COMPRESSIBILITÀ E CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA Esercizi svolti

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1 Dipartimento di Ingegneria Civile e mbientale ( COMPRESSIBILITÀ E CONSOLIDZIONE EDOMETRIC Esercizi svolti Corso di Geotecnica Ingegneria Edile,.. 01/013 Johann Facciorusso johannf@dicea.unifi.it

2 Compressibilità COMPRESSIBILITÀ Esercizio 1 Uno strato di argilla organica normalmente consolidato con peso di volume = 16 kn/m 3, indice dei vuoti iniziale e 0 = 1.8 e indice di compressione C c =0.6,è compreso, tra profondità 4 m e 14 m dal piano di campagna, tra due strati di sabbia, che, ad una certa distanza, sono a contatto tra di loro. Il livello di falda è 1 m al di sotto del piano di campagna e il peso di volume della sabbia è =19 kn/m 3 al di sopra della falda, e =0kN/m 3 al di sotto (si assuma w =10 kn/m 3 ). Nell ipotesi che venga effettuato un pompaggio permanente di acqua che abbassi il livello piezometrico di m, calcolare le variazioni di pressione totale, interstiziale ed efficace all interno dello strato di argilla in funzione della profondità, e il cedimento di consolidazione conseguente. Se al termine della consolidazione viene applicato in superficie un carico uniforme di 100 kpa, determinare il corrispondente cedimento di consolidazione finale dello strato di argilla. /39

3 Dati: UNIVERSIT DEGLI STUDI DI FIRENZE rgilla (NC): Spessore dello strato (H a ) = 10 m Indice di compressione (C c ) = 0.6 Indice dei vuoti iniziale (e 0 ) = 1.8 Peso di volume (saturo) ( sat(arg) )=16kN/m 3 H s H a Sabbia: Spessore dello strato superficiale (H s )=4m q Compressibilità p.c. Sabbia ( d(sab), sat(sab) ) rgilla (e 0,C c, sat(arg) ) Sabbia ( sat(sab) ) z wi z w Peso di volume al di sopra della falda (asciutto) ( d(sab) )=19kN/m 3 Peso di volume al di sotto della falda (saturo) ( sat(sab) )=0kN/m 3 Falda: Profondità iniziale della falda rispetto al p.c. (z wi ) =1m bbassamento della falda (z w )=m Peso specifico dell acqua ( w )=10kN/m 3 Carico: Carico uniforme applicato in superficie (q) = 100 kpa 3/39

4 Compressibilità Svolgimento: 1) Nell ipotesi che venga effettuato un pompaggio permanente di acqua che abbassi il livello piezometrico di m, calcolare le variazioni di pressione totale, interstiziale ed efficace all interno dello strato di argilla in funzione della profondità, e il cedimento di consolidazione conseguente. Un abbassamento (permanente) del livello di falda determina un cedimento di consolidazione primaria accompagnato ad un incremento delle tensioni efficaci analogo a quello che si avrebbe in conseguenza dell applicazione di un carico. Infatti con riferimento ad un generico punto P all interno dello strato di argilla, a profondità z, se si determina lo stato tensionale, efficace e totale, e le pressioni interstiziali, prima e dopo l innalzamento: H s H a Sabbia ( d(sab), sat(sab) ) rgilla (e 0,C c, sat(arg) ) p.c. z P z wi z w Sabbia ( sat(sab) ) 4/39

5 Compressibilità Prima: v,i (z) = d(sab) z wi + sat(sab) (H s z wi )+ sat(arg) (z H s )=[ (4 1)+16 (z 4)] kpa = (16z+15) kpa u i (z) = w (z z wi ) = 10kN/m 3 x(z 1) m = (10z 10) kpa v,i (z) = v,i (z) u i (z) = (15+16z 10z+10) kpa = (6z+5) kpa Dopo (posto z wf =z wi +z w =3m): v,f (z) = d(sab) z wf + sat(sab) (H s z wf )+ sat(arg) (z H s )=[ (4 3)+16 (z 4)] kpa = (16z+13) kpa Nel calcolo delle pressioni interstiziali, considerata la bassa permeabilità dell argilla, occorre distinguere la condizione di breve termine (immediatamente successiva all istante di abbattimento della falda, t = 0, supposto istantaneo) da quella di lungo termine (in cui si suppone terminata la consolidazione primaria e il processo di filtrazione ad essa associata). 5/39

6 Compressibilità In particolare nell istante t = 0, all estremità inferiore dello strato di argilla (C), data la bassa permeabilità, il regime delle pressioni rimane in equilibrio con il livello di falda precedente l abbassamento (z wi ), attivando un moto di filtrazione verticale ascendente in condizioni edometriche. u b.t. (C) =u i (C) = w (H s +H a z wi ) = 10kN/m 3 x(14 1) m = 130 kpa mentre, la pressione interstiziale che si dovrebbe avere in ragione del nuovo livello di falda, z wf, e che si raggiunge a lungo termine al termine del processo di filtrazione e consoliudazione una volta ristabilito l equilibrio idrostatico vale: u l,t. (C) = u f (C) = w (H s +H a z wf ) = 10kN/m 3 x(14 3) m = 110 kpa Invece all estremità superiore dello strato di argilla (B), al contatto diretto con lo strato permeabile, l effetto dell abbassamento della falda viene percepito pressochè istantaneamente, per cui: p.c. u b,t (B) =u l.t. (B) = u f (B) = w (H s z wf ) = 10kN/m 3 x(4 3) m =10kPa B z wf z wi C 6/39

7 Compressibilità La sovrappressione indotta quindi dall abbassamento della falda vale nell istante t = 0 : u e (z,0) = u b,t (z) u l.t. (z) = =0kPaperz= H s =0kPaperz= H a +H s e assumendo che vari linearmente con la profondità nello strato di argilla, l isocrona iniziale è quindi triangolare. Nel caso in cui occorra determinare l evoluzione nel z wi z wf tempo dei cedimenti (grado di B consolidazione) si può far riferimento alle soluzioni u e (z,0) approssimate proposte per isocrona triangolare. In questo C caso è sufficiente calcolare il cedimento finale, per cui interessano le pressioni pressione idrostatica, u f interstiziali e la tensione pressione interstiziale, u f (z,0) efficace verticale finale. 7/39

8 Compressibilità u f (z) = w (z z wf ) = 10kN/m 3 x(z 3) m = (10z 30) kpa v,f (z) = vf (z) u f (z) = (13+16z 10z+30) kpa = (6z+43) kpa In definitiva: v (z) = vf (z) vi (z) = (16z+13 16z 15) kpa = kpa u(z) =u f (z) u i (z) = (10z 30 10z+10) kpa = 0 kpa v (z) = vf (z) vi (z) = (6z+43 6z 5) kpa = 18 kpa L incremento di tensione efficace verticale v conseguente al processo di consolidazione primaria vale dunque 18 kpa ed è costante con la profondità e il cedimento conseguente vale, essendo il terreno NC: H ' v0, i ' v H1 [ Cc log ] ' 1 eo vo, i dove i parametri di compressibilità (C c ), l indice dei vuoti iniziale (e 0 )ela tensione litostatica ( vi ) sono riferiti alla mezzeria dello strato, ipotizzato omogeneo: v,i (H s +H a /) =6 (4+10/)+5 kpa =79kPa e 0 = 1.8 C c = 0.6 H 1 = m/(1+1.8) log[(79+18)/79] = m 8/39

9 Compressibilità N.B. Quando lo strato di cui si calcola il cedimento ha uno spessore elevato, per un calcolo più preciso, anche quando lo strato è omogeneo o comunque non è noto come i parametri di compressibilità o le proprietà indici del terreno variano con la profondità, occorre suddividere lo strato in più sottostrati (e riferirsi alla mezzeria di ciascun strato). d esempio dividendo in 5 strati di spessore m: N z (m) H 0,i (m) e 0,i C c,i ( ) ( ) v,i (6z+5) (kpa) v,i (kpa) ʹ log v,i ʹ v,i v,i C c,i H 0,i /(1+e 0,i ) (m) (m) H C H ʹ 5 ci oi v0,i v [log ] 1 i1 1 e ʹ oi v, i = m 9/39

10 Compressibilità * Nel caso in cui si suddivide in starti di spessore infinitesimo dz, la sommatoria si trasforma in un integrale: H z z C ʹ c(z) [log 1 e (z) 4 o v,0 (z) ʹ v,0 (z) v (z) Cc ]dz 1 e = 0.6/(1+1.8) log(6z 43)dz log(6z 5)dz 4 4 o 14 ʹ [log = 0.14 [( )/6 ( )/6] = m log(az b)dz 1 a az b az b log(az b) ln10 zz zz1 v,0 (z) ʹ 4 v, 0 * (z) v (z) dz OSS. Un abbassamento del livello di falda in un deposito per il quale siano applicabili le condizioni edometriche determina un fenomeno di consolidazione edometrica ed un conseguente cedimento, equivalente a quello determinato da un carico uniformemente distribuito e infinitamente esteso (di valore pari all incremento di tensione efficace verticale determinato), il processo di consolidazione è invece differente, essendo l isocrona iniziale di forma triangolare e non rettangolare. 10/39

11 Compressibilità ) Se al termine della consolidazione viene applicato in superficie un carico uniforme di 100 kpa, determinare il corrispondente cedimento di consolidazione finale dello strato di argilla. q Per determinare il cedimento di p.c. z consolidazione primaria conseguente wi Sabbia ( d(sab), sat(sab) ) z all applicazione del carico q, w uniformemente distribuito e z infinitamente esteso, considerando che il H rgilla (e 0,C c, sat(arg) ) a P terreno è ancora NC (e ci muoviamo ancora sulla linea di compressione vergine, BC), si applica sempre la formula (all intero strato): Sabbia ( sat(sab) ) H H,0 1 e o [C c ʹ log v0,i con riferimento alle condizioni iniziali: e 0 = 1.8 v0,i (z) = (6z+5) kpa H,0 = 10m e ad un incremento di tensione verticale : v = v1 +v = = = 118 kpa e ʹ vo v ] e 0 e 1 e e 1 e C c v1 1 v z w B q C v (log) 11/39

12 Compressibilità da cui (senza suddivisione dello strato): H = m/(1+1.8) log[(79+118)/79] = m e il cedimento conseguente alla sola applicazione del carico q risulta: H 1 = H H 1 = = m Lo stesso risultato si può raggiungere più direttamente applicando la formula: e 1 H ʹ,1 v0,f v e H [C log ] 1 c ʹ 1 e 1 vf e con riferimento alle condizioni iniziali: e 0 e 1 e C c 1 z w B q C v (log) e 1 =e 0 e 1 =e 0 (1+e 0 ) H 1 /H 0 = 1.8 (1+1.8) 0.191/10 = v0,f (z) = (6z+43) kpa e ad un incremento di tensione verticale : v = q = 100 kpa H,1 =H,0 H 1 = = m H 1 = m/( ) log[(97+100)/97] = m 1/39

13 Compressibilità Esercizio Un serbatoio cilindrico di raggio r = 10 m, che applica al terreno una pressione verticale uniforme, p, di 00 kpa è fondato su deposito costituito nei primi 10.4 m da sabbia fine (avente indice dei vuoti e = 0.76 e G s =.7), seguito da uno strato di argilla soffice (G s =.7) dello spessore di m delimitato inferiormente da uno strato di sabbia grossa. La falda è a 3 m al di sotto del piano di campagna. Si assume che il terreno al di sopra della falda sia saturo. Determinare, assumendo w = 9.81 kn/m 3, il cedimento di consolidazione primario dello strato di argilla, H, nell ipotesi che: a) l argilla sia normalconsolidata, il suo contenuto d acqua sia w = 43% e l indice di compressione C C = 0.3; b) l argilla sia sovraconsolidata con grado di sovraconsolidazione OCR =.5, contenuto d acqua w = 38% e indice di rigonfiamento C S = /39

14 Dati: UNIVERSIT DEGLI STUDI DI FIRENZE rgilla (OCR=1; OCR =.5): Spessore dello strato (H a )=m Indice di compressione (C c ) = 0.3 Indice di rigonfiamento (C S ) = 0.05 Contenuto d acqua (w) = 43% (NC), 38%(OC) Compressibilità Gravità specifica (G s ) =.7 Sabbia: H s Sabbia (e, G s ) Spessore dello strato superficiale (H s ) = 10.4 m Indice dei vuoti (e) = 0.76 Gravità specifica (G s ) =.7 H a rgilla (C S,C c,g S,w) Terreno sopra falda saturo Falda: Sabbia (e, G s ) Profondità della falda rispetto al p.c. (z w ) =3m Peso specifico dell acqua ( w ) = 9.81 kn/m 3 Carico: Pressione uniforme trasmessa dal serbatoio (p) = 00 kpa Raggio del serbatoio (R) = 10 m p p.c. 14/39 z w

15 Compressibilità Svolgimento: a) Determinare il cedimento di consolidazione primario dello strato di argilla, H, nell ipotesi che l argilla sia normalconsolidata, il suo contenuto d acqua sia w = 43% e l indice di compressione C C = 0.3. La pressione uniforme p trasmessa dal serbatoio al terreno di fondazione, saturo, induce un fenomeno di consolidazione ed un conseguente cedimento. Essendo verificate le condizioni geometriche e di vincolo edometriche (il carico, seppure distribuito su una superficie finita ha un estensione molto superiore allo spessore dello strato, R >>H ), il cedimento di consolidazione primaria dello strato di argilla è dato da (argilla NC): p H ʹ (z ) z v0 v H C p.c. c log 1 eo ʹv0 (z ) z w dove il cedimento è calcolato con riferimento ad un unico strato (considerato il suo esiguo H s Sabbia (e, G s ) spessore) supposto omogeneo, per il quale vale: H a =m z H a rgilla (C S,C c,g S,w) e 0 =w G s = = 1.16 C c = 0.3 Sabbia (e, G s ) 15/39

16 Compressibilità e, con riferimento alla mezzeria dello strato (z =H s +H a / = 11.4 m): v,0 (z ) = v,0 (z ) u(z )=[ sat,sab H S + sat,arg H /] [ w (H S +H / z w )] Gs e 0 con: sat,sab w 1 e = ( )/(1+0.76) 9.81 = 19.3 kn/m 3 0 Gs e 0 sat,arg w 1 e = ( )/(1+1.16) 9.81 = 17.5 kn/m 3 0 v,0 (z ) = kpa kpa 9.81 ( ) kpa = kpa Per il calcolo dell incremento della tensione verticale totale, v (z ), che al termine della consolidazione si traduce in uguale incremento delle tensioni efficaci, si fa riferimento alla soluzione ottenuta per pressione uniforme su superficie circolare: r p H s z w R r 0 1 z /q H a z z/r 3 4 r/r=0 r/r=0,5 r/r=1 r/r= 5 16/39

17 Compressibilità Come si può notare dal grafico, a parità di z (z/r), l incremento v ( v /p) varia al di sotto della fondazione, cautelativamente si assume, alla quota considerata (z) il valore massimo, in corrispondenza dell asse della fondazione (r/r = 0) p 1 1/ z r0 e quindi: 1 R z 3 = 00 {1 1/ [1+(10/11.4) ] 3 } = 115 kpa H H 1 e o C c log ʹ v0 (z ) ʹ (z ) v0 v z = 0.3 m/(1+1.16) log[( )/135.8] = m N.B. Per calcolare il cedimento della fondazione, supponendo verificate le ipotesi edometriche, occorrerebbe quantificare anche il cedimento di consolidazione primaria dello strato di sabbia (di cui però non sono noti i parametri di compressibilità), nonché il cedimento di consolidazione secondaria. 17/39

18 Compressibilità Svolgimento: b) Determinare il cedimento di consolidazione primario dello strato di argilla, H, nell ipotesi che l argilla sia sovraconsolidata con grado di sovraconsolidazione OCR =.5, contenuto d acqua w = 38% e indice di rigonfiamento C S = Il cedimento di consolidazione primaria dello strato di argilla è dato in questo caso (sempre con riferimento ad un unico strato supposto omogeneo e alla sua mezzeria) da (argilla OC): se vo + v > c H ʹ H [CS log 1 e ʹ o se vo + v < c H H [C log s 1 eo dove: v0 (z (z e 0 =w G s = = 1.03 C S = 0.05 C c = 0.3 p ʹ vo ) C ) c (z ) ʹ (z ) vo ʹ log v (z ) ] v0 H =m (z ) ʹ (z ) v0 v (z ) ] H s H a p Sabbia (e, G s ) rgilla (C S,C c,g S,w) Sabbia (e, G s ) p.c. z w z 18/39

19 Compressibilità l incremento della tensione verticale totale è il medesimo calcolato nel caso a): v (z ) = 115 kpa il peso di volume saturo dell argilla cambia: G e s 0 sat,arg w 1 e = ( )/(1+1.03) 9.81 =18kN/m 3 0 e quindi: v,0 (z ) = kpa+18 1 kpa 9.81 ( ) kpa = kpa da cui, noto il grado di sovraconsolidazione OCR, si ricava la pressione di preconsolidazione: c (z ) =OCR v0 (z ) = kpa = kpa > vo + v = = 51.3 kpa e quindi: H H 1 e o [C s log ʹ vo (z) ʹ (z ) vo v (z ) ] = 0.05 m/(1+1.03) log[( )/136.3] = m OSS. L argilla sovraconsolidata, a parità di carico, ha un cedimento molto più basso 19/39

20 CONSOLIDZIONE Esercizio 3 Un edificio di grandi dimensioni viene fondato su un deposito sabbioso ( =0 kn/m 3 ) contenente al suo interno ad una profondità di 10 m dal piano di campagna, uno strato di argilla molle ( =16kN/m 3 ) della potenza di m. La falda è coincidente col piano di campagna ed il carico trasmesso al terreno dall edificio è uniforme e pari a 100 kpa (si assuma w =10kN/m 3 ). a) Determinare la tensione efficace verticale e la pressione interstiziale al centro dello strato di argilla all 80% della consolidazione. b) Determinare il tempo t 80 necessario per raggiungere in sito tale livello di consolidazione sapendo che dai risultati della prova edometrica eseguita su un provino (di altezza 5 mm) ottenuto da un campione di argilla estratto in corrispondenza della mezzeria dello strato, è risultato che, al livello di carico applicato pari a quello trasmesso in sito dall edificio, si è raggiunto tale grado di consolidazione in un ora. 0/39

21 Dati: UNIVERSIT DEGLI STUDI DI FIRENZE rgilla Spessore dello strato (H )=m Peso di volume ( arg )=16kN/m 3 H s p Sabbia ( sab ) p.c. Sabbia: Spessore dello strato superficiale (H S ) = 10m H a Peso di volume ( sab ) = 0 kn/m 3 Falda: Profondità della falda rispetto al p.c. (z w ) =0m Peso specifico dell acqua ( w )=10kN/m 3 rgilla ( arg ) Sabbia ( sab ) Carico: Carico considerato infinitamente esteso e uniforme (p) = 100 kpa Carico: ltezza del provino (h p )=5mm Tempo di consolidazione all 80% (t p,80 )=1h 1/39

22 Svolgimento: a) Determinare la tensione efficace verticale e la pressione interstiziale al centro dello strato di argilla all 80% della consolidazione. La pressione uniforme p trasmessa dall edificio al terreno di fondazione, saturo, assimilabile ad un carico infinitamente esteso (date le grandi dimensioni) induce un fenomeno di consolidazione ed un conseguente cedimento. Essendo verificate le condizioni geometriche e di vincolo edometriche, si può applicare la teoria della consolidazione edometrica per studiare il decorso delle sovrappressioni interstiziali durante il processo e quindi per calcolare la pressione interstiziale u, al centro dello strato di argilla p (z=z ), all 80% della consolidazione (t 80 ): u(z,t = t 80 )=u p + u e (z,t 80 ) con u P = w (H S +H /) = 10 (10+1) = 110 kpa t=0 Inoltre risulta: t=t ue(z,t 80) 80 U (z,t ) 1 z 80 = 0.8 u0 u e (z,0) = u 0 =pperogniz da cui: u e (z,t 80 ) =(1 0.8) u 0 =0kPa Z H s H a Sabbia ( sab ) rgilla ( arg ) Sabbia ( sab ) p.c. z /39

23 Svolgimento: Da cui: u(z,t 80 ) =u p +u e (z,t 80 ) = 110 kpa + 0 kpa = 130 kpa La tensione verticale totale al centro dello strato di argilla vale: v (z )= sab H S + arg (H /) + p = = 316 kpa La tensione efficace verticale vale: v (z,t 80 ) = v (z ) u(z,t 80 ) = ( ) kpa = 186 kpa b) Determinare il tempo t 80 necessario per raggiungere in sito tale livello di consolidazione sapendo che dai risultati della prova edometrica eseguita su un provino (di altezza 5 mm) ottenuto da un campione di argilla estratto in corrispondenza della mezzeria dello strato, è risultato che, al livello di carico applicato pari a quello trasmesso in sito dall edificio, si è raggiunto tale grado di consolidazione in un ora. pplicando allo strato di argilla la teoria della consolidazione edometrica, la relazione esistente tra grado di consolidazione medio, U m,efattore di tempo adimensionale, T V è nota (in forma analitica, grafica o approssimata), in particolare ad U m = 0.8, corrisponde uno ed un solo valore di Tv (T V,80 ) 3/39

24 Svolgimento: Inoltre dalla definizione di T V : T v,80 c t v H 80 dove c V èilcoefficiente di consolidazione verticale caratteristico del terreno (non noto) e H la lunghezza del percorso di drenaggio, che, essendo lo strato drenato da entrambi i lati, vale: H=H / =1m Con riferimento al provino dello stesso terreno, sottoposto allo stesso carico e nelle stesse condizioni di drenaggio, allo stesso grado di consolidazione U m = 0.8, corrisponde lo stesso valore di T V (T V,80 ): T v,80 c v,p H t p,80 p dove c V,p èilcoefficiente di consolidazione verticale caratteristico del terreno (non noto) e H p la lunghezza del percorso di drenaggio, che,essendolostrato drenato da entrambi i lati, vale: H p = h p / = 1.5 mm = m t p,80 =1h 4/39

25 Svolgimento: Eguagliando le due relazioni e ricordando che il terreno è lo stesso (c V =c V,p ) c t v H 80 c v t H p p,80 da cui si ricava: H t p,80 t 80 =1m 1h/0.015 m = 6400 h 67 gg H p 5/39

26 Esercizio 4 Si consideri un deposito costituito a partire dal piano di campagna da uno strato di argilla satura con falda coincidente col piano di campagna, di spessore pari a 10 m, coefficiente di permeabilità k = 10 7 cm/s, indice dei vuoti iniziale e 0 = 1.5 e coefficiente di compressibilità a v =310 4 m /kn, delimitato inferiormente da uno strato di sabbia (si assuma w = 9.81 kn/m 3 ). a) Determinare il tempo t necessario per raggiungere un grado di consolidazione del 70% in presenza di un sovraccarico di 100 kpa e l andamento con la profondità delle sovrappressioni interstiziali. b) Se il cedimento corrispondente, dopo questo tempo, è 9.5 cm determinare il cedimento di consolidazione primaria finale, H. Dati: q Spessore dello strato (H ) = 10 m p.c. Coefficiente di permeabilità (k) = 10 7 cm/s Coefficiente di compressibilità (a V )= m /kn rgilla (k, a V ) Indice dei vuoti (e 0 ) = 1.5 H Profondità della falda rispetto al p.c. (z w ) =0m Peso specifico dell acqua ( w ) = 9.81 kn/m 3 Sovraccarico (q) = 100 kpa Sabbia 6/39

27 Svolgimento: a) Determinare il tempo t necessario per raggiungere un grado di consolidazione del 70% in presenza di un sovraccarico di 100 kpa e l andamento con la profondità delle sovrappressioni interstiziali. pplicando allo strato di argilla la teoria della consolidazione edometrica, la relazione esistente tra grado di consolidazione medio, U m,efattore di tempo adimensionale, T V è nota (in forma analitica, grafica o approssimata), in particolare ad U m = 70%, corrisponde un valore di Tv: T V,70 = Inoltre dalla definizione di T V : T v,70 c t v H dove c V : c v k(1 e a w 70 o =10 9 m/s (1+1.5)/(9.81 kn/m m /kn) = m /s v ) H=H / =5m(lo strato è drenato da ambo i lati) 7/39

28 Svolgimento: da cui si ricava: t 70 H T c V v,70 =(5 m 0.403)/( m /s) = s 138 gg Per determinare l andamento con la profondità (ad es. per z = 0,, 4, 6, 8, 10 m) delle sovrappressioni interstiziali u e (z,t V,70 ) al 70% della consolidazione (T V = 0.403), si può procedere per via analitica: u e (Z,T v ) m m0 u M dove: M (m 1) 0< Z (= z/h = z/5) < u 0 =q=100kpa T V = o (sin MZ)e M T v u m o m0 (sin MZ) e M M T v (sin MZ) M m z (m) Z ( ) M u e (kpa) E 01.6E 05.49E E E E E E E E E E E 01.6E E E E E 0 1.5E E e M Tv N.B. I termini della sommatoria diventano trascurabili già per m = 1. 8/39

29 Svolgimento: Per determinare l andamento con la profondità delle sovrappressioni interstiziali u e (z,t V,70 ) al 70% della consolidazione (T V = 0.403), si può ricorrere anche alla soluzione grafica che ci permette di calcolare, per ciascuna profondità Z (e quindi z) il grado di consolidazione U z (in termini di sovrappressioni) corrispondente ad un assegnato valore di Tv e quindi la sovrappressione interstiziale, essendo: Si sceglie la curva corrispondente al valore ti T V = (tra quelle disegnate o per interpolazione), e per i valori prefissati di Z, si trova U z e quindi ue: u e (Z,T V ) [1 U z (Z,T V )] u 0 9/39

30 T V = Svolgimento: Da cui risulta che per: Z U z u e (kpa) Z= z/h Grado di consolidazione, U z 30/39

31 Svolgimento: b) Se il cedimento corrispondente, dopo questo tempo, è 9.5 cm determinare il cedimento di consolidazione primaria finale, H. Il grado di consolidazione medio (in termini di sovrappressioni), U m coincide con quello in termini di cedimenti : U m t ed essendo s(t) s s(t) = 9.5 cm f si ricava il cedimento finale: s f = s(t)/u m = 9.5/0.7 cm = 13.6 cm 31/39

32 Esercizio 5 (Esame del 09/04/009) Si consideri un deposito sabbioso saturo ( =19kN/m 3 ) con falda coincidente col piano di campagna ( w =10kN/m 3 ) e si supponga che al suo interno, a una profondità di 6 m dal piano di campagna, sia presente uno strato di argilla NC ( sat =18 kn/m 3, s =7kN/m 3, ʹ =7, C c = 0.5, C s = 0.04, c V = 3x10 6 m /s) di spessore 4 m. Viene eseguito uno scavo di profondità 5 m e larghezza molto grande per realizzare un edificio che, a realizzazione completata, comporterà un incremento delle tensione efficaci verticali di 130 kpa, che assumiamo uniforme con la profondità. Durante lo scavo le falde al di sotto e al di sopra dello strato di sabbia vengono mantenute comunicanti attraverso un pozzo di drenaggio, mediante il quale il livello di falda viene abbattuto fino a 1 m al di sotto del fondo dello scavo e mantenuto tale anche durante la realizzazione dellʹedificio. a) Si calcolino in corrispondenza della mezzeria dello strato di argilla, le tensioni efficaci verticali ed orizzontali, prima dellʹesecuzione dello scavo, dopo la realizzazione dello scavo e dopo il completamento dellʹedifico, supponendo ogni volta che la consolidazione sia terminata. b) Si disegnino i percorsi corrispondenti sul piano e logʹv e si calcoli il tempo necessario ad una consolidazione del 90% nellʹipotesi che il carico dellʹedificio venga applicato istantaneamente. 3/39

33 Sabbia: Spessore dello strato superficiale (H S1 )=6m Peso di volume ( sab ) = 19 kn/m 3 rgilla (NC) Spessore dello strato (H )=4m Peso di volume ( arg )=18kN/m 3 Peso specifico dei solidi ( s )=7kN/m 3 ngolo di resistenza al taglio ( ) = 7 Indice di compressione (C c ) = 0.5 Indice di rigonfiamento (C S ) = 0.04 Coefficiente di cons. verticale (C V ) = m /s sabbia argilla Profondità dello scavo (d) = 5 m Falda: H Profondità della falda rispetto al p.c. (z w ) =0m S bbassamento della falda (z sabbia w ) =6m Peso specifico dell acqua ( w )=10kN/m 3 Carico: Carico considerato infinitamente esteso e uniforme (p) = 130 kpa H S1 H d piano campagna piano di scavo H / B 33/39

34 Svolgimento: a) Si calcolino in corrispondenza della mezzeria dello strato di argilla, le tensioni efficaci verticali ed orizzontali, prima dellʹesecuzione dello scavo, dopo la realizzazione dello scavo e dopo il completamento dellʹedifico, supponendo ogni volta che la consolidazione sia terminata. La mezzeria dello strato di argilla si trova a profondità (dal p.c.): z B =H S1 +H / = (6+)m = 8m Prima dello scavo : v0 (B) = sab H s1 + arg H / = ( ) kpa = 150 kpa u 0 (B) = w z B =(10 8) kpa =80kPa v0 (B) = v0 (B) u 0 (B) = (150 80) kpa =70kPa Il terreno è NC, quindi: K 0 (NC) =1 sen = 0.55 h0 (B) =K 0 (NC) v0 (B) = ( ) kpa = 38.5 kpa h0 (B) = h0 (B) + u 0 (B) = ( ) kpa = kpa v0 (z) = c (OCR =1) H S1 H H S sabbia argilla sabbia piano campagna H / B 34/39

35 Dopo lo scavo : Nonostante l abbassamento del livello di falda, essendo i due strati di sabbia comunicanti, non si genera alcun gradiente di carico e quindi alcun moto di filtrazione e quindi il regime di pressione rimane idrostatico e in equilibrio con il nuovo livello di falda all interno di tutto il deposito. v1 (B) = sab (H s1 d)+ arg H / = ( ) kpa =55kPa u 1 (B) = w (z B z w d) = 10 (8 6) kpa =0kPa v1 (B) = v1 (B) u 1 (B) = (55 0) kpa =35kPa< c Il terreno, per effetto dello scarico tensionale, è ora OC ( v1 < p ), e il grado di sovraconsolidazione vale in B: OCR= v0 (B)/ v1 (B) = 70/35 = ed assumendo = 0.5: K 0 (OC) =K 0 (NC) OCR = = 0.78 h1 (B) =K 0 (OC) v1 (B) = ( ) kpa = 7.3 kpa h1 (B) = h1 (B) + u 1 (B) = (7.3+0) kpa = 47.3 kpa H S1 H H S sabbia argilla sabbia d Z W piano di scavo H / B 35/39

36 Dopo la costruzione dell edificio : Dopo la realizzazione dell edificio, a consolidazione completata, il regime delle pressioni interstiziali rimane immutato, mentre si registra un incremento delle tensioni efficaci pari all incremento della tensione verticale totale, assunto uniforme con la profondità e pari a p. v (B) = v1 (B) + p = (55+130) kpa = 185 kpa u (B) =u 1 (B) =0kPa v (B) = v (B) u (B) = (185 0) kpa = 165 kpa > v0 Il terreno, ha subito ora un ricarico, che ha portato al tensione efficace a superare il valore massimo preesistente ( v > v0 ) e quindi a ripercorrere la linea di compressione vergine, per cui il terreno è di nuovo NC: v (z) = p (OCR =1) h (B) =K 0 (NC) v (B) = ( ) kpa = 90.7 kpa H S1 H sabbia argilla d Z W p H / B h (B) = h (B) + u (B) = ( ) kpa = kpa H S sabbia 36/39

37 Svolgimento: b) Si disegnino i percorsi corrispondenti sul piano e logʹv e si calcoli il tempo necessario ad una consolidazione del 90% nellʹipotesi che il carico dellʹedificio venga applicato istantaneamente. L indice dei vuoti iniziale (e 0 ), prima dello scavo si ricava dalla relazione: sat Gs e 1 e w che diventa: e s sat da cui : e 0 =(7 18)/(18 10) = 1.15 Il punto corrispondente sul piano e log v (0), si trova sulla linea di compressione vergine (NCL), di pendenza C c. Dopo la fase di scarico (terminato il processo di deconsolidazione ), l indice dei vuoti è aumentato di e 01 =e 1 e 0, seguendo la linea si scarico ricarico, di pendenza C s : e 01 = Cs log v01 =Cs (log v0 log v1 ) = 0.04 log(70/35) = 0.01 e 1 =e 0 +e 01 = = sat w e e 1 e 0 C c v1 C S v0 v (log) 37/39

38 Svolgimento: da cui, valendo la relazione in condizioni edometriche: e H 1 e 0 H 0 si ricava il rigonfiamento dello strato di argilla conseguente allo scavo: h 1 =H e 01 /(1+e 0 )=4m 0.01/(1+1.15) = 0.03 m H 1 =H + h 1 = ( )m = 4.03 m Dopo la fase di carico (terminato il processo di consolidazione ), l indice dei vuoti è diminuito di e 0 =e e 1, seguendo nel primot tratto (1 0) la linea si scarico ricarico, di pendenza C s :, e poi proseguendo sulla linea di e compressione vergine di pendenza C C : e 1 = Cs log v10 Cc log v0 = e 01 +C C (log v log v0 )= = log(165/70) = e =e 1 +e 1 = = 1.03 e 1 e 0 e C c C S h =H 1 e 1 /(1+e 1 ) = 4.03m ( 0.105)/( ) = m v1 v0 v0 v (log) 38/39

39 Svolgimento: d un grado di consolidazione medio U m = 90% corrisponde un valore di T V pari a (Terzaghi): T v log(100 U ovvero: (%)) T v,90 = log(100 90) = m per U m 60% da cui si ricava (essendo lo strato drenato da entrambi i lati H = H 1 / =.01m): t 90 H T c V v,90 = (.01 m 0.848)/( m /s) = s 13 gg e il cedimento corrispondente, essendo U m = s(t)/s f = s(t)/h = 0.9 vale: s(t) = U m h = m = m 39/39