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1 Università degli studi di Milano Bicocca Scuola di Economia e Statistica Metodi Matematici (parte di Finanziaria) Esercizi con risoluzione dettagliata Autrice: Prof.ssa G.Carcano Questo materiale è reso disponibile sul web, esclusivamente nella pagina personale ufficiale > docenti > nomedocente dei docenti di Matematica della Scuola di Economia e Statistica dell Università degli Studi di Milano Bicocca. Il materiale può essere utilizzato da chiunque, ma esclusivamente per la propria personale preparazione. Non è in alcun modo consentito l utilizzo di questo materiale per scopi commerciali (lezioni private, vendita di fotocopie, etc.). L Autrice, e l Ateneo, non hanno mai rilasciato alcuna autorizzazione, ad alcuno. Legge 248/00 (e precedente legge 633/41, sempre attuale in materia di diritto d autore): Testi, scritti, articoli, Ogni forma di testo, anche breve, è tutelata dalla normativa sul diritto d autore e non può essere copiata, riprodotta (anche in altri formati o su supporti diversi), né tantomeno è possibile appropriarsi della sua paternità. L unica eccezione prevista dalla legge (art. 70 l. 633/41) è quella di consentire il riassunto, la citazione o la riproduzione di brani o parti di opere letterarie (ma non l intera opera, o una parte compiuta di essa) a scopo di studio, discussione, documentazione o insegnamento, purché vengano citati l autore e la fonte, e non si agisca a scopo di lucro, sempre che tali citazioni non costituiscano concorrenza all utilizzazione economica dell opera stessa. Solo in questa particolare ipotesi si può agire senza il consenso dell autore. La presente versione è aggiornata al May 30, :14 am. 1

2 Università degli studi di Milano Bicocca Facoltà di Economia Matematica Finanziaria Esercizi con risoluzione dettagliata Capitolo 1: Capitalizzazione e attualizzazione Elenco degli argomenti: Operazioni finanziarie elementari certe di capitalizzazione o investimento / di attualizzazione o finanziamento. Montante, valore attuale; legge di capitalizzazione M = F (C, t); fattore di montante f(t); regime di capitalizzazione; legge di attualizzazione C = V (M, t); fattore di attualizzazione v(t), regime di attualizzazione. Leggi finanziarie coniugate. Interesse I e sconto S; tasso d interesse i(t) e tasso di sconto d(t); tasso unitario di interesse (t.u.i.) i e tasso unitario di sconto (t.u.s.) d; relazioni tra i(t) e d(t); relazioni tra t.u.i. i e t.u.s. d. La forza d interesse o tasso istantaneo d interesse o intensità istantanea di interesse δ(t); determinazione del fattore di montante f(t) a partire dalla forza di interesse δ(t). Definizione di legge scindibile; teorema di caratterizzazione delle leggi scindibili. Tasso d interesse periodale equivalente i k ; tasso di sconto periodale equivalente d k. Tasso d interesse proporzionale i k ; tasso di sconto proporzionale d k. Studio dei principali regimi di capitalizzazione e di attualizzazione: la capitalizzazione e l attualizzazione semplice. la capitalizzazione e l attualizzazione ad interessi anticipati o commerciale. la capitalizzazione e l attualizzazione composta per durate intere. la capitalizzazione e l attualizzazione composta per durate qualsiasi: la capitalizzazione e l attualizzazione composta in convenzione esponenziale (c.c./c.e.). la capitalizzazione composta in convenzione lineare (c.c./c.l.). Regime composto: tasso nominale di interesse convertibile k volte j k ; relazioni tra i, i k, j k e δ; d e d k. Confronto tra i regimi di capitalizzazione semplice, commerciale e composto. Confronto tra i regimi di sconto semplice o razionale, composto, commerciale o anticipato. Significato finanziario della forza d interesse δ(t). Riferimenti bibliografici: (1) Stefani-Torriero-Zambruno, Elementi di Matematica finanziaria e cenni di Programmazione lineare, Giappichelli Editore, Torino, terza edizione, (2) Carcano, Matematica finanziaria. Test, esercizi e temi d esame, con svolgimenti e richiami teorici. Datanova, Milano,

3 1. Siano f(t) / v(t), fattore di montante / di sconto, tra loro coniugati. Quale delle seguenti affermazioni è vera? a f(t) è il valore in t = 0 di un capitale C disponibile al tempo t; b v(t) è il valore in t = 0 di un capitale unitario disponibile al tempo t; c v(t) è il valore in t di un capitale C impiegato al tempo t = 0; d f(t) è il valore in t di un capitale C impiegato al tempo t = 0. Il significato finanziario delle funzioni f e v è: f(t) è il valore (montante) in t di un capitale unitario C = 1 impiegato al tempo t 0 = 0; v(t) è il valore (attuale) in t 0 = 0 di un capitale unitario M = 1 disponibile al tempo t. L unica affermazione corretta è quindi la b. 2. Quale delle seguenti affermazioni è vera? a l interesse è l importo cui rinunciare in cambio della posticipazione di una disponibilità finanziaria; b lo sconto è il compenso corrisposto in cambio della posticipazione di una disponibilità finanziaria; c l interesse è il compenso corrisposto in cambio della anticipazione di una disponibilità finanziaria; d lo sconto è l importo cui rinunciare in cambio della anticipazione di una disponibilità finanziaria. L unica affermazione corretta è la d. Si noti l assurdità delle risposte a e c : posticipo una disponibilità finanziaria e dovrei essere punito? anticipo una disponbilità finanziaria e dovrei essere premiato? La b è sbagliata, ma solo perché c è il termine sconto anziché interesse. 3. Sia f(t) = (1 + 30t) t 30 ; si determini se la funzione f è atta a rappresentare un fattore di montante. In caso affermativo, se ne determini il tasso unitario di interesse. f è definita in [0, + ); f(0) = 1; f è non decrescente, perché ( ) f (t) = (1 + 30t) t t log(1 + 30t) t 30 0 t 0; pertanto, la funzione f è atta a rappresentare un fattore di montante; la legge finanziaria di capitalizzazione ad essa associata è Il tasso unitario di interesse è M(C, t) = C f(t) = C (1 + 30t) t 30, C 0, t 0. i = f(1) 1 = (1 + 30) = 12.13% 3

4 4. Per raddoppiare un capitale C, utilizzando la legge di capitalizzazione data dal fattore di montante f(t) = 1, occorre un tempo t 1 t 2 a = 2; b < 2; c > 2; d dipende da C. Nella legge di capitalizzazione M = Cf(t), imponiamo che il montante sia il doppio del capitale impiegato, cioè M = 2C; abbiamo M = 2C Cf(t) = 2C f(t) = t 2 = 2 t = 1 Si noti che, per qualsiasi fattore di montante f, la risposta non dipende dal capitale impiegato C. 5. Si consideri la legge di capitalizzazione associata al fattore di montante f(t) = 1 + t t Quale delle seguenti affermazioni è vera? a il montante in t = 4 di un capitale C = 1500, impiegato in t = 0, è 1620; b il tasso unitario d interesse è i = 2%; c il tasso unitario d interesse è i = 7%; d la funzione f non è un fattore di montante. Analizziamo le varie affermazioni: M(1500, 4) = 1500f(4) = 1500 ( i = f(1) 1 = = = 7% ) 4 = = 1770 pertanto, a e b sono false e c è vera; infine, la d è falsa perché f è definita in [0, + ), vale f(0) = 1, f è monotona crescente, quindi f è un fattore di montante. 6. Usando il fattore di montante f(t) = e αt, un capitale di 1000 euro produce in tre anni un montante di 7100 euro; si determini α. Nella legge di capitalizzazione M = Cf(t), sostituendo i dati forniti dal testo, si ottiene M = Cf(t) 7100 = 1000f(3) = 1000e 3α α = log(7.1) 3 4 =

5 7. Si determini il tasso unitario di interesse i corrispondente al tasso unitario di sconto d = Dalla relazione che lega tasso unitario di interesse i e tasso unitario di sconto d, in qualsiasi legge finanziaria, d = i 1+i, ricaviamo i = d 1 d = = 22.1%. 8. Per raddoppiare un capitale C = 6000, impiegato con il fattore di montante f(t) = 1 + log(1 + t), sono necessari a un anno e otto mesi; b più di un anno e otto mesi; c almeno un anno e nove mesi; d due anni. Imponendo f(t) = 2, ricaviamo 1 + log(1 + t) = 2 t = e 1 = Dato che 1 anno e 8 mesi corrispondono a t = 1.6 e 1 anno e 9 mesi a t = 1.75, la risposta giusta è la b. 9. Se il tasso d interesse periodale i è pari a 0.05, allora il corrispondente tasso di sconto d è a log(1.05); b ; c 0.05 ; d nessuna delle altre tre risposte è giusta d = i 1 + i d = Utilizzando il fattore di montante f(t) = 1 capitale impiegato C è t, il tempo necessario per triplicare il a 13.07; b 3; c 9.804; d occorre conoscere C f(t) = t = 3 t =

6 11. Si consideri la funzione f(t) = { t se 0 t < t se t 1 2. Si dimostri che f è un fattore di montante e si determini il tasso periodale d interesse i della relativa legge di capitalizzazione. f è definita t [0, + ). 1 f(0) = = 1. f è monotona strettamente crescente sia nell intervallo [0, 1 2 ), ove si nota che coincide con la legge commerciale, sia nell intervallo [ 1 2, + ), ove si nota che coincide con la legge semplice; inoltre 200 lim f(t) = t < = f(1 2 ) 2 pertanto f è strettamente crescente in [0, + ). Si noti che f presenta una discontinuità di prima specie in t = 1 2, ma questo non inficia il fatto di essere un fattore di montante... Per quanto riguarda il tasso periodale di interesse: i = f(1) 1 = = 0.1 cioè i = 10% 12. Sia a 0; la funzione f(t) = e 0.5t+at2 può rappresentare un fattore di montante? a sì, se e solo se a = 0; b no, per nessun a; c sì, per qualsiasi a 0; d sì, se e solo se a 1. f è definita in [0, + ), f(0) = e 0 = 1, f (t) > 0 t 0; si conclude che f è un fattore di montante, per ogni a Si consideri la legge di capitalizzazione associata al fattore di montante f(t) = 1 + t 20 + t Quale delle seguenti affermazioni è vera? a il montante in t = 1.5 di un capitale C = 3000, impiegato in t = 0, è 3225 ; b il montante in t = 1.5 di un capitale C = 3000, impiegato in t = 0, è ; c il montante in t = 1.5 di un capitale C = 3000, impiegato in t = 0, è ; 6

7 d nessuna delle altre tre affermazioni è corretta. M = Cf(t) = C [ 1 + t M(3000, 1.5) = 3000 ] 20 + t2 100 [ ] 1 = = Un dato capitale iniziale C produce, al tempo t, un montante dato da M(t) = 25t t (i) Si determini il valore del capitale iniziale. (ii) Si determini l espressione del fattore di montante f relativo a questa legge, verificando che soddisfa le proprietà caratterizzanti un fattore di montante. (iii) Si determinino tasso unitario di interesse e tasso unitario di sconto relativi alla legge data. (i) In una generica legge di montante M(C, t) = Cf(t), si ha M(C, 0) = C, capitale iniziale; pertanto: C = M(0) = = = 10 (ii) Il fattore di montante è dato da f(t) = M(C, t) C = t t = 5t t (iii) Verifichiamo che f soddisfa le ipotesi caratterizzanti un fattore di montante: f è definita in IR (quindi, finanziariamente, è definita in [0, + )); f(0) = = 1; f 30t (t) = (t 2 0 t [0, + ), + 10) 2 quindi f è monotona non decrescente. tasso unitario d interesse: i = f(1) 1 = = tasso unitario di sconto: d = 1 1 f(1) = = Si consideri la legge di capitalizzazione associata al fattore di montante f(t) = t t. 7

8 Quale delle seguenti affermazioni è vera? a il tasso di sconto, relativo alla durata t = 4, è 0.18; b il tasso di sconto, relativo alla durata t = 4, è 0.15; c il tasso d interesse, relativo alla durata t = 4, è 0.08; d il tasso d interesse, relativo alla durata t = 4, è d(4) = 1 v(4) = 1 1 f(4) = = = = = 0.15 Invece: i(4) = f(4) 1 = (i) Per quali valori del parametro reale a, la funzione f(t) = 1 + at 2 è un fattore di montante? Che tipo di legge finanziaria si ottiene, per a = 0? (ii) Si consideri a = 1 3. Tizio ha a disposizione un capitale unitario di euro e può investirlo utilizzando la legge finanziaria definita da f. Deve decidere se investire per 5 anni senza interruzione, oppure investire per 2 anni, interrompere l investimento e poi reinvestire il montante ottenuto per altri 3 anni; cosa gli conviene fare? (si motivi opportunamente la risposta) (i) (ii) f è definita in IR (dominio finanziario [0, + )). f(0) = 1 a. f (t) = 2at 0 t [0, + ) a 0. Pertanto, f è un fattore di montante se e solo se a 0. Nel caso particolare a = 0, si ottiene la legge costante f 1; ciò equivale a dire che il capitale iniziale resta sempre identico (è come mettere i soldi sotto il materasso, sperando che non vengano i ladri o i tarli...) Per qualsiasi a > 0, la legge data non è certamente scindibile, in quanto non è la legge composta esponenziale; nel caso a = 1 3, la sua forza d interesse δ(t) = f 2 (t) f(t) = 3 t 2t = 3t2 t è infatti non costante. Inoltre, notiamo (dallo studio della sua derivata) che δ non è monotona: è dapprima crescente e poi decrescente; pertanto, non possiamo concludere se sia, o no, conveniente interrompere e riprendere un investimento. 8

9 In particolare, per due determinati periodi di investimento (in questo caso: t 1 = 2, t 2 = 3) non possiamo prevedere quale relazione ci sia tra f(t 1 + t 2 ) e f(t 1 )f(t 2 ). Dobbiamo fare i conti: f(2 + 3) = f(5) = ( ) 25 = 9.33 f(2)f(3) = ( ) ( ) 9 = 9.33 Quindi, nel caso di questi due periodi particolari, è indifferente interrompere o no l investimento. Si noti che l entità del capitale investito non conta nulla; quel che conta è il fattore di montante f. 17. Nella legge di capitalizzazione f(t) = 1 + it, l interesse prodotto dal capitale unitario, impiegato in t = 0, nel periodo tra t e t + h, è proporzionale ad h ed a f(t); vero? a no, è proporzionale solo ad h; b no, è proporzionale solo a f(t); c sì; d no, è proporzionale ad h ed a (f(t)) 2. f(t + h) f(t) = 1 + i(t + h) (1 + it) = ih pertanto, per la legge semplice f(t) = 1 + it, l interesse è proporzionale solo ad h (e non a f(t)), pertanto la risposta giusta è la a. Con conti analoghi, si verifichi che per la legge composta esponenziale f(t) = (1 + i) t, l interesse è proporzionale ad h e a f(t), mentre, per la legge commerciale f(t) = 1 1 dt, l interesse è proporzionale ad h e a (f(t)) Tizio riceve in prestito euro, in capitalizzazione semplice, per un anno e tre mesi, concordando il rimborso a scadenza di Si determini la somma che Tizio dovrebbe sborsare in meno, rispetto al pattuito, se il tasso fosse diminuito di mezzo punto. Dapprima, determiniamo il tasso d interesse semplice per cui è il montante, dopo un anno e tre mesi, del capitale impiegato 93500: = i i = 4.8% Ora, al tasso diminuito di mezzo punto, cioè i = 4.3%, si avrebbe M = 93500( ) = e quindi Tizio risparmierebbe = Si consideri la legge di capitalizzazione associata al fattore di montante f(t) = e 2t. 9

10 Quale delle seguenti affermazioni è vera? a il tasso unitario di sconto è 0.288; b il tasso unitario d interesse è 0.332; c d la forza d interesse è crescente; nessuna delle altre tre risposte è giusta. t.u.i. = f(1) 1 = 3 1 = e 2 t.u.s. = 1 v(1) = e 2 = δ(t) = f (t) f(t) = e 2t decrescente 20. Un capitale C, impiegato in t = 0 con la legge di montante f(t) = e δt, al tempo t = 6 è triplicato; allora a δ = 0.333; b δ = 0.183; c la risposta dipende da C; d nessuna delle altre risposte è giusta. M = 3C = Cf(6) f(6) = 3 e 6δ = 3 δ = log Un capitale C, impiegato in t = 0 con la legge di montante f(t) = 1 raddoppiato; allora il tasso periodale di sconto di questa legge è a 0.5; b 0.1; c non si può rispondere, perché non si conosce C; d nessuna delle altre tre risposte è giusta. 1 αt = 0.183, al tempo t = 5 è Si tratta della legge commerciale, o a interessi anticipati, il cui tasso periodale di sconto, d, è proprio il parametro α; pertanto, imponendo che al tempo 5 il capitale si raddoppi, cioè f(5) = 2f(0), otteniamo il valore del tasso periodale di sconto: f(5) = d = 2 d = 1 10 = In regime composto, se il tasso annuo effettivo i è pari a 0.1, allora il tasso annuo nominale convertibile trimestralmente è a 0.1; b ; c ; d

11 ( ) j k = ki k = k k 1 + i 1 ( ) 4 j 4 = 4i 4 = = Si determini il tasso annuo nominale convertibile bimestralmente, equivalente al tasso annuo nominale convertibile quadrimestralmente del 12.8% (in regime composto). j 3 = i 3 = j 3 3 = = (1 + i 6 ) 2 = 1 + i 3 i 6 = = j 6 = 6i 6 = 12.66% 24. Il tasso d interesse equivalente i k è uguale al tasso proporzionale i k. Vero? a sì, ma solo in regime semplice; b sì, ma solo in regime commerciale; c no, i k è sempre minore di i k ; d no, i k è sempre maggiore di i k. Soluzioni: In regime semplice, uguagliando i montanti del capitale unitario, nei due casi, si ha 1 + i = 1 +i k + + i } {{ k = 1 + ki } k i k = i k k volte Quindi la a è vera; si noti che la c è vera, ma in regime esponenziale. 25. Si determini in quanti trimestri un capitale di 2400 euro, impiegato in regime composto al tasso annuo nominale convertibile trimestralmente del 7.4% frutta un interesse di 998 euro. Dapprima, occorre calcolare il tasso d interesse composto trimestrale: j 4 = 7.4% i 4 = = 1.85% Il montante è dato dalla somma di capitale e interesse, quindi M = C + I = = 3398 A questo punto, dalla legge di capitalizzazione composta M = C(1 + i) t (utilizzando come unità temporale il trimestre), sostituendo i dati ora ottenuti per il tasso e per il montante, si ricava il tempo (in trimestri): 3398 = 2400(1.0185) t t = log ( log(1.0185) = ) trimestri

12 26. Di quale regime finanziario è caratteristica l additività degli interessi? a del regime semplice; b c d del regime commerciale; del regime composto in convenzione esponenziale; del regime composto in convenzione lineare. Una legge di capitalizzazione M = C f(t) è detta ad interessi additivi se, considerati due qualsiasi intervalli temporali (anche non consecutivi) di durata t 1 e t 2, si ha [f(t 1 ) 1] + [f(t 2 ) 1] = f(t 1 + t 2 ) 1 cioè: gli interessi maturati in un periodo lungo t 1 +t 2 sono uguali alla somma degli interessi maturati in periodo lungo t 1 più quelli maturati in un periodo lungo t 2 (altrimenti detto: l interesse dipende solo dal capitale iniziale e dalla durata dell operazione, indipendentemente da sue eventuali sospensioni e riprese). Posto g(t) := f(t) 1, si ha g(t 1 ) + g(t 2 ) = g(t 1 + t 2 ); la funzione g soddisfa quindi l equazione funzionale di Cauchy ed è allora del tipo g(t) = αt; di conseguenza, f(t) = 1 + g(t) = 1 + αt (fattore di capitalizzazione semplice, risposta a ). Si verifichi che le altre risposte sono false. 27. Tizio impiega oggi un capitale C in regime composto al tasso d interesse mensile i; Caio impiega oggi lo stesso capitale C in regime semplice allo stesso tasso d interesse mensile i; tra tot mesi, chi avrà il montante maggiore? a Tizio, qualsiasi sia tot; b Caio, qualsiasi sia tot; c Tizio, se tot > 1, Caio, se tot < 1; è lo stesso, se tot = 1; d Caio, se tot > 1, Tizio, se tot < 1; è lo stesso, se tot = 1. Dai confronti tra i fattori di montante semplice 1 + it e composto (1 + i) t, sappiamo che 1 + it > (1 + i) t se e solo se 0 < t < it < (1 + i) t se e solo se t > it = (1 + i) t se e solo se t = 0 o t = 1 pertanto la risposta giusta è la c. 28. A parità di condizioni iniziali, sono maggiori gli interessi calcolati in capitalizzazione composta esponenziale di quelli calcolati in capitalizzazione semplice; vero? a sì; b no; c sì, se t > 1; d sì, se t < 1. Dal confronto visto prima, ricaviamo la risposta giusta c. 29. Tizio impiega oggi un capitale C in regime composto al tasso d interesse mensile i; Caio impiega oggi lo stesso capitale C in regime commerciale allo stesso tasso d interesse mensile i; tra tot mesi, chi avrà il montante maggiore? 12

13 a b Tizio, qualsiasi sia tot Caio, qualsiasi sia tot c Tizio, se tot > 1, Caio, se tot < 1; è lo stesso, se tot = 1 d Caio, se tot > 1, Tizio, se tot < 1; è lo stesso, se tot = 1 Dai confronti tra i fattori di montante composto (1+i) t e commerciale sappiamo che pertanto la risposta giusta è la d. (1 + i) t > 1+i 1+i it se e solo se 0 < t < 1 (1 + i) t < 1+i 1+i it se e solo se t > 1 (1 + i) t = 1+i 1+i it se e solo se t = 0 o t = Si consideri la legge di capitalizzazione associata al fattore di montante f(t) = 1 + a t + t, (a 0). 50 Quale delle seguenti affermazioni è vera? a il t.u.i. i è pari al 6% se e solo se a = 0.05; 1 1 dt = 1 + i 1 + i it b se a = 0.01, allora il tasso d interesse relativo al periodo 4, i(4), è pari al 10%; c f non è un fattore di montante, se a 0; d nessuna delle altre tre risposte è giusta. f è un fattore di montante, perché è definito t [0, + ), f(0) = 1 e f (t) = 0 t > 0; pertanto, c è falsa. Il t.u.i. è dato da i = f(1) 1 = a pertanto, i = 6% se e solo se a = 0.06, cioè se e solo se a = quindi, a è falsa. a 2 t > = = 0.04 Il tasso d interesse relativo al periodo 4 è i(4) = f(4) 1 = 2a pertanto, per a = 0.01, si ha i(4) = = 5 = 0.1 e quindi b è vera Il sig. Mimbrogliano sconta oggi una cambiale di valore nominale M, scadente tra tot mesi, presso la Banca Parmalat & Banda Bassotti & Cirio, in regime composto al tasso di sconto settimanale d; il sig. Mifregano sconta oggi una cambiale di uguale valore nominale ed ugual scadenza, presso la stessa Banca, in regime commerciale allo stesso tasso di sconto settimanale d; chi riceve più soldi dalla Banca P.&BB.&C.? a il sig. Mimbrogliano, qualsiasi sia tot; b il sig. Mifregano, qualsiasi sia tot; c il sig. Mimbrogliano, se tot > 1, il sig. Mifregano, se tot < 1; è lo stesso, se tot = 1; 13

14 d il sig. Mifregano, se tot > 1, il sig. Mimbrogliano, se tot < 1; è lo stesso, se tot = 1. Per l attualizzazione, vale ovviamente il contrario di quello che vale per la capitalizzazione (essendo v(t) = 1 f(t) ); pertanto, dai risultati noti sui confronti tra i fattori di montante f (per 0 < t < 1, semplice è meglio di esponenziale, che è meglio di commerciale; per t > 1, commerciale è meglio di esponenziale, che è meglio di semplice), seguono i risultati sui fattori di sconto v: 0 < t < 1 : v semplice (t) < v esponenziale (t) < v commerciale (t) t > 1 : v commerciale (t) < v esponenziale (t) < v semplice (t) Pertanto, la risposta giusta è la c. 32. Otto mesi fa, ho comprato 2000 azioni al prezzo unitario di 3.5 euro. Dopo 5 mesi, ho incassato un dividendo di euro per azione, che ho versato su un c/c, in regime semplice al tasso annuo del 2%. Oggi, vendo tutte le azioni ad un prezzo unitario di 3.65 euro. (i) In ipotesi di legge esponenziale, si determini il tasso annuo d interesse. (ii) In ipotesi di legge semplice, si determini il tasso annuo d interesse e l equivalente tasso semestrale. Il capitale iniziale investito (cioè quanto ho speso 8 mesi fa) è C = = 7000 Il montante (cioè quanto ho oggi) è dato da due importi: la cifra ottenuta dalla vendita delle azioni, = 7300 i dividendi ricevuti 3 mesi fa, , capitalizzati per 3 mesi in regime semplice al tasso annuo del 2%, ( ) = Pertanto, il montante è M = = (i) Il tasso d interesse composto, della operazione descritta, è dato da = 7000 (1 + i) 8 12 i = (ii) Il tasso d interesse semplice, della operazione descritta, è dato da ( = i 8 ) i =

15 Il tasso semestrale semplice equivalente è i 2 = i 2 = Si determini il tasso annuo nominale convertibile trimestralmente corrispondente al tasso annuo effettivo del 16.5% (in regime composto). i = 16.5% i 4 = = 3.89% j 4 = 4i 4 = 15.56% 34. Sia x il tasso nominale convertibile trimestralmente corrispondente al tasso annuo del 14.4%; si determini il montante, dopo un anno e due mesi, di un capitale di 14400, in capitalizzazione composta in convenzione lineare al tasso x. Si ha x = j 4 = 4i 4 ; calcoliamo quindi i 4, tasso trimestrale equivalente al tasso annuo i = 14.4%, e, in seguito, ricaviamo x: i = 14.4% i 4 = = 3.42% x = = Ora consideriamo la legge di capitalizzazione composta in convenzione lineare al tasso x, cioè M = Cf(t) = C(1 + x) [t] (1 + x(t [t])) ove [t] rappresenta la parte intera di t. Utilizzando tale legge, al tasso x = , abbiamo, al tempo t = , ( M = 14400(1 + x) 1 + x 2 ) = Si determini il tasso trimestrale equivalente al tasso annuo in capitalizzazione composta necessario ad ottenere dopo otto anni e mezzo un montante di euro, partendo da un capitale iniziale di 6976 euro e 50 centesimi. Dapprima si determina il tasso annuo composto i tale da ottenere il montante dato, a partire dal capitale iniziale dato, nel tempo dato: = (1 + i) 8.5 i = % Ora si calcola il tasso trimestrale equivalente i 4 : i 4 = = 7.4% 15

16 36. Il tasso di sconto è funzione decrescente del corrispondente tasso d interesse; vero? a no, mai; b c d sì, ma solo in capitalizzazione semplice; sì, ma solo in capitalizzazione composta esponenziale; sì, ma solo in capitalizzazione composta in convenzione lineare. Tasso di interesse i(t) e tasso di sconto d(t) sono dati da i(t) = f(t) 1 d(t) = 1 1 f(t) pertanto, il legame tra tasso di sconto e tasso di interesse è dato da Vedendo d come funzione di i, si ha d (i) = d(t) = i(t) 1 + i(t) 1 (1 + i) 2 > 0 i e quindi il tasso di sconto d è sempre funzione crescente del tasso d interesse i, in qualsiasi legge di capitalizzazione ( a ). 37. In regime composto, si ha δ = log(1 + i), ove δ è la forza d interesse e i è il tasso unitario di sconto; vero? a sì; b no, i è il tasso unitario di interesse; c no, δ = log(i); d no, δ = e 1+i. Dalla definizione di forza d interesse, δ(t) = f (t), si ricava, nel caso della legge di capitalizzazione composta (associata quindi al fattore f(t) = (1 + i) t f(t) ): e quindi risposta b. δ(t) = (1 + i)t log(1 + i) (1 + i) t = log(1 + i) 38. Quale è la forza d interesse costante che permette, a partire da un capitale iniziale di euro, di avere, dopo 4 anni, il montante di 33000? a ; b 0.08; c ; 16

17 d non esiste alcuna forza d interesse costante che riesca ad ottenere tale risultato = 25000e 4δ δ = log ( ) = In regime semplice al tasso periodale del 8.28%, la forza d interesse in t = 10 è pari al 4.529%. Vero? a no, è minore; b no, è maggiore; c sì; d no, questa è la forza d interesse in regime composto. f(t) = 1 + it δ(t) = f (t) f(t) = δ(10) = = 4.529% i 1 + it Invece, in regime composto, la forza d interesse, in t = 10 ed in qualsiasi altro t (dato che è costante) è δ = log(1 + i) = log(1.0828) = In regime commerciale, la forza d interesse è a costante; b c d crescente; decrescente; non si può rispondere, a priori, perché dipende dal tasso di sconto. f(t) = 1 1 dt δ(t) = f (t) f(t) = d 1 dt crescente La legge di capitalizzazione a interessi anticipati ha forza d interesse crescente rispetto al tempo; ecco perché, in questa legge, non conviene interrompere e immediatamente riprendere l investimento; invece, nella legge semplice, la forza è decrescente e quindi conviene interrompere e riprendere; nella legge composta esponenziale, la forza è costante, e quindi è indifferente se interrompere o no. Questi tre casi corrispondono rispettivamente a f(t 1 )f(t 2 ) < f(t 1 + t 2 ) f(t 1 )f(t 2 ) > f(t 1 + t 2 ) f(t 1 )f(t 2 ) = f(t 1 + t 2 ) 41. La forza d interesse è crescente se si è in presenza della legge di capitalizzazione commerciale; vero? a no, è costante; b no, è decrescente; c sì, solo per t > 1; d sì, solo per t < 1 d. 17

18 In regime semplice, la forza d interesse è f(t) = 1 + it δ(t) = f (t) f(t) = i 1 + it decrescente In regime commerciale (che, ricordiamo, è definito solo per t [0, 1 d )), la forza d interesse è f(t) = 1 1 dt δ(t) = f (t) f(t) = In regime composto esponenziale, la forza d interesse è d 1 dt crescente f(t) = (1 + i) t δ(t) = f (t) f(t) = log(1 + i) costante Pertanto, la risposta giusta è la d. 42. In capitalizzazione semplice al tasso periodale d interesse i = 0.01, la forza d interesse in t = 6 è a ; b ; c ; d f(t) = 1 + it δ(t) = f (t) f(t) = δ(6) = = i 1 + it = Si consideri il fattore di montante associato alla forza d interesse δ(t) = 2t+1 1+t+t 2 ; si determini il montante in t = 3 del capitale iniziale di 145 euro; si determini inoltre il tasso unitario di interesse. Dalla definizione di forza d interesse, δ(t) = f (t), si ricava il fattore di montante f: f(t) δ(t) = 2t t + t 2 f(t) = e t 0 δ(s)ds = 1 + t + t 2 Ora che abbiamo il fattore di montante, e quindi la legge di capitalizzazione M = Cf(t), si determina il montante, al tempo 3, del capitale impiegato iniziale 145, semplicemente sostituendo questi dati nella M = Cf(t): M = 145 f(3) = 145( ) =

19 Per il tasso unitario di interesse, si ha i = f(1) 1 = = 2 = 200%... accipicchia che forza d interesse forzuta Si determini il montante, disponibile tra sei anni, di un capitale di , impiegato con il fattore di montante associato alla forza d interesse δ(t) = t. δ(t) = t f(t) = e t 0 δ(s)ds = e 0.074t t2 M = Cf(6) = e = Sia f(t) il fattore di montante associato alla forza d interesse δ(t) = t. Allora l interesse maturato in 2 anni, da un capitale di euro, impiegato oggi, con la legge di capitalizzazione associata ad f, è (si approssimi all unità) a 1533; b 1237; c 1327; d nessuna delle altre. f(t) = e δ(s)ds t [ 0 = e ( s)ds 0 = e t 0.01s+0.02 s2 2 ] t 0 = e 0.01t+0.01t2 I = M C = Cf(2) C = ( e ) = = Si determini il montante tra sei anni di un capitale di euro, utilizzando la legge di capitalizzazione associata alla forza d interesse δ(t) = t. Da un esercizio precedente, sappiamo già che tipo di legge ha questa forza (quale?); in ogni caso, senza bisogno di fare sforzi mnemonici, ricaviamoci la legge direttamente: δ(t) = t t f(t) = e δ(s)ds 1 0 = t 1 M = Cf(6) = = era la legge commerciale a tasso di sconto del 4% Si determini il montante disponibile tra otto anni e mezzo di un capitale di euro, impiegato con il fattore di montante la cui forza d interesse è δ(t) = t. 19

20 δ(t) = t f(t) = e t 0 δ(s)ds = e 0.037t+0.006t2 M = Cf(8.5) = 92500e = = Un capitale C = 25000, impiegato in t = 0 con la legge di capitalizzazione associata alla forza d interesse δ(t) = t, dà luogo, al tempo t = 3, ad un montante M; allora a M = 33746; b M = 35714; c M = 38746; d nessuna delle altre. Si riconosce subito che δ(t) è la forza d interesse associata alla legge di capitalizzazione commerciale al tasso di sconto d = 10%: f(t) = 1 (se non si riconosce, si fanno i t 1 0.1t conti: f(t) = e δ(s)ds 0 = ) Pertanto: 1 M = 25000f(3) = = = Si enunci e si dimostri il Teorema di caratterizzazione delle leggi scindibili di montante. Enunciato: Sia f un fattore di montante derivabile; le seguenti affermazioni su f sono allora equivalenti: (1) f è scindibile, cioè f(t 1 + t 2 ) = f(t 1 )f(t 2 ) t 1, t 2 0; (2) la forza d interesse δ(t) = f (t) f(t) è costante, cioè δ(t) = δ 0 t 0; (3) f(t) = e δt t 0, cioè f è la legge composta esponenziale. Dimostrazione: È sufficiente dimostrare le seguenti implicazioni: (3) (1), (2) (3), (1) (3) (2). (3) (1): f(t 1 + t 2 ) = e δ(t 1+t 2 ) = e δt 1+δt 2 = e δt 1 e δt 2 = f(t 1 )f(t 2 ) (2) (3): δ(t) = f (t) f(t) = δ t 0 f (s) f(s) ds = t 0 t δds [log(f(s))] t 0 = δ [s]t 0 log(f(t)) log(f(0)) = δt log(f(t)) 0 = δt f(t) = e δt 20

21 (1) (3): f(t 1 + t 2 ) = f(t 1 )f(t 2 ) log (f(t 1 + t 2 )) = log(f(t 1 )) + log(f(t 2 )) posto g(t) := log(f(t)), si ha quindi che la funzione g soddisfa l equazione funzionale di Cauchy g(t 1 + t 2 ) = g(t 1 ) + g(t 2 ) t 1, t 2 0 pertanto vale g(t) = δt con δ = g(1) [0, + ) perché f(1) 1 e quindi g(t) = log(f(t)) = δt f(t) = e δt (3) (2): f(t) = e δt δ(t) = f (t) f(t) = δeδt e δt = δ t 50. Sia f il fattore di capitalizzazione composta in convenzione esponenziale e sia g il fattore di capitalizzazione composta in convenzione lineare, entrambi allo stesso tasso unitario d interesse i; allora, per ogni t 1, t 2 > 0, vale a f(t 1 + t 2 ) g(t 1 )g(t 2 ); b f(t 1 + t 2 ) = g(t 1 )g(t 2 ); c f(t 1 + t 2 ) g(t 1 )g(t 2 ); d nessuna delle altre tre risposte è giusta. Come noto, g(t) coincide con f(t) nei punti ad ascissa intera (n, (1 + i) n ) e, nell intervallo t [n, n+1], il grafico di g è il segmento congiungente i due punti (n, f(n)) e (n+1, f(n+1)). La funzione esponenziale f è strettamente convessa, se i > 0, quindi si ha { < g(t) t > 0, t IN f(t) = g(t) t IN Finanziariamente, ciò significa che, a parità di tempo e di tasso, il montante calcolato mediante la convenzione lineare è superiore al montante in convenzione esponenziale, per durate non intere. La legge composta esponenziale f è scindibile, quindi vale f(t 1 )f(t 2 ) = f(t 1 + t 2 ) t 1, t 2 0 Pertanto, unendo i due risultati soprascritti, abbiamo: f(t 1 + t 2 ) = f(t 1 )f(t 2 ) g(t 1 )g(t 2 ) t 1, t 2 0 e vale la disuguaglianza stretta (se i > 0) se t i IN; la risposta giusta è quindi la c (se i = 0, f e g coincidono per ogni t e quindi vale l uguaglianza). 21

22 51. Si consideri il fattore di montante associato alla forza d interesse δ(t) = t 10 ; allora, il montante al tempo t = 2, di un capitale di euro, impiegato in t = 0, è, arrotondando all unità, a 18321; b 24428; c 30535; d nessuna delle altre. t s f(t) = e 0 10 ds = e [ s ] 2 t 20 0 = e t2 20 M = Cf(2) = 15000e 4 20 = Presento allo sconto una cambiale con scadenza a due mesi, emessa oggi; ricevo 1610 euro; sapendo che la Banca ha applicato lo sconto commerciale con tasso annuo di sconto del 14.6%, si determini il valore nominale della cambiale. La legge di attualizzazione commerciale al tasso annuo di sconto d è C = V (M, t) = Mv(t) = M(1 dt); in questo caso, quindi, 1610 = M ( ) 2 12 M = Tizio riscuoterà euro tra dieci mesi e euro tra venti mesi. Il valore attuale di questi due incassi futuri, valutato con sconto commerciale, è pari a euro. Si determini il tasso annuo di sconto. La legge di attualizzazione commerciale (o a interessi anticipati) è C = V (M, t) = Mv(t) = M(1 dt) ove d è il tasso periodale di sconto. Il valore attuale complessivo dei due incassi futuri è quindi ( d 10 ) ( d 20 ) uguagliando a 25000, si ottiene d = 13.75%. 54. Utilizzando la legge di sconto composto, si determini per quale tasso periodale di interesse i due importi di e di , scadenti rispettivamente tra 4 e 6 anni, hanno oggi lo stesso valore. 22

23 La legge di sconto composto è data da C = V (M, t) = Mv(t) = M(1 + i) t = M(1 d) t ove i e d sono, rispettivamente, il tasso periodale di interesse e di sconto. In questo caso, quindi, uguagliando i due valori attuali, otteniamo (1 + i) 4 = (1 + i) 6 i = = 16.19% 55. Due capitali differiscono per 900 euro; il capitale maggiore può essere prelevato tra un anno e sei mesi, quello minore, tra due anni e nove mesi; il valore attuale complessivo, calcolato con la legge composta in convenzione lineare al tasso annuo di interesse del 10%, è di 7800 euro. Determinare l importo del capitale minore. La legge di attualizzazione da utilizzare è data dal fattore di sconto reciproco del fattore di montante composto lineare a tasso d interesse del 10%, quindi v(t) = 1 ( ) [t] ( (t [t])) Indicando con C il capitale minore, e quindi con C il capitale maggiore, si ha C 7800 = (1.1) 2 ( ) + C (1.1)( C = ) 56. Nel regime dello sconto commerciale, quale relazione lega il tasso di sconto per periodo unitario al tasso di sconto equivalente per k-esimo di periodo? a d k = (1 + d) k 1; b d k = 1 k 1 d; c d k = kd; d d k = d k. Uguagliando i valori attuali, si ha 1 d = 1 d k d k d } {{ k = 1 kd } k d k = d k k volte Si noti che la b è vera in regime composto esponenziale. 57. Devo presentare allo sconto una cambiale; tre banche mi offrono lo stesso tasso unitario di sconto, ma a condizioni diverse: la Banca Commerciale propone lo sconto commerciale, la 23

24 Banca Razionale, lo sconto razionale e la Banca Composta, lo sconto composto. Da chi mi conviene andare? a sempre dalla Banca Composta; b c d dalla Banca Razionale se la scadenza è inferiore ad un periodo unitario, altrimenti dalla Banca Commerciale; dalla Banca Commerciale se la scadenza è inferiore ad un periodo unitario, altrimenti dalla Banca Razionale; dalla Banca Commerciale se la scadenza è inferiore ad un periodo unitario, altrimenti dalla Banca Composta. Si devono confrontare i tre fattori di sconto v s (t) = it = 1 d fattore di sconto semplice o razionale 1 d + dt v c (t) = (1 + i) t = (1 d) t fattore di sconto composto v a (t) = 1 dt = 1 + i it fattore di sconto commerciale 1 + i utilizzando lo stesso tasso unitario di sconto d (o lo stesso tasso unitario di interesse i). Lo studio delle tre funzioni mostra che valgono le relazioni: t = 0 v s (0) = v c (0) = v a (0) = 1 t = 1 v s (1) = v c (1) = v a (1) = 1 d = i t > 1 v a (t) < v c (t) < v s (t) 0 < t < 1 v s (t) < v c (t) < v a (t) In modo ancor più semplice, si possono ricavare queste relazioni da quelle precedentemente viste per i fattori di montante, dato che il fattore di sconto è il reciproco del fattore di montante. v(t) rappresenta quello che ricevo dalla banca oggi, in cambio di ogni unità di valore nominale della mia cambiale di scadenza t; pertanto se t < 1, mi conviene il regime dello sconto commerciale, mentre, se t > 1, mi conviene il regime semplice ( c ); notare che la risposta b è quella che conviene alla banca, cioè a chi anticipa i soldi, non a me. 58. Si consideri la funzione f(t) = 2t + 1 t + 1 (i) Si stabilisca se f è atta a rappresentare un fattore di montante. (ii) Si determini la forza di interesse ad esso associato. (iii) Si determinino i relativi tassi periodali di interesse e di sconto. (iv) Tizio investe euro in t = 0, con la legge f, fino al tempo t = 3. Senza fare calcoli, si dica se a Tizio conviene, o no, interrompere l investimento in t = 2 per riprenderlo immediatamente, alle medesime condizioni, fino a t = 3. (i) f è definita in (, 1) ( 1, + ), quindi ha come dominio finanziario [0, + ); f(0) = 1; 24

25 f 1 (t) = > 0 t [0, + ); (1 + t) 2 pertanto, f è atta a rappresentare un fattore di montante. (ii) δ(t) = f 1 (t) f(t) = (1+t) 2 = (iii) (iv) 2t+1 t+1 1 2t 2 + 3t + 1 i = f(1) 1 = = 0.5 = 50% d = 1 v(1) = 1 1 f(1) = = 1 3 = 33.3% Si nota che la forza d interesse è strettamente decrescente, quindi conviene interrompere l investimento per immediatamente riprenderlo; così facendo, Tizio arriverebbe ad un montante superiore. 59. Un quotidiano riporta questa notizia: Scende al 7% la soglia oltre la quale viene considerato usurario un prestito. (i) Cosa non è chiaro, in questa notizia? (ii) Data la funzione f(t) = αt + 1 t + 1 si determini α affinché f definisca una legge di capitalizzazione con tasso periodale d interesse minore del 7%. (i) Il giornalista non ha specificato se si tratta di tasso d interesse o di sconto; possiamo supporre che intendesse tasso d interesse, dato che non ha specificato altrimenti. Inoltre, il giornalista non ha specificato quale sia la legge di capitalizzazione applicata (semplice? composta? commerciale? di un altro tipo ancora?); possiamo supporre che intendesse usare la legge composta esponenziale, dato che è la più importante ed utile (in quanto scindibile), ma non è stata specificata l unità di misura del tempo (tasso mensile? semestrale? annuale?). (ii) Il dominio finanziario di f è [0, + ), vale f(0) = 1 e f (t) = α 1 (t+1) 0 ( t 0) se e solo 2 se α 1. Inoltre i = f(1) 1 = α < 0.07 α < Deve quindi essere 1 α < Si consideri la funzione f(t) = e t3 3t 2 +3t (i) Si verifichi che f è un fattore di montante. (ii) Si calcoli la forza d interesse associata a f. 25

26 (iii) La legge di capitalizzazione associata a f è scindibile? Perché? (iv) Si determini il tasso unitario di interesse ed il tasso unitario di sconto della legge associata a f. (v) Si calcoli il montante M 2 generato in t = 2 da un capitale unitario impiegato in t = 0 ed il montante M2 ottenuto sempre in t = 2, da un capitale unitario impiegato in t = 0, ipotizzando di interrompere la capitalizzazione in t = 2 3 e immediatamente riprenderla. (i) (ii) f è definita in IR, quindi il dominio finanziario è [0, + ); f(0) = e 0 = 1; f (t) = (3t 2 6t + 3)e t3 3t 2 +3t = 3(t 1) 2 e t3 3t 2 +3t 0 t [0, + ); f è quindi un fattore di montante. δ(t) = f (t) f(t) = 3(t 1)2 (iii) f non è scindibile, perché la sua forza di interesse non è costante. (iv) i = f(1) 1 = e % d = 1 v(1) = 1 1 e 63.2% (v) M 2 = f(2) = e = e 2 M 2 = f( 2 3 )f(4 3 ) = e e = e 2 In questo caso particolare (t 1 = 2 3, t 2 = 4 3 ), si è ottenuto f(t 1 + t 2 ) = f(t 1 )f(t 2 ), e quindi è indifferente interrompere, o no, l investimento; questo, però, non implica assolutamente che la legge sia scindibile (ed infatti non lo è). Infatti, basta prendere altri valori del tempo, e si ottiene, per esempio, t 1 = t (0, 1), t 2 = 1 t : f(t 1 + t 2 ) = f(1) = e, e questi due valori sono diversi, per t (0, 1). f(t 1 )f(t 2 ) = e 3t2 +3t+1 26

27 Università degli studi di Milano Bicocca Facoltà di Economia Matematica Finanziaria Esercizi con risoluzione dettagliata Capitolo 2: Rendite Elenco degli argomenti: Rendite: Definizioni (certa/aleatoria, costante/a rate variabili, periodica/aperiodica, temporanea/perpetua, intera/frazionata, anticipata/posticipata, immediata/differita). Il valore V (t) di una rendita in un istante t; valore attuale, montante (formule generali). Valori di rendite in regime esponenziale; le funzioni a n i, s n i, ä n i, s n i, pa n i, pä n i, a (h) n i, s(h) n i. Rendite perpetue: valori di rendite perpetue nel regime esponenziale; le funzioni a i, ä i, pa i, a (h) i. Rendite a rate variabili; valori di rendite a rate variabili in regime esponenziale; rendite con rate variabili in progressione geometrica. Equivalenza finanziaria: valore di una rendita, rendite finanziariamente equivalenti in un instante t, condizione necessaria e sufficiente affinché due rendite finanziariamente equivalenti in un epoca lo siano in qualsiasi altra epoca. Problemi inversi nella teoria delle rendite: determinazione della rata, della durata, del tasso; ricerca del tasso. Indici temporali: La scadenza media aritmetica t. La scadenza media z; proprietà di z(i), nel caso del regime esponenziale. La duration D. Riferimenti bibliografici: (1) Stefani-Torriero-Zambruno, Elementi di Matematica finanziaria e cenni di Programmazione lineare, Giappichelli Editore, Torino, terza edizione, (2) Carcano, Matematica finanziaria. Test, esercizi e temi d esame, con svolgimenti e richiami teorici. Datanova, Milano,

28 1. In una rendita immediata posticipata a il valore attuale è calcolato in corrispondenza della prima rata non nulla; b c d il montante è calcolato in corrispondenza dell ultima rata non nulla; tra la prima e la seconda rata non nulla passa più di un periodo; nessuna delle altre tre affermazioni è corretta. La risposta giusta è la b. Si noti che la a corrisponde a rendita anticipata e la c a rendita pluriennale (se anche tutte le altre rate si susseguono alla stessa distanza, cioè se sono equiintervallate, a distanza di k periodi, con k > 1), oppure a rendita non periodica (in caso contrario). 2. Si consideri la rendita R = [(0, 1000, 1200, 1440, 1728); (0, 1, 2, 3, 4)] Quale delle seguenti affermazioni su R è corretta? a R è periodica, anticipata, immediata, a rate variabili; b c d R è periodica, posticipata, immediata, a rate variabili in progressione aritmetica; R è periodica, anticipata, differita di un periodo, a rate variabili in progressione geometrica; R è non periodica, anticipata, differita di un periodo, a rate variabili. Si ha t k+1 t k = 1 k = 1, 2, 3, quindi R è periodica. La rate sono variabili in progressione geometrica, di ragione q = 1.2 (cioè sono indicizzate al 20%); non sono in progressione aritmetica. Se consideriamo la rendita come posticipata, allora è immediata. Se consideriamo la rendita come anticipata, allora è differita di un periodo. In definitiva, l unica affermazione completamente corretta è la c. 3. In una rendita immediata anticipata a il valore attuale è calcolato in corrispondenza della prima rata non nulla; b c d il montante è calcolato in corrispondenza dell ultima rata non nulla; tra la prima e la seconda rata non nulla passa più di un periodo; nessuna delle altre tre affermazioni è corretta. La risposta giusta è la a. Si noti che la b corrisponde a rendita posticipata e la c significa che potrebbe trattarsi di rendita pluriennale. 4. Una rendita si dice frazionata se e solo se a l intervallo tra due scadenze successive è minore di 1; 28

29 b ogni rata vale meno di 1; c in ogni periodo unitario la rata viene suddivisa in h parti, da versarsi ogni h esimo di periodo; d la somma di tutte le rate della rendita vale 1. La c è proprio la definizione di rendita frazionata. 5. Senza bisogno di far conti, ma solo ragionando finanziariamente, si dimostri la seguente relazione a n i v n+1 = ä n+2 i Il primo membro è il valore attuale di una rendita unitaria posticipata, di n rate, alla quale si aggiungono una rata unitaria oggi (e quindi di valore 1) ed una rata al tempo n + 1 (e quindi di valore attuale v n+1 ); in definitiva, è il valore attuale di una rendita unitaria anticipata, di n + 2 rate, che è proprio il secondo membro. 6. Senza bisogno di far conti, ma solo ragionando finanziariamente, si dimostri la seguente relazione a 4 i + a 12 i = 2a 4 i + v 4 a 8 i Si sta considerando il valore attuale di una rendita data dall unione di due rendite immediate posticipate unitarie, una di 4 rate e l altra di 12 rate; una tale rendita ha quindi le prime 4 rate doppie delle successive 8 rate. 7. Il valore attuale di una rendita annua immediata posticipata è di Sapendo che si versano 12 rate annue costanti in capitalizzazione composta ai tassi semestrali del 3% per i primi 8 anni e del 5% per i successivi, si determini il valore della rata. Per le prime 8 rate, si ha: per le restanti 4 rate, si ha: i = (1 + i 2 ) 2 1 = = 6.09% V = V (0) = Ra = R i = (1 + i 2 ) 2 1 = = 10.25% V = V (0) = Ra (1.0609) 8 = R Pertanto V = V (0) = R R = 2100 R =

30 8. Vale 1 + is n i = (1 + i) n ; vero? a no; b sì, ma solo se la rendita è unitaria; c sì; d sì, ma solo se la rendita è a rate costanti. 1 + is n i = 1 + i (1 + i)n 1 i = 1 + (1 + i) n 1 = (1 + i) n quindi c. 9. Si consideri una rendita R, annua posticipata, di durata 6 anni, con prima rata R = 50 e rate successive alternativamente di R e 2R; si determini il valore attuale di R, in regime di sconto composto al tasso d interesse annuo del 10%. Possiamo considerare R come la somma di due rendite: la prima, annuale, di 6 rate R = 50, e la seconda, biennale, di 3 rate R = 50. I valori attuali sono: V 1 = 50a = 50 1 (1.1) 6 = i = 0.1 i 1 = (1.1)2 1 = V 2 = 50a = 50 1 (1.21) = si noti che, per calcolare V 2, è necessario calcolare il tasso biennale i 1 2 annuo i. Pertanto, il valore attuale di R è V = V 1 + V 2 = equivalente al tasso 10. Si descrivano i metodi per calcolare il montante di una rendita frazionata posticipata, a seconda del tipo di tasso noto. Si considerino due rendite di ugual durata 10 anni: una è unitaria frazionata trimestralmente, l altra è unitaria annua. Si determini, in regime composto al tasso annuo i = 15%, la differenza tra i relativi montanti. Si consideri una rendita unitaria immediata posticipata, di durata n periodi unitari, frazionata h volte in ogni periodo unitario (quindi al termine di ogni h-esimo di periodo, si ha la rata 1 h e ci sono nh rate). Per calcolare il montante (e discorsi analoghi si applicano per calcolare il valore attuale): 30

31 (i) se viene assegnato il tasso d interesse effettivo i h, relativo alla frazione di periodo considerata, si ha: montante = 1 h s nh i h = (1 + i h) nh 1 hi h (ii) se viene assegnato il tasso nominale convertibile h volte nel periodo unitario j h, si ha: montante = 1 h s nh i h = 1 h s nh j h h = (1 + j h h ) nh 1 j h (iii) se viene assegnato il tasso unitario i, si ha: montante = 1 h s nh h 1+i 1 = (1 + i)n 1 j h = i j h s n i Nel caso della rendita data nell esercizio, si ha: (montante rendita frazionata) (montante rendita intera) = = i ( ) 0.15 s j n i s n i = s h 4( ) 1 = Devo scegliere quale rendita mi convenga accettare come regalo di compleanno; in caso di rendita posticipata, a parità di tutte le altre condizioni, a mi conviene sempre scegliere la rendita frazionata; b c d Vale i > j h non mi conviene mai scegliere la rendita frazionata; mi conviene scegliere la rendita frazionata solo per certi tassi; mi conviene scegliere la rendita frazionata solo per certi tipi di frazionamento. h, quindi conviene sempre frazionare: i > j h montante senza frazionamento = s n i < i j h s n i = montante con frazionamento Cosa succede nel caso anticipato? 12. Si determini il valore attuale di una rendita di 11 rate semestrali posticipate immediate, prima rata 2325, indicizzate al 31%, in legge composta al tasso semestrale del 15.5%. 31

32 Si tratta di una rendita con rate crescenti in progressione geometrica di ragione 1.31; pertanto: V = V (0) = Rv 1 (qv)n 1 qv R = 2325, q = 1.31, v = , n = 11 V = Il valore attuale di una rendita di n rate variabili in progressione geometrica di ragione q e prima rata R è nrv; vero? a sì, se e solo se q = v; b sì, se e solo se q = u; c d no, mai; sì, sempre. Si ricorda che il valore attuale di una rendita di n rate variabili in progressione geometrica di ragione q e prima rata R è { Rv(1 (qv) n ) V (0) = 1 qv se qv 1 nrv se qv = 1 pertanto la risposta giusta è la b (qv = 1 q u = 1 q = u). 14. Una rendita è costituita da n rate variabili in progressione aritmetica. Sapendo che la seconda e la quarta rata valgono rispettivamente e 47400, si determini l importo della terza rata. Se le rate sono in progressione aritmetica di ragione d, allora la differenza tra la quarta e la seconda rata vale 2d, quindi 2d = d = R 3 = R 2 + d = = Una rendita perpetua ha rata di al termine di ciascuno dei primi sei anni, in seguito, rate ciascuna di Calcolare il valore della rendita, allo scadere del terzo anno, in capitalizzazione composta al tasso del 10%. Il valore in t = 0 delle prime sei rate è 12000a ; il valore della rendita perpetua con rata è, al suo inizio, cioè in t = 6, ; 32