La carica elettrica. F.Soramel Fisica Generale II - A. A / 0 5 1

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1 La caica elettica 8 H.C. Oested connessione ta eletticità e magnetismo M. Faday speimentale puo, non scive fomule 85 J.C. Maxwell fomalia le idee di Faaday I geci avevano ossevato che l amba (elekton) aveva delle caatteistiche paticolai se stofinata con una pelliccia, il veto pesentava le stesse caatteistiche se stofinato con seta Veto Plastica - F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / 5

2 Inteaione elettica ha un duplice aspetto ( e -) a diffeena di uella gavitaionale Due copi che possiedono lo stesso tipo di elettiaione ( o -) si espingono, mente si attaggono se possiedono tipi di elettiaione divesi (uno e l alto - ) Inteaione gavitaionale molto meno intensa di uella elettica vediamo l inteaione gavitaionale solo peché uella elettica, avendo una duplice natua, di solito dà oigine a copi neuti I mateiali possono esse suddivisi in conduttoi (ame) isolanti (plastica) Nei conduttoi le caiche (elettoni di conduione) sono libee di muovesi Caica indotta semiconduttoi (ad es. Si e G e ) supeconduttoi (non pesentano esistena) F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / 5

3 La caica elettica è esponsabile della foa elettica, così come la massa lo è della foa gavitaionale F -F Misuo F esecitata su e -F esecitata su Se un sistema è isolato la sua caica totale imane costante: pincipio di consevaione della caica elettica (B. Fanklin) lettostatica: studio dell inteaione ta due caiche elettiche a iposo (o al più in moto con v molto piccola) in un sistema ineiale Legge di Coulomb (785) L inteaione elettostatica ta due paticelle caiche è popo ionale alle loo caiche ed è invesamente popoionale al uadato della distana ta di esse; la dieione della foa è uella della linea congiungente le caiche stesse F k F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / 5 u

4 La costante k pende il nome di costante elettostatica e il suo valoe dipende dalle unità di misua utiliate Utiliando una bilancia di tosione posso misuae F. Non conosco il valoe della caica alloa fisso k in modo abitaio F θ F Pe paticità si pone k con k 7 c c velocità della luce F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / In uesto modo la caica di C è definita come la caica che, posta ad m da una caica uguale nel vuoto, viene espinta con una foa di N 7 pemeattività del vuoto 4πc [ k] Nm C o kgm C N m C

5 F u e vanno inseite con il loo segno F< foe attattive e di segno opposto F> foe epulsive e dello stesso segno F -F e esecitano una sull alta una foa di modulo uguale e veso opposto, F e F sono una coppia di aione e eaione Unità di misua della caica elettica deiva da uella della coente (Ampee): C è la uantità di caica che passa in un secondo attaveso una ualsiasi seione di un filo pecoso da una coente di A d idt La foa elettostatica F è additiva (pincipio di sovapposiione): F F F F 4... F n F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / 5 5

6 sempio x B F A F y F C.5 - C AC. m C BC.5 m. - C F? F F F F k.6 9 j N k i N N N F tgθ F F F F N.9 θ 6.5 F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / 5 6

7 Il campo elettico Ogni egione dello spaio in cui una caica elettica sia soggetta ad una foa elettostatica è detta campo elettico (dovuto alle caiche pesenti) caica di pova,,..., n caiche che geneano il campo isente del campo geneato dalle n caiche (vale anche pe le n caiche, ma non è un fatto ilevante pe il discoso che stiamo facendo) F, F F F, F,..., n Tot F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / 5 7

8 Pe valutae se siamo in pesena di un campo elettico in una ceta ona dello spaio, la esploiamo con una caica piccola detta caica di pova o caica esploatice e misuiamo la foa che agisce su di essa F oppue F F se? > : intensità del campo elettico è la foa che agisce sulla caica unitaia posta in uel punto [ ] N C oppue kg m s C Il campo elettico è un campo vettoiale Il campo elettico non dipende dalla caica di pova L effetto del campo elettico su caiche di segno opposto è di spostale veso one divese polaiaione Il campo elettico gode della popietà di sovapposiione n n i... n i u i i i i F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / 5 8

9 F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / 5 9

10 Linee di foa In ogni punto le linee di foa sono tangenti alla dieione del campo elettico in uel punto Si deteminano usando una caica di pova positiva scono dalle caiche ed entano in uelle Sono tacciate in modo che il numeo di linee che attavesano una supeficie unitaia ad esse è all intensità del campo elettico linee si addensano è gande linee si diadano è piccolo F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / 5

11 Dipolo elettico F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / 5

12 Vettoi campo elettico nello spaio attono ad una caica puntifome positiva F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / 5

13 Lamina non conduttice infinita Distibuione unifome di caiche da un lato Foa netta al piano uscente dal piano Piano infinito e distibuione di caica unifome vettoi campo elettico hanno tutti la stessa intensità Campo elettico unifome F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / 5

14 F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / 5 4 Sia la caica esploatice, a distana da (che genea il campo elettico) si ha punto dello spaio u u F u F π π π

15 sempio x B (C) A y (C) (C) C.5 - C AC. m C BC.5 m. - C (C)? F oppue 4. 6 ( C ) ( C ) ( C ) F 6 N. ( C ) 7 N C N C N C - - ( C ). 6 è il campo in cui si tova che ui euivale alla caica di pova N C - ed sono i campi geneati da e in C F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / 5 5

16 L espeiena di Millikan (9 9) uantiaione della caica Il campo elettico può essee applicato e tolto Le gocce di olio si caicano pe stofinio Analisi teoica Gocce di massa m e aggio In assena di campo le gocce scendono in caduta libea secondo l euaione ma mg 6πηv In cui il secondo temine appesenta l attito viscoso Quando a, la velocità diviene costante (velocità limite) v * (veso il basso) (si tascua la spinta di Achimede) v * mg ρ g 4 m m V π ρ 6πη 9η V 4π F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / 5 6

17 Applico il campo elettico (veso l alto) e la goccia ha caica > ma mg 6πηv La goccia sale e la sua velocità limite v * vale v * mg 6πη Combinando i valoi delle due velocità limite si ottiene il valoe della caica ( * * v v ) 6 πη Misuo v * Misuo v * F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / 5 7

18 Analisi speimentale Speimentalmente si tova che v * è costante pe tutte le gocce, mente v * dipende dalla caica delle gocce (le paticelle possono cambiae caica a causa dell inteaione con le paticelle dell aia ioniate dai aggi cosmici). Se c è un cambio di caica D, si egisteà un cambio di velocità Dv * 6πη * v può essee > o < ipetendo l espeimento pe più gocce si veifica che D ne e. 6 9 C caica elementae Si ottiene così che la caica è uantiata e che ogni caica è associata ad un oggetto dotato di massa F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / 5 8

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20 F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / 5 Il dipolo elettico Vogliamo calcolae il campo in P ceato dalle caiche e uguali in modulo. sso saà la somma di ed -, entambi in dieione d d π π π π 4 << >> d d d d π Facciamo oa uno sviluppo binomiale

21 d d... Otteniamo così (! ) d d (! )... d d Notiamo che i temini successivi al pimo sono potene successive di (d/) << possiamo tascuali dipolo d d p π π Definiamo momento di dipolo la seguente uantità p d oientato dalla caica a uella In geneale il campo elettico del dipolo vaia come /, dove è la distana dal cento del dipolo. Il campo del dipolo è più debole di uello di una singola caica. Pe punti sull asse del dipolo e p sono paalleli F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / 5

22 Dipolo in un campo elettico esteno Molecola di acua in un campo elettico unifome esteno. La molecola di acua è un dipolo peché le sue caiche e - sono posiionate igidamente Quello che avviene è che i vettoi e p non sono paalleli, ma fomano un angolo Dal punto di vista dinamico abbiamo che su e su agisce la foa elettica dovuta al campo F e F F F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / 5

23 Globalmente abbiamo F is τ is CM esta femo i l dipolo uota attono a l CM τ τ τ is d d F τ ( F ) d d τ τ is F sinθ d sinθ p sinθ τ is p F sinθ df sinθ Il dipolo isente di un momento tocente che tende ad allinealo ad F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / 5

24 negia poteniale di un dipolo elettico L enegia poteniale del dipolo isulta minima uando p Abitaiamente scegliamo U pe 9 o U In geneale si ha L U U U L τdθ ( θ ) U ( 9 ) U p cosθ p L θ 9 τdθ θ 9 p sinθdθ a meno della costante abitaia U minima p ( ) U() -p U massima p - ( 8 o ) U(8 o ) p L θ θ i f U U ( θi ) U ( θ f ) F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / 5 4

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26 Calcoliamo il campo elettico geneato da un filo molto lungo e sottile che pota una caica l pe unità di lunghea d λds d ( P ) F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / 5 6 λds ds s u P dcos L elemento simmetico a ds ispetto al punto O cea in P O d un campo d uguale in modulo, ma con componente veticale di veso opposto Le componenti del campo elettico paallele al filo si elidono, estano uindi solo le componenti dcos ^ al filo π π π λ d c o sθ π ds c o sθ sec θ s tgθ d s sec θdθ

27 Dopo ave fatto le sostituioni integiamo ta e π/ e moltiplichiamo il isultato pe π λ sec θ λ cosθdθ sec θ π λ π sinθ π λ π π cosθdθ In conclusione λ π u F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / 5 7

28 Vediamo oa il campo elettico geneato sull asse di un anello di plastica unifomememte caico con densità di caica l λds d λds d ( P ) d λds ( ) Le componenti d^ si elidono, finale e estano solo le componenti del campo paallele all asse dell anello d d d cosθ λds d ( ) ( ) d intego ta s e s π F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / 5 8

29 λ d d c o sθ λ π ( ) ( ) ( ) π ds Pe >> si ottiene anello o t t e n g o il c a m p o della c a i c a puntifome Pe anello F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / 5 9

30 Vediamo il campo elettico geneato sull asse di un disco unifomememte caico con densità di caica s Consideiamo i l disco suddiviso in tanti anelli concentici Come uello di aggio e spessoe d Il calcolo del campo elettico pocede in due fasi:. calcoliamo il campo dell anello. sommiamo su tutti gli anelli in patica dobbiamo fae due integaioni Conosciamo g i à il campo dell anello d σda σ πd d anello d σ πd ( ) π ( ) 4 disco Σ d anello σ ( ) ( ) d F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / 5

31 F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / 5 Abbiamo a che fae con un integale del tipo d dx m x m x dx x m m,, con Otteniamo uindi ( ) ( ) ( ) pe 4 disco disco σ σ σ Pe? σ disco piano Pe? σ disco piano

32 Legge di Gauss Sfutta le simmetie che spesso iscontiamo in fisica uivale alla legge di Coulomb, l utilio dell una o dell alta legge dipende dai casi Supeficie gaussiana : ipotetica supeficie chiusa Mette in elaione le caiche all inteno della supeficie chiusa con i campi elettici in tutti i punti della supeficie stessa Abbiamo bisogno del concetto di flusso Coente d aia con v unifome dietta veso una spia uadata di aea A, F è il flusso volumico (potata volumica) con cui l aia fluisce attaveso la spia Φ v cosθ A va cosθ v ( ) A Flusso:uantità del campo intecettata dalla supeficie F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / 5

33 In geneale, peso un campo vettoiale V e una supeficie S, oientata e suddivisa in supefici infinitesime ds i, abbiamo che, ad ogni ds i coisponde un vesoe u ni che oienta la supeficie e un angolo i ta tale vesoe e il vettoe campo V ds, ds, ds,..., dsn u, u, u,...,u n F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / 5 n θ, θ, θ,..., θ Pe definiione il flusso di V è un integale di supeficie dato da Φ V ds cosθ V un ds V Φ V u ds S n V ds u ds n n cosθ... VndSn cosθ... V u ds F può essee positivo o negativo a seconda del valoe di cosθ, se p/ alloa F, il vettoe campo V è tangente alla supeficie S in ogni suo punto; se S è chiusa Φ V u ds n n S n n n n n n n

34 Se oa il campo vettoiale è popio il campo elettico geneato da una caica posta al cento di una supeficie chiusa sfeica S, il suo flusso attaveso detta supeficie vale (icodiamo che e u n sono sempe paalleli in una sfea al cui cento c è la caica e che uindi il loo podotto scalae alto non è che il podotto dei moduli, inolte la supeficie S della sfea vale 4p ) Φ 4 unds ds ds 4π π S S S Da uanto sopa icavato si può notae che F non dipende dal aggio della sfea, ma solo dalla caica in essa acchiusa F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / 5 4

35 Consideiamo oa una supeficie chiusa ualsiasi che acchiude la caica c o sθds F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / 5 5 Φ Φ Φ S c o sθds S S c o sθds Dalla definiione di angolo solido si ha dω cosθds Petanto dw è l angolo solido infinitesimo sotto cui la supeficie ds è vista dalla caica L angolo solido attono ad un punto vale 4p steadianti, uindi 4 dω 4π π Ω

36 Abbiamo visto che il flusso del campo elettico attaveso una supeficie chiusa ualunue vale sempe /e, indipendentemente dalla foma della supeficie e dalla collocaione della caica all inteno della supeficie stessa Notiamo inolte che: Se è esteno alla supeficie chiusa flusso è nullo Se all inteno della supeficie ci sono più caiche flusso S flussi Legge di Gauss Il flusso del campo elettico attaveso una supeficie chiusa acchiudente le caiche,,..., n è Φ u ds n S dove... n è la caica netta acchiusa all inteno della supeficie S F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / 5 6

37 Moto di una caica in campo elettico a a y P x F ma a m Il appoto ta ed m detemina l acceleaione cui è sottoposta la paticella di caica e massa m; se il campo elettico è unifome, l acceleaione a isulta costante e uindi la taiettoia seguita dalla paticella è una paabola. Supponiamo che la paticella enti nella ona in cui c è campo elettico con velocità v dietta oiontalmente da sx veso dx, sia inolte v -, indichiamo infine con v la velocità della paticella in uscita dal campo elettico, con a l angolo di deflessione della stessa ispetto all asse delle x, con d la distana dall asse delle x del punto P in cui la paticella colpisce lo schemo e con a la lunghea dei piatti deflettenti. F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / 5 7

38 Dalla cinematica sappiamo che x v t y m t y m v x Abbiamo cos ì veificato che la taiettoia è u n a paabola dy dx a n g o l o d i d e f l e s s i o ne α ( p e x a ) tgα dy dx Se la deviaione dall oiontale all uscita dai piatti deflettenti è piccola, ovveo se lo schemo è sufficientemente lontano, possiamo scivee tgα d L x a F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / 5 8 m a mv I tubi a aggi catodici e gli oscilloscopi sono basati su ueste popietà v d L a

39 Campo elettico in un conduttoe In entambi i casi se il conduttoe è isolato e possiede una caica totale, detta caica si dispone sulla supeficie estena del conduttoe; se così non fosse infatti ci saebbe una foa sulle caiche (dovuta al campo elettico esistente all inteno del conduttoe) e si fome ebbeo delle coenti elettiche nel conduttoe. Speimentalmente si t ova che ueste coenti non esistono e uindi, in condiioni statiche, il campo elettico all inteno di un conduttoe caico di foma ualsiasi è nullo e le caiche si dispongono sulla supeficie estena del conduttoe. F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / 5 9

40 Campo elettico di una distibuione sfeica di caiche Pendiamo una sfea di aggio a con caica, il campo, pe uestioni di simmetia, deve essee adiale. Consideiamo oa una supeficie gaussiana di aggio concentica con la pima, abbiamo Φ unds ds S S 4π Applichiamo Gauss ed esaminiamo le possibilità al vaiae di > a la caica è tutta contenuta nella supeficie gaussiana di aggio ( 4π ) È come se la caica fosse tutta localiata nel cento della sfea F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / 5 4

41 < a Se la caica è supeficiale Se la caica è distibuita unifomemente in tutto il volume della sfea è la caica contenuta all inteno della supeficie gaussiana e vale Quindi ' 4 π 4 πa a ( 4π ) a a Il campo elettico dento ad una sfea isolante unifomemente caica vaia popoionalmente ad F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / 5 4

42 Infine esta da esaminae cosa succede sulla supeficie della sfea a a a a venendo dall' inteno a venendo dall' esteno I due valoi ed - coincidono uindi il campo è continuo in a a F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / 5 4

43 Campo elettico geneato da una distibuione cilindica di caica di lunghea infinita Φ Φ Φ Consideiamo una distibuione di caica pe unità di lunghea l distibuita unifomemente su un tatto cilindico di altea h e tale che lh; sia a il aggio del cilindo. Il campo elettico ha dieione adiale pe uestioni di simmetia e cetamente dipendeà dalla distana dall asse del cilindo. Consideo una supeficie cilindica coassiale alla supeficie caica e con aggio, il flusso attaveso detta supeficie vale sempe ( B ) Φ ( B ) Φ ( sup.lat. ) Φ ( sup.lat. ) n S ( sup.lat. ) u ds πh Anche in uesto caso dobbiamo distinguee vai casi F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / 5 4

44 > a la caica è tutta contenuta nella supeficie gaussiana di aggio λh λ π h π Come nel caso del filo infinito con caica unifome < a Se la caica è supeficiale Se la caica è distibuita unifomemente in tutto il volume del cilindo è la caica contenuta all inteno della supeficie gaussiana e vale ' π πa h h a λh a h λh λ π a π a Il campo elettico dento ad un cilindo isolante unifomemente caico vaia popoionalmente ad (come pe la sfea) F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / 5 4 4

45 Infine esta da esaminae cosa succede sulla supeficie del cilindo a λ π a a λ π a venendo dall' inteno λ π a venendo dall' esteno I due limiti coincidono uindi il campo è continuo in a a F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / 5 4 5

46 x C C D D B d B A dy A dx Legge di Gauss in foma diffeeniale y La paete ABCD ha aea ds dxd e il flusso del campo elettico attaveso di essa vale Φ ( ABCD) ds cosϑ ( cosϑ) dxd dxd y Attaveso A B C D abbiamo un flusso negativo Φ ' ' ( A' B' C ' D ') dxd Attaveso la supeficie del cubo in dieione y il flusso vale Φ ' ' ( dxd) ( )dxd ( y ) dxd y Se oa icodiamo che AA dy è infinitesimo, abbiamo che anche la diffeena y y è molto piccola, uindi y y ' y dy dy y y con apidità di vaiaione della componente y di y F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / y y y y y

47 F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / Quindi il flusso totale in dieione y vale dv y dxd dy y y y Attaveso tutto il volume abbiamo d dv y x dv dv y dv x y x y x Φ icodando oa che d dv, otteniamo ρ ρ div y x y x elaione locale ta campo elettico e distibuione di caica

48 Il poteniale elettico e l enegia poteniale Foa elettica è centale consevativa enegia poteniale elettica Definiamo il poteniale elettico in un punto come l enegia poteniale posseduta da una caica unitaia posta in uel punto U V U V C [ V ] volt V m kgs Il poteniale è una caatteistica del campo e non della caica Il poteniale, come U, è definito a meno di una costante abitaia: poniamo V pe si muove da A veso B lungo la cuva e V B attavesa una egione in cui c è campo B elettico ds S U U ( V V ) V A A U A A U B B U L A B lavoo fatto sulla caica F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / A B

49 Petanto toviamo L A B ( V V ) A B diffeena di poteniale elettico L B A A B B A d V F d A V B B A d Lungo un pecoso chiuso, dato che il campo è consevativo, abbiamo d In geneale, lungo un pecoso ualunue se S è la componente del campo lungo il pecoso, si ha B A ds V S A V B B ( VB VA ) Se A e B sono molto vicini possiamo scivee Possiamo anche definie il poteniale come il lavoo fatto dal campo elettico pe potae la caica di pova dall infinito al punto in cui si misua V, V (-L /) A dv F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / 5 4 9

50 ds dv S x V x y V S s V V y Quindi gadv In uesto modo posso calcolae V noto e vicevesa Ad esempio consideiamo un campo elettico unifome ( costante) con unica componente lungo l asse delle x dx dv dx dv V -x x x V pe x Notiamo che in uesto caso il poteniale cesce nella dieione in cui il campo elettico decesce, ovveo che la dieione del campo elettico è uella in cui V decesce F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / 5 5

51 Se mi sposto da x ad x ho V V x V V V d ( x x ) d ( x x ) V x V V d [ ] Vm NC Notiamo che se V -V > va da x a x se V -V < va da x a x Consideiamo oa una caica puntifome sogente del campo V V dv d d V dv V pe V > o < a seconda della caica > F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / 5 5

52 Il poteniale V è additivo, petanto se ho più caiche, ottengo V n... Le supefici pe cui è V costante sono supefici euipoteniali, è sempe ^ ai punti di una supeficie euipoteniale (il lavoo pe muovesi su una supeficie euipoteniale è nullo) Se è unifome, alloa V costante x costante supefici euipoteniali sono dei piani Se è geneato da una caica puntifome supefici euipoteniali sono delle sfee n n i i i F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / 5 5

53 Consideiamo il caso del filo di lunghea infinita ed unifomemente caico con distibuione lineae di caica λ λ π dv d u λ dv π λ π -gadv d λ V l n C se C pe V() π F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / 5 5

54 Consideiamo oa l enegia totale di una paticella di massa m e caica in una ona in cui è pesente un campo elettico TOT K U mv V Dato che non ci sono foe dissipative, uando la paticella si muove dalla posiione alla abbiamo, pe il pincipio di consevaione dell enegia mv TOT K () mv V L TOT mv ( ) mv mv ( V V ) V ( V V ) Volt vaiaione di poteniale elettico che una caica di C deve effettuae pe aumentae la popia enegia di J > K aumenta spostandosi veso V infeioi < K aumenta spostandosi veso V supeioi F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / mv L

55 Se v e in è V mv V pincipio su cui si basano gli acceleatoi elettostatici ev (.6-9 C ) ( V).6-9 J e m e c J.5 MeV p m p c.5 - J 98.6 MeV n m n c.55 - J MeV F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / 5 5 5

56 F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / iconsideiamo oa il caso della sfea isolante con caica e aggio a) caica supeficiale unifome s ( ) ( ) ( ) ( ) 4 V V 4 d V V 4 V 4 costante V V σ π π σ π σ σ π >

57 F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / b) caica volumetica unifome () V 4 () ρ π ρ π ρ ρ π ρ π ρ > < <

58 F.Soamel Fisica Geneale II - A. A. 4 / Pe il poteniale abbiamo ( ) ( ) MAX V V() V V() V V V d d V V d dv - d dv - 4 V V 4 V < < > 6 ) ( ) ( 6 ) ( ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ π ρ π

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