Note sull elettrostatica

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1 . Mffucc: Not su ttosttc /1 Unstà g tu Cssno Not su ttosttc pof. ntono Mffucc V.1. - nomb 1 1

2 . Mffucc: Not su ttosttc /1. Mffucc: Not su ttosttc /1 1. Conctt ntoutt 1.1 quzon ttosttc n mzz n. L quzon ttosttc n mzz sono: γ tˆ γ (1) D nˆ o è cmpo ttco (msuto n V/m) D è cmpo nuzon ttc (msuto n C/m ), γ è un quss n chus ( cu tˆ è so tngnt), un quss supfc chus ( cu nˆ so nom uscnt) è cc ttc contnut n. L quzon (1) è gg Fy-Numnn n conzon stzon: t quzon scn poptà consttà cmpo ttco qun 1 : - npnnz tnson ttc t u punt cmmno scto p ut: tˆ ; (3) - possbtà ntou un cmpo sc potnz ttco V(), fnto com p V ( ) tˆ V ( ) V ( ). (4) L quzon () è gg Guss p cmpo ttco è n t fom s n conzon stzon ch gn. N () gnzz Σ è cc ntt contnut n oum mtto supfc chus Σ. è not stbuzon cc n un gon spzo, o quzon ntg () consnt ccoo cmpo ttco gnto t cc. I gm t cmpo nuzon D cmpo ttco pn ttco consto può ss nch moto compsso. N sguto fmo fmnto mt ttc n, omogn sotop, p qu gm s uc : 1, (5) D o F/m è o ssunto n I costnt ttc n uoto, mnt è costnt ttc t. I mt const n sguto sono cttzzt 1. Omnt n uoto s h 1. Tb 1 Costnt ttc t cun mt Mt Ct.5 ocn Vto ono Mc Oo p tsfomto. cqu stt 8.1 () L Lgg Guss n un ttco n, omogno sotopo qun, s può spm com: o n cso uoto. 1.1 Conutto n qubo ttosttco nˆ, (6) cons un conutto soto: mo ch t conutto è n qubo ttosttco quno n sso non s scont cun moto mcoscopco cch. ust conzon qubo è ottnut quno somm tutt foz ch gscono su cch è nu, sccom n un conutto cch sono b muos, qusto può cc soo s cmpo ttco mcoscopco è nuo n ogn punto ntno conutto, Fg.1. ppcno gg Guss () è mmto most ch n qust conzon cc s stbusc soo su supfc conutto. upponmo p ssuo ch ntno conutto s cc oumc (Fg.1b). o possb scg un supfc chus Σ ch contng s contnut n oum conutto. oché cmpo è nuo n conutto, quzon () bb un pmo mmbo ugu zo un scono mmbo so zo, cu ssuo. Un uto consgunz è ch cmpo ttco n gon stn conutto è nom supfc o stsso. nˆ () (b) V V nˆ Fg. 1. Conutto n qubo ttosttco. In un conutto n qubo ttosttco, qun: nˆ nˆ - cmpo ttco n punt ntn è nuo; - cmpo ttco su supfc è nom supfc stss; - tutt cc s stbusc su supfc; - tutt punt conutto sono qupotnz, ncus punt gcnt su supfc Σ 1 spns on-n: Not su cun conctt bs ttomgntsmo, Mffucc Von. 3

3 . Mffucc: Not su ttosttc /1. Mffucc: Not su ttosttc /1. Cmpo ttco p stbuzon cnonch cc.1 Cc puntfom cc stbut su un sf. cons un cc ttc (post) post n un punto O, s ssum ch cc s sot n un ttco n, omogno sotopo ( smpo n uoto). pmntmnt s ch n foz cmpo s suppno mnt, com sctto n fg.. ut o cmpo n un gnco punto, fmoc un sstm coont sfch (, θ, ϕ) con cnto n poszon O occupt cc. qunto tto n pcnz, cmpo ttco h soo componnt. smmt confguzon, not, cmpo non pn coont ngo ( θ, ϕ), p cu s h () ˆ. cgmo o supfc sfc cnto O ggo, qun supfc sfc su cu gc, ppchmo ss Lgg Guss (6), tnno conto ch con t sct nom supfc conc con ˆ nˆ ( )ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) 4π. (7) N pssgg pcnt s è tnuto conto ch ntgno è costnt su supfc. Usno (6) (7) s ottn fcmnt spsson cmpo n punto : ( ). (8) 4π Vutmo nch potnz ttco n, ppcno fnzon (4): potno scg btmnt cmmno nfnto, scgmo zon, n moo ch tˆ ˆ : V ( ) 1 tˆ ( )ˆ ˆ ( ) 4π 4π. (9) 4π punto stnz ogn, con, sà ccob con o stsso ppocco usto n pcnz, scgno coè supfc sfc pssnt p ppcno Lgg Guss. In qust stuzon, qun, mouo cmpo potnz ttco snno spss : ( ) 4π < < 4π V ( ) (1) 4π L nmnto mouo cmpo ttco potnz è potto n fg.3. stno sf cmpo potnz sono g stss ch s ottbbo consno nt cc concntt n cnto sf. ntno sf conuttc, nc, cmpo ttco è nuo potnz ssum o costnt. () cc sfc () (b) cc puntfom V () cc sfc Fg. 3. Mouo cmpo ttco () potnz ttco (b) poott un cc puntfom un sf conuttc unfommnt cc. cc puntfom () (b) ˆ Fg.. Cmpo ttco pootto un cc puntfom () un sf conuttc unfommnt cc (b). Consmo o stuzon sctt n Fg.b, ssumno ch cc s stbut unfommnt su supfc un conutto sfco ggo, qubo. qunto tto n pcnz, ntno conutto cmpo è nuo. Vst smmt sfc unfomtà stbuzon cc, stno conutto sfco n foz cmpo ttco snno stss st n cso cc puntfom. tnto, cmpo ttco n un gnco ˆ 4. Cc stbut su un cno nfnto. cons un cc ttc post stbut unfommnt su supfc un cno conutto qubo, unghzz nfnt ggo (fg.4). ssum ch cno s mmso n un ttco n, omogno sotopo ( smpo n uoto). pmntmnt s ch n foz cmpo ttco s suppno n zon otogon ss cno (fg.4), ch cospon zon n un pno z cost (fg.4b), ssumno un sstm fmnto cnco (, θ, z). qunto tto n pcnz, cmpo ttco è nuo n tutt punt ntn cno, qun p <. Vutmo o mouo cmpo n un gnco punto posto stnz sptto ss cno. ccom supponmo ch cno s nfnto, possmo scu pnnz coont z. Inot, p smmt confguzon p unfomtà stbuzon cc, cmpo non può pn coont ngo θ, p cu s h () ˆ. cgmo o supfc cnc, coss con cno cco, nt ggo unghzz fnt. Con t sct punto gc su. L supfc è unon supfc t L supfc bs. Tnno conto ch su qust u utm cmpo ttco è otogon nom, fusso cmpo ttco ttso sà: 5

4 . Mffucc: Not su ttosttc /1. Mffucc: Not su ttosttc /1 nˆ nˆ nˆ nˆ nˆ, (11) L poché su supfc nom conc con ˆ, qun: L nˆ nˆ ( )ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) π, (1) L L p cu Lgg Guss fonsc: ( )π, (13) ssno cc contnut n ttto unghzz cno cco. Intoucno cc p untà unghzz /, mouo cmpo ttco n gnco punto à: ( ),. (14) π () (b) z L L L supfc è unon 3 copp supfc, ottnut spttmnt n pn -y, -z y-z. L nom supfc gcnt n pn -y -z sono otogon cmpo ttco, mnt nom supfc n pno y-z hnno stss zon so ˆ, qun cmpo. tnto, fusso cmpo ttco ttso s può sc com: nˆ nˆ ( )ˆ ˆ ( )ˆ ( ˆ). (15) yz mot smmt ss ( ) ( ), qun (15) n: yz yz nˆ ( )ˆ ˆ ( ) ( ), (16) yz yz o è supfc pn n pno y-z pozon mn cc contnut n pppo. ppcno gg Guss (6) s ottn mouo cmpo n punto : 1 σ, (17) ssno cc stbut su. N (16) è stt nch ntoott nstà supfc cc σ / [C/m ]. oss ch cmpo ttco è costnt unfom n tutto o spzo stno mn. ˆ ˆ () (b) ẑ ẑ ŷ Fg. 4. Cmpo pootto un stbuzon cnc cc. ˆ ˆ.3 Cc stbut su un mn pn nfnt. cons o un cc ttc post stbut unfommnt su supfc un mn pn conuttc mms n un ttco n, omogno sotopo ( smpo n uoto) s ssum un sstm coont ctsn (fg.5). L mn è nfnt n zon y z, h spsso fnto p n zon. pmntmnt s ch n foz cmpo ttco sono otogon mn, com ustto n fg.5. I cmpo ttco è nuo n tutt punt ntn cno, qun p < /. Vutmo o mouo cmpo n un gnco punto nt /. pots ssunt, cmpo non può pn coont y z, p cu s h () ˆ. cgmo o com supfc chus un pppo ch ncu pt mn suo ntno bb spsso n zon, n moo coè ch punto gcc su supfc t pppo, fg.5. L Fg. 5. Cmpo pootto un stbuzon pn cc. 6 7

5 . Mffucc: Not su ttosttc /1. Mffucc: Not su ttosttc /1 3. Cpctà ttc connsto. 3.1 Cpctà un conutto soto. qunto tto pgfo 1.1, qubo ttosttco ogn punto un conutto è qupotnz, comps punt su su supfc. cons potnz conutto fto nfnto (chmmoo V ). Dfnmo cpctà ttc conutto soto sptto nfnto ppoto t cc postt su conutto potnz conutto fto nfnto: C, (18) V L untà msu cpctà è couomb/ot ch ssum nom f (F). smpo: cpctà un sf conuttc sot. cons com smpo un sf conuttc ggo, su cu supfc è stbut unfommnt un cc. I potnz cu s pot conutto sfco è to (1), p cu ppcno fnzon (18) s ottn cpctà un sf sot ggo C 4π. (19) V not ch t pmto pn so gomt conutto mt ttco ch o ccon non, smpo, ptco mt conutto sf stss. N pots su mt ttc chmt pcntmnt, t sutto è tutto gn. 3. I connsto cons un sstm ttosttco costtuto u conutto mms n un ttco con costnt (Fg.6). ssum ch cch ttch su u conutto bbno ugu o ssouto sgno opposto. L n foz cmpo ttco pootto t sstm sono suzzt quttmnt n fgu: cun ss hnno ogn su supfc conutto ccto postmnt tmnno su supfc conutto ngto, t nc s chuono nfnto. - cpctà ttc connsto è fnt com ppoto t o ssouto cc su un u mtu tnson t mtu: C. () V ( ) V ( ) qunto tto n pcnz, tnson può ss utt pt quss punto mtu post, fno quss punto qu ngt, npnntmnt cmmno γ scto p ut ntg (4) ch fnsc. 3.3 I connsto sfco Un connsto sfco è costtuto u mtu sfch concntch, Fg.7, con un ttco costnt n ntcpn. upponmo stbu unfommnt un cc su sf ntn ( ggo ) un cc su supfc ntn mtu sfc stn ( ggo ). In qust pots, cmpo pootto n ntcpn sà cmpo pootto so cc post, suppost concntt n cnto sf. cono qunto tto n p..1, s h: ( )ˆ ˆ. (1) 4π not ch, no supposto u stbuzon unfom, n quss punto posto stnz > sutà. cgno com cmmno ntgzon sgmnto ch cog u punt quss u mtu scono zon (Fg.7b) s h: ˆ t ( ), 4 4 () π π p cu cpctà connsto sfco sà t : 4π C. 1 1 not ch p (coè spostno nfnto mtu ngt) s ottn o cpctà un sf conuttc sot (9). nché zz un conzon (tutt n foz cmpo ttco sono contnut n ntcpn t mtu), un connsto sfco è scs uttà ptc p ffcotà n ccssb mtu ntn. (3) γ Fg. 6. stm ttosttco u conutto. () (b) - - γ Un sstm tpo sctto n fgu, n qu s possb tscu contbuto n foz ch s chuono nfnto è tto connsto suo conutto sono tt mtu. L Fg. 7. Connsto sfco 8 9

6 . Mffucc: Not su ttosttc /1. Mffucc: Not su ttosttc /1 3.3 I connsto cnco Un connsto cnco è costtuto u mtu cnch coss unghzz, con un ttco costnt n ntcpn, com mostto n Fg.8. upponmo stbu unfommnt un cc su cno ntno ( ggo ) un cc su supfc ntn mtu cnc stn ( ggo ). upponmo not pot ssum ch cmpo ttco pootto n ntcpn s ppossmb co cmpo pootto stbuzon cc cnc unghzz nfnt. ust pots è tnto pù ccttb qunto pù to è ppoto sptto, coè / >> 1. In t cso, cmpo pootto n ntcpn sà cmpo pootto un stbuzon cnc nfnt cc ( p..): 1 ( )ˆ ˆ, (4) π o ˆ nc so coont n un sstm fmnto cnco (qun otogon ss z ch conc con ss cn. N szon tss (z costnt) s h stuzon sctt n Fg.8b: scgno com cmmno ntgzon sgmnto ch cog u punt quss u mtu scono zon (Fg.8b) s h: ˆ t ( ) [ n( ) ] n, (5) π π p cu cpctà connsto cnco unghzz è t : π C. n qust confguzon s f comunmnt fmnto cpctà p untà unghzz connsto, spss, pcò, n F/m: π C. n () (b) (c) z - γ - (6) (7) not ch, ffnz connsto sfc, p qust connsto pots cons cmpo comptmnt confnto n ntcpn mtu è goosmnt soo p stuttu nfnt. N cso n foz cmpo n possmtà bo s cuno com ncto quttmnt n Fg.8c. T fftt (fftt boo) possono ss pù o mno tscub scon ppczon ptch ( smpo potbbo compot fnomn ccoppmnto cpcto nsto con t spost psnt n qu gon spzo). Un mpotnt ppczon t stuttu sono costt c coss, comunmnt ust p cogmnto con ntnn s cnt ch tsmttnt: s pns c coss ch cogno tso cs nost (o co) sptt ntnn. 3.4 I connsto pno Un connsto pno è costtuto u mtu pn p szon, post stnz, con un ttco costnt n ntcpn, com mostto schmtcmnt n Fg.1. upponmo stbu unfommnt un cc sgno opposto su u mtu supponmo ch stuttu s t pot tn tscub g fftt boo pot ppossm cmpo gnto un sngo mn con quo gnto un mn cc unfommnt ch s stn nfnto. In t conzon, cmpo è goosmnt nuo stno stuttu, mnt n ntcpn h stbuzon nct n Fg.1b, cono sutt pgfo.3: 1 ˆ ˆ. (8) () (b) (c) - γ - Fg.9. Connsto cnco p ppczon ttonch Fg. 8. Connsto cnco Fg. 1. Connsto pno 1 11

7 . Mffucc: Not su ttosttc /1. Mffucc: Not su ttosttc /1 cgno com cmmno ntgzon sgmnto zon ˆ ch cog u punt quss u mtu (Fg.1b) s h: ch s supp com: tˆ (9), p cu cpctà connsto pno szon spsso è t : 4. Ln bf co su pno conutto pftto (3) C. (31) ccnto stuttu const n pcnz, ssum un o ptco p su ppczon p tspoto ng costt n bf, schmtzzb com un sstm zzto u cn conutto ggo, post stnz h uno to, mms n un ttco omogno costnt (Fg.11). ssum ch su u cn s, soto, un stbuzon unfom cc ttc sgno opposto. L n foz cmpo ttco pootto t sstm sono suzzt quttmnt n fgu. () (b) - h h - ssno stnz ss to cno. N szon tss scgmo com cmmno ntgzon sgmnto ch cog u punt quss u cn, scono zon otogon u ss (Fg.11b), ottnno: tˆ cu, ssno ' : h ˆ ˆ' ' h ( ) ( ' ) ' h h π ', π' h h h [ n( ) ] n n. (33) π π π π N utmo pssggo s è tnuto conto ftto ch tpcmnt sut untà unghzz n bf è qun t : ( h ) / ] n( h / ) h h >>. L cpctà p C π π (s h ). n[ >> (34) Infn nzzmo un uto confguzon ntss ppcto: un conutto cnco posto stnz h/ un pno conutto, supposto (Fg.1). T stuzon può smpo sc, n pm ppossmzon, cso un co ttco sospso su un tno. upponmo ch conutto cnco s fonto un cc stbut unfommnt. stu t confguzon è ut oss ch, consno pno conutto nfnto, è possb co costto tom mmgn, ch ffm ch n smspzo supo pno conutto, cmpo ttco è ugu quo gnto cno con cc un cno mmgn con cc, posto stnz h/ pt oppost sptto pno conutto (Fg.1b). ocno com n cso pcnt, tnson t conutto cnco pno s può ut o schm qunt n Fg.8b, con sgunt pssgg: tˆ h h ( ) ˆ π π h / ˆ' ' ( ) ( ' ) ' ( ) ( ) h π h π h h h [ n( ) ] n n h / N utmo pssggo s è tnuto conto ftto ch tpcmnt sut untà unghzz qust stuttu è qun t : ( h ) / ] n( h / ) h / h / h >>. L cpctà p C π π (s h ). n[ >> (35) Fg. 11. Ln bf In qust stuttu, cmpo pootto n ntcpn sà spmb com sopposzon cmp poott cc post ngt, cscuno qu h un mouo p : 1 ( ), (3) π () (b) h/ h/ h/ mmgn - Fg. 1. Conutto cnco su pno conutto pftto. 1 13