AUTOVALORI, AUTOVETTORI, AUTOSPAZI

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "AUTOVALORI, AUTOVETTORI, AUTOSPAZI"

Transcript

1 AUTOVALORI, AUTOVETTORI, AUTOSPAZI. Esercizi Esercizio. Sia f : R 3 R 3 l endomorfismo definito da f(x, y, z) = (x+y, y +z, x+z). Calcolare gli autovalori ed una base per ogni autospazio di f. Dire se f è un endomorfismo semplice. Esercizio. Dire se la matrice A = 0 0 è diagonalizzabile. In caso affermativo, 0 trovare una matrice invertibile P tale che P AP sia una matrice diagonale. Esercizio 3. Sia f : R 3 R 3 l endomorfismo associato alla matrice A = rispetto alla base canonica B. Calcolare autovalori, autovettori, ed una base per ogni autospazio di f. Dire se f è semplice. Esercizio 4. Sia f : R 4 R 4 l endomorfismo definito da f (x, y, z, t) = (x + 3y, x + y, z + t, z + t). Verificare che f è invertibile e che f è semplice. Calcolare gli autovalori di f e confrontarli con quelli di f. Ripetere il confronto tra gli autospazi. ( ) Esercizio 5. Trovare gli autovalori della matrice A = e quelli della matrice 3 A + I. Qual è la relazione tra gli autovalori? Dopo aver trovato gli autospazi delle due matrici, stabilire la relazione esistente. Esercizio 6. Dopo aver scritto l endomorfismo f : R R verificante tutte le condizioni seguenti () (, ) è un autovettore di f relativo all autovalore ; () (0, ) è un vettore di ker f; verificare che f è semplice. Si può affermare che f è semplice guardando le sole condizioni (), ()? Ripetere l esercizio sostituendo la condizione () con (3)f(, ) = f(, 0); ovvero con (3 )f(, ) = (, ). Esercizio 7. [ Dire per ] quali valori di k R l endomorfismo f : R R associato alla matrice A = rispetto alla base B = ((, ), (, )) è semplice. k Esercizio 8. Sia f : R R l endomorfismo che associa ad ogni vettore v il vettore f(v) ottenuto ruotando v di π/4 in senso antiorario. Scrivere la matrice associata ad f rispetto alla base canonica e verificare che f non ha autovalori. Esercizio 9. Sia f : R 3 R 3 l endomorfismo associato alla matrice A = rispetto alla base canonica 0 0

2 AUTOVALORI, AUTOVETTORI, AUTOSPAZI () f è iniettiva; () (,, ) è un autovettore di f; (3) (,, ) è un autovalore di f; (4) è un autovalore di f. Esercizio 0. Sia data la matrice A = () (,, ) è un autovettore di f; () (,, ) ker f; (3) (,, ) è un autovettore per f relativo all autovalore 3; (4) (,, ) è un autovettore per f relativo all autovalore. [ ] (prodotto righe colonne). Esercizio. Sia f : R 3 R 3 l endomorfismo che associa ad ogni vettore (x, y, z) il vettore f(x, y, z) = (y x, z y, z). Allora () f ha un solo autovalore; () ogni vettore (x, y, z) è un autovettore per f; (3) f è semplice; (4) (,, ) ker f. Esercizio. Se f(x, y) = (x + 3y, y) allora f è semplice. (V ) (F ) Esercizio 3. Se f(x, y) = (x, x) allora (, ) è autovettore di f relativo all autovalore. (V ) (F ) Esercizio 4. Se f(, 0) = f(0, ) allora (, ) è autovettore di f relativo all autovalore 0. (V ) (F ). Soluzioni di alcuni esercizi Soluzione dell Esercizio. La matrice associata ad f rispetto alla base canonica è A = ed il polinomio caratteristico di f è allora p f (t) = det(a ti 3 ) = = det t 0 0 t = ( t) 3 + = ( t)(t t + ). 0 t Le radici di p f (t) sono t =, t = +i 3, t 3 = i 3, e quindi f ha il solo autovalore, unica radice reale di p f (t). Calcoliamo ora il relativo autospazio. Per definizione, V () = {(x, y, z) R 3 (A I)X = 0}, e quindi dobbiamo risolvere il sistema lineare omogeneo x + y = 0 y + z = 0 x z = 0. Le soluzioni di tale sistema lineare sono (y, y, y), y R, e quindi V () = {(y, y, y) y R} = L((,, )).

3 AUTOVALORI, AUTOVETTORI, AUTOSPAZI 3 Osserviamo che dim V () = in accordo con la limitazione dim V () m(), dove m() è la molteplicità di t = come soluzione dell equazione caratteristica, e che una base di V () è ((,, )). f non è semplice perché il polinomio caratteristico ha radici non reali. Soluzione dell Esercizio. Fissata la base canonica di R 3, sia f : R 3 R 3 l endomorfismo la cui matrice associata rispetto alla base canonica è A. Il polinomio caratteristico di A è p A (t) = det(a ti) = t 3 +3t+ = (t+) (t ), le cui radici sono t =, t = con molteplicità m( ) =, m() =. Essendo entrambe reali, sono entrambe autovalori. Calcoliamo l autospazio relativo a t =. Dobbiamo risolvere il sistema lineare omogeneo (A + I)X = 0 dove X sono le componenti di un vettore rispetto alla base canonica. Il sistema, dopo aver ridotto la matrice A+I per righe, si scrive come x+y+z = 0, le cui soluzioni sono tutte e sole della forma (x, y, x y), x, y R. Abbiamo allora V ( ) = {(x, y, x y) x, y R} = L((, 0, ), (0,, )) perché le componenti di un vettore rispetto alla base canonica coincidono con le entrate del vettore come elemento di R 3. Infine, osserviamo che una base di V ( ) è ((, 0, ), (0,, )), e che dim V ( ) = = m( ). L autospazio relativo all autovalore t = si calcola in maniera analoga. Risolviamo allora il sistema lineare omogeneo associato alla matrice dei coefficienti A I. Dopo aver ridotto per righe la matrice dei coefficienti, otteniamo { x + y + z = 0 le cui soluzioni sono x y = 0 V () = {(x, x, x) x R} = L((,, )). Una base di V () è ((,, )) e la sua dimensione è dim V () = = m(). Poiché tutte le radici del polinomio caratteristico sono reali, e ogni autospazio ha dimensione uguale alla molteplicità, possiamo dire che A è diagonalizzabile. Una matrice invertibile P che diagonalizza A ha come colonne le componenti dei vettori delle basi dei singoli autospazi (ossia, le soluzioni dei sistemi lineari omogenei). Quindi, P = 0 0 La teoria prevede che P AP = D è una matrice diagonale, con d ii autovalore relativo all autovettore che occupa la colonna i esima di P. In conclusione, P AP = Soluzione dell Esercizio 3. Calcoliamo il polinomio caratteristico di f. p f (t) = det(a ti) = = t t = t(t ). 9 9 t Le radici del polinomio sono t = 0, t =, con molteplicità m(0) =, m() =.

4 4 AUTOVALORI, AUTOVETTORI, AUTOSPAZI Calcoliamo l autopsazio relativo all autovalore t = 0 risolvendo il sistema lineare omogeneo AX = 0 dove X = t (a, b, c) sono le componenti di un vettore di R 3 rispetto alla base canonica B. Ridotta per righe la matrice dei coefficienti, otteniamo il sistema { a + b = 0 c = 0 le cui soluzioni sono della forma (a, a, 0), a R. L autospazio allora è V (0) = {(a, a, 0) a R} = L((,, 0)). Osserviamo che una sua base è ((,, 0)), mentre la sua dimensione è dim V (0) = = m(0). Infine, osserviamo che V (0) = ker(f). Calcoliamo ora il secondo autospazio V (). Bisogna risolvere il sistema lineare omogeneo (A I)X = 0 dove, come nel caso precedente, X sono le componenti di un vettore di R 3 rispetto alla base B. Dopo aver ridotto per righe la matrice dei coefficienti, otteniamo il sistema { b = 0 3a c = 0 le cui soluzioni sono della forma (a, 0, 3a), a R. Quindi, l autospazio cercato è V () = {(a, 0, 3a) a R} = L((, 0, 3)). Notiamo che dim V () = < m(), e che una sua base è ((, 0, 3)). Infine, f non è semplice perché, pur essendo reali tutte le radici del polinomio caratteristico, l autovalore t = ha un autospazio associato di dimensione inferiore alla sua molteplicità, e quindi non è regolare. Soluzione dell Esercizio 4. Fissata la base canonica di R 4, la matrice associata ad f è A = Poiché r(a) = 4, la matrice A è invertibile, e quindi f è invertibile. Inoltre, la matrice associata ad f rispetto alla base canonica è A. Svolgendo i calcoli, abbiamo che A = Gli autovalori di f si calcolano come radici del polinomio caratteristico di f che è uguale a p f (t) = det(a ti) = (t + ) (t )(t ). Poiché tutte le radici sono 3 4 reali, abbiamo che gli autovalori di f sono t =, t =, t 3 3 =, di molteplicità 4 m( ) =, m( ) = m( ) =, rispettivamente. Per calcolare gli autovalori di f, calcoliamo analogamente il polinomio caratteristico di f, ed abbiamo p f (t) = det(a ti) = 3 4 (t+) (t 3)(t 4), e quindi gli autovalori di A sono t =, t = 3, t 3 = 4 di molteplicità m( ) =, m(3) = m(4) =, rispettivamente. In conclusione, gli autovalori di A sono i reciproci di quelli di A, con la stessa molteplicità. Calcoliamo ora gli autospazi di f. Per calcolare W ( ) bisogna risolvere il sistema lineare omogeneo (A + I)X = 0, dove X sono le componenti di un vettore rispetto alla base canonica, e quindi coincidono

5 AUTOVALORI, AUTOVETTORI, AUTOSPAZI 5 con le entrate del vettore stesso. Riducendo la matrice e risolvendo il sistema ottenuto, abbiamo W ( ) = {( 3y, y, t, t) y, t R}, una cui base è (( 3,, 0, 0), (0, 0,, )) e la cui dimensione è. Analogamente, possiamo calcolare una base e la dimensione degli altri due autospazi, ed abbiamo W ( ) = {(0, 0, t, t) t R}, 3 W ( ) = {(y, y, 0, 0) y R}, 4 entrambi di dimensione, aventi come basi ((0, 0,, )), ((,, 0, 0)), rispettivamente. Calcolando gli autospazi V ( ), V (3), V (4) di f otteniamo V ( ) = W ( ), V (3) = W ( 3 ), V (4) = W ( 4 ). Inoltre, entrambe le matrici sono diagonalizzabili usando la stessa matrice P = , 0 0 ottenendo però due matrici diagonali che sono coerenti con gli autovalori delle due matrici (confrontare con l Esercizio ). Provare a dare una dimostrazione del risultato illustrato da questo Esercizio. Soluzione dell Esercizio 5. Il polinomio caratteristico di A è p A (t) = t 5t + 4, le cui radici sono t =, t = 4, entrambe reali, e quindi entrambe autovalori di A. Il polinomio caratteristico di A + I è p A+I (t) = t 9t + 8, le cui radici sono t = 3 = +, t = 6 = 4 +. Quindi, gli autovalori di A + I sono uguali a quelli di A aumentati di. Gli autospazi V (), V (4) di A sono e entrambi di dimensione. Gli autospazi W (3), W (6) di A + I sono V () = {( y, y) R y R} = L((, )) V (4) = {(x, x) R x R} = L((, )) W (3) = V (), W (6) = V (4). Ne segue che entrambe le matrici sono diagonalizzabili usando la matrice [ ] P =, ottenendo però due matrici diagonali diverse, in accordo con gli autovalori delle due matrici (confronta con l Esercizio ). Provare a dimostrare in generale il risultato illustrato da questo Esercizio.

6 6 AUTOVALORI, AUTOVETTORI, AUTOSPAZI Soluzione dell Esercizio 6. La condizione () dice che (0, ) è autovettore per f associato all autovalore 0, e quindi f è semplice perché R ha una base formata da autovettori di f. La matrice associata ad f rispetto alla base di autovettori B = ((, ), (0, )) è M B,B (f) = [ Per scrivere la matrice associata ad f rispetto alla base canonica C = ((, 0), (0, )) bisogna calcolare f(, 0). Le componenti di (, 0) rispetto a B sono t (, ) ossia (, 0) = (, ) (0, ). Usando la linearità di f, otteniamo Quindi, ]. f(, 0) = f(, ) f(0, ) = (, ) (0, 0) = (, ). M C,C (f) = [ 0 0 e possiamo scrivere f(x, y) = (x, x). Gli autovalori di f sono 0, entrambi semplici. Consideriamo ora le condizioni (), (3). Poiché f(, ) = f(, 0), abbiamo f(, ) f(, 0) = (0, 0). Per la linearità, f((, ) (, 0)) = (0, 0), e quindi f(0, ) = (0, 0). In conclusione, la condizione (3) è uguale alla condizione () ed abbiamo la stessa applicazione f. La condizione (3 ) afferma che f(, ) = (, ). Quindi, f(, ) = f(, ). Usando la linearità di f, abbiamo f((, ) (, )) = (0, 0), da cui f(0, ) = (0, 0). Anche in questo caso, la condizione (3 ) è uguale alla condizione (), e l applicazione definita è la stessa. Soluzione dell Esercizio 7. Il polinomio caratteristico di A è p A (t) = t 3t + k. Il discriminante del polinomio è = 9 4( k) = 4k +. Sappiamo che, se < 0, ossia se k < le radici del polinomio caratteristico non sono 4 reali, e quindi la matrice A non è diagonalizzabile. Se = 0, ossia se k =, allora il polinomio caratteristico di A ha come radice t = 3 4 con molteplicità, e quindi t = 3 è l unico autovalore di A. L autospazio corrispondente è formato dai vettori le cui componenti X rispetto alla base B verificano il sistema lineare omogeneo (A 3I)X = 0. Poiché il rango di A 3 I è uguale ad, il Teorema di Rouché- Capelli permette di concludere che dim V ( 3 ) = =. Quindi, l unico autovalore di A non è regolare, ed A non è diagonalizzabile. Se > 0, ossia se k > il polinomio caratteristico di Aha due radici reali distinte, 4 e quindi A ha due autovalori di molteplicità. Tali autovalori sono sempre regolari, e quindi A è diagonalizzabile. Soluzione dell Esercizio 8. Bisogna calcolare le immagini dei vettori della base canonica. In una rotazione la lunghezza di un vettore non cambia, e quindi l immagine dei vettori della base canonica hanno ancora lunghezza. Quindi, sia i vetori della base canonica, sia le loro immagini si trovano sulla circonferenza di centro l origine e raggio (circonferenza goniometrica) i cui punti hanno coordinate (cos α, sin α) dove α è l angolo formato dal vettore col semiasse positivo delle ascisse. Quindi, f(, 0) = (cos π, sin π) = ( 4 4, ); f(0, ) = (cos 3π, sin 3π) = ( 4 4, ); ],

7 AUTOVALORI, AUTOVETTORI, AUTOSPAZI 7 e la matrice associata ad f rispetto alla base canonica è [ M C,C (f) = ] Il polinomio caratteristico di f è allora p f (t) = t t + che ha discriminante negativo. Quindi f non ha nè autovalori, nè autovettori, che è coerente con il significato geometrico di autovettore che è vettore parallelo alla sua immagine. Soluzione dell Esercizio 9. f è iniettiva se r(a) = 3. Ma la terza riga della matrice è somma delle prime due, mentre le prime due sono linearmente indipendenti. Quindi r(a) = e l affermazione () è falsa. Per stabilire se la seconda affermazione è vera o falsa, basta calcolare f(,, ). Quindi, f(,, ) = A. = 0 e quindi f(,, ) = 0(,, ) ossia (,, ) è autovettore di f relativo all autovalore 0, e l affermazione () è vera. (3) è sicuramente falsa perché gli autovalori sono numeri reali in questo caso, ed in nessun caso sono dei vettori. (4) è falsa. Per verificarlo, bisogna stabilire se det(a I) = 0. Ma det(a I) = det = e quindi non è soluzione del polinomio caratteristico di A, ossia non è un autovalore di A. Soluzione dell Esercizio 0. () è falsa. Infatti bisogna calcolare f(,, ) che è uguale a f(,, ) = [ ] = 6 e quindi non è parallelo al vettore (,, ). Le affermazioni (), (3), (4) richiedono tutte di calcolare l immagine di (,, ). Procedendo come nel caso () otteniamo f(,, ) = [ ] = 3 e quindi f(,, ) = 3(,, ) ossia (,, ) è autovettore relativo all autovalore 3 per f. Ne segue che () e (4) sono false, mentre (3) è vera. Soluzione dell Esercizio. Scriviamo la matrice di f rispetto a C, ed abbiamo A = M C,C (f) = che è triangolare. Quindi il polinomio caratteristico di f si calcola facilmente ed è p(t) = ( t) 3. Ne segue che () è vera perché l unico autovalore di f è, di molteplicità 3. () è falsa perché f(0,, 0) = (,, 0) e quindi (0,, 0) non è autovettore per f. (3) è falsa perchè non tutti i vettori di R 3 sono autovettori, e quindi V ( ) R 3,

8 8 AUTOVALORI, AUTOVETTORI, AUTOSPAZI ossia dim V ( ) < m( ), e quindi non è un autovalore regolare. (4) è falsa perché f(,, ) = (6, 6, 4) 0. Soluzione dell Esercizio. Gli autovalori di f sono, uniche radici del polinomio caratteristico di f dato da p f (t) = det(a ti) = t 3t + essendo [ ] 3 A = 0 la matrice associata ad f rispetto alla base canonica. Poiché gli autovalori hanno entrambi molteplicità sono regolari, e quindi f è semplice. Soluzione dell Esercizio 3. Calcoliamo f(, ) in base alla definizione di f. Abbiamo f(, ) = (, ) = (, ). Quindi, (, ) è autovettore di f relativo all autovalore, e l affermazione è falsa. Soluzione dell Esercizio 4. Dall ipotesi, abbiamo che f(, 0) f(0, ) = (0, 0). Dalla linearità, si ricava che f((, 0) (0, )) = (0, 0), ossia f(, ) = (0, 0) = 0(, ). Quindi (, ) è autovettore di f relativo all autovalore 0, e l affermazione è vera.

FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Cognome Nome Matricola FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Ciarellotto, Esposito, Garuti Prova del 21 settembre 2013 Dire se è vero o falso (giustificare le risposte. Bisogna necessariamente rispondere

Dettagli

Endomorfismi e matrici simmetriche

Endomorfismi e matrici simmetriche CAPITOLO Endomorfismi e matrici simmetriche Esercizio.. [Esercizio 5) cap. 9 del testo Geometria e algebra lineare di Manara, Perotti, Scapellato] Calcolare una base ortonormale di R 3 formata da autovettori

Dettagli

DIAGONALIZZAZIONE. M(f) =

DIAGONALIZZAZIONE. M(f) = DIAGONALIZZAZIONE Esercizi Esercizio 1. Sia f End(R 3 ) associato alla matrice M(f) = 0 1 2 0. 2 (1) Determinare gli autovalori di f e le relative molteplicità. (2) Determinare gli autospazi di f e trovare,

Dettagli

Applicazioni lineari e diagonalizzazione. Esercizi svolti

Applicazioni lineari e diagonalizzazione. Esercizi svolti . Applicazioni lineari Esercizi svolti. Si consideri l applicazione f : K -> K definita da f(x,y) = x + y e si stabilisca se è lineare. Non è lineare. Possibile verifica: f(,) = 4; f(,4) = 6; quindi f(,4)

Dettagli

Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test 1: soluzioni

Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test 1: soluzioni Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test : soluzioni k Esercizio Data la matrice A = k dipendente dal parametro k, si consideri il k sistema lineare omogeneo AX =, con X = x x. Determinare

Dettagli

Alcuni esercizi sulla diagonalizzazione di matrici. campo dei reali. Se lo è calcolare una base spettrale e la relativa forma diagonale di A.

Alcuni esercizi sulla diagonalizzazione di matrici. campo dei reali. Se lo è calcolare una base spettrale e la relativa forma diagonale di A. Alcuni esercii sulla diagonaliaione di matrici Eserciio Dire se la matrice A 4 8 è diagonaliabile sul 3 3 campo dei reali Se lo è calcolare una base spettrale e la relativa forma diagonale di A Svolgimento

Dettagli

a + 2b + c 3d = 0, a + c d = 0 c d

a + 2b + c 3d = 0, a + c d = 0 c d SPAZI VETTORIALI 1. Esercizi Esercizio 1. Stabilire quali dei seguenti sottoinsiemi sono sottospazi: V 1 = {(x, y, z) R 3 /x = y = z} V = {(x, y, z) R 3 /x = 4} V 3 = {(x, y, z) R 3 /z = x } V 4 = {(x,

Dettagli

Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 14 gennaio A)

Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 14 gennaio A) Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 4 gennaio 24 - A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Si considerino le rette s : { x x 2 2x 3 = 2 3x x 2 =, { x + x s 2 : 2 x 3 = x 2 =.. Stabilire

Dettagli

Tempo a disposizione: 150 minuti. 1 È dato l endomorfismo f : R 3 R 3 definito dalle relazioni

Tempo a disposizione: 150 minuti. 1 È dato l endomorfismo f : R 3 R 3 definito dalle relazioni Università degli Studi di Catania Anno Accademico 2014-2015 Corso di Laurea in Informatica Prova in itinere di Matematica Discreta (12 CFU) 17 Aprile 2015 Prova completa Tempo a disposizione: 150 minuti

Dettagli

15 luglio Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI

15 luglio Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI 15 luglio 01 - Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a. 01-01 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore. ISTRUZIONI Ti sono

Dettagli

MATRICI E SISTEMI LINEARI

MATRICI E SISTEMI LINEARI - - MATRICI E SISTEMI LINEARI ) Calcolare i seguenti determinanti: a - c - d - e - f - g - 8 7 8 h - ) Calcolare per quali valori di si annullano i seguenti determinanti: a - c - ) Calcolare il rango delle

Dettagli

SISTEMI LINEARI MATRICI E SISTEMI 1

SISTEMI LINEARI MATRICI E SISTEMI 1 MATRICI E SISTEMI SISTEMI LINEARI Sistemi lineari e forma matriciale (definizioni e risoluzione). Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi lineari parametrici. Esercizio Risolvere il sistema omogeneo la cui

Dettagli

(P x) (P y) = x P t (P y) = x (P t P )y = x y.

(P x) (P y) = x P t (P y) = x (P t P )y = x y. Matrici ortogonali Se P è una matrice reale n n, allora (P x) y x (P t y) per ogni x,y R n (colonne) Dim (P x) y (P x) t y (x t P t )y x t (P t y) x (P t y), CVD Ulteriori caratterizzazioni delle matrici

Dettagli

ESERCIZI SUI SISTEMI LINEARI

ESERCIZI SUI SISTEMI LINEARI ESERCIZI SUI SISTEMI LINEARI Consideriamo ora il sistema lineare omogeneo a coefficienti costanti associato alla matrice A M n n, cioè SLO Vale il seguente = A. Teorema. Sia v R n \ } e sia λ C. Condizione

Dettagli

Ingegneria Civile. Compito di Geometria del 06/09/05. E assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 mediante le relazioni

Ingegneria Civile. Compito di Geometria del 06/09/05. E assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 mediante le relazioni Ingegneria Civile. Compito di Geometria del 06/09/05 E assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 mediante le relazioni I f(,, 0) = (h +,h+, ) f(,, ) = (h,h, h) f(0,, ) = (,h, h) con h parametro reale. ) Studiare

Dettagli

Si consideri il sistema a coefficienti reali di m equazioni lineari in n incognite

Si consideri il sistema a coefficienti reali di m equazioni lineari in n incognite 3 Sistemi lineari 3 Generalità Si consideri il sistema a coefficienti reali di m equazioni lineari in n incognite ovvero, in forma matriciale, a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x

Dettagli

Sapienza Università di Roma Corso di laurea in Ingegneria Energetica Geometria A.A ESERCIZI DA CONSEGNARE prof.

Sapienza Università di Roma Corso di laurea in Ingegneria Energetica Geometria A.A ESERCIZI DA CONSEGNARE prof. Sapienza Università di Roma Corso di laurea in Ingegneria Energetica Geometria A.A. 2015-2016 ESERCIZI DA CONSEGNARE prof. Cigliola Consegna per Martedì 6 Ottobre Esercizio 1. Una matrice quadrata A si

Dettagli

Geometria BATR-BCVR Esercizi 9

Geometria BATR-BCVR Esercizi 9 Geometria BATR-BCVR 2015-16 Esercizi 9 Esercizio 1. Per ognuna delle matrici A i si trovi una matrice ortogonale M i tale che Mi ta im sia diagonale. ( ) 1 1 2 3 2 A 1 = A 2 1 2 = 1 1 0 2 0 1 Esercizio

Dettagli

CONICHE. Esercizi Esercizio 1. Nel piano con riferimento cartesiano ortogonale Oxy sia data la conica C di equazione

CONICHE. Esercizi Esercizio 1. Nel piano con riferimento cartesiano ortogonale Oxy sia data la conica C di equazione CONICHE Esercizi Esercizio 1. Nel piano con riferimento cartesiano ortogonale Oy sia data la conica C di equazione 7 2 + 2 3y + 5y 2 + 32 3 = 0. Calcolare le equazioni di una rototraslazione che riduce

Dettagli

LEZIONE 23. ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f

LEZIONE 23. ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f LEZIONE 23 23.1. Riduzione delle coniche a forma canonica. Fissiamo nel piano un sistema di riferimento Oxy e consideriamo un polinomio di grado 2 in x, y a meno di costanti moltiplicative non nulle, diciamo

Dettagli

Applicazioni lineari e diagonalizzazione pagina 1 di 5

Applicazioni lineari e diagonalizzazione pagina 1 di 5 pplicazioni lineari e diagonalizzazione pagina 1 di 5 PPLIZIONI LINERI 01. Dire quali delle seguenti applicazioni tra IR-spazi vettoriali sono lineari a. f :IR 2 IR 3 f(x y =(x y πy b. f :IR 3 IR 3 f(x

Dettagli

Geometria BIAR Esercizi 2

Geometria BIAR Esercizi 2 Geometria BIAR 0- Esercizi Esercizio. a Si consideri il generico vettore v b R c (a) Si trovi un vettore riga x (x, y, z) tale che x v a (b) Si trovi un vettore riga x (x, y, z) tale che x v kb (c) Si

Dettagli

CLASSIFICAZIONE DELLE CONICHE AFFINI

CLASSIFICAZIONE DELLE CONICHE AFFINI CLASSIFICAZIONE DELLE CONICHE AFFINI Pre-requisiti necessari. Elementi di geometria analitica punti e rette nel piano cartesiano, conoscenza delle coniche in forma canonica). Risoluzione di equazioni e

Dettagli

Esercizi sui sistemi di equazioni lineari.

Esercizi sui sistemi di equazioni lineari. Esercizi sui sistemi di equazioni lineari Risolvere il sistema di equazioni lineari x y + z 6 x + y z x y z Si tratta di un sistema di tre equazioni lineari nelle tre incognite x, y e z Poichè m n, la

Dettagli

Applicazioni lineari tra spazi euclidei. Cambi di base.

Applicazioni lineari tra spazi euclidei. Cambi di base. pplicazioni lineari tra spazi euclidei. Cambi di base. Esercizio. Data la seguente applicazione lineare f : R R : f(x, y, z) = (x z, x + y, y + z), scrivere la matrice B, rappresentativa di f rispetto

Dettagli

Esercizi di MATEMATICA PER RCHITETTURA prima parte: Algebra Lineare e Geometria

Esercizi di MATEMATICA PER RCHITETTURA prima parte: Algebra Lineare e Geometria Esercizi di MATEMATICA PER RCHITETTURA prima parte: Algebra Lineare e Geometria Avvertenze In quanto segue tutti i vettori hanno il medesimo punto d origine O l origine dello spazio cartesiano. Possiamo

Dettagli

(x B x A, y B y A ) = (4, 2) ha modulo

(x B x A, y B y A ) = (4, 2) ha modulo GEOMETRIA PIANA 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(0, 4), e B(4, ) trovarne la distanza e trovare poi i punti C allineati con A e con B che verificano: (1) AC = CB (punto medio del segmento AB); ()

Dettagli

I. Foglio di esercizi su vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. , v 2 = α v 1 + β v 2 + γ v 3. α v 1 + β v 2 + γ v 3 = 0. + γ.

I. Foglio di esercizi su vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. , v 2 = α v 1 + β v 2 + γ v 3. α v 1 + β v 2 + γ v 3 = 0. + γ. ESERCIZI SVOLTI DI ALGEBRA LINEARE (Sono svolti alcune degli esercizi proposti nei fogli di esercizi su vettori linearmente dipendenti e vettori linearmente indipendenti e su sistemi lineari ) I. Foglio

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI

APPLICAZIONI LINEARI APPLICAZIONI LINEARI 1 APPLICAZIONI LINEARI Applicazioni lineari tra spazi R n spazi di matrici spazi di polinomi e matrice associata rispetto ad una coppia di basi Endomorismi e matrice associata rispetto

Dettagli

Esercizi sulle coniche (prof.ssa C. Carrara)

Esercizi sulle coniche (prof.ssa C. Carrara) Esercizi sulle coniche prof.ssa C. Carrara Alcune parti di un esercizio possono ritrovarsi in un altro esercizio, insieme a parti diverse. È un occasione per affrontarle più volte.. Stabilire il tipo di

Dettagli

Sistemi differenziali 2 2: esercizi svolti. 1 Sistemi lineari Stabilità nei sistemi lineari

Sistemi differenziali 2 2: esercizi svolti. 1 Sistemi lineari Stabilità nei sistemi lineari Sistemi differenziali : esercizi svolti 1 Sistemi lineari Stabilità nei sistemi lineari 14 1 Sistemi differenziali : esercizi svolti 1 Sistemi lineari Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano

Dettagli

Riassumiamo le proprietà dei numeri reali da noi utilizzate nel corso di Geometria.

Riassumiamo le proprietà dei numeri reali da noi utilizzate nel corso di Geometria. Capitolo 2 Campi 2.1 Introduzione Studiamo ora i campi. Essi sono una generalizzazione dell insieme R dei numeri reali con le operazioni di addizione e di moltiplicazione. Nel secondo paragrafo ricordiamo

Dettagli

SOTTOSPAZI E OPERAZIONI IN SPAZI DIVERSI DA R n

SOTTOSPAZI E OPERAZIONI IN SPAZI DIVERSI DA R n SPAZI E SOTTOSPAZI 1 SOTTOSPAZI E OPERAZIONI IN SPAZI DIVERSI DA R n Spazi di matrici. Spazi di polinomi. Generatori, dipendenza e indipendenza lineare, basi e dimensione. Intersezione e somma di sottospazi,

Dettagli

1 Cambiamenti di coordinate nel piano.

1 Cambiamenti di coordinate nel piano. Cambiamenti di coordinate nel piano.. Coordinate cartesiane Coordinate cartesiane su una retta. Sia r una retta: dare un sistema di coordinate su r significa fissare un punto O di r e un vettore u = U

Dettagli

Esercizi di GEOMETRIA I - Algebra Lineare B = , calcolare A A t A + I

Esercizi di GEOMETRIA I - Algebra Lineare B = , calcolare A A t A + I Esercizi di GEOMETRIA I - Algebra Lineare. Tra le seguenti matrici, eseguire tutti i prodotti possibili: 2 ( ) A = 0 3 4 B = 2 0 0 2 D = ( 0 ) E = ( ) 4 4 2 C = 2 0 5 F = 4 2 6 2. Data la matrice A = 0

Dettagli

Parte 12a. Trasformazioni del piano. Forme quadratiche

Parte 12a. Trasformazioni del piano. Forme quadratiche Parte 12a Trasformazioni del piano Forme quadratiche A Savo Appunti del Corso di Geometria 2013-14 Indice delle sezioni 1 Trasformazioni del piano, 1 2 Cambiamento di coordinate, 8 3 Forme quadratiche,

Dettagli

Corso di Matematica II Anno Accademico Esercizi di Algebra Lineare. Calcolo di autovalori ed autovettori

Corso di Matematica II Anno Accademico Esercizi di Algebra Lineare. Calcolo di autovalori ed autovettori Esercizio 1 Corso di Matematica II Anno Accademico 29 21. Esercizi di Algebra Lineare. Calcolo di autovalori ed autovettori May 7, 21 Commenti e correzioni sono benvenuti. Mi scuso se ci fosse qualche

Dettagli

Esercizi di Matematica di Base Scienze biologiche e Scienze e Tecnologie dell Ambiente

Esercizi di Matematica di Base Scienze biologiche e Scienze e Tecnologie dell Ambiente Esercizi di Matematica di Base Scienze biologiche e Scienze e Tecnologie dell Ambiente Dati i vettori di R (i) Calcolare il prodotto scalare v w, (ii) Stabilire se v e w sono ortogonali, (ii) Stabilire

Dettagli

La riduzione a gradini e i sistemi lineari (senza il concetto di rango)

La riduzione a gradini e i sistemi lineari (senza il concetto di rango) CAPITOLO 4 La riduzione a gradini e i sistemi lineari (senza il concetto di rango) Esercizio 4.1. Risolvere il seguente sistema non omogeneo: 2x+4y +4z = 4 x z = 1 x+3y +4z = 3 Esercizio 4.2. Risolvere

Dettagli

Definizione 1 Una applicazione f : V W, con V, W spazi vettoriali sul campo K si dice lineare se conserva le combinazioni lineari:

Definizione 1 Una applicazione f : V W, con V, W spazi vettoriali sul campo K si dice lineare se conserva le combinazioni lineari: Applicazioni lineari Definizione Una applicazione f : V W, con V, W spazi vettoriali sul campo K si dice lineare se conserva le combinazioni lineari: f(αv + βv 2 ) = αf(v ) + βf(v 2 ) v, v 2 V, α, β K.

Dettagli

Esercitazione di Geometria I 13 dicembre Esercizio 1. Esercizio 2. Esercizio 3

Esercitazione di Geometria I 13 dicembre Esercizio 1. Esercizio 2. Esercizio 3 Esercitazione di Geometria I 13 dicembre 2008 a. Completa la seguente definizione: i vettori v 1, v 2,..., v n del K-spazio vettoriale V si dicono linearmente dipendenti se... b. Siano w 1, w 2, w 3 vettori

Dettagli

Esercizi di GEOMETRIA e ALGEBRA LINEARE (Ingegneria Ambientale e Civile - Curriculum Ambientale)

Esercizi di GEOMETRIA e ALGEBRA LINEARE (Ingegneria Ambientale e Civile - Curriculum Ambientale) Esercizi di GEOMETRIA e ALGEBRA LINEARE (Ingegneria Ambientale e Civile - Curriculum Ambientale). Tra le seguenti matrici, eseguire tutti i prodotti possibili: 2 ( ) A = 0 3 4 B = C = 2 2 0 0 2 D = ( 0

Dettagli

Prodotto scalare, ortogonalitá e basi ortonormali

Prodotto scalare, ortogonalitá e basi ortonormali CAPITOLO 0 Prodotto scalare, ortogonalitá e basi ortonormali Esercizio 0.. Dati i seguenti vettori di R si calcoli il prodotto scalare (v i,v j per i,j =,,...,6: v = (6,3 v = (,0 v 3 = (, v 4 = (,0 v 5

Dettagli

REGISTRO DELLE LEZIONI

REGISTRO DELLE LEZIONI UNIVERSITA DEGLI STUDI DI GENOVA FACOLTA DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI REGISTRO DELLE LEZIONI del Corso UFFICIALE di GEOMETRIA B tenute dal prof. Domenico AREZZO nell anno accademico 2006/2007

Dettagli

1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee

1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee 1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee Vogliamo dare una idea, senza molte pretese, dei concetti che stanno alla base di alcuni calcoli svolti nella classificazione delle coniche. Supponiamo di

Dettagli

QUADERNI DIDATTICI. Dipartimento di Matematica. Esercizi di Geometria ealgebralinearei Corso di Studi in Fisica

QUADERNI DIDATTICI. Dipartimento di Matematica. Esercizi di Geometria ealgebralinearei Corso di Studi in Fisica Università ditorino QUADERNI DIDATTICI del Dipartimento di Matematica E Abbena, G M Gianella Esercizi di Geometria ealgebralinearei Corso di Studi in Fisica Quaderno # 6 - Aprile 003 Gli esercizi proposti

Dettagli

1 Forme quadratiche 1. 2 Segno di una forma quadratica Il metodo dei minori principali Soluzioni degli esercizi 7.

1 Forme quadratiche 1. 2 Segno di una forma quadratica Il metodo dei minori principali Soluzioni degli esercizi 7. 1 FORME QUADRATICHE 1 Forme quadratiche Indice 1 Forme quadratiche 1 2 Segno di una forma quadratica 2 2.1 Il metodo dei minori principali........................................ 3 3 Soluzioni degli esercizi

Dettagli

Appunti di Geometria - 5

Appunti di Geometria - 5 Appunti di Geometria - 5 Samuele Mongodi - s.mongodi@sns.it Segnatura di un prodotto scalare Richiami Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione n; sia, : V V R un prodotto scalare. Data una base

Dettagli

ax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x 2 + 1 = 0.

ax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x 2 + 1 = 0. . Rette in R ; circonferenze. In questo paragrafo studiamo le rette e le circonferenze in R. Ci sono due modi per descrivere una retta in R : mediante una equazione cartesiana oppure mediante una equazione

Dettagli

ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI I

ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI I ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI I Risolvere le seguenti disequazioni: 1 1) { x < x + 1 4x + 4 x ) { x + 1 > x 4x x 10 ) x 4 x 5 4x + > ; 4) ; 5) x 1 x + 1 x + 1 0 ) x > x 0 7) x > 4x + 1; 8) 4 5 x 1 < 1 x

Dettagli

Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Rette

Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Rette Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Rette Annalisa Amadori e Benedetta Pellacci amadori@uniparthenope.it pellacci@uniparthenope.it Università di Napoli Parthenope Contenuti Nel Piano

Dettagli

RETTE E PIANI. ove h R. Determinare i valori di h per cui (1) r h e α sono incidenti ed, in tal caso, determinare l angolo ϑ h da essi formato;

RETTE E PIANI. ove h R. Determinare i valori di h per cui (1) r h e α sono incidenti ed, in tal caso, determinare l angolo ϑ h da essi formato; RETTE E PIANI Esercizi Esercizio 1. Nello spazio con riferimento cartesiano ortogonale Oxyz si considerino la retta r h ed il piano α rispettivamente di equazioni x = 1 + t r h : y = 1 t α : x + y + z

Dettagli

SPAZI VETTORIALI. Esercizi Esercizio 1. Sia V := R 3. Stabilire quale dei seguenti sottoinsiemi di V sono suoi sottospazi:

SPAZI VETTORIALI. Esercizi Esercizio 1. Sia V := R 3. Stabilire quale dei seguenti sottoinsiemi di V sono suoi sottospazi: SPAZI VETTORIALI Esercizi Esercizio. Sia V := R 3. Stabilire quale dei seguenti sottoinsiemi di V sono suoi sottospazi: V := { (a, a, a) V a R }, V 2 := { (a, b, a) V a, b R }, V 3 := { (a, 2a, a + b)

Dettagli

Funzioni implicite - Esercizi svolti

Funzioni implicite - Esercizi svolti Funzioni implicite - Esercizi svolti Esercizio. È data la funzione di due variabili F (x, y) = y(e y + x) log x. Verificare che esiste un intorno I in R del punto di ascissa x 0 = sul quale è definita

Dettagli

Esercizi sulle affinità - aprile 2009

Esercizi sulle affinità - aprile 2009 Esercizi sulle affinità - aprile 009 Ingegneria meccanica 008/009 Esercizio Sono assegnate nel piano le sei rette r : =, s : =, t : =, r : =, s : =, t : = determinare l affinità che trasforma ordinatamente

Dettagli

LUISS Laurea specialistica in Economia e Finanza Anno Accademico 2010/2011

LUISS Laurea specialistica in Economia e Finanza Anno Accademico 2010/2011 LUISS Laurea specialistica in Economia e Finanza Anno Accademico 1/11 Corso di Metodi Matematici per la Finanza Prof. Fausto Gozzi, Dr. Davide Vergni Soluzioni esercizi 4,5,6 esame scritto del 13/9/11

Dettagli

Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva

Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva Filippo F. Favale 8 aprile 014 Esercizio 1 Si consideri E dotato di un riferimento cartesiano ortonormale di coordinate (x, y) e origine O. Si

Dettagli

Somma diretta di sottospazi vettoriali

Somma diretta di sottospazi vettoriali Capitolo 8 Somma diretta di sottospazi vettoriali 8.1 Introduzione Introduciamo un caso particolare di somma di due sottospazi vettoriali: la somma diretta. Anche questo argomento è stato visto nel corso

Dettagli

Esercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016

Esercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016 Esercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016 Prodotti scalari e forme bilineari simmetriche (1) Sia F : R 2 R 2 R un applicazione definita da F (x, y) = x 1 y 1 + 3x 1 y 2 5x 2 y 1 + 2x 2

Dettagli

6. Spazi euclidei ed hermitiani

6. Spazi euclidei ed hermitiani 6. Spazi euclidei ed hermitiani 6.1 In [GA] 5.4 abbiamo definito il prodotto scalare fra vettori di R n (che d ora in poi chiameremo prodotto scalare standard su R n ) e abbiamo considerato le seguenti

Dettagli

POTENZE DI MATRICI QUADRATE

POTENZE DI MATRICI QUADRATE POTENZE DI MATRICI QUADRATE In alcune applicazioni pratiche, quali lo studio di sistemi dinamici discreti, può essere necessario calcolare le potenze A k, per k N\{0}, di una matrice quadrata A M n n (R)

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti

FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti Discutendo graficamente la disequazione x > 3 + x, verificare che l insieme delle soluzioni è un intervallo e trovarne

Dettagli

SISTEMI LINEARI. x 2y 2z = 0. Svolgimento. Procediamo con operazioni elementari di riga sulla matrice del primo sistema: 1 1 1 3 1 2 R 2 R 2 3R 0 4 5.

SISTEMI LINEARI. x 2y 2z = 0. Svolgimento. Procediamo con operazioni elementari di riga sulla matrice del primo sistema: 1 1 1 3 1 2 R 2 R 2 3R 0 4 5. SISTEMI LINEARI Esercizi Esercizio. Risolvere, se possibile, i seguenti sistemi: x y z = 0 x + y + z = 3x + y + z = 0 x y = 4x + z = 0, x y z = 0. Svolgimento. Procediamo con operazioni elementari di riga

Dettagli

LEZIONE Equazioni matriciali. Negli Esempi e si sono studiati più sistemi diversi AX 1 = B 1, AX 2 = R m,n, B = (b i,h ) 1 i m

LEZIONE Equazioni matriciali. Negli Esempi e si sono studiati più sistemi diversi AX 1 = B 1, AX 2 = R m,n, B = (b i,h ) 1 i m LEZIONE 4 41 Equazioni matriciali Negli Esempi 336 e 337 si sono studiati più sistemi diversi AX 1 = B 1, AX 2 = B 2,, AX p = B p aventi la stessa matrice incompleta A Tale tipo di problema si presenta

Dettagli

Caso di A non regolare

Caso di A non regolare Caso di A non regolare December 2, 2 Una matrice A è regolare quando è quadrata e in corrispondenza di ogni autovalore di molteplicità algebrica m si ha una caduta di rango pari proprio a m Ovvero: rk

Dettagli

ii 1.20 Rango di una matrice Studio dei sistemi lineari Teoremi di Cramer e Rouché-Capelli......

ii 1.20 Rango di una matrice Studio dei sistemi lineari Teoremi di Cramer e Rouché-Capelli...... Indice Prefazione vii 1 Matrici e sistemi lineari 1 1.1 Le matrici di numeri reali................. 1 1.2 Nomenclatura in uso per le matrici............ 3 1.3 Matrici ridotte per righe e matrici ridotte

Dettagli

Sistemi differenziali: esercizi svolti. 1 Sistemi lineari 2 2... 2 2 Sistemi lineari 3 3... 10

Sistemi differenziali: esercizi svolti. 1 Sistemi lineari 2 2... 2 2 Sistemi lineari 3 3... 10 Sistemi differenziali: esercizi svolti Sistemi lineari 2 2 2 2 Sistemi lineari 3 3 2 Sistemi differenziali: esercizi svolti Sistemi lineari 2 2 Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un

Dettagli

TEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA I

TEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA I TEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA I Corso di laurea quadriennale) in Fisica a.a. 003/04 Prova scritta del 3 aprile 003 ] Siano a, c parametri reali. Studiare l esistenza e, in caso affermativo, calcolare

Dettagli

1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: c) x + 1 d)x sin x.

1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: c) x + 1 d)x sin x. Funzioni derivabili Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: a)2x 5 b) x 3 x 4 c) x + 1 d)x sin x. 2) Scrivere l equazione della retta tangente

Dettagli

Esercizi svolti. risolvere, se possibile, l equazione xa + B = O, essendo x un incognita reale

Esercizi svolti. risolvere, se possibile, l equazione xa + B = O, essendo x un incognita reale Esercizi svolti 1. Matrici e operazioni fra matrici 1.1 Date le matrici 1 2 1 6 A = B = 5 2 9 15 6 risolvere, se possibile, l equazione xa + B = O, essendo x un incognita reale Osservazione iniziale: qualunque

Dettagli

MATRICI. 1. Esercizi

MATRICI. 1. Esercizi MATICI Esercizio Siano A = 0, B = Esercizi 2, C = 0 2 2 Calcolare: a2a B; b3a + 2B 4C; c 2A + B + 2C 2B; d3b + 2(2A C (A + B + 2C isolvere, se possibile: ( 3X + 2(A X + B + 2(C + 2X = 0; (2 4A + 2(B +

Dettagli

Esercizi svolti. Geometria analitica: rette e piani

Esercizi svolti. Geometria analitica: rette e piani Esercizi svolti. Sistemi di riferimento e vettori. Dati i vettori v = i + j k, u =i + j + k determinare:. il vettore v + u ;. gli angoli formati da v e u;. i vettore paralleli alle bisettrici di tali angoli;

Dettagli

Noi ci occuperemo esclusivamente dei casi n = 2 e n = 3. Se n = 2, la quadrica Q p sarà detta conica di equazione p, e indicata con C p.

Noi ci occuperemo esclusivamente dei casi n = 2 e n = 3. Se n = 2, la quadrica Q p sarà detta conica di equazione p, e indicata con C p. Durante il corso abbiamo studiato insiemi (rette e piani) che possono essere descritti come luogo di zeri di equazioni (o sistemi) di primo grado. Adesso vedremo come applicare quanto visto per studiare

Dettagli

SISTEMI LINEARI, METODO DI GAUSS

SISTEMI LINEARI, METODO DI GAUSS SISTEMI LINEARI, METODO DI GAUSS Abbiamo visto che un sistema di m equazioni lineari in n incognite si può rappresentare in forma matriciale come A x = b dove: A è la matrice di tipo (m, n) dei coefficienti

Dettagli

Inversa. Inversa. Elisabetta Colombo

Inversa. Inversa. Elisabetta Colombo Corso di Approfondimenti di Matematica per Biotecnologie, Anno Accademico 00-0, http://users.mat.unimi.it/users/colombo/programmabio.html e 3 con i Matrici inverse di matrici quadrate e con i Sia A una

Dettagli

Forme bilineari simmetriche

Forme bilineari simmetriche Forme bilineari simmetriche Qui il campo dei coefficienti è sempre R Definizione 1 Sia V uno spazio vettoriale Una forma bilineare su V è una funzione b: V V R tale che v 1, v 2, v 3 V b(v 1 + v 2, v 3

Dettagli

LEZIONE 15. (15.1.2) p(x) = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x + a n = a h x n h.

LEZIONE 15. (15.1.2) p(x) = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x + a n = a h x n h. LEZIONE 15 15.1. Polinomi a coefficienti complessi e loro e loro radici. In questo paragrafo descriveremo alcune proprietà dei polinomi a coefficienti complessi e delle loro radici. Già nel precedente

Dettagli

(c) Stabilire per quali valori di h is sistema ammette un unica soluzione:

(c) Stabilire per quali valori di h is sistema ammette un unica soluzione: ognome e Nome: orso di Laurea: 4 settembre 3. Sia L: R 3! R 3 l applicazione lineare x x y + z L @ ya = @ x + y +za. z x y z (a) Scrivere la matrice A che rappresenta L nella base canonica di R 3 : (b)

Dettagli

Soluzioni. 1. Calcolare la parte reale e immaginaria del numero complesso. z = i i. 3 (2 + i) = i i = i.

Soluzioni. 1. Calcolare la parte reale e immaginaria del numero complesso. z = i i. 3 (2 + i) = i i = i. 20 Roberto Tauraso - Analisi 2 Soluzioni 1. Calcolare la parte reale e immaginaria del numero complesso R. z = i + 3 2 i. z = i + 3 2 i 2 i = 6 5 + ( 1 + 3 5 3 (2 + i) = i + 2 4 + 1 ) i = 6 5 + 8 5 i.

Dettagli

EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti. y = xy. y(2) = 1.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti. y = xy. y(2) = 1. EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti 1. Determinare la soluzione dell equazione differenziale (x 2 + 1)y + y 2 =. y + x tan y = 2. Risolvere il problema di Cauchy y() = 1 2 π. 3. Risolvere il problema

Dettagli

SISTEMI LINEARI: APPROFONDIMENTI ED ESEMPI

SISTEMI LINEARI: APPROFONDIMENTI ED ESEMPI SISTEMI LINEARI: APPROFONDIMENTI ED ESEMPI Appunti presi dalle lezioni del prof. Nedo Checcaglini Liceo Scientifico di Castiglion Fiorentino (Classe 4B) January 17, 005 1 SISTEMI LINEARI Se a ik, b i R,

Dettagli

IV-2 Forme quadratiche

IV-2 Forme quadratiche 1 FORME QUADRATICHE 1 IV-2 Forme quadratiche Indice 1 Forme quadratiche 1 2 Segno di una forma quadratica 2 2.1 Il metodo dei minori principali........................................ 3 3 Soluzioni degli

Dettagli

Metodi per la risoluzione di sistemi lineari

Metodi per la risoluzione di sistemi lineari Metodi per la risoluzione di sistemi lineari Sistemi di equazioni lineari. Rango di matrici Come è noto (vedi [] sez.0.8), ad ogni matrice quadrata A è associato un numero reale det(a) detto determinante

Dettagli

Soluzioni dei problemi della maturità scientifica A.S. 2012/2013

Soluzioni dei problemi della maturità scientifica A.S. 2012/2013 Soluzioni dei problemi della maturità scientifica A.S. / Nicola Gigli Sun-Ra Mosconi June, Problema. Il teorema fondamentale del calcolo integrale garantisce che Quindi f (x) = cos x +. f (π) = cos π +

Dettagli

Anno 4 Matrice inversa

Anno 4 Matrice inversa Anno 4 Matrice inversa 1 Introduzione In questa lezione parleremo della matrice inversa di una matrice quadrata: definizione metodo per individuarla Al termine della lezione sarai in grado di: descrivere

Dettagli

0.1 Numeri complessi C

0.1 Numeri complessi C 0.1. NUMERI COMPLESSI C 1 0.1 Numeri complessi C Abbiamo visto sopra come l introduzione dei numeri irrazionali può essere motivata dalla necessità di trovare soluzione all equazione x = 0 che non ha soluzioni

Dettagli

Esercitazione n 6. Esercizio 1: Determinare i punti di massimo e minimo relativo delle seguenti funzioni: (b)f(x, y) = 4y 4 16x 2 y + x

Esercitazione n 6. Esercizio 1: Determinare i punti di massimo e minimo relativo delle seguenti funzioni: (b)f(x, y) = 4y 4 16x 2 y + x Esercitazione n 6 1 Massimi e minimi di funzioni di più variabili Esercizio 1: Determinare i punti di massimo e minimo relativo delle seguenti funzioni: (a)f(x, y) = x 3 + y 3 + xy (b)f(x, y) = 4y 4 16x

Dettagli

1 Sistemi di equazioni lineari 1. 2 Alcuni risultati generali Il teorema di Rouché Capelli Il teorema e la regola di Cramer...

1 Sistemi di equazioni lineari 1. 2 Alcuni risultati generali Il teorema di Rouché Capelli Il teorema e la regola di Cramer... SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI Sistemi di equazioni lineari Indice Sistemi di equazioni lineari 2 Alcuni risultati generali 2 2 Il teorema di Rouché Capelli 2 22 Il teorema e la regola di Cramer 3 3 Il calcolo

Dettagli

6 2 k ricaviamo det(a) = 7(k + 8). Per k 8, il Teorema di Cramer fornisce anche le soluzioni del sistema, cioè: 8 2 k

6 2 k ricaviamo det(a) = 7(k + 8). Per k 8, il Teorema di Cramer fornisce anche le soluzioni del sistema, cioè: 8 2 k ) Discutere e risolvere il sistema 6x + y + kz 8 x + y z x y z al variare del parametro k R Per k 8, determinare gli autovalori ed autovettori della matrice incompleta oluzione Il sistema in esame ha tre

Dettagli

Esercizio. Sia a R non nullo e siano m, n numeri interi non nulli con m n. Allora a m /a n è uguale a. [1] 1/a n m [2] 1/a m n [3] 1/a n m [4] a n m

Esercizio. Sia a R non nullo e siano m, n numeri interi non nulli con m n. Allora a m /a n è uguale a. [1] 1/a n m [2] 1/a m n [3] 1/a n m [4] a n m Sia a R non nullo e siano m, n numeri interi non nulli con m n. Allora a m /a n è uguale a [1] 1/a n m [2] 1/a m n [3] 1/a n m [4] a n m Vale la [1] perché per le proprietà delle potenze risulta a m a

Dettagli

INTEGRALI INDEFINITI e DEFINITI Esercizi risolti

INTEGRALI INDEFINITI e DEFINITI Esercizi risolti INTEGRALI INDEFINITI e DEFINITI Esercizi risolti E data la funzione f( = (a Provare che la funzione F ( = + arcsin è una primitiva di f( sull intervallo (, (b Provare che la funzione G( = + arcsin π è

Dettagli

TEN Radici quadrate modulo p e modulo p k. Radici quadrate modulo p, con p > 2.

TEN Radici quadrate modulo p e modulo p k. Radici quadrate modulo p, con p > 2. TEN 2008. Radici quadrate modulo p e modulo p k. Radici quadrate modulo p, con p > 2. Lemma 1. Sia n Z. Sia p > 2 un numero primo. (a) n è un quadrato modulo p se e solo se n p 1 2 1 mod p; (b) Sia n 0

Dettagli

III-4 Sistemi di equazioni lineari

III-4 Sistemi di equazioni lineari SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI III-4 Sistemi di equazioni lineari Indice Sistemi di equazioni lineari 2 Alcuni risultati generali 2 2 Il teorema di Rouché Capelli 3 22 Il teorema e la regola di Cramer 3

Dettagli

II Esonero di Matematica Discreta - a.a. 06/07. Versione B

II Esonero di Matematica Discreta - a.a. 06/07. Versione B II Esonero di Matematica Discreta - a.a. 06/07 1. Nell anello dei numeri interi Z: Versione B a. Determinare la scrittura posizionale in base 9 del numero che in base 10 si scrive) 5293 e la scrittura

Dettagli

3. Vettori, Spazi Vettoriali e Matrici

3. Vettori, Spazi Vettoriali e Matrici 3. Vettori, Spazi Vettoriali e Matrici Vettori e Spazi Vettoriali Operazioni tra vettori Basi Trasformazioni ed Operatori Operazioni tra Matrici Autovalori ed autovettori Forme quadratiche, quadriche e

Dettagli

DERIVATE E LORO APPLICAZIONE

DERIVATE E LORO APPLICAZIONE DERIVATE E LORO APPLICAZIONE SIMONE ALGHISI 1. Applicazione del calcolo differenziale 1 Abbiamo visto a lezione che esiste un importante legame tra la continuità di una funzione y = f(x) in un punto x

Dettagli

LEZIONE 27. C = { P = (x, y) x 2 /a 2 y 2 /b 2 = 1 }. C si dice iperbole di semiassi a e b (in forma canonica). L equazione

LEZIONE 27. C = { P = (x, y) x 2 /a 2 y 2 /b 2 = 1 }. C si dice iperbole di semiassi a e b (in forma canonica). L equazione LEZIONE 27 27.1. Ellisse, iperbole, parabola. Nelle prossime lezioni illustreremo come la teoria delle forme quadratiche e della riduzione ortogonale si applichi allo studio di alcuni oggetti geometrici

Dettagli

1 Disquazioni di primo grado

1 Disquazioni di primo grado 1 Disquazioni di primo grado 1 1 Disquazioni di primo grado Si assumono assodate le regole per la risoluzione delle equazioni lineari Ricordando che una disuguaglianza è una scrittura tra due espressioni

Dettagli

Università degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica

Università degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Università degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Esame di Geometria (Prof. F. Tovena) Argomenti: Proprietà di nucleo e immagine di una applicazione lineare. dim V = dim

Dettagli

Autovalori ed autovettori di una matrice

Autovalori ed autovettori di una matrice Autovalori ed autovettori di una matrice Lucia Gastaldi DICATAM http://www.ing.unibs.it/gastaldi/ Indice 1 Definizioni di autovalori ed autovettori Autovalori ed autovettori 2 Metodo delle potenze 3 Calcolo

Dettagli