n autovalori contati con la molteplicità algebrica in K e per ogni autovalore la molteplicità geometrica coincide con la molteplicità algebrica Dimostrazione: Se T è diagonalizzabile allora esiste una base di autovalori la matrice di T relativa è diagonale con sulla diagonale gli autovalori di T Quindi è immediato osservare che T ha n autovalori contati con la molteplicità algebrica in K e per ogni autovalore la molteplicità geometrica coincide con la molteplicità algebrica Viceversa siano λ λ r K gli autovalori distinti di T m m r le rispettive molteplicità algebriche e V λ V λr Supponiamo che m + + m r = n e che dimv λj = m j per ogni j = r Poniamo inoltre µ j = j k= m k per ogni j in modo che in particolare risulti µ r = n Siano rispettivamente B = {v v µ } una base di V λ B = {v µ + v µ } una base di V λ B r = {v µr + v n } una base di V λr 4

5 Allora B = B B r è costituita da n autovettori di T Per concludere la dimostrazione basta provare che B è una base di V e a tal fine basta far vedere che è un sistema libero Supponiamo che per α α µ α µr + α µn K si abbia α v + + α µ v µ + + α µr +v µr α µn v µr = O V e per ogni j = r si ponga w j = α µj +v µj α µj v µj V λj Dunque si ha w + + w r = O V e questo dato che i w j appartengono a autospazi corrispondenti a autovalori distinti per la Proposizione può succedere solo se w = = w r = O V Allora per ogni j = r si ha O V = w j = α µj +v µj α µj v µj e quindi dato che B j è una base allora α µj + = = α µj = Dunque B è libero Il Teorema 4 si può riformulare come criterio di diagonalizzabilità per matrici nel modo seguente: Corollario 5: Una matrice A M n K è simile a una matrice diagonale se e solo se A ha n autovalori contati con la molteplicità algebrica in K e per ogni autovalore la molteplicità geometrica coincide con la molteplicità algebrica Concludiamo illustrando la procedura che si deve seguire per verificare se un endomorfismo è diagonalizzabile e nel caso per trovare una base composta di autovettori Algoritmo di diagonalizzazione per endomorfismi: Sia T : V V un endomorfismo di uno spazio vettoriale V su K con dimv = n I passo: Si fissi una base B di V e si trovi la matrice A associata a T relativa alla base B II passo: Trovare il polinomio caratteristico P T λ = deta λi n e determinarne le radici Se contate con la loro molteplicità ha n radici in K si può proseguire altrimenti si conclude che T non è diagonalizzabile perchè non ha abbastanza autovalori in K! III passo: Se λ λ r sono gli autovalori distinti di T per ogni j = r si determnini una base C j per l autospazio V λj relativo all autovalore λ j IV passo: Si consideri C = C C r Allora C è un sistema di vettori linearmente indipendenti di V L endomorfismo T è diagonalizzabile se e solo se C contiene n vettori perchè in questo caso C è una base di V contiene il numero giusto di vettori linearmente indipendenti costituita da autovettori di T Se C è una base la matrice di T relativa a C è la matrice diagonale con sulla diagonale gli autovalori di T La matrice B del cambio di base dalla base B alla base C quella che ha per colonne le coordinate rispetto a B dei vettori di C è la matrice tale che = B AB Naturalmente l algoritmo si può adattare per diagonalizzare matrici Algoritmo di diagonalizzazione matrici: Sia A M n K una matrice quadrata di ordine n I passo: Trovare il polinomio caratteristico P A λ = deta λi n e determinarne le radici Se contate con la loro molteplicità ha n radici in K si può proseguire altrimenti si conclude che A non è diagonalizzabile perché non ha abbastanza autovalori in K! 5

6 II passo: Se λ λ r sono gli autovalori distinti di A per ogni j = r si determnini una base C j per l autospazio V λj = KerA λ j I n relativo all autovalore λ j che non è altro che l insieme delle soluzioni del sistema omogeneo A λ j I n x = III passo: Si consideri C = C C r Allora C è un sistema di vettori linearmente indipendenti di R n La matrice A è diagonalizzabile se e solo se C contiene n vettori perchè in questo caso C è una base di R n contiene il numero giusto di vettori linearmente indipendenti costituita da autovettori di A Se C è una base la matrice di L A relativa a C è la matrice diagonale con sulla diagonale gli autovalori di A Dunque se B è la matrice del cambio di base dalla base canonica alla base C quella che ha per colonne i vettori di C è la matrice tale che = B AB Esempio Se M = e N = consideriamo l endomorfismo T : M R M R definito da T X = XM N X Dimostreremo ora che T è diagonalizzabile e troveremo x x una base diagonalizzante Se X = allora si vede subito che x x Allora rispetto alla base di M R la matrice di T è x + x T X = x + x x + x x + x { Il polinomio caratteristico di T è dunque A = } p T λ = deta λi 4 = λ 4λ + 3λ λ che ha 4 radici distinte 3 che sono gli autovalori di T e di A Cercare una base per gli autospazi corrispondenti a ciascun autovalore corrisponde a trovare basi rispettivamente per KerT KerT Id KerT Id KerT Id Dato che KerA = Span KerA I 4 = Span KerA I 4 = Span KerA 3I 4 = Span 6

7 allora KerT = Span KerT Id = Span KerT Id = Span KerT Id = Span e quindi una base di M R rispetto alla quale T ha matrice diagonale è data da { La matrice di T rispetto a questa base è Si osservi che la matrice D = 3 B = } che ha per colonne i vettori che formano basi rispettivamente di KerA KerA I 4 KerA I 4 KerA 3I 4 ha inversa B = e con un semplice calcolo si verifica che D = B AB Concludiamo queste note esaminando il seguente problema Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n e siano T i : V V i = due endomorfismi diagonalizzabili Sotto quale condizione esiste una base di V rispetto alla quale sia T sia T ha matrice diagonale? In altre parole sotto quale ipotesi T e T sono simultaneamente diagonalizzabili? È abbastanza facile trovare una condizione necessaria: Proposizione 6: Per i = siano T i : V V endomorfismi di uno spazio vettoriale V su un campo K di dimensione n simultaneamente diagonalizzabili Allora T e T commutano ossia tali che T T = T T Dimostrazione: Sia B = {v v } una base rispetto alla quale sia T sia T hanno matrice diagonale Allora per ogni i = n esistono scalari λ i e µ i tali che T v i = λ i v i e T v i = µ i v i Ma allora per ogni i = n T T v i = T µ i v i = µ i T v i = µ i λ i v i = λ i µ i v i = λ i T v i = T λ i v i = T T v i e quindi T T v i = T T v i Dato che assumono gli stessi valori sugli elementi di una base segue che T T = T T 7

8 In effetti dimostreremo ora che la condizione è anche sufficiente Cominciamo con una ossevazione che vale anche per spazi non finitamente generati Lemma 7: Per i = siano T i : V V endomorfismi di uno spazio vettoriale V su un campo K che commutano ossia tali che T T = T T Se U è un autospazio di T allora T U U e se W è un autospazio di T W allora T W W Dimostrazione: Naturalmente basta dimostrare una delle due conclusioni l altra si ottiene scambiando i ruoli di T e T Sia dunque U un autospazio di T relativo all autovalore λ Allora U = KerT λid Se u U allora T T u = T T u = T λu = λt u e quindi T u U Il risultato conclusivo è il seguente: Teorema 8: Per i = siano T i : V V endomorfismi di uno spazio vettoriale V su un campo K di dimensione n Allora T e T sono simultaneamente diagonalizzabili se e solo se commutano Dimostrazione: Grazie alla Proposizione 6 ci basta dimostrare che se T e T commutano allora sono simultaneamente diagonalizzabili Supponiamo prima di tutto che per uno fra T e T per esempio T tutto V sia un autospazio Allora T = λid per qualchescalare λ e quindi T ha matrice diagonale rispetto qualunque base di V e quindi T e T sono simultaneamente diagonalizzabili Se invece gli autospazi di T e T sono tutti propri ossia diversi da V procediamo per induzione per ottenere la conclusione La conclusione del Teorema vale banalmente per spazi vettoriai di dimensione Supponiamo che il Teorema valga per ogni spazio vettoriale di dimensione n Siano λ λ k gli autovalori distinti di T e V V k i corrispondenti autospazi Se U = V V k allora sia V sia U sono sottospazi propri di V e quindi dimv n e dimu n Inoltre dal Lemma 7 segue che T V V e T U U Dunque le restrizioni di T e T sia a V sia a U commutano e quindi per l ipotesi induttiva sono simultaneamente diagonalizzabili Dato che V = V U segue che T e T sono simultaneamente diagonalizzabili su tutto V 8