Elettromagnetismo. Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano. Lezione n

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1 lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa Univesità degli Studi di Milano Lezione n Foze sul dipolo. spansione multipolae Campo elettico di mateia polaizzata nno ccademico 17/18

2 Dipoli atomici Il semplice modello "planetaio" di atomo ha le caatteistiche di un dipolo Consideiamo ad esempio un atomo di idogeno L'elettone e il nucleo costituiebbeo un dipolo Saebbe un dipolo uotante molto apidamente Il momento di dipolo mediato nel tempo saebbe nullo Tuttavia dovebbe emettee adiazione Uno dei poblemi insolubili dalla elettodinamica classica Risolto con la meccanica quantistica Utilizziamo un modello più adeente alla ealtà Lo abbiamo già visto Un nucleo positivo puntifome di caica +q Una distibuzione sfeica di caica negativa q Se non lo petubiamo ha una simmetia sfeica Il momento di dipolo è nullo Tuttavia un campo elettico esteno può alteae la simmetia Spostae le caiche elettiche: negativa veso il basso, positiva veso l'alto L'atomo così petubato ha un momento di dipolo Calcoliamo il momento di dipolo in funzione del campo elettico esteno lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 57

3 Dipoli atomici Consideiamo il campo elettico geneato dalla distibuzione sfeica e unifome di caica negativa (l'elettone) d Supponiamo che il campo esteno non modifichi la foma sfeica della distibuzione di caica degli elettoni bbiamo visto che l'effetto netto del campo elettico esteno è spostae il nucleo positivo ispetto al cento della sfea di elettoni Lo caica negativa attae il nucleo veso il cento della caica elettonica Il campo esteno espinge il nucleo dal cento della caica elettonica Otteniamo l'equilibio quando il nucleo è ad una distanza d dal cento dove il campo esteno è uguale al campo della distibuzione sfeica di elettoni bbiamo già isolto questo poblema (vedi diapositiva 85 1 ) Pe una sfea di aggio R e caica totale q, il campo ad una distanza d dal cento della sfea è dato da La distanza d è deteminata dalla condizione Otteniamo q d R e q ( d) e ( ) d d R qd R lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 58

4 Dipoli atomici Se il nucleo positivo è spostato di una distanza d l'atomo è equivalente ad un dipolo di due caiche ±q a distanza d L'atomo è petanto equivalente ad un dipolo elettico La elazione appena tovata diventa p p α R d Il coefficiente α pende il nome di polaizzabilità atomica Un calcolo esatto utilizzando la meccanica quantistica dà il seguente isultato 9 α 4 πεa La tabella nella diapositiva seguente mosta le polaizzabilità di alcuni atomi Spesso invece di α si definisce polaizzabilità atomica il appoto Si misua in m Pe l'idogeno α p.66 1 m qd α α R 1 a aggio di Boh a R.5 m m lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 59

5 Dipoli atomici lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 6

6 Momenti di dipolo pemanente La tabella pecedente può essee intepetata qualitativamente con il semplice modello classico che abbiamo visto nelle diapositive pecedenti Gli elementi del I guppo (metalli alcalini) hanno un elettone esteno La distibuzione di caica isulta facilmente defomabile, poco igida Gli elementi dell'ultimo guppo (i gas nobili) hanno una stuttua elettonica molto igida Poco defomabili Le molecole possono esibie dei momenti di dipolo pemanenti I legami molecolai endono le distibuzioni della caica degli elettoni asimmetiche Si fomano delle egioni "positive" e egioni "negative" Nomalmente i momenti di dipolo sono oientati casualmente La somma di tutti i dipoli è in media nulla La pesenza di un campo elettico esteno li allinea, in media, in una diezione Pe compendee a fondo l'allineamento occoe un modello temodinamico (lo faemo. fose) In entambi i casi la mateia viene polaizzata Il mateiale ha un momento di dipolo totale non nullo lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa

7 Momenti di dipolo pemanente Le molecole delle figue pecedenti hanno momenti di dipolo elettico che, come vedemo fa poco, sono molto elevati HCl p.4 1 coulomb-meto H O p coulomb-meto Calcoliamo pe confonto il momento di dipolo indotto in un atomo di idogeno α.66 1 m Se applicassimo un campo di 1 megavolt/m ( 1 V su 1 mm) il momento di dipolo indotto saebbe α.66 1 p α Come si vede se una molecola ha un momento di dipolo pemanente questo è di solito enomemente supeioe a quello indotto un atomo simmetico Questa è la distinzione fa molecole polai e molecole nomali Pe finie vale la pena notae quanto vale il campo elettico di un potone a distanze di cica 1 Å lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa e coulomb-meto 1 ( ) V/m

8 spansione multipolae Vale la pena a questo punto fae una piccola digessione pe intodue l'espansione multipolae del potenziale elettico (o del campo elettico) Il dipolo che abbiamo studiato è il multipolo di odine 1 bbiamo visto che il potenziale elettico di una distibuzione abitaia di caica si scive come (vedi diapositiva 6 48 ) φ ( ) ( ) d 1 ρ R V 1 V ( ) d ρ L'appossimazione di questa fomula pe distanze molto maggioi delle dimensioni della distibuzione di caica ci ha potato all'intoduzione del dipolo saminiamo il denominatoe 1 1 ( + cosθ ) 1/ R 1/ 1 1 cos θ δ ( ) 1/ δ cosθ lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 6

9 This image cannot cuently be displayed. spansione multipolae Utilizziamo adesso l'espansione in seie di (1+δ) 1/ ( ) 1/ 1+ δ 1 1 δ + δ 5 δ Utilizzando questa espansione otteniamo δ cosθ Intoducendo l'espessione pe δ e accogliendo le stesse potenze di '/ 1 1 cos θ 1 5cos θ cosθ 1 cosθ Sopendentemente (in ealtà non tanto ) i polinomi in cosθ che compaiono sono i polinomi di Legende che abbiamo incontato Intoduciamo la fomula tovata nel potenziale 1 ρ( ) d ( ) φ cos θ 1 ρd + cos θ ρd + ρd + lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 64 V

10 spansione multipolae cosθ 1 φ( ) ρd + cos θ ρd + ρd + Petanto otteniamo il seguente sviluppo del potenziale φ ( ) K K K 1 Le quantità K n sono gli integali della densità di caica ( cos θ ) ρ( ) n K P d n n L'espansione scitta si chiama espansione multipolae del potenziale I coefficienti K n sono i momenti di multipolo della distibuzione di caica Il momento K è detto momento di monopolo Il momento K 1 è detto momento di dipolo Il momento K è detto momento di quadupolo ottupolo. NB: le espessioni tovate pesuppongono che il punto sia sull'asse z Pe abitaio le fomule utilizzano le amoniche sfeiche φ 1 1 n ( ) + 1 n K n lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 65

11 spansione multipolae φ 1 1 n ( ) + 1 L'utilità di questa espansione sta nel fatto che a gandi distanze il potenziale è completamente deteminato dal pimo momento non nullo dello sviluppo I temini successivi vanno a zeo più apidamente con potenze di 1/ maggioi Se K il potenziale ha un andamento di monopolo Il potenziale di una caica puntifome nell'oigine Se K alloa il possimo temine impotante è K 1 K ( ) d Il temine impotante è K 1, il dipolo che abbiamo studiato Se anche K 1 alloa si va ai temini supeioi, ad esempio il quadupolo I momenti di multipolo dipendono dalle simmetie (o asimmetie) della distibuzione di caica n ρ Il sistema è neuto K ( cos θ ) ρ( ) n K P d n n n lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 66

12 Campo elettico della mateia polaizzata Calcoliamo adesso il campo elettico podotto dalla mateia polaizzata Supponiamo di avee un blocco di mateia polaizzata Pe il momento non chiediamoci come sia stata polaizzata Immaginiamo che i dipoli siano allineati in una ceta diezione, supponiamo lungo l'asse z Supponiamo che ci siano N dipoli pe unità di volume Supponiamo che ogni dipolo abbia valoe p z dv Intoduciamo il vettoe densità di polaizzazione P Np Le sue dimensioni sono (momento di dipolo)/m C-m/m C/m : Coulomb pe m P N (e quindi P) possono essee funzioni della posizione Supponiamo che N sia tanto gande che in un volume dv (infinitesimo pe la geometia del poblema ma macoscopico su scala atomica) ci sia un enome numeo di dipoli Diciamo alloa che un elemento di volume dv del blocco di mateia ha un momento di dipolo dp Pdv x y lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 67

13 Campo elettico della mateia polaizzata Pe calcolae il campo elettico geneato all'esteno del mateiale suddividiamo il blocco in tante "colonne" veticali Calcoliamo il campo elettico geneato da una "colonna" Consideiamo un elemento della colonna dv dadz dp Pdv Il potenziale geneato da questo dipolo è dato da (vedi diapositiva ) dφ d ˆ p ( ) dp cos θ z z dp da θ dz 1 dφ ( ) z 1 z Pdadz cos θ dφ ( ) Pda z 1 z dz cos θ x z 1 y lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 68

14 Campo elettico della mateia polaizzata Pe calcolae l'integale osseviamo la elazione fa d e dz Osseviamo che quando z vaia da z 1 a z vaia da 1 a e diminuisce bbiamo petanto dz z dz cosθ d θ d Inseiamo nella fomula del potenziale dφ ( ) Pda dφ z 1 z ( ) dz cos θ Pda d Pda Questa fomula è identica a quella del potenziale geneato da una caica +Pda posta a z e una caica Pda posta a z 1 Il calcolo viene concluso integando sulla supeficie del blocco di dielettico φ ( ) Pda 1 1 S 1 1 z dp z 1 da θ dz y 1 lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 69

15 Campo elettico della mateia polaizzata φ ( ) Pda 1 1 Petanto il isultato del calcolo è che il blocco di mateiale polaizzato genea un potenziale elettico identico a quello di due densità di caica supeficiale poste sulle supefici estene del blocco La densità supeficiale di caica è data dal modulo del vettoe densità di polaizzazione σ P 1 Sottolineiamo che abbiamo fatto molte assunzioni Polaizzazione unifome Dietta lungo l'asse z S ttenzione Pe calcolae il campo elettico all'esteno si usano SOLMNT i due piani di caica FR I PINI C'È IL VUOTO lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 7

16 Campo elettico della mateia polaizzata bbiamo visto che una colonna di mateiale polaizzato genea un campo equivalente a quello di due piccoli stati di caica +Pda e Pda posti sulle facce supeioe e infeioe del cilindo Possiamo convinceci del isultato pecedente in un modo meno matematico e più fisico, più intuitivo Suddividiamo la colonna in tanti cilindetti infinitesimi Il singolo cilindetto ha un volume dv da dz Il suo momento di dipolo è p Pdv i fini del campo geneato all'esteno del cilindetto possiamo sostituilo con due stati cicolai di caica positiva e negativa dq ± ±Pda Il cilindetto e i due stati hanno lo stesso momento di dipolo p dqdz Pdadz Pdv p +Pda dz Pda +Pda Pda Geneano lo stesso campo all'esteno Se facciamo lo stesso con tutti i cilindetti otteniamo la condizione in figua Tutti gli stati di caica intemedi si cancellano Rimangono solo i due stati sulla faccia supeioe e quello sulla faccia infeioe lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 71

17 Campo elettico della mateia polaizzata La sostituzione del blocco di dielettico con due stati di caica è adeguato pe il calcolo del campo all'esteno del mateiale In paticolae pemette di calcolae l'integale fa due punti qualunque puché esteni al blocco di dielettico È sufficiente infatti calcolae l'integale utilizzando il campo geneato dai due stati di caica B 1 d l B dl bbiamo dimostato che i due sistemi sono equivalenti pe il campo esteno B Questa semplice e banale ossevazione ci pemette di fane un'alta, pe nulla banale nche se il campo all'inteno del mateiale è molto complicato sappiamo calcolae il suo integale fa due punti sulla supeficie 1 d l B L 1 lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 7 dl + dl d l d l L 1 L 1 B 1 B L B L L L 1 B

18 Campo all'inteno del dielettico Supponiamo adesso che lo spessoe del blocco che stiamo studiando sia sottile Stiamo inolte supponendo che la polaizzazione sia unifome: P costante Rimaniamo comunque lontani dai bodi In queste condizioni il campo fa i due stati è σ ε ˆz P ˆz ε La diffeenza di potenziale P ε φ φ B ε ll'inteno del dielettico il campo è estemamente complicato B Vicino ad un atomo il campo elettico aggiunge valoi dell'odine di 1 11 V/m Vicino ad una molecola polae (diciamo a 1 Å di distanza) il campo aggiunge valoi dell'odine di V/m 1 p p 6 1 C-m lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 7 P t 9 7 t m V/m P

19 Campo all'inteno del dielettico Tuttavia, nonostante la complessità del campo elettico all'inteno del mateiale abbiamo visto una sua popietà sopendente L'integale di linea fa due punti e B t è uguale a quello del campo podotto da due stati di caica σ ±P B d l σ ε t P t ε Ovviamente è anche indipendente dal paticolae cammino Infatti, pe quanto si tatti di un campo molto complesso si tatta comunque di un campo elettostatico che obbedisce alle leggi dell'elettostatica In paticolae la cicuitazione di è nulla d l Lungo una linea si incontano campi di enome intensità con gandi vaiazioni In un millesimo di millimeto ( 1μm 1 6 m) si incontano cica 1 4 dipoli Gan pate dei contibuti all'integale si elidono Se il mateiale non fosse polaizzato il isultato saebbe nullo È natuale suppoe che queste cancellazioni avvengano anche se si sommano i campi pesenti in moltissimi punti adiacenti lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa B P

20 Campo all'inteno del dielettico Significa che se consideiamo un volumetto infinitesimo Δv Gande a livello micoscopico Che contiene tanti atomi o dipoli Δv Se sommiamo il campo misuato in punti divesi all'inteno del volumetto molti contibuti si elidono Questo isultato induce a pensae che si possa definie un valo medio di La media è calcolata in volumi infinitesimi su scala macoscopica ma gandi abbastanza da contenee un gande numeo di dipoli In questo modo si eliminano le vaiazioni dovute a possibili fluttuazioni nelle cancellazioni dei campi micoscopici Nel sistema che stiamo analizzando (il blocco di dielettico polaizzato) il valoe di questa media è molto semplice È un sistema molto semplice La polaizzazione è unifome 1 Δ V ΔV P ε dv lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 75

21 Campo all'inteno del dielettico llo stesso modo si possono calcolae le medie di alte gandezze finoa definite solo a livello micoscopico ρ 1 Δ V Δ V ρdv 1 Δ V Δ Queste definizioni isulteanno utili solo se le leggi dell'elettostatica valgano anche pe le quantità mediate Si veifica che valgono! d a Q ε d l questo punto possiamo anche ossevae che una volta veificato che le cose funzionano possiamo abbandonae questa notazione "pesante" In pesenza di dielettici si lavoa sempe ad una scala macoscopica Le gandezze fisiche sono sempe medie di gandezze micoscopiche Si elimina il simbolo di media <X> che viene sottinteso φ ρ ε V φ φdv φ ρ ε lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 76

22 Campo all'inteno del dielettico Nelle consideazioni fin qui svolte abbiamo consideato noto il vettoe densità di polaizzazione P Tuttavia abbiamo visto che la polaizzazione compae in seguito all'applicazione di un campo elettico al dielettico La elazione fa P ed può essee molto complessa Nei casi più semplici la elazione è lineae P χ e ε La costante χ e (adimensionale) si chiama suscettività elettica I dielettici pe cui vale questa elazione sono detti lineai e isotopi Nei dielettici non lineai la suscettività dipende da : P χ e ()ε Nei dielettici non isotopi P ed non sono paalleli La suscettività è una matice (è un tensoe) P χ ε P i ik k k 1 Ci limiteemo ai dielettici lineai e isotopi La suscettività elettica e la costante dielettica non sono indipendenti Sottolineiamo che il campo elettico che detemina la polaizzazione è il campo elettico totale esistente nel dielettico Sia il campo esteno che il campo geneato dalla mateia stessa lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 77 ε χ

23 Condensatoe con dielettico Ritoniamo al condensatoe con dielettico che abbiamo utilizzato pe intodue l'agomento del campo elettico nella mateia Un dispositivo esteno (una batteia) mantiene una diffeenza di potenziale φ φ 1 fa le amatue del condensatoe φ Sappiamo che nel vuoto φ s 1 è la supeficie delle amatue Possiamo adesso utilizzae le gandezze φ 1 macoscopiche che abbiamo definito In paticolae il campo macoscopico pesente nel dielettico Natualmente l'integale di linea del campo macoscopico deve essee s d l 1 φ1 σ Q ε φ s σ Questo significa che la caica TOTL nella egione dell'amatua supeioe deve essee la stessa (Q ) che si aveva nel caso del condensatoe nel vuoto Questa affemazione può essee dimostata utilizzando la legge di Gauss L'integale sulla supeficie è sempe Q /ε φ φ φ 1 1 Deve essee lo stesso che nel vuoto s lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 78

24 Condensatoe con dielettico Il campo elettico polaizza il dielettico Il dielettico acquista una polaizzazione unifome data dal vettoe densità di polaizzazione P Sulle supefici del dielettico compae una caica supeficiale σ σ P σ + P Q σ P Q s La caica Q dovà petanto isultae dalla somma Della caica sull'amatua del condensatoe: Q Della caica supeficiale di polaizzazione: Q' Nel discoso intoduttivo avevamo intodotto la costante dielettica κ Q κq Q ( 1 κ) Q Q Q Q Possiamo intepetae il condensatoe con dielettico come Un condensatoe nel vuoto con caica κq Un blocco di dielettico con polaizzazione P ntambi geneano un campo elettico La somma dei due campi elettici dà il campo elettico Q Q + Q κ > 1 Il campo elettico è meno intenso di quello geneato da κq nel vuoto lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 79

25 Condensatoe con dielettico P Il condensatoe nel vuoto (con caica κq ) genea un campo Nel dielettico con polaizzazione P c'è un campo elettico Il campo elettico nel sistema completo composto è bbiamo definito la suscettività elettica come P χ e ε Otteniamo + χε ε e ( κ 1) κ P ε κ Sottolineiamo infine che il campo elettico nel condensatoe è deteminato dalla diffeenza di potenziale Dato φ 1 campo elettico è petanto lo stesso con o senza dielettico Cambia la quantità di caica che fluisce sulle amatue dall'esteno 1 χe ( κ 1) κ P ε κ P ε + 1 χe lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 8