METODI MATEMATICI PER LE DECISIONI ECONOMICHE E AZIENDALI 12 CANDIDATO.. VOTO

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1 METODI MATEMATICI PER LE DECISIONI ECONOMICHE E AZIENDALI 12 1) In un problema multiattributo i pesi assegnati ai vari obiettivi ed i risultati che essi assumono in corrispondenza alle varie alternative sono riassunti nella seguente tabella: f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 PESI 0,28 0,05 0,2 0,15 0,32 D1 1, D2 0, D3 1, D D5 1, D6 1, a) si determini in che ordine devono essere disposte le alternative usando il metodo dell assegnazione lineare. b) si dica come sarebbero ordinate le alternative con il metodo semplicemente pesato. 2) Si definiscano le soluzioni di base in PL e se ne determini una associata al sistema x1 x2 + x3 3. 2x1 2x2 + x3 2 3) Si risolva a scelta uno dei seguenti esercizi: a) Si descriva il problema della programmazione classica in presenza di vincoli di uguaglianza b) Una ditta costruisce 4 diversi modelli C1, C2, C3, C4 di frigoriferi che vende rispettivamente a Euro 180, Euro 120, Euro 140, Euro 300 l uno. Il modello C1 richiede 30 minuti per la produzione dei pezzi e 20 per l assemblaggio. Il modello C2 richiede 35 minuti per la produzione dei pezzi e 18 per l assemblaggio. Il modello C3 richiede 34 minuti per la produzione dei pezzi e 26 per l assemblaggio. Il modello C4 richiede 24 minuti per la produzione dei pezzi e 28 per l assemblaggio. Sono disponibili per la produzione 60 ore e mezzo e per l assemblaggio 40 ore e 15 minuti al giorno. Si determini il piano di produzione ottimale in ipotesi di potenziale di vendita illimitato e si dica quali risorse dovrebbero essere aumentate per aumentare il ricavo totale. 4) si descriva il problema della determinazione del tempo ottimo di realizzo e del cammino critico su un grafo attività-nodi.

2 METODI MATEMATICI PER LE DECISIONI ECONOMICHE E AZIENDALI 7 1) Data la matrice dei costi: C = Si trovi la soluzione del problema del commesso viaggiatore multiplo sapendo che si hanno a disposizione due veicoli e che il deposito si trova nel quinto nodo. 2) Data la matrice definita A = si scriva l'espressione della forma quadratica associata e si dica come è ) Si risolva a scelta uno dei seguenti esercizi : a) programmazione non lineare e Teorema di Kuhun Tucker. b) Dato il primale max x + 5x + 2x + 3x con 3x + 2x + 5x + x 25 x + x + x + 4x 10 3x + 5x + 10x + x 20 x 0, x 0, x 0, x 0 Si scriva e si risolva il duale del problema. Si dica se l'incremento subito dalla funzione obiettivo del primale, quando il vettore dei termini noti del primale passa da B a B + B, si può dedurre sempre come prodotto delle soluzioni ottime del duale del problema iniziale moltiplicate per l'incremento B. 4) Si descrivano i problemi di scelta ottima di investimenti in ipotesi del solo vincolo di bilancio ed in ipotesi di vincoli logici.

3 METODI MATEMATICI PER LE DECISIONI ECONOMICHE E AZIENDALI 8 1) Data la matrice dei costi: C = Si trovi la soluzione del problema del commesso viaggiatore multiplo nel caso si abbiano a disposizione due veicoli e il deposito sia nel nodo 6 e si dica quali nodi deve servire ogni veicolo. 2) Si definiscano le matrici unimodulari e totalmente unimodulari e si dica come sono legate alla programmazione intera 3) Si risolva a scelta uno dei seguenti esercizi : a) metodo della assegnazione lineare in programmazione multi attributo. b) Un impresa utilizza ogni anno kg di merce che acquista periodicamente e che deve conservare in magazzino. Ogni ordinazione della merce costa Euro 100 e le spese di magazzinaggio sono di 2 Euro per ogni kg. Determinare il numero di ordini da effettuare in un anno e la quantità da ordinare ogni volta per avere il minimo costo di magazzino nell ipotesi che l attività si protragga nel tempo qualora si debba tenere conto del fatto che la capacità massima del magazzino è di 9000 kg. Si determini inoltre la quantità di merce ordinata in eccesso rispetto alla necessità annua. 4) Si analizzi come si determina lo studio del segno di una forma quadratica in due variabili.

4 METODI MATEMATICI PER LE DECISIONI ECONOMICHE E AZIENDALI 16 1) Data la matrice A = in cui le righe individuano i flussi di cassa espressi in migliaia di euro di 7 investimenti riferiti ad uno stesso scadenzario ( 1,2,3,4,5,6,7 ) t = si determini, in base al tasso del 5% annuo la combinazione ottimale di investimenti da attuare, tenendo conto: a) del solo vincolo di bilancio che prevede che la somma massima da investire in ogni periodo sia data dal vettore b = 700, 350, 200,500, 400,350,350 ( ) b) oltre che del vincolo di bilancio espresso sopra del vincolo espresso da se si attiva il terzo investimento non si può attivare il quinto f x, x = x x x 2) Si determino le linee di livello della funzione ( ) 2 3) Si risolva a scelta uno dei due esercizi che seguono: a) Teorema di reciprocità b) Un industria produce alimenti liofilizzati mescolando 4 preparati P1, P2, P3, P4 aventi costo per ogni kg rispettivamente di 8, 6, 4, 1 Euro. P1 contiene il 40% di carboidrati il 15% di proteine e il 20% di grassi P2 contiene il 24% di carboidrati il 16% di proteine e il 10% di grassi P3 contiene il 10% di carboidrati il 20% di proteine e il 18% di grassi P4 contiene il 15% di carboidrati il 5% di proteine e il 16% di grassi. Ogni kg di prodotto deve contenere almeno il 25% di carboidrati, il 15% di proteine e il 18% di grassi. 1) Si determini il miscuglio a minimo costo. 2) si scriva il problema in forma standard. 4) problema del max guadagno in ipotesi di vincoli sulle risorse e suo duale: descrizione, formalizzazione e significato economico

5 METODI MATEMATICI PER LE DECISIONI ECONOMICHE E AZIENDALI 3 1) Facendo uso dei dati disponibili per i rendimenti dei titoli azionari dello S&P Mib sul File Excel Dati selezione portafoglio per metodi disponibili on- line si scelgano i 4 titoli azionari sotto indicati - IMI San Paolo - Eni - L'espresso - Telecom Italia Nell'ipotesi di assenza di vendite allo scoperto si risolvano i seguenti problemi di selezione del portafoglio: a) Si determinino le percentuali del capitale da investire nei 4 titoli in modo che si ottenga il portafoglio a minima varianza con il seguente rendimento mensile medio: 0,015 b) Si determinino le percentuali del capitale da investire nei 4 titoli in modo che si ottenga il portafoglio con rendimento mensile massimo quando la varianza è data da: 0,002 c) Si dica inoltre a che tipo di programmazione appartengono i problemi risolti 2) Si descrivano le matrici associate ad un grafo 3) Si risolva a scelta uno dei seguenti esercizi a) si enunci e si dimostri il teorema di complementarità b) Data la matrice dei costi A = si determini la soluzione del problema di assegnazione a minimo costo e si dica se essa individua un circuito hamiltoniano. 4) il problema del flusso ottimo descrizione e formalizzazione

6 METODI MATEMATICI PER LE DECISIONI ECONOMICHE E AZIENDALI 11 3) In un problema multiattributo i pesi assegnati ai vari obiettivi ed i risultati che essi assumono in corrispondenza alle varie alternative sono riassunti nella seguente tabella: f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 PESI 0,40 0,05 0,1 0,25 0,20 D1 1, D2 0, D3 1, D D5 1, D6 1, a) si determini in che ordine devono essere disposte le alternative usando il metodo dell assegnazione lineare. b) si dica come sarebbero ordinate le alternative con il metodo semplicemente pesato 2) Data la forma quadratica in 3 variabili f ( x, x, x ) = x + x 2x x + x si dica se essa è definita positiva o negativa o semi definita positiva o negativa. 3) Si risolva a scelta uno dei seguenti esercizi: a) Si enunci e si dimostri il Teorema di complementarità b) Una ditta costruisce 4 diversi modelli C1, C2, C3, C4 di frigoriferi che vende rispettivamente a Euro 180, Euro 120, Euro 140, Euro 300 l uno. Il modello C1 richiede 30 minuti per la produzione dei pezzi e 20 per l assemblaggio. Il modello C2 richiede 35 minuti per la produzione dei pezzi e 18 per l assemblaggio. Il modello C3 richiede 34 minuti per la produzione dei pezzi e 26 per l assemblaggio. Il modello C4 richiede 24 minuti per la produzione dei pezzi e 28 per l assemblaggio. Sono disponibili per la produzione 60 ore e mezzo e per l assemblaggio 40 ore e 15 minuti al giorno. Si determini il piano di produzione ottimale in ipotesi di potenziale di vendita illimitato e si dica quali risorse dovrebbero essere aumentate per aumentare il ricavo totale. 4) Il problema del commesso viaggiatore multiplo, la sua risoluzione con il metodo branch and bound e l'individuazione del carico di lavoro dei vari veicoli.

7 METODI MATEMATICI PER LE DECISIONI ECONOMICHE E AZIENDALI 4 4) Data la matrice dei costi: C = Si trovi la soluzione del problema del commesso viaggiatore. 5) si definiscano le soluzioni di base in PL, le soluzioni di base ammissibili e degeneri 6) Si risolva a scelta uno dei seguenti esercizi : a) metodo degli autovalori per l'assegnazione dei pesi in programmazione multiattributo b) Si scriva e si risolva il duale del seguente problema di programmazione lineare min 5x + 10x + 20x + 8x con 3x + 2x + 5x + x 5 x + x + x + 4x 10 3x + 5x + 10x + x = 10 x libera, x 0, x 0, x 0 4) programmazione non lineare e Teorema di Kuhun Tucker.

8 METODI MATEMATICI PER LE DECISIONI ECONOMICHE ED AZIENDALI 2 1) Facendo uso dei dati disponibili per i rendimenti dei titoli azionari dello S&P Mib sul File Excel Dati selezione portafoglio per metodi disponibili on- line si scelgano i 4 titoli azionari sotto indicati - SAIPEM - Eni - Gruppo editoriale l Espresso - SNAM RETE GAS si risolvano i seguenti problemi di selezione del portafoglio in ipotesi di assenza di vendite allo scoperto d) Si determinino le percentuali del capitale da investire nei 4 titoli in modo che si ottenga il portafoglio a minima varianza con il seguente rendimento mensile medio: 0,03 e) Si determinino le percentuali del capitale da investire nei 4 titoli in modo che si ottenga il portafoglio con rendimento mensile massimo quando la varianza è data da: 0,003 f) Si dica come si scriverebbe in forma vettoriale il problema della selezione del portafoglio. 2) Si dia la definizione di curve di livello per una funzione in più variabili e si rappresentino le curve di livello f x, x = 2x x. sul piano ( ) 1, x 2 x della funzione ( ) ) Si risolva a scelta uno dei seguenti esercizi: a) si formalizzi il problema del flusso ottimo e si dica come può essere rimosso il vincolo di conservazione b) 1 Una fabbrica automobilistica deve trasportare mensilmente le auto prodotte in quattro diversi stabilimenti a tre diverse filiali F1, F2, F3. Nella seguente tabella sono riportati in Euro i costi unitari di trasporto da ogni stabilimento alla filiale, la domanda delle filiali e la produzione mensile degli stabilimenti. Stabilimenti F1 F2 F3 Prod. Mensile S S S S Domanda Si calcoli come rifornire le varie filiali in modo che il costo di trasporto risulti minimo e si descriva il significato economico del duale 4) descrizione e formalizzazione dei problemi di assegnazione e rilassamento dei vincoli.

9 METODI MATEMATICI PER LE DECISIONI ECONOMICHE E AZIENDALI 17 1) Data la matrice A = in cui le righe individuano i flussi di cassa espressi in migliaia di euro di 7 investimenti riferiti ad uno stesso scadenzario ( 1,2,3,4,5,6,7 ) t = si determini, in base al tasso del 5% annuo la combinazione ottimale di investimenti da attuare, tenendo conto: c) del solo vincolo di bilancio che prevede che la somma massima da investire in ogni periodo sia data dal vettore b = 950, 650, 200,500, 400, 450,350 ( ) d) oltre che del vincolo di bilancio espresso sopra del vincolo espresso da se si attiva il terzo investimento non si può attivare il quinto 2) Si scriva l Hessiano associato alla funzione f ( x, x ) = x + x 2x x ) Si risolva a scelta uno dei due esercizi che seguono: a) Programmazione classica per funzioni in due e più variabili b) Dato il grafo attività archi : si determini il tempo minimo di realizzo dell intero progetto e si individui un cammino critico. 4) L algoritmo di Robert Flores

10 METODI MATEMATICI PER LE DECISIONI ECONOMICHE E AZIENDALI 6 1) Data la matrice dei costi: C = Si trovi la soluzione del problema del commesso viaggiatore multiplo nel caso si abbiano a disposizione due veicoli e il deposito sia nel nodo 6 e si dica quali nodi deve servire ogni veicolo. 2) Tipologie di soluzioni per un problema di programmazione vettoriale 3) Si risolva a scelta uno dei seguenti esercizi : a) programmazione non lineare e Teorema di Kuhun Tucker. b) Dato il primale max 3x + 5x + x + 3x con 3x + 5x + 2x + x 25 x + x + x + 4x 10 x + 3x + 10x + x 20 x 0, x 0, x 0, x 0 Si scriva e si risolva il duale del problema. Si dica quali valori di B devono essere aumentati affinché si abbia un aumento del valore ottimo della funzione obiettivo. 4) Si descriva e si formalizzi il problema della dieta ed il suo duale.

11 METODI MATEMATICI PER LE DECISIONI ECONOMICHE E AZIENDALI 18 1) Nel seguente grafo la capacità massima sull arco (i,j) è indicata con il numero riportato sul ramo (i,j) in prossimità del nodo i, mentre la capacità massima in senso contrario è riportata in prossimità del nodo j. I nodi 1 e 8 sono rispettivamente la sorgente ed il pozzo. a) Si determini il flusso massimo che può passare dalla sorgente 1 al pozzo 8 b) si determini la quantità di flusso non erogato a causa dei vincoli di capacità. c) si dica come può essere rimosso il vincolo di conservazione ) Si determino le linee di livello della funzione (, ) f x x = x x ) Si risolva a scelta uno dei due esercizi che seguono: a) si enunci e si dimostri il Teorema di reciprocità b) In base alle seguenti informazioni sulla durata delle attività in cui è decomposto un progetto e sulle precedenze si rappresenti il progetto su un grafo attività-nodi e si individui il cammino critico attività precedenze durata , , ,6, ,9 0 si determini il tempo minimo di realizzo dell intero progetto e si individui un cammino critico. 0 4) problema del max guadagno in ipotesi di vincoli sulle risorse e suo duale: descrizione, formalizzazione e significato economico

12 METODI MATEMATICI PER LE DECISIONI ECONOMICHE E AZIENDALI 1 1) Facendo uso dei dati disponibili per i rendimenti dei titoli azionari dello S&P Mib sul File Excel Dati selezione portafoglio per metodi disponibili on- line si scelgano i 4 titoli azionari sotto indicati - Banca Popolare di Milano - Eni - Gruppo editoriale l Espresso - Luxottica nell'ipotesi di possibilità di vendite allo scoperto si risolvano i seguenti problemi di selezione del portafoglio: a) Si determinino le percentuali del capitale da investire nei 4 titoli in modo che si ottenga il portafoglio a minima varianza con il seguente rendimento mensile medio: 0,018 b) Si determinino le percentuali del capitale da investire nei 4 titoli in modo che si ottenga il portafoglio con rendimento mensile massimo quando la varianza è data da: 0,0022 c) Si dica inoltre a che tipo di programmazione appartengono i problemi risolti 2) Si descrivano i vincoli logici nell ambito della pianificazione finanziaria 3) Si risolva a scelta uno dei seguenti esercizi a) si enunci e si dimostri il teorema di complementarità b) Data la matrice dei costi A = si determini la soluzione del problema di assegnazione a minimo costo e si dica se essa individua un circuito hamiltoniano. 4) si descriva e si formalizzi il problema del trasporto e il suo duale

13 METODI MATEMATICI PER LLE DECISIONI ECONOMICHE E AZIENDALI 10 1) Un impresa utilizza ogni anno q di merce che acquista periodicamente e che deve conservare in magazzino. Ogni ordinazione della merce costa Euro 80 e le spese di magazzinaggio sono di 4 Euro per ogni q. Determinare il numero di ordini da effettuare in un anno e la quantità da ordinare ogni volta per avere il minimo costo di magazzino sia nell ipotesi che l attività si protragga nel tempo,qualora si debba tenere conto del fatto che a) la capacità massima del magazzino è di 500 q. b) la capacità massima del magazzino è di 600 q. Si determini nei casi a) e b) il numero di ordini da effettuare ed eventualmente la quantità di merce ordinata in eccesso rispetto alla necessità annua ) Data la forma quadratica f ( x1, x2, x3 ) = x1 + 3x2 + 2x3 + 2x1 x2 + 2x2 x3 si scriva la matrice M ad essa associata e si stabilisca se è definita positiva o negativa 3) Si risolva a scelta uno dei due esercizi che seguono: a) Teorema di reciprocità tra primale e duale b) In un problema multiattributo i pesi assegnati ai vari obiettivi ed i risultati che essi assumono in corrispondenza alle varie alternative sono riassunti nella seguente tabella: f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 PESI 0,20 0,10 0,15 0,25 0,30 D , D , D , D , D , D , si determini in che ordine devono essere disposte le alternative usando il metodo dell assegnazione lineare. 4) Si descriva e si formalizzi il problema del commesso viaggiatore multiplo si dica come può essere risolto e come si ripartisce il carico di lavoro tra i vari veicoli

14 METODI MATEMATICI PER LE DECISIONI ECONOMICHE E AZIENDALI 19 1) Si vuole ottenere un detersivo mescolando 4 prodotti P1, P2, P3, P4. P1 contiene il 25% di perborato di sodio e il 15% di fosfati P2 contiene il 20% di perborato di sodio e il 10% di fosfati P3 contiene il 30% di perborato di sodio e il 20% di fosfati P4 contiene il 30% di perborato di sodio e il 36% di fosfati. 1 Kg del miscuglio devono contenere almeno il 25% di perborato di sodio e il 18% di fosfati. 1 Kg di P1 costa 2 Euro 1 Kg di P2 costa 3 Euro 1 Kg di P3 costa 4 Euro 1 Kg di P4 costo 5 Euro a) Si determinino le quantità di P1, P2, P3, P4 perché il costo di 1 Kg di detersivo sia minimo. b) Si scriva e si risolva il duale. 2) Si descrivano i circuiti hamiltoniani e si descrivano i legami che essi hanno con le soluzioni di un problema di assegnazione 3) Si risolva a scelta uno dei due esercizi che seguono: a) ricerca delle soluzioni per un problema di ottimizzazione vincolata con vicoli di = nel caso di funzioni in due variabili e nel caso generale. b) In base alle seguenti informazioni sulla durata delle attività in cui è decomposto un progetto e sulle precedenze si rappresenti il progetto su un grafo attività-nodi e si individui il cammino critico attività precedenze durata , , ,6, ) Matrici unimodulari e totalmente unimodulari e teoremi relativi

15 METODI MATEMATICI PER LE DECISIONI ECONOMICHE E AZIENDALI 5 Data la matrice dei costi: M M M C = M M M M M Si trovi la soluzione del problema del commesso viaggiatore. 2) Si dica in quali casi un problema di PL non ammette soluzioni 3) Si risolva a scelta uno dei due esercizi che seguono: a) programmazione non lineare: come si arriva alle condizioni di Khun Tucker b) Data la matrice A = in cui le righe individuano i flussi di cassa espressi in migliaia di euro di 7 investimenti riferiti ad uno stesso scadenzario ( 1, 2,3,4,5,6,7,8 ) t = si determini, in base al tasso del 5 % annuo la combinazione ottimale di investimenti da attuare, tenendo conto del solo vincolo di bilancio che prevede che la somma massima da investire in ogni periodo sia data dal vettore b = 100,150,80,50, 40,100,30, 200 ( ) 4) programmazione multiattributo : si descrivano e si formalizzino i modelli compensatori

16 METODI MATEMATICI PER LE DECISIONI ECONOMICHE E AZIENDALI 15 2) Data la matrice A = in cui le righe individuano i flussi di cassa espressi in migliaia di euro di 7 investimenti riferiti ad uno stesso scadenzario ( 1,2,3,4,5,6,7 ) t = si determini, in base al tasso del 5% annuo la combinazione ottimale di investimenti da attuare, tenendo conto: e) del solo vincolo di bilancio che prevede che la somma massima da investire in ogni periodo sia data dal vettore b = 100,150,80,50, 40,100,30 ( ) f) oltre che del vincolo di bilancio espresso sopra del vincolo espresso da possono essere attivati al più due progetti tra i primi tre 2) Sapendo che un problema primale non ammette soluzioni quali informazioni si hanno sull area ammissibile del suo duale? 3) Si risolva a scelta uno dei due esercizi che seguono: a) programmazione non lineare: come si arriva alle condizioni di Khun Tucker b) Una fabbrica di elettrodomestici deve trasportare mensilmente le lavatrici prodotte in quattro diversi stabilimenti a tre diversi punti vendita F1, F2, F3. Nella seguente tabella sono riportati in Euro i costi unitari di trasporto da ogni stabilimento al punto vendita, la domanda dei punti vendita e la produzione mensile degli stabilimenti. Stabilimenti F1 F2 F3 Prod. Mensile S S S S Domanda Si calcoli come rifornire i vari punti vendita in modo che il costo di trasporto risulti minimo e si dica in quale ipotesi il problema non ammette soluzione 4) Si descriva e si formalizzi il metodo degli autovalori per la determinazione dei pesi in programmazione multiobiettivo

17 METODI MATEMATICI PER LE DECISIONI ECONOMICHE E AZIENDALI 9 4) Data la matrice dei costi: M M M M M M M M Si trovi la soluzione del problema del commesso viaggiatore. 5) Si determinino almeno due soluzioni di base per l area ammissibile definita da x y + z 1 x + 2y + z 5 6) Si risolva a scelta uno dei seguenti esercizi : a) Teorema di complementarità b) Un industria produce alimenti liofilizzati mescolando 4 preparati P1, P2, P3, P4 aventi costo per ogni kg rispettivamente di 8, 6, 4, 1 Euro. P1 contiene il 40% di carboidrati il 15% di proteine e il 20% di grassi P2 contiene il 24% di carboidrati il 16% di proteine e il 10% di grassi P3 contiene il 10% di carboidrati il 20% di proteine e il 18% di grassi P4 contiene il 15% di carboidrati il 5% di proteine e il 16% di grassi. Ogni kg di prodotto deve contenere almeno il 25% di carboidrati, il 15% di proteine e il 18% di grassi. a) Si determini il miscuglio a minimo costo. b) si scriva il problema in forma standard. 4) Il Pert su un grafo attività nodi.

18 METODI MATEMATICI PER LE DECISINI ECONOMICHE E AZIENDALI 14 3) Data la matrice A = in cui le righe individuano i flussi di cassa espressi in migliaia di euro di 7 investimenti riferiti ad uno stesso scadenzario ( 1,2,3,4,5,6,7 ) t = si determini, in base al tasso del 6 % annuo la combinazione ottimale di investimenti da attuare, tenendo conto: g) del solo vincolo di bilancio che prevede che la somma massima da investire in ogni periodo sia data dal vettore b = 100,150,80,50, 40,100,30 ( ) h) oltre che del vincolo di bilancio espresso sopra del vincolo espresso da possono essere attivati al più due progetti tra i primi tre f x, x = 2x x 2) Disegnare le curve di livello di ( ) ) Si risolva a scelta uno dei due esercizi che seguono: a) programmazione non lineare e teorema di Khun Tucker b) 1 Una fabbrica di auto deve trasportare mensilmente le auto prodotte in quattro diversi stabilimenti a tre diverse filiali F1, F2, F3. Nella seguente tabella sono riportati in Euro i costi unitari di trasporto da ogni stabilimento alla filiale, la domanda delle filiali e la produzione mensile degli stabilimenti. Stabilimenti F1 F2 F3 Prod. Mensile S S S S Domanda Si calcoli come rifornire le varie filiali in modo che il costo di trasporto risulti minimo e si descriva il significato economico del duale 4) Si descriva e si formalizzi il problema del commesso viaggiatore ed il metodo branch and bound

19 METODI MATEMATICI PER LE DECISIONI ECONOMICHE E AZIENDALI 13 1) In un problema multiattributo i pesi assegnati ai vari obiettivi ed i risultati che essi assumono in corrispondenza alle varie alternative sono riassunti nella seguente tabella: f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 PESI 0,10 0,2 0,3 0,15 0,15 0,10 D1 1, D2 0, D3 1, D D5 1, D6 1, a) si determini in che ordine devono essere disposte le alternative usando il metodo dell assegnazione lineare. b) si dica come sarebbero ordinate le alternative con il metodo semplicemente pesato f 6 2) Legami tra soluzioni dei problemi di assegnazioni e circuiti hamiltoniani 3) Si risolva a scelta uno dei due esercizi che seguono: a) Teorema di complementarità. b) Nel seguente grafo la capacità massima sull arco (i,j) è indicata con il numero riportato sul ramo (i,j) in prossimità del nodo i, mentre la capacità massima in senso contrario è riportata in prossimità del nodo j. I nodi 1 e 8 sono rispettivamente la sorgente ed il pozzo. a) Si determini il flusso massimo che può passare dalla sorgente 1 al pozzo 8 b) si determini la quantità di flusso non erogato a causa dei vincoli di capacità ) Si descriva e si formalizzi il problema della determinazione del cammino critico in un grafo attività archi

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