Esame del 15 Gennaio 2004 Vecchio Ordinamento. Per lo svolgimento di questa prova è concesso un tempo massimo di tre ore.

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1 Esame del Gennaio 4 Vecchio Ordinamento Per lo svolgimento di questa prova è concesso un tempo massimo di tre ore. Esercizio n. Calcolare il massimo e minimo assoluti della seguente funzione nell intervallo, +: fx) = arcsin + x. Soluzione. La funzione fx) è continua in, ed inoltre e derivable in, \ {}, e risulta: f x) = + x ) ) ) + x x x = + x ) x + x x x. Si verifica facilmente che il segno di f è uguale al segno di x: f è strettamente crescente per x < e strettamente decrescente per x >. e sono quindi punti di minimo assoluto e è punto di massimo assoluto. Si ha: f ) = f) = arcsin = π 6 f) = arcsin = π. Il massimo assoluto della funzione è dunque π e il minimo assoluto è π 6. Esercizio n. Mostrare che l equazione ha un unica soluzione nell intervallo,. soluzione con un errore inferiore a. x 4 + 4x + = Determinare un valore approssimato di tale Soluzione. La funzione fx) = x 4 + 4x + è continua,. Inoltre f ) = e f) =, in virtù del Teorema degli zeri, l equazione considerata ha almeno una soluzione in,. Dato che f x) = 4x 3 + ), f è strettamente crescente per x >, in, vi è un unica soluzione vi è un altra soluzione in, ). Per calcolare un valore approssimato della soluzione, usiamo il metodo di bisezione, e poichè si richiede una precisione di, occorre determinare n in modo che: n+ b a, ε

2 ovvero n 4. n a n b n c n fa n ) fb n ) fc n ) =, < > =, 937 < 6 4 =, < > =, 396 > =, 37 < > 967 =, < 496 =, 3 < > 79 =, < =, 8 3 Esercizio n. 3 Studiare la seguente funzione: Soluzione. x ) fx) = log. x La funzione logaritmo è definita quando il suo argomento è definito e positivo: occorre risolvere la disequazione da cui si ottiene: quindi x < e x. x x >, { x > x Insieme di definizione: D f =,, La funzione logaritmo è positiva se, e solo se, il suo argomento è > : occorre risolvere la disequazione: x x >. Osservando che in D f si ha x >, tale disequazione è equavalente a: x > x, ovvero: { x + x > x > oppure { x x > x < da cui < x < e + < x <.

3 fx) > x, +, fx) = per x =, x = + fx) < x,, Intervalli in cui il grafico di f è al di sopra dell asse delle x:,, ) + ) Punti comuni al grafico ed agli assi coordinati:,,, Intervalli in cui il grafico di f è al di sotto dell asse delle x:,, +, , + Dato che Dato che Dato che x lim = + x + x e lim log y = + y + si ha: lim fx) = +. x + x lim x ± x = e lim log y = y + si ha: lim fx) =. x ± x lim = + e lim log y = + x x y + si ha: lim fx) = +. x Limiti significativi per f: lim fx) = +, lim fx) =, lim fx) = x + x ± x Le rette x =, x =, x = sono asintoti verticali. Non si hanno asintoti orizontali o obliqui. Equazione degli asintoti del grafico di f: x = asintoto a destra), x =, x = asintoto a sinistra) f x) = x x x ) f x) > x < x < f x) = MAI f x) < x < x < Punti angolosi o cuspidali per il grafico di f: NO Intervalli in cui f è strettamente crescente:, Intervalli in cui f è strettamente descrescente:,

4 Punti di minimo o di massimo relativo per f: NO Punti di minimo o di massimo assoluti per f: NO f x) = x 4 x + x x ) f x) > per < x < +, < x < f x) = per x = +, x = f x) < per + < x <, < x < Intervalli in cui il grafico di f volge la concavità verso l alto:, +,, Intervalli in cui il grafico di f volge la concavità verso il basso: +,,, Punti di flesso per f: x = +, x = f è biunivoca?: NO Indicare l insieme dei valori di f:, x = asintoto verticale x = asintoto verticale a sinistra F +, log )) F, log )) flessi F F

5 Esercizio n. 4 Sia A = k, si studi, al variare di k R, il sistema A x x =. k Soluzione. Si ha det A = 4k + k + 4, quindi per k e k il sistema possiede una, e una sola soluzione. La regola di Cramer ci dà: k k x = 4k + k + 4 = k + ), x k = 4k + k + 4 = k + ), k x 3 = 4k + k + 4 = k +. Se k =, il rango della matrice incompleta è ovviamente, dato che. La matrice completa A =, ) ha rango, dato che dato che i minori orlanti sono nulli: = =. Il sistema è dunque compatibile. Scelta la variabile x 3 come parametro, e considerando il sistema formato dalle prime due equazioni, si ottiene il sistema: x + t = da cui: x = t +, x = t, x 3 = t. x + x t = Se k =, la matrice diventa: A =, 4 e il rango è nuovamente, dato che, come prima,. Il rango della matrice completa è 3, dato che: 4 = 4 = 6. Il sistema è dunque incompatibile. x 3

6 Esercizio n. Calcolare il seguente integrale: log x ) dx. Si consiglia di effettuare un integrazione per parti. Soluzione. Calcoliamo innanzitutto la primitiva della funzione log x ). parti, si ha: Integrando per log x ) dx = x log x ) + = x log x ) + x x x x x dx. x dx Posto x = y, ) x = y, dx = y dy, si ha: x dx = x x y y dy = y y y y dy. Dividendo y per y, si ha: y y dy = + y) + y dy = y log y + C. y Da ciò ne deduciamo: log x ) dx = x log x ) x x log x + C = x ) log x ) x x + C. Si noti che la funzione da integrare è definita solo per x, quindi possiamo togliere il valore assoluto a x, che risulta sempre positiva in questo intervallo) Quindi: log x ) dx = lim b b log x ) dx = lim b x ) log x ) x x = lim b b ) log b ) b b = 3, dal momento che, posto b = t quindi b = t) ), si ha: lim b b ) log b ) = lim t + t) ) log t = lim t +t t) log t =. b

7 Esercizio n. 6 Dire per quali valori di α R la serie risulta convergente. n= n 3n + n 3 + n α Soluzione. Se α 3 la serie diverge. Difatti la serie ha ordine di infinitesimo, in quanto lim n n 3n + n + n 3 + n α = lim nn 3n + ) n 3 3 n + n 3 + n α = lim n + ) n n + n 3 + n α 3 ) =. n 3 Allo stesso modo, se α > 3, la serie ha ordine di infinitesimo α : lim n + nα n 3n + n 3 + n α = lim n α n 3n + ) n + n 3 + n α = lim n + e quindi, dal momento che α > se α > 3, la serie data è convergente. n α 3 n + n ) n α n 3 α + n α ) =,