Compito di Fisica Generale (Meccanica) 10/01/2012

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1 Compito di Fisica Generale (Meccanica) 10/01/2012 1) In un piano orizzontale sono assegnati due assi cartesiani x e y. Uno strato di liquido occupa lo spazio fra y = 0 ed y = d e si muove a velocità costante vv parallelamente all asse x. Un punto materiale di massa m entra nello strato di liquido con una velocità v0 che forma un angolo di /4 rispetto alla superficie del liquido. Supponendo di schematizzare l attrito viscoso del liquido come una forza F = - vrel si scrivano le leggi orarie del moto nelle due direzioni x ed y e si calcoli la coordinata x alla quale il punto esce dallo strato di liquido. (m=1.26 kg; d=1.15 m; =5.41 N/m; v0= 12.7 m/s; vv=5.41 m/s) y m v v d v 0 x 2) Un asta omogenea di spessore trascurabile e di lunghezza L = 4 R e massa M ha l estremo A vincolato a scorrere senza attrito su di una guida verticale. L altro estremo B è imperniato al centro di un disco omogeneo di massa M e raggio R. Il disco poggia su di un piano orizzontale. Il sistema è mantenuto in equilibrio da una forza F diretta verticalmente ed applicata in A. Calcolare il valore di F perché il sistema sia in equilibrio quando l asta forma con la verticale un angolo. F A B 3) Nelle condizioni dell esercizio precedente al tempo t=0 si rimuove la forza F. Si calcolino l accelerazione angolare dell asta nell istante iniziale ed il modulo della forza di attrito necessaria per assicurare rotolamento puro fra disco e piano. (suggerimento: si derivi nel tempo l energia meccanica) 4) Nelle condizioni dell esercizio precedente si calcoli la velocità con la quale il punto A tocca terra.

2 Compito di Fisica Generale (Meccanica) 31/01/2012 1) Un punto materiale di massa m viene lanciato con una velocità iniziale di modulo v0 che forma un angolo di /4 rispetto all orizzontale. Considerando che vi sia un vento contrario di velocità vv parallela all orizzontale e di schematizzare l attrito dell aria come una forza F = - vrel si scrivano le leggi orarie del moto nelle due direzioni x ed y e si calcoli la velocità del vento perché il proiettile ricada nel punto dal quale è partito. (suggerimento: la traiettoria in tal caso è rettilinea) (m=1.26 kg; d=1.15 m; =5.45 N s/m; v0= 12.7 m/s) y m 2) Un asta omogenea di spessore trascurabile e di lunghezza L = 4 R e massa M ha l estremo A vincolato per mezzo di un perno orizzontale. L altro estremo B è imperniato al centro di un disco omogeneo di massa M e raggio R. Il sistema è mantenuto in equilibrio da una forza F applicata al disco nel punto C posto sul disco in modo tale che la congiungente CB formi un angolo di /2 con l asta AB. Calcolare le componenti di F perché il sistema sia in equilibrio quando l asta forma con la verticale un angolo. A v 0 v v x B C 3) Nelle condizioni dell esercizio precedente al tempo t=0 si rimuove la forza F. Si calcolino l accelerazione angolare dell asta nell istante iniziale ed il valore iniziale del modulo della reazione vincolare in A. (suggerimento: si derivi nel tempo l energia meccanica) 4) Nelle condizioni dell esercizio 2 al tempo t=0 si rimuove la forza F. Nell istante in cui l asta passa per la verticale un freno blocca istantaneamente la rotazione del disco rispetto all asta (lo si consideri da questo istante come una saldato all asta) si calcoli la massima altezza raggiunta da B nel moto successivo alla frenata.

3 Compito di Fisica Generale (Meccanica) 21/02/2012 1) Un punto materiale P di massa m è vincolato a muoversi su di una guida circolare, di centro O e raggio R posta in un piano verticale. La guida si muove di moto uniformemente accelerato con una accelerazione di modulo a orizzontale (diretta da sinistra verso destra). Si indichi con l angolo che (P-O) forma con la verticale discendente. Scrivere il periodo delle piccole oscillazioni. Considerando il punto inizialmente fermo a =0 scrivere la legge oraria con cui varia (si sviluppino al primo ordine in le funzioni trigonometriche). (m=1.26 kg; R=1.15 m; a= 1.27 m/s 2 ) a 2) Un asta omogenea di spessore trascurabile e di lunghezza L = R e massa M ha il centro C vincolato per mezzo di un perno orizzontale al bordo di un anello omogeneo di centro O, massa M e raggio R. L anello poggia su di un piano orizzontale. Si indichi con l angolo che la congiungente C-O forma con la verticale ascendente. In presenza di attrito fra anello e piano il sistema è mantenuto in equilibrio da una forza F orizzontale applicata all asta in un estremo. Calcolare il modulo di F ed il valore minimo del coefficiente di attrito fra anello e piano perché sistema sia in equilibrio quando. C O 3) Nelle condizioni dell esercizio precedente al tempo t=0 si rimuove la forza F. Assumendo che l anello ruoti senza strisciare, si calcoli l accelerazione angolare dell anello nell istante iniziale e le componenti della reazione vincolare che il perno applica all asta in tale istante. 4) Nelle condizioni dell esercizio 2 al tempo t=0 si rimuove la forza F. Supponendo che si mantenga il rotolamento puro, all istante t=t0 in cui =/2, il perno in C viene bloccato (si trasforma in una saldatura). Supponendo che l attrito sia sufficiente per mantenere il rotolamento puro calcolare la componente verticale dell impulso della reazione vincolare nel punto di contatto fra disco e piano.

4 Compito di Fisica Generale (Meccanica) 21/02/2012 1) Un punto materiale P di massa m è vincolato a muoversi su di una guida circolare, di centro O e raggio R posta in un piano verticale. La guida si muove di moto uniformemente accelerato con una accelerazione di modulo a orizzontale (diretta da sinistra verso destra). Si indichi con l angolo che (P-O) forma con la verticale discendente. Scrivere il periodo delle piccole oscillazioni. Considerando il punto inizialmente fermo a =0 scrivere la legge oraria con cui varia (si sviluppino al primo ordine in le funzioni trigonometriche). (m=1.26 kg; R=1.15 m; a= 1.27 m/s 2 ) a 2) Un asta omogenea di spessore trascurabile e di lunghezza L = R e massa M ha il centro C vincolato per mezzo di un perno orizzontale al bordo di un anello omogeneo di centro O, massa M e raggio R. L anello poggia su di un piano orizzontale. Si indichi con l angolo che la congiungente C-O forma con la verticale ascendente. In presenza di attrito fra anello e piano il sistema è mantenuto in equilibrio da una forza F orizzontale applicata all asta in un estremo. Calcolare il modulo di F ed il valore minimo del coefficiente di attrito fra anello e piano perché sistema sia in equilibrio quando. C O 3) Nelle condizioni dell esercizio precedente al tempo t=0 si rimuove la forza F. Assumendo che l anello ruoti senza strisciare, si calcoli l accelerazione angolare dell anello nell istante iniziale e le componenti della reazione vincolare che il perno applica all asta in tale istante. 4) Nelle condizioni dell esercizio 2 al tempo t=0 si rimuove la forza F. Supponendo che si mantenga il rotolamento puro, all istante t=t0 in cui =/2, il perno in C viene bloccato (si trasforma in una saldatura). Supponendo che l attrito sia sufficiente per mantenere il rotolamento puro calcolare la componente verticale dell impulso della reazione vincolare nel punto di contatto fra disco e piano.

5 Compito di Fisica Generale (Meccanica) 19/06/2012 1) Un proiettile, schematizzato come un punto materiale di massa m, viene lanciato da un cannone in direzione verticale verso l alto con una velocità iniziale di modulo v0. Considerando che il cannone si trovi all equatore e trascurando la forza centrifuga (ma non quella di Coriolis) si scrivano le leggi orarie del moto nel sistema di riferimento solidale con la superficie terrestre (esempio in figura). z y x 2) Un disco omogeneo di centro O, raggio R e massa M appoggia su di un piano inclinato di un angolo /6 rispetto all orizzontale. Fra disco e piano è presente attrito. Sul bordo del disco si avvolge una fune ideale alla quale è sospesa una massa m di dimensioni trascurabili. Si trovi il valore della massa m per assicurare l equilibrio. Si calcoli il valore del coefficiente di attrito fra disco e piano che assicura l equilibrio. o m 3) Nelle condizioni dell esercizio precedente al tempo t=0 viene tagliato il filo. Supponendo il coefficiente di attrito fra disco e piano sia μ = 1 si calcoli l energia dissipata dall attrito 8 3 quando il centro del disco è sceso lungo il piano di R. 4) Supponendo che disco dell esercizio precedente dopo essere sceso lungo il piano acquisendo una velocità di traslazione v0 ed una velocità angolare 0 inizi a muoversi su di un piano orizzontale con lo stesso coefficiente di attrito dell esercizio precedente, si calcoli la distanza alla quale il disco inizia un moto di rotolamento puro. (v0=2.52 m/s, 0=2.36 rad/s)

6 Compito di Fisica Generale (Meccanica) 19/06/2012 1) Un proiettile, schematizzato come un punto materiale di massa m, viene lanciato da un cannone in direzione verticale verso l alto con una velocità iniziale di modulo v0. Considerando che il cannone si trovi all equatore e trascurando la forza centrifuga (ma non quella di Coriolis) si scrivano le leggi orarie del moto nel sistema di riferimento solidale con la superficie terrestre (esempio in figura). z y x 2) Un disco omogeneo di centro O, raggio R e massa M appoggia su di un piano inclinato di un angolo /6 rispetto all orizzontale. Fra disco e piano è presente attrito. Sul bordo del disco si avvolge una fune ideale alla quale è sospesa una massa m di dimensioni trascurabili. Si trovi il valore della massa m per assicurare l equilibrio. Si calcoli il valore del coefficiente di attrito fra disco e piano che assicura l equilibrio. o m 3) Nelle condizioni dell esercizio precedente al tempo t=0 viene tagliato il filo. Supponendo il coefficiente di attrito fra disco e piano sia μ = 1 si calcoli l energia dissipata dall attrito 8 3 quando il centro del disco è sceso lungo il piano di R. 4) Supponendo che disco dell esercizio precedente dopo essere sceso lungo il piano acquisendo una velocità di traslazione v0 ed una velocità angolare 0 inizi a muoversi su di un piano orizzontale con lo stesso coefficiente di attrito dell esercizio precedente, si calcoli la distanza alla quale il disco inizia un moto di rotolamento puro. (v0=2.52 m/s, 0=2.36 rad/s)

7 Compito di Fisica Generale (Meccanica) 05/07/2012 1) Un auto, schematizzata come un punto materiale di massa m, si muove grazie ad un motore che eroga una potenza costante W0. Supponendo che l auto parta da ferma calcolare lo spazio percorso quando l auto raggiunge la velocità v0 e l accelerazione in tale istante. (Suggerimento: si faccia ricorso al teorema delle forze vive) (m = 1790 kg; W0 = 100 kw; v0= 30 m/s ) 2) Un disco omogeneo di centro O, raggio R e massa M appoggia su di un piano inclinato di un angolo /6 rispetto all orizzontale. Fra disco e piano è presente attrito. Al centro del disco è applicato un motore. Si trovi il valore minimo della coppia che il motore deve applicare al disco per tenerlo fermo. Si calcoli il valore del coefficiente di attrito fra disco e piano che assicura l equilibrio. 3) Si calcoli la differenza fra il modulo della coppia massima che è possibile applicare per poter far salire il disco mantenendo il rotolamento puro ed il modulo della coppia massima che è possibile applicare per far scendere il disco sempre mantenendo il rotolamento puro. 4) Supponendo che la coppia sia C = 10.2 N m e che il coefficiente di attrito fra disco e piano sia μ = 1 calcolare il lavoro fatto dal motore per far salire il centro del disco lungo il 2 3 piano di una distanza R.

8 Compito di Fisica Generale (Meccanica) 19/07/2012 1) Un punto materiale di massa m scivola, partendo da fermo, lungo un piano, inclinato di un angolo rispetto all'orizzontale. Considerando che fra il punto ed il piano vi sia attrito dinamico con coefficiente si scriva la dipendenza dal tempo della potenza dissipata in attrito. 2) Un asta di massa M e spessore trascurabile poggia su due cilindri i cui centri si trovano alla distanza L. I cilindri ruotano a velocità costante il superiore in senso antiorario e l inferiore in senso orario. Fra i due cilindri e l asta è presente attrito. L asta forma un angolo di /6 rispetto all orizzontale ed ha il centro di massa in posizione centrale rispetto ai due cilindri. Di quanto deve essere minore il coefficiente di attrito fra l asta ed il cilindro più basso per assicurare equilibrio. (L=12.8 cm) G 3) Supponendo che il coefficiente di attrito fra i due cilindri e l asta dell esercizio precedente sia lo stesso e che l asta parta da ferma scrivere la legge oraria del moto del centro di massa dell asta. 4) Supponendo che il senso di rotazione dei cilindri sia l opposto di quanto al punto 2, calcolare l energia cinetica dell asta nell istante in cui il suo centro di massa si trova in contatto con il disco inferiore.

9 Compito di Fisica Generale (Meccanica) 13/09/2012 1) Un punto materiale P di massa m è vincolato a muoversi su di una guida circolare di centro O e raggio R posta in un piano ORIZZONTALE. La guida è inizialmente ferma. All istante t=0 la guida inizia ad accelerare con accelerazione costante fino a raggiungere la velocità v0 al tempo t=t0, poi prosegue di moto rettilineo uniforme. Supponendo che all istante t=0 il punto P sia in quiete con il raggio P- O che forma un angolo (0)<<1 con la direzione dell accelerazione calcolare il valore minimo di t0 perché sia massima la velocità angolare raggiunta dal punto P. Scrivere l andamento nel tempo dell angolo (sia per t<t0 che per t>t0). 2) Un asta di massa M e spessore trascurabile poggia su due cilindri i cui centri si trovano alla distanza L. I cilindri, di massa M e raggio R=L/4 sono imperniati intorno ai rispettivi centri. Fra i due cilindri e l asta è presente attrito. L asta forma un angolo di /6 rispetto all orizzontale ed ha il centro di massa in posizione centrale rispetto ai due cilindri. Calcolare la coppia applicata al centro del disco inferiore per mantenere in quiete il sistema ed il modulo delle forze di attrito fra ciascuno dei dischi e l asta (sono ovviamente diverse) (L=24.6 cm, M=128 g) G 3) Supponendo che il coefficiente di attrito fra i due cilindri e l asta dell esercizio precedente sia tale da mantenere il rotolamento puro per entrambi i dischi e che l asta parta da ferma calcolare l accelerazione del centro di massa dell asta ed il valore minimo del coefficiente di attrito fra asta e disco superiore in funzione dello spostamento del centro di massa dell asta. 4) Nelle condizioni della domanda 3 calcolare la velocità angolare del disco inferiore nell istante in cui il centro di massa dell asta è in contatto con il disco inferiore.

10 Compito di Fisica Generale (Meccanica) 13/09/2012 1) Un punto materiale P di massa m è vincolato a muoversi su di una guida circolare di centro O e raggio R posta in un piano ORIZZONTALE. La guida è inizialmente ferma. All istante t=0 la guida inizia ad accelerare con accelerazione costante fino a raggiungere la velocità v0 al tempo t=t0, poi prosegue di moto rettilineo uniforme. Supponendo che all istante t=0 il punto P sia in quiete con il raggio P- O che forma un angolo (0)<<1 con la direzione dell accelerazione calcolare il valore minimo di t0 perché sia massima la velocità angolare raggiunta dal punto P. Scrivere l andamento nel tempo dell angolo (sia per t<t0 che per t>t0). 2) Un asta di massa M e spessore trascurabile poggia su due cilindri i cui centri si trovano alla distanza L. I cilindri, di massa M e raggio R=L/4 sono imperniati intorno ai rispettivi centri. Fra i due cilindri e l asta è presente attrito. L asta forma un angolo di /6 rispetto all orizzontale ed ha il centro di massa in posizione centrale rispetto ai due cilindri. Calcolare la coppia applicata al centro del disco inferiore per mantenere in quiete il sistema ed il modulo delle forze di attrito fra ciascuno dei dischi e l asta (sono ovviamente diverse) (L=24.6 cm, M=128 g) G 3) Supponendo che il coefficiente di attrito fra i due cilindri e l asta dell esercizio precedente sia tale da mantenere il rotolamento puro per entrambi i dischi e che l asta parta da ferma calcolare l accelerazione del centro di massa dell asta ed il valore minimo del coefficiente di attrito fra asta e disco superiore in funzione dello spostamento del centro di massa dell asta. 4) Nelle condizioni della domanda 3 calcolare la velocità angolare del disco inferiore nell istante in cui il centro di massa dell asta è in contatto con il disco inferiore.

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