6. Calcolare le derivate parziali prime e seconde, verificando la validità del teorema di Schwarz:

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "6. Calcolare le derivate parziali prime e seconde, verificando la validità del teorema di Schwarz:"

Transcript

1 FUNZIONI DI PIU VARIABILI Esercizi svolti. Determinare il dominio delle seguenti funzioni e rappresentarlo graficamente : (a) f log( x y ) (b) f log(x + y ) (c) f y x 4 (d) f sin(x + y ) (e) f log(xy + x y). Determinare le linee di livello e l immagine delle seguenti funzioni: (a) f x 5y (b) f x y x (c) f y + (d) f x + y 3. Calcolare i seguenti iti : (a) (b) (c) (d) (e) (x,y) (0,0) xy x + y xy (x,y) (0,0) log(x + y ) x 3 xy + y (x,y) (0,0) x + y y 4 (x,y) (0,0) x + y 4 x sin xy (x,y) (0,0) x + y 4. Calcolare il gradiente delle seguenti funzioni (a) f x + xy xy (b) f ye x (c) f y e x (d) f log(x + y ) (e) f e x/y 5. Calcolare ( se esiste ) il gradiente delle seguenti funzioni nei punti indicati: (a) f xy e x+y in (0, 0) (b) f x + y sin(x + y) in (0, 0) (c) f x xy in (0, 0) (d) f (x y) y x in (, ) 6. Calcolare le derivate parziali prime e seconde, verificando la validità del teorema di Schwarz: (a) f 7x + 4y (b) f log( x y )

2 x (c) f y 7. Determinare le derivate delle seguenti funzioni lungo le direzioni e nei punti assegnati: (a) f x + xy in P (, 0) nella direzione v = (, ) (b) f e x cos y in P (0, 0) nella direzione del vettore v = (, ) (c) f x xy in P (0, 0) nella direzione del vettore v = (, ) 8. Determinare il piano tangente al grafico delle seguenti funzioni : (a) f x 3 y 3 nel punto (0,, ) (b) f x y + y x nel punto (,, ) (c) f x + y nel punto (, 0, ) 9. Determinare lo sviluppo di Taylor di secondo grado centrato nell origine delle seguenti funzioni : (a) f sin x sin y (b) f xe xy (c) f x sin(y ) 0. Data la funzione f + 3 (x ) y, si verifichi che non è differenziabile in (, 0) e si calcolino le sue derivate direzionali in tale punto, per ogni vettore v non nullo.. Calcolare gli eventuali punti di massimo, minimo o sella delle seguenti funzioni: (a) f x y + x y (c) f log( + x y ) (b) f x 3 + y 3 + xy (d) f x cos y (e) f + x + y (f) f e (x +y ) (g) f x + y (h) f(x, y, z) = z 8x + 6xy 4y z.. Calcolare f e f dei seguenti campi scalare (a) f(x, y, z) = xy + yz 3 z (b) f(x, y, z) = y sin z + x sin y (c) f(x, y, z) = x + y + z. 3. Calcolare divergenza e rotore dei seguenti campi vettoriali : (a) F (x, y, z) = (xy, yz, zx) (b) F (x, y, z) = (x + yz, xyz, x + zy ) (c) F (x, y, z) = (x cos z, y sin x, z cos y).

3 FUNZIONI DI PIU VARIABILI Esercizi svolti - SOLUZIONI. Determinare il dominio delle seguenti funzioni e rappresentarlo graficamente : (a) f log( x y ) : D = {(x, y) : x + y < } Essendo log x definita per x > 0 si ha che f(x, y) risulta definita per x y > 0, da cui il risultato. (b) f log(x + y ) : D = R {(0, 0)} Essendo log x definita per x > 0 si ha che f(x, y) risulta definita per x + y > 0, cosa verificata per tutti i punti di R esclusa l origine degli assi. (c) f y x 4 : D = {(x, y) : y x y x } Essendo x definita per x 0 si ha che f(x, y) risulta definita per y x 4 0 y x 4 y x oppure y x. (d) f sin(x + y ) : D = {(x, y) : x + y [kπ, (k + )π], k 0} Essendo la funzione x definita per x 0 si ha che la funzione f(x, y) risulta definita per (x, y) tali che sin(x + y ) 0 x + y [kπ, (k + )π], per qualche k 0. (e) f log(xy +x y) : D = {(x, y) : (x > 0, y > 0) (x < 0, 0 < y < x) (x > 0, y < x)} Essendo log x definita per x > 0 si ha che f(x, y) risulta definita per xy + x y > 0 xy(y + x) > 0. Studiando il segno delle funzioni xy e x + y separatamente e utilizzando la regola dei segni si ottiene il risultato.. Determinare le linee di livello e l immagine delle seguenti funzioni: (a) f x 5y : Ponendo f k si ottiene x 5y = k x k = 5y y = x k, per ogni k R. Im(f) = R. 5 (b) f x y Ponendo f k si ottiene x y = k y = k, se k 0 e xy = 0 ( insieme dei punti degli assi ) se x k = 0. Im(f) = R. x (c) f y + Il dominio della funzione f(x, y) è D = {(x, y) : y > } {(x, y) : x = 0, y }. Ponendo f k e k > 0 si ottiene : x y + = k x y + = k x = k (y + ) y = x k. Le linee di livello per k > 0 risultano quindi essere {(x, y) : y = x, x 0}. Si ottiene invece per k k < 0 e {(x, y) D : x = 0} per k = 0. Im(f) = [0, + ). (d) f x + y Ponendo f k si ottiene x + y = k x + y =, per k > 0, e per k 0. Im(f) = (0, + ). k

4 3. Calcolare i seguenti iti : (a) (b) (c) (d) (e) (x,y) (0,0) xy x + y = 0 Calcolando il ite lungo le rette passanti per l origine si ottiene 0 e quindi il ite è 0 oppure non esiste. Passando alle coordinate polari si ottiene : ρ cos θ ρ sin θ ρ = ρ cos θ sin θ ρ 0. xy (x,y) (0,0) log(x + y ) = 0 Calcolando il ite lungo le rette passanti per l origine si ottiene 0 e quindi il ite è 0 oppure non esiste. Passando alle coordinate polari si ottiene : ρ cos θ ρ sin θ log(ρ ) ρ log(ρ ) 0. x 3 xy + y (x,y) (0,0) x + y non esiste Pongo y = mx e calcolo il ite lungo le rette passanti per (0, 0). x 3 x(mx) + (mx) x + (mx) = x3 mx + m x x m + m m + m x ( + m = ) ( + m ) ( + m ) Siccome il risultato varia al variare della direzione il ite non può esitere. (x,y) (0,0) y 4 x + y 4 non esiste per x 0. Eseguendo il ite lungo le rette y = mx si ottiene 0. Quindi il ite di f(x, y) è 0 oppure non esiste. Lungo la retta x = 0 il ite risulta però essere. Il ite quindi non esiste. x sin(xy) (x,y) (0,0) x + y = 0 Calcolando il ite lungo le rette passanti per l origine si ottiene 0 e quindi il ite è 0 oppure non esiste. Passando alle coordinate polari si ottiene : ρ cos θ sin(ρ cos θ ρ sin θ) ρ sin(ρ cos θ sin θ) ρ ρ cos θ sin θ ρ ρ Calcolare il gradiente delle seguenti funzioni (a) f x + xy xy : f (x + y y, x xy) (b) f ye x : f (4xye x, e x ) (c) f y e x : f ( y e x, ye x ) (d) f log(x + y x ) : f ( x + y, y x + y ) (e) f e x/y : f ( ex/y y, xe x/y y ) 5. Calcolare ( se esiste ) il gradiente delle seguenti funzioni nei punti indicati: (a) f xy e x+y in (0, 0) : Essendo f(x, y) nulla lungo gli assi il gradiente esiste ed è (0, 0). (b) f x + y sin(x + y) in (0, 0) : f(h, 0) f(0, 0) f(0, h) f(0, 0) h 0 h sin (h ) = h sin (h) = h 0 h da cui segue f(0, 0) = (0, 0). h = 0, quindi (0, 0) = 0, x = 0, quindi (0, 0) = 0,

5 (c) f x xy in (0, 0) : Essendo f(x, y) nulla lungo l asse y si ha immediatamente che (0, 0) = 0 f(h, 0) f(0, 0) h = h 0 ± h h 0 ± h = h h 0 ± h = ±, da cui segue che (0, 0) non esiste, e di conseguenza non esiste f(0, 0). x (d) f (x y) y x in (, ) : h 0 0, f( + h, ) f(, ) h ( + h ) ( + h) = f(, + h) f(, ) ( h ) + h = da cui segue f(, ) = (0, 0). h h + h = = = 0, quindi (, ) = x h h = 0, quindi (, ) = 0, 6. Calcolare le derivate parziali prime e seconde, verificando la validità del teorema di Schwarz: (a) f 7x + 4y : x 7 (7x + 4y ) 3/ (7x + 4y ) 3/ 47 x 4 (7x + 4y ) 5/ (7x + 4y ) 5/ x f (7x + 4y ) 5/ x (b) f log( x y ) : x y x x y x y x + x y ( x y ) x + y ( x y ) x f 4xy x ( x y ) x (c) f : y x y x ( x) 3/ x 4y x y f x y 3 x f x y x 7. Determinare le derivate delle seguenti funzioni lungo le direzioni e nei punti assegnati: (a) f x + xy in P (, 0) nella direzione v = (, ) Per definizione f( + t, t) f(, 0) ( + t) + ( + t)t + 6t + 5t (, 0) = = = = 5 v Siccome f(x, y) è differenziabile in (, 0) si può procedere anche facendo il prodotto scalare tra il gradiente in (, 0) e il vettore v : f (x + y, x) e quindi f(, 0) = (, ), da cui segue (, 0) = f(, 0) v = (, ) (, ) = 5 v

6 (b) f e x cos y in P (0, 0) nella direzione del vettore v = (, ) Per definizione f(t, t) f(0, 0) e t cos(t) (0, 0) = = = (e t cos(t) e t sin(t)) = v t 0 Siccome f(x, y) è differenziabile in (0, 0) si può procedere anche facendo il prodotto scalare tra il gradiente in (0, 0) e il vettore v : f (e x cos y, e x sin y) e quindi f(0, 0) = (, 0), da cui segue : (0, 0) = f(0, 0) v = (, 0) (, ) = v (c) f x xy in P (0, 0) nella direzione del vettore v = (, ) Come visto nel punto (c) esercizio 5 la funzione f(x, y) non ammette gradiente. Non rimane quindi che utilizzare la definizione : f(t, t) f(0, 0) t t (0, 0) = = = 0 v 8. Determinare il piano tangente al grafico delle seguenti funzioni : (a) f x 3 y 3 nel punto (0,, ) : f(0, ) =, f (3x, 3y ) e quindi f(0, ) = (0, 3). Il piano tangente al grafico della funzione nel punto (0,, ) è quindi : z = f(0, ) + f(0, ) (x, y ) = 3y. (b) f x y + y x nel punto (,, ) : f(, ) =, f (yx y + y x log y, x y log x + xy x ) e quindi f(, ) = (, ). Il piano tangente al grafico della funzione nel punto (,, ) è quindi : z = f(, ) + f(, ) (x, y ) = x + y. (c) f x + y nel punto (, 0, ) : x f(, 0) =, f ( x + y, y ) e quindi f(, 0) = (, 0). Il piano tangente al grafico x + y della funzione nel punto (, 0, ) è quindi : z = f(, 0) + f(, 0) (x, y) = x. 9. Determinare lo sviluppo di Taylor di secondo grado centrato nell origine delle seguenti funzioni : (a) f sin x sin y : f (cos x sin y, sin x cos y) e quindi f(0, 0) = (0, 0). Le derivate di ordine due sono : x f sin x sin y da cui segue x (0, 0) = f (0, 0) = 0 x f x cos x cos y da cui segue x (0, 0) = f (0, 0) = x Ottengo quindi lo sviluppo : f xy + o(x + y ). (b) f xe xy : f (e xy + xy e xy, x e xy ) e quindi f(0, 0) = (, 0). Le derivate di ordine due sono : x y exy + xy e xy da cui segue (0, 0) = 0 x x3 e xy da cui segue (0, 0) = 0 x f x x exy + x y e xy da cui segue x (0, 0) = f (0, 0) = 0 x Ottengo quindi lo sviluppo : f x + o(x + y ).

7 (c) f x sin(y ) : f (x sin y, yx cos y ) e quindi f(0, 0) = (0, 0). Le derivate di ordine due sono : sin y da cui segue (0, 0) = 0 x x 4y x sin y + x cos y da cui segue (0, 0) = 0 x f 4xy cos y da cui segue x x (0, 0) = f (0, 0) = 0 x Ottengo quindi lo sviluppo : f o(x + y ). 0. Data la funzione f + 3 (x ) y, si verifichi che non è differenziabile in (, 0) e si calcolino le sue derivate direzionali in tale punto, per ogni vettore v non nullo. Pongo v = (a, b). Per definizione si ha che : f( + at, bt) f(, 0) + 3 (at) bt (, 0) = = = v t 3 a b = 3 a b, da cui segue f(, 0) = (0, 0). Non essendo verificata la formula (, 0) = f(, 0) v, v concludo quindi che f(x, y) non è differenziabile in (, 0).. Calcolare gli eventuali punti di massimo, minimo o sella delle seguenti funzioni: (a) f x y + x y : Calcolo il gradiente di f(x, y) : f (x + xy, x ). Ponendo f (0, 0) si ottengono i due punti stazionari (, ) e (, ). Per determinare la natura dei due punti stazionari calcolo la matrice Hessiana : ( ) + y x H. x 0 Osservo che H( ( ) 0, ) = e H( ( ) 0, ) = 0 sono entrambe indefinite. I due punti stazionari sono quindi due punti di 0 sella. (b) f x 3 + y 3 + xy : Calcolo il gradiente di f(x, y) : f (3x + y, 3y + x). Ponendo f (0, 0) si ottengono i due punti stazionari (0, 0) e ( /3, /3). Per determinare la natura dei due punti stazionari calcolo la matrice Hessiana ( : ) ( ) 6x 0 H, e osservo che H(0, 0) = ( matrice indefinita ) e H( /3, /3) = 6y 0 ( ) ( matrice definita negativa ). Il punto (0, 0) risulta quindi essere una sella e il punto ( /3, /3) un massimo relativo. (c) f log( + x y ) : Essendo la funzione logaritmo una funzione strettamente crescente sul suo dominio posso ridurmi a studiare la funzione g + x y. Calcolo il gradiente di g(x, y) : g (xy, yx ). Ponendo f (0, 0) si ottiene che tutti i punti dei due assi coordinati sono punti stazionari. Per determinare la natura dei punti stazionari calcolo la matrice Hessiana : ( ) y 4xy H 4xy x. Purtroppo la matrice Hessiana risulta nulla su (0, 0) e solo semidefinita sugli altri punti dei due assi. In ogni caso quindi non posso concludere nulla sulla natura dei punti stazionari. Posso però concludere con la seguente argomentazione : x y 0 + x y f log( + x y ) 0. Essendo f(x, y) nulla sugli assi, tutti i punti stazionari risultano essere punti di minimo assoluto e quindi di minimo relativo.

8 (d) f x cos y : Calcolo il gradiente di f(x, y) : f (cos y, x sin y). Ponendo f (0, 0) si ottengono gli infiniti punti stazionari P k = (0, π + kπ), per k Z. Per determinare la natura dei punti stazionari P k calcolo la matrice Hessiana : e osservo che H(P k ) = tutti punti di sella. ( ) 0 sin y H, sin y x cos y ( ) 0 ±, matrice indefinita. Gli infiniti punti stazionari P ± 0 k sono quindi (e) f + x + y : Essendo la funzione radice una funzione strettamente crescente sul suo dominio posso ridurmi a studiare la funzione g + x + y. Calcolo il gradiente di g(x, y) : g (x, y). Ponendo f (0, 0) si ottiene l unico punto stazionaro (0, 0). Per determinare la natura del punto stazionaro calcolo la matrice Hessiana : H ( 0 0 matrice definita positiva. Il punto (0, 0) risulta quindi essere punto di minimo locale per la funzione g(x, y), e di conseguenza anche per la funzione f(x, y). Si osservi che (0, 0) è anche punto di minimo assoluto per g(x, y) e quindi per f(x, y), essendo g(0, 0) = e g(x, y) per ogni (x, y) R. (f) f e (x +y ) : Essendo la funzione e x una funzione strettamente decrescente su R posso ridurmi a studiare la funzione g x + y. In modo perfettamente analogo all esercizio precedente ottengo che la funzione g(x, y) ha il solo punto stazionario (0, 0), che risulta essere punto di minimo locale e assoluto. Posso quindi concludere che la funzione f(x, y) ha il solo punto stazionario (0, 0), che risulta essere punto di massimo locale e assoluto. (g) f x +y : x Calcolo il gradiente di f(x, y) : f ( (x + y ), 4y (x + y ). Si ha quindi che f (0, 0) ) non è mai verificata sul dominio D = R {(0, 0)}. Non esistono quindi punti stazionari. (h) f(x, y, z) = z 8x + 6xy 4y z. Calcolo il gradiente di f(x, y, z) : f(x, y, z) = (6y 36x, 6x 8yz, z 4y ). Ponendo f(x, y, z) = (0, 0, 0) si ottengono i tre punti stazionari (0, 0, 0), (/4, /4, /8) e ( /4, /4, /8). Per determinare la natura dei punti stazionari si calcoli la matrice Hessiana : Si osservi che: H(x, y, z) = H(0, 0, 0) = ), z 8y 0 8y i cui autovalori sono λ =, λ < 0, λ 3 > 0, e dunque H(0, 0, 0) è una matrice indefinita ; H(/4, /4, /8) = il cui polinomio caratteristico è T 3 35T + 78T + 44; per la regola dei segni di Cartesio ci sono due autovalori strettamente negativi e uno strettamente positivo, e dunque H(/4, /4, /8) risulta essere indefinita; H( /4, /4, /8) = ; 0 poiché il polinomio caratteristico di H( /4, /4, /8) è identico a quello di H(/4, /4, /8), anche H( /4, /4, /8) risulta essere indefinita. Quindi tutti i tre punti sono punti di sella..

9 . Calcolare f e f ( Laplaciano di f) dei seguenti campi scalare (a) f(x, y, z) = xy + yz 3 z : f(x, y, z) = (y, xy + z 3, 3yz z) f(x, y, z) = x + 6yz (b) f(x, y, z) = y sin z + x sin y : f(x, y, z) = (sin y, sin z + x cos y, y cos z) f(x, y, z) = x sin y y sin z (c) f(x, y, z) = x + y + z : f(x, y, z) = x + y + z (x, y, z) f(x, y, z) = x + y + z 3. Calcolare divergenza e rotore dei seguenti campi vettoriali : (a) F (x, y, z) = (xy, yz, zx) : div F = F = F x + F + F 3 z = y + z + x rot F = F = i j k x z F F F 3 = ( F 3 F z, F z F 3 x, F x F ) = ( y, z, x) (b) F (x, y, z) = (x + yz, xyz, x + zy ) : div F = F = x + xz + y rot F = F = (yz yx, y, yz z) (c) F (x, y, z) = (x cos z, y sin x, z cos y) : div F = F = cos z + sin x + cos y rot F = F = ( z sin y, x sin z, y cos x)

6) f(x, y) = xy 1 log(5 2x 2y) x + y. 2x x 2 y 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 x Esercizio 2. Studiare gli insiemi di livello delle seguenti funzioni:

6) f(x, y) = xy 1 log(5 2x 2y) x + y. 2x x 2 y 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 x Esercizio 2. Studiare gli insiemi di livello delle seguenti funzioni: FUNZIONI IN PIÙ VARIABILI 1. Esercizi Esercizio 1. Determinare il dominio delle seguenti funzioni, specificando se si tratta di un insieme aperto o chiuso: 1) f(x, ) = log(x x ) ) f(x, ) = x + 3) f(x,

Dettagli

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata libera e vincolata Generalità. Limiti e continuità per funzioni di 2 o Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor libera vincolata Lo ordinario è in corrispondenza biunivoca con i vettori di

Dettagli

MATEMATICA GENERALE - (A-D) Prova d esame del 7 febbraio 2012 - FILA A

MATEMATICA GENERALE - (A-D) Prova d esame del 7 febbraio 2012 - FILA A MATEMATICA GENERALE - (A-D) Prova d esame del 7 febbraio 2012 - FILA A Nome e cognome Matricola I Parte OBBLIGATORIA (quesiti preliminari: 1 punto ciascuno). Riportare le soluzioni su questo foglio, mostrando

Dettagli

a) Osserviamo innanzi tutto che dev essere x > 0. Pertanto il dominio è ]0, + [. b) Poniamo t = log x. Innanzi tutto si ha:

a) Osserviamo innanzi tutto che dev essere x > 0. Pertanto il dominio è ]0, + [. b) Poniamo t = log x. Innanzi tutto si ha: ESERCIZIO - Data la funzione f (x) = (log x) 6 7(log x) 5 + 2(log x) 4, si chiede di: a) calcolare il dominio di f ; ( punto) b) studiare la positività e le intersezioni con gli assi; (3 punti) c) stabilire

Dettagli

09 - Funzioni reali di due variabili reali

09 - Funzioni reali di due variabili reali Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 09 - Funzioni reali di due variabili reali Anno Accademico 2013/2014

Dettagli

QUADERNI DI DIDATTICA

QUADERNI DI DIDATTICA Department of Applied Mathematics, University of Venice QUADERNI DI DIDATTICA Tatiana Bassetto, Marco Corazza, Riccardo Gusso, Martina Nardon Esercizi sulle funzioni di più variabili reali con applicazioni

Dettagli

Studi di funzione svolti

Studi di funzione svolti Studi di funzione svolti ott. Piermario Schirru 8 novembre 05 Funzioni algebriche intere Tracciare il grafico qualitativo della funzione y = x x x +. ominio. Essendo un polinomio il dominio è R. Int. con

Dettagli

Funzioni in più variabili

Funzioni in più variabili Funzioni in più variabili Corso di Analisi 1 di Andrea Centomo 27 gennaio 2011 Indichiamo con R n, n 1, l insieme delle n-uple ordinate di numeri reali R n4{(x 1, x 2,,x n ), x i R, i =1,,n}. Dato X R

Dettagli

Funzioni con dominio in R 2

Funzioni con dominio in R 2 0.1 Grafici e curve di livello Politecnico di Torino. Funzioni con dominio in R 2 Nota Bene: delle lezioni. Questo materiale non deve essere considerato come sostituto Il dominio U di una funzione f e

Dettagli

Insiemi di livello e limiti in più variabili

Insiemi di livello e limiti in più variabili Insiemi di livello e iti in più variabili Insiemi di livello Si consideri una funzione f : A R, con A R n. Un modo per poter studiare il comportamento di una funzione in più variabili potrebbe essere quello

Dettagli

SIMULAZIONE TEST ESAME - 1

SIMULAZIONE TEST ESAME - 1 SIMULAZIONE TEST ESAME - 1 1. Il dominio della funzione f(x) = log (x2 + 1)(4 x 2 ) (x 2 2x + 1) è: (a) ( 2, 2) (b) ( 2, 1) (1, 2) (c) (, 2) (2, + ) (d) [ 2, 1) (1, 2] (e) R \{1} 2. La funzione f : R R

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI 1) Determinare il dominio delle seguenti funzioni di variabile reale: (a) f(x) = x 4 (c) f(x) = 4 x x + (b) f(x) = log( x + x) (d) f(x) = 1 4 x 5 x + 6 ) Data la funzione

Dettagli

Sono definite in sottoinsiemi di R n (n N), a valori in R Ci si limiterà al caso di R 2 o di R 3

Sono definite in sottoinsiemi di R n (n N), a valori in R Ci si limiterà al caso di R 2 o di R 3 1 FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI 1 1 Funzioni di più variabili Sono definite in sottoinsiemi di R n (n N), a valori in R Ci si limiterà al caso di R 2 o di R 3 Definizione 1.1 Dati D R 2 e f : D R, l insieme

Dettagli

FUNZIONI DI DUE VARIABILI: graöci 3D e curve di livello

FUNZIONI DI DUE VARIABILI: graöci 3D e curve di livello FUNZIONI DI DUE VARIABILI: graöci 3D e curve di livello Una funzione di due variabili Ë una funzione in cui per ottenere un valore numerico bisogna speciöcare il valore di 2 variabili x e y, non pi di

Dettagli

Richiami sulle derivate parziali e definizione di gradiente di una funzione, sulle derivate direzionali. Regola della catena per funzioni composte.

Richiami sulle derivate parziali e definizione di gradiente di una funzione, sulle derivate direzionali. Regola della catena per funzioni composte. PROGRAMMA di Fondamenti di Analisi Matematica 2 (che sarà svolto fino al 7 gennaio 2013) A.A. 2012-2013, Paola Mannucci e Claudio Marchi, Canali 1 e 2 Ingegneria Gestionale, Meccanica-Meccatronica, Vicenza

Dettagli

COMPLEMENTI DI ANALISI VETTORIALE

COMPLEMENTI DI ANALISI VETTORIALE COMPLEMENTI DI ANALISI VETTORIALE Giovanni Maria Troianiello 7 settembre 25 CALENDARIO DEGLI ORALI DI CHI HA SUPERATO LO SCRITTO ENTRO LA SESSIONE ESTIVA (ATTENZIONE: È POSSIBILE CHE SI RENDANO NECESSARIE

Dettagli

I appello - 24 Marzo 2006

I appello - 24 Marzo 2006 Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. Energetica e Gestionale A.A.2005/2006 I appello - 24 Marzo 2006 Risolvere gli esercizi motivando tutte le risposte. I.) Studiare la convergenza puntuale,

Dettagli

Richiami su norma di un vettore e distanza, intorni sferici in R n, insiemi aperti, chiusi, limitati e illimitati.

Richiami su norma di un vettore e distanza, intorni sferici in R n, insiemi aperti, chiusi, limitati e illimitati. PROGRAMMA di Fondamenti di Analisi Matematica 2 (DEFINITIVO) A.A. 2010-2011, Paola Mannucci, Canale 2 Ingegneria gestionale, meccanica e meccatronica, Vicenza Testo Consigliato: Analisi Matematica, M.

Dettagli

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica DIPARTIMENTO DI MATEMATICA Università degli Studi di Trento Via Sommarive - Povo (TRENTO) Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata,

Dettagli

2 Argomenti introduttivi e generali

2 Argomenti introduttivi e generali 1 Note Oltre agli esercizi di questa lista si consiglia di svolgere quelli segnalati o assegnati sul registro e genericamente quelli presentati dal libro come esercizio o come esempio sugli argomenti svolti

Dettagli

Capitolo Dodicesimo CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI

Capitolo Dodicesimo CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI Capitolo Dodicesimo CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI CAMPI SCALARI Sono dati: un insieme aperto A Â n, un punto x = (x, x 2,, x n )T A e una funzione f : A Â Si pone allora il PROBLEMA

Dettagli

Analisi 2 - funzioni di più variabili. Andrea Minetti - andrea.minetti@gmail.com

Analisi 2 - funzioni di più variabili. Andrea Minetti - andrea.minetti@gmail.com Analisi 2 - funzioni di più variabili Andrea Minetti - andrea.minetti@gmail.com January 28, 2011 Ciao a tutti, ecco i miei riassunti, ovviamente non posso garantire la correttezza (anzi garantisco la non

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI Esercizi risolti

FUNZIONI ELEMENTARI Esercizi risolti FUNZIONI ELEMENTARI Esercizi risolti 1 Discutendo graficamente la disequazione x > 3+x, verificare che l insieme delle soluzioni è un intervallo e trovarne gli estremi Rappresentare nel piano x, y) l insieme

Dettagli

4 Funzioni di due o più variabili reali

4 Funzioni di due o più variabili reali 4 Funzioni di due o più variabili reali Dopo aver studiato in dettaglio le funzioni di una variabile reale, affrontiamo ora alcuni aspetti della teoria delle funzioni di due o più variabili reali. La nostra

Dettagli

Università di Trieste Facoltà d Ingegneria. Esercizi sul calcolo differenziale in IR N. Dott. Franco Obersnel

Università di Trieste Facoltà d Ingegneria. Esercizi sul calcolo differenziale in IR N. Dott. Franco Obersnel Università di Trieste Facoltà d Ingegneria Esercizi sul calcolo differenziale in IR N Dott Franco Obersnel Esercizio 1 Si calcoli la derivata direzionale nell origine lungo la direzione y del versore v

Dettagli

Matematica e Statistica

Matematica e Statistica Matematica e Statistica Prova d esame (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 0/3 Matematica e Statistica Prova di MATEMATICA (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie

Dettagli

Corso di Matematica per CTF Appello 15/12/2010

Corso di Matematica per CTF Appello 15/12/2010 Appello 15/12/2010 Svolgere i seguenti esercizi: 1) Calcolare entrambi i limiti: a) lim(1 x) 1 e x 1 ; x 0 x log 2 x b) lim x 1 1 cos(x 1). 2) Data la funzione: f(x) = x log x determinarne dominio, eventuali

Dettagli

Analisi 2. Argomenti. Raffaele D. Facendola

Analisi 2. Argomenti. Raffaele D. Facendola Analisi 2 Argomenti Successioni di funzioni Definizione Convergenza puntuale Proprietà della convergenza puntuale Convergenza uniforme Continuità e limitatezza Teorema della continuità del limite Teorema

Dettagli

Numeri Complessi. 4. Ricordando che, se z è un numero complesso, zz è un numero reale, mettere sotto la forma. z 2 + 2z + 2 = 0. z 2 + 2z + 6 = 0.

Numeri Complessi. 4. Ricordando che, se z è un numero complesso, zz è un numero reale, mettere sotto la forma. z 2 + 2z + 2 = 0. z 2 + 2z + 6 = 0. Numeri Complessi. Siano z = + i e z 2 = i. Calcolare z + z 2, z z 2, z z 2 e z z 2. 2. Siano z = 2 5 + i 2 e z 2 = 5 2 2i. Calcolare z + z 2, z z 2, z z 2 e z z 2. 3. Ricordando che, se z è un numero complesso,

Dettagli

Lezione 6 (16/10/2014)

Lezione 6 (16/10/2014) Lezione 6 (16/10/2014) Esercizi svolti a lezione Esercizio 1. La funzione f : R R data da f(x) = 10x 5 x è crescente? Perché? Soluzione Se f fosse crescente avrebbe derivata prima (strettamente) positiva.

Dettagli

CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 ESERCIZI. Carlo Ravaglia

CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 ESERCIZI. Carlo Ravaglia CORSO DI ANALISI MATEMATICA ESERCIZI Carlo Ravaglia 8 febbraio 6 iv Indice 4 Calcolo differenziale 4 Derivate parziali 4 Derivate parziali 4 Massimi e minimi 4 Massimi e minimi di funzioni 43 Derivate

Dettagli

Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio

Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio. Funzioni e insiemi numerici.4 Verificare che (A B) (A B) = (A A ) B. ) Sia (a, b) (A B) (A B). Allora a (A A ) e b B, da cui (a,

Dettagli

Esercizi di riepilogo Matematica II Corso di Laurea in Ottica ed Optometria

Esercizi di riepilogo Matematica II Corso di Laurea in Ottica ed Optometria Esercizi di riepilogo Matematica II Corso di Laurea in Ottica ed Optometria Esercizio 1 Testo Sia F F 1 x,y),f x,y)) ) x 1 x y + 1 x, y 1 x y + 1 y un campo vettoriale. 1. Si determini il dominio in cui

Dettagli

EQUAZIONI non LINEARI

EQUAZIONI non LINEARI EQUAZIONI non LINEARI Francesca Pelosi Dipartimento di Matematica, Università di Roma Tor Vergata CALCOLO NUMERICO e PROGRAMMAZIONE http://www.mat.uniroma2.it/ pelosi/ EQUAZIONI non LINEARI p.1/44 EQUAZIONI

Dettagli

Le derivate versione 4

Le derivate versione 4 Le derivate versione 4 Roberto Boggiani 2 luglio 2003 Riciami di geometria analitica Dalla geometria analitica sulla retta sappiamo ce dati due punti del piano A(x, y ) e B(x 2, y 2 ) con x x 2 la retta

Dettagli

1 Massimi e minimi liberi 1. 2 Massimi e minimi vincolati 7. 3 Soluzioni degli esercizi 12

1 Massimi e minimi liberi 1. 2 Massimi e minimi vincolati 7. 3 Soluzioni degli esercizi 12 UNIVR Facoltà di Economia Sede di Vicenza Corso di Matematica 1 Massimi e minimi delle funzioni di più variabili Indice 1 Massimi e minimi liberi 1 Massimi e minimi vincolati 7 3 Soluzioni degli esercizi

Dettagli

Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili

Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili I risultati principali della teoria dell ottimizzazione, il Teorema di Fermat in due variabili e il Test dell hessiana, si applicano esclusivamente

Dettagli

FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMICA

FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMICA FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMICA DEFINIZIONE: Dato un numero reale a che sia a > 0 e a si definisce funzione esponenziale f(x) = a x la relazione che ad ogni valore di x associa uno e un solo

Dettagli

ESERCITAZIONI DI ANALISI 1 FOGLIO 1 FOGLIO 2 FOGLIO 3 FOGLIO 4 FOGLIO 5 FOGLIO 6 FOGLIO 7 SVOLTI. Marco Pezzulla

ESERCITAZIONI DI ANALISI 1 FOGLIO 1 FOGLIO 2 FOGLIO 3 FOGLIO 4 FOGLIO 5 FOGLIO 6 FOGLIO 7 SVOLTI. Marco Pezzulla ESERCITAZIONI DI ANALISI FOGLIO FOGLIO FOGLIO 3 FOGLIO 4 FOGLIO 5 FOGLIO 6 FOGLIO 7 SVOLTI Marco Pezzulla gennaio 05 FOGLIO. Determinare il dominio e il segno della funzione ( ) f(x) arccos x x + π/3.

Dettagli

3 GRAFICI DI FUNZIONI

3 GRAFICI DI FUNZIONI 3 GRAFICI DI FUNZIONI Particolari sottoinsiemi di R che noi studieremo sono i grafici di funzioni. Il grafico di una funzione f (se non è specificato il dominio di definizione) è dato da {(x, y) : x dom

Dettagli

Ingegneria Elettronica, Informatica e delle Telecomunicazioni Prova scritta di ANALISI B - 06/04/2006

Ingegneria Elettronica, Informatica e delle Telecomunicazioni Prova scritta di ANALISI B - 06/04/2006 Ingegneria Elettronica, Informatica e delle Telecomunicazioni Prova scritta di ANALISI B - 06/04/2006 CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA... NOME E COGNOME:... NUMERO DI MATRICOLA:... (scrivere nome e cognome

Dettagli

Limiti e continuità delle funzioni reali a variabile reale

Limiti e continuità delle funzioni reali a variabile reale Limiti e continuità delle funzioni reali a variabile reale Roberto Boggiani Versione 4.0 9 dicembre 2003 1 Esempi che inducono al concetto di ite Per introdurre il concetto di ite consideriamo i seguenti

Dettagli

Appunti delle esercitazioni di Ricerca Operativa

Appunti delle esercitazioni di Ricerca Operativa Appunti delle esercitazioni di Ricerca Operativa a cura di P. Detti e G. Ciaschetti 1 Esercizi sulle condizioni di ottimalità per problemi di ottimizzazione non vincolata Esempio 1 Sia data la funzione

Dettagli

Attenzione: i programmi sono cambiati negli anni. Non tutti gli esercizi nella presente raccolta riguardano argomenti trattati.

Attenzione: i programmi sono cambiati negli anni. Non tutti gli esercizi nella presente raccolta riguardano argomenti trattati. Si raccolgono qui temi d esame, esercizi e domande di teoria dati negli anni 3-4 nei corsi di Analisi Matematica I presso il DTG di Vicenza. Il materiale è stato reso disponibile dai docenti che hanno

Dettagli

Esercitazione del 16-11-11 Analisi I

Esercitazione del 16-11-11 Analisi I Esercitazione del 6-- Analisi I Dott.ssa Silvia Saoncella silvia.saoncella 3[at]studenti.univr.it a.a. 00-0 Esercizio. Determinare se la funzione f() è continua nel suo dominio sin se 0 f() = 0 se = 0

Dettagli

Determinare il dominio e la derivata delle seguenti funzioni e studiarne la monotonia ed eventuali massimi/minimi. ( ) x + 2.

Determinare il dominio e la derivata delle seguenti funzioni e studiarne la monotonia ed eventuali massimi/minimi. ( ) x + 2. Determinare il dominio e la derivata delle seguenti funzioni e studiarne la monotonia ed eventuali massimi/minimi (1) (2) (3) (4) f (x) = log ( ) x + 2 x 1 f (x) = x exp( x 3 ) ( f (x) = arctan x ) x 1

Dettagli

Da una a più variabili: derivate

Da una a più variabili: derivate Da una a più variabili: derivate ( ) 5 gennaio 2011 Scopo di questo articolo è di evidenziare le analogie e le differenze, relativamente al calcolo differenziale, fra le funzioni di una variabile reale

Dettagli

Matematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica

Matematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Matematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Esercitazione su massimi e minimi vincolati 9 dicembre 005 Esercizio 1. Considerare l insieme C = {(x,y) R : (x + y ) = x } e dire se è una curva

Dettagli

Durata della prova: 3h. 2 +y 4. tan y sin y lim = 1. (x 4 +y 2 )y 3

Durata della prova: 3h. 2 +y 4. tan y sin y lim = 1. (x 4 +y 2 )y 3 Università degli Studi di Napoli Federico II Corso di Laurea in Matematica Analisi Matematica II (Gruppo ), A.A. 22/3 Prova scritta del 28 gennaio 23 Durata della prova: 3h. sercizio (8 punti). Si consideri

Dettagli

Calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali

Calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali CAPITOLO 3 Calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali Scopo di questo capitolo è studiare le principali caratteristiche dei grafici di funzioni di più variabili, con particolare attenzione

Dettagli

LEZIONE 7. Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2. 2, x3 +2x +3.

LEZIONE 7. Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2. 2, x3 +2x +3. 7 LEZIONE 7 Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2 2 6x, x3 +2x 2 6x, 3x + x2 2, x3 +2x +3. Le derivate sono rispettivamente,

Dettagli

DOMINIO di FUNZIONI PREREQUISITI: Grafici delle funzioni elementari. Calcolo di EQUAZIONI e DISEQUAZIONI, intere, fratte e scomposte.

DOMINIO di FUNZIONI PREREQUISITI: Grafici delle funzioni elementari. Calcolo di EQUAZIONI e DISEQUAZIONI, intere, fratte e scomposte. DOMINIO di FUNZIONI PREREQUISITI: Grafici delle funzioni elementari. Calcolo di EQUAZIONI e DISEQUAZIONI, intere, fratte e scomposte. Tutorial di Barberis Paola agg 2015 FUNZIONE e DOMINIO LA FUNZIONE

Dettagli

LE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE

LE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE LE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE Sia f:a B una funzione tra due insiemi. Se y appartiene all immagine di f si chiama fibra di f sopra y l insieme f -1 y) ossia l insieme di tutte le controimmagini

Dettagli

Numeri Complessi. 4. Ricordando che, se z è un numero complesso, zz è un numero reale, mettere sotto la forma. z 2 + 2z + 2 = 0. z 2 + 2z + 6 = 0.

Numeri Complessi. 4. Ricordando che, se z è un numero complesso, zz è un numero reale, mettere sotto la forma. z 2 + 2z + 2 = 0. z 2 + 2z + 6 = 0. Numeri Complessi. Siano z = + i e z 2 = i. Calcolare z + z 2, z z 2, z z 2 e z z 2. 2. Siano z = 2 5 + i 2 e z 2 = 5 2 2i. Calcolare z + z 2, z z 2, z z 2 e z z 2. 3. Ricordando che, se z è un numero complesso,

Dettagli

Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 2011/2012

Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 2011/2012 Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 211/212 Ricordare: una funzione lipschitziana tra spazi metrici manda insiemi limitati in insiemi limitati; se il dominio di una funzione

Dettagli

Forme bilineari e prodotti scalari. Definizione Dato lo spazio vettoriale V (K) sul campo K, una funzione. b :

Forme bilineari e prodotti scalari. Definizione Dato lo spazio vettoriale V (K) sul campo K, una funzione. b : Forme bilineari e prodotti scalari Definizione Dato lo spazio vettoriale V (K) sul campo K, una funzione b : { V V K ( v, w) b( v, w), si dice forma bilineare su V se per ogni u, v, w V e per ogni k K:

Dettagli

Grafico qualitativo di una funzione reale di variabile reale

Grafico qualitativo di una funzione reale di variabile reale Grafico qualitativo di una funzione reale di variabile reale Mauro Saita 1 Per commenti o segnalazioni di errori scrivere, per favore, a: maurosaita@tiscalinet.it Dicembre 2014 Indice 1 Qualè il grafico

Dettagli

Esponenziali e logaritmi

Esponenziali e logaritmi Esponenziali e logaritmi Corso di accompagnamento in matematica Lezione 4 Sommario 1 La funzione esponenziale Proprietà Grafico 2 La funzione logaritmo Grafico Proprietà 3 Equazioni / disequazioni esponenziali

Dettagli

Integrali doppi - Esercizi svolti

Integrali doppi - Esercizi svolti Integrali doppi - Esercizi svolti Integrali doppi senza cambiamento di variabili Si disegni il dominio e quindi si calcolino gli integrali multipli seguenti:... xy dx dy, con (x, y R x, y x x }; x + y

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Funzioni reali di variabile reale

Corso di Analisi Matematica. Funzioni reali di variabile reale a.a. 2011/12 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Funzioni reali di variabile reale Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità

Dettagli

Prerequisiti didattici

Prerequisiti didattici Università degli Studi di Ferrara 2014-2015 Corso TFA - A048 Matematica applicata Didattica della matematica applicata all economia e alla finanza 18 marzo 2015 Appunti di didattica della matematica applicata

Dettagli

Cosa sono gli esoneri?

Cosa sono gli esoneri? Cosa sono gli esoneri? Per superare l esame di Istituzioni di Matematiche è obbligatorio superare una prova scritta. Sono previsti due tipi di prova scritta: gli esoneri e gli appelli. Gli esoneri sono

Dettagli

Numeri Complessi. 4. Ricordando che, se z è un numero complesso, zz è un numero reale, mettere sotto la forma. z 2 + 2z + 2 = 0. z 2 + 2z + 6 = 0.

Numeri Complessi. 4. Ricordando che, se z è un numero complesso, zz è un numero reale, mettere sotto la forma. z 2 + 2z + 2 = 0. z 2 + 2z + 6 = 0. Numeri Complessi. Siano z = + i e z 2 = i. Calcolare z + z 2, z z 2, z z 2 e z z 2. 2. Siano z = 2 5 + i 2 e z 2 = 5 2 2i. Calcolare z + z 2, z z 2, z z 2 e z z 2. 3. Ricordando che, se z è un numero complesso,

Dettagli

Osservazione 2 L elemento di arrivo ( output) deve essere unico corrispondenza univoca da A e B. f : A B

Osservazione 2 L elemento di arrivo ( output) deve essere unico corrispondenza univoca da A e B. f : A B FUNZIONI Definizione 1 Dati due insiemi A e B, si chiama funzione da A a B una legge che ad ogni elemento di A associa un (solo) elemento di B. L insieme A si chiama dominio della funzione e l insieme

Dettagli

Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R

Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R Studio di funzione Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R : allo scopo di determinarne le caratteristiche principali.

Dettagli

Prova scritta di Geometria 2 Prof. M. Boratynski

Prova scritta di Geometria 2 Prof. M. Boratynski 10/9/2008 Es. 1: Si consideri la forma bilineare simmetrica b su R 3 associata, rispetto alla base canonica {e 1, e 2, e 3 } alla matrice 3 2 1 A = 2 3 0. 1 0 1 1) Provare che (R 3, b) è uno spazio vettoriale

Dettagli

Esercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di

Esercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di Esercizi svolti. Si consideri la funzione f() 4. a) Verificare che la funzione F() 4 + arcsin è una primitiva di f() sull intervallo (, ). b) Verificare che la funzione G() 4 + arcsin π è la primitiva

Dettagli

EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti. y = xy. y(2) = 1.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti. y = xy. y(2) = 1. EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti 1. Determinare la soluzione dell equazione differenziale (x 2 + 1)y + y 2 =. y + x tan y = 2. Risolvere il problema di Cauchy y() = 1 2 π. 3. Risolvere il problema

Dettagli

Programma definitivo Analisi Matematica 2 - a.a. 2005-06 Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Civile (ICI)

Programma definitivo Analisi Matematica 2 - a.a. 2005-06 Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Civile (ICI) 1 Programma definitivo Analisi Matematica 2 - a.a. 2005-06 Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Civile (ICI) Approssimazioni di Taylor BPS, Capitolo 5, pagine 256 268 Approssimazione lineare, il simbolo

Dettagli

x 2 + y2 4 = 1 x = cos(t), y = 2 sin(t), t [0, 2π] Al crescere di t l ellisse viene percorsa in senso antiorario.

x 2 + y2 4 = 1 x = cos(t), y = 2 sin(t), t [0, 2π] Al crescere di t l ellisse viene percorsa in senso antiorario. Le soluzioni del foglio 2. Esercizio Calcolare il lavoro compiuto dal campo vettoriale F = (y + 3x, 2y x) per far compiere ad una particella un giro dell ellisse 4x 2 + y 2 = 4 in senso orario... Soluzione.

Dettagli

FUNZIONI CONVESSE. + e x 0

FUNZIONI CONVESSE. + e x 0 FUNZIONI CONVESSE Sia I un intervallo aperto di R (limitato o illimitato) e sia f(x) una funzione definita in I. Dato x 0 I, la retta r passante per il punto P 0 (x 0, f(x 0 )) di equazione y = f(x 0 )

Dettagli

Ing. Gestionale Ing. Informatica Ing. Meccanica Ing. Tessile. Cognome Nome Matricola

Ing. Gestionale Ing. Informatica Ing. Meccanica Ing. Tessile. Cognome Nome Matricola Ing Gstional Ing Informatica Ing Mccanica Ing Tssil Cognom Nom Matricola Univrsità dgli Studi di Brgamo Scondo Compitino di Matmatica II ) Si considri la matric 2 3 3 2 Si calcolino gli autovalori gli

Dettagli

x (x i ) (x 1, x 2, x 3 ) dx 1 + f x 2 dx 2 + f x 3 dx i x i

x (x i ) (x 1, x 2, x 3 ) dx 1 + f x 2 dx 2 + f x 3 dx i x i NA. Operatore nabla Consideriamo una funzione scalare: f : A R, A R 3 differenziabile, di classe C (2) almeno. Il valore di questa funzione dipende dalle tre variabili: Il suo differenziale si scrive allora:

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DI UNA FUNZIONE STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)

Dettagli

COGNOME e NOME: FIRMA: MATRICOLA:

COGNOME e NOME: FIRMA: MATRICOLA: Anno Accademico 04/ 05 Corsi di Analisi Matematica I Proff. A. Villani, R. Cirmi e F. Faraci) Prova d Esame del giorno 6 febbraio 05 Prima prova scritta compito A) Non sono consentiti formulari, appunti,

Dettagli

Quale delle funzioni elencate ha il grafico in figura? 1) f(x)=x 3-2 2) f(x)= x 3-2x 2 -(x-2) 3) f(x)= x 3-2x 2 + x-2 4) f(x)= x 4 -x 2-2

Quale delle funzioni elencate ha il grafico in figura? 1) f(x)=x 3-2 2) f(x)= x 3-2x 2 -(x-2) 3) f(x)= x 3-2x 2 + x-2 4) f(x)= x 4 -x 2-2 Quale delle funzioni elencate ha il grafico in figura? 1) f(x)=x 3-2 2) f(x)= x 3-2x 2 -(x-2) 3) f(x)= x 3-2x 2 + x-2 4) f(x)= x 4 -x 2-2 SOLUZIONE: Si esclude subito la funzione 2) perché per x=0 vale

Dettagli

Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni

Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni Capitolo 9 9.1 Crescenza e decrescenza in piccolo; massimi e minimi relativi Sia y = f(x) una funzione definita nell intervallo A; su di essa non facciamo, per ora, alcuna particolare ipotesi (né di continuità,

Dettagli

Ripasso delle matematiche elementari: esercizi svolti

Ripasso delle matematiche elementari: esercizi svolti Ripasso delle matematiche elementari: esercizi svolti I Equazioni e disequazioni algebriche 3 Esercizi su equazioni e polinomi di secondo grado.............. 3 Esercizi sulle equazioni di grado superiore

Dettagli

Verica di Matematica su dominio e segno di una funzione [COMPITO 1]

Verica di Matematica su dominio e segno di una funzione [COMPITO 1] Verica di Matematica su dominio e segno di una funzione [COMPITO 1] Esercizio 1. Determinare il dominio delle seguenti funzioni: 1. y = 16 x ;. y = e 1 x +4 + x + x + 1; 3. y = 10 x x 3 4x +3x; 4. y =

Dettagli

Esercizio 2 Si consideri la funzione f definita dalle seguenti condizioni: e x. per x 1 f(x) = α x + e 1 per 1 < x

Esercizio 2 Si consideri la funzione f definita dalle seguenti condizioni: e x. per x 1 f(x) = α x + e 1 per 1 < x FUNZIONI Esercizio 1 Studiare la funzione f(x) = ln ( ) x e disegnarne il grafico. x 1 Esercizio 2 Si consideri la funzione f definita dalle seguenti condizioni: { e x per x 1 f(x) = α x + e 1 per 1

Dettagli

DOMINIO di FUNZIONI. PREREQUISITI: Grafici delle funzioni elementari. Calcolo di EQUAZIONI e DISEQUAZIONI, intere e fratte.

DOMINIO di FUNZIONI. PREREQUISITI: Grafici delle funzioni elementari. Calcolo di EQUAZIONI e DISEQUAZIONI, intere e fratte. DOMINIO di FUNZIONI PREREQUISITI: Grafici delle funzioni elementari. Calcolo di EQUAZIONI e DISEQUAZIONI, intere e fratte. Tutorial di Barberis Paola - 2009 Definizioni: FUNZIONE e DOMINIO LA FUNZIONE

Dettagli

Facoltà di Dipartimento di Ingegneria Elettrica e dell'informazione anno accademico 2014/15 Registro lezioni del docente SPORTELLI LUIGI

Facoltà di Dipartimento di Ingegneria Elettrica e dell'informazione anno accademico 2014/15 Registro lezioni del docente SPORTELLI LUIGI Facoltà di Dipartimento di Ingegneria Elettrica e dell'informazione anno accademico 2014/15 Registro lezioni del docente SPORTELLI LUIGI Attività didattica ANALISI MATEMATICA [2000] Periodo di svolgimento:

Dettagli

POLITECNICO di BARI - A.A. 2012/2013 Corso di Laurea in INGEGNERIA Informatica e dell Automazione

POLITECNICO di BARI - A.A. 2012/2013 Corso di Laurea in INGEGNERIA Informatica e dell Automazione POLITECNICO di BARI - A.A. 0/03 Corso di Laurea in INGEGNERIA Informatica e dell Automazione Problema Sia f :[0, +[! R una funzione continua. La funzione composta g() =f(kk) è c o n t i n u a? Problema

Dettagli

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti. Determinare kπ/ [cos] al variare di k in Z. Ove tale ite non esista, discutere l esistenza dei iti laterali. Identificare i punti di discontinuità della funzione

Dettagli

Funzioni a 2 variabili

Funzioni a 2 variabili Funzioni a 2 variabili z = f(x, y) Relazione che associa ad ogni coppia di valori x,y (variabili indipendenti) uno ed un solo valore di z (variabile dipendente). Esempi: z = x 2y + 4 z = x 2 y 2 2x z =

Dettagli

Calcolo differenziale Test di autovalutazione

Calcolo differenziale Test di autovalutazione Test di autovalutazione 1. Sia f : R R iniettiva, derivabile e tale che f(1) = 3, f (1) = 2, f (3) = 5. Allora (a) (f 1 ) (3) = 1 5 (b) (f 1 ) (3) = 1 2 (c) (f 1 ) (1) = 1 2 (d) (f 1 ) (1) = 1 3 2. Sia

Dettagli

Esercizi di Analisi Matematica

Esercizi di Analisi Matematica Esercizi di Analisi Matematica CAPITOLO 1 LE FUNZIONI Exercise 1.0.1. Risolvere le seguenti disuguaglianze: (1) x 1 < 3 () x + 1 > (3) x + 1 < 1 (4) x 1 < x + 1 x 1 < 3 x + 1 < 3 x < 4 Caso: (a): x 1

Dettagli

Studio di una funzione ad una variabile

Studio di una funzione ad una variabile Studio di una funzione ad una variabile Lo studio di una funzione ad una variabile ha come scopo ultimo quello di pervenire a un grafico della funzione assegnata. Questo grafico non dovrà essere preciso

Dettagli

Dispense di Matematica Analisi Matematica. Riccarda Rossi

Dispense di Matematica Analisi Matematica. Riccarda Rossi Dispense di Matematica Analisi Matematica Riccarda Rossi Corso di Laurea in Disegno Industriale Università degli Studi di Brescia Anno Accademico 2009/2010 2 Capitolo 1 Nozioni preliminari 4 Riccarda Rossi

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA 1 Sia f la funzione definita da: f

Dettagli

Università degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica

Università degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Università degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Esame di Geometria (Prof. F. Tovena) Argomenti: Proprietà di nucleo e immagine di una applicazione lineare. dim V = dim

Dettagli

Note di Analisi Matematica 2

Note di Analisi Matematica 2 Annamaria Mazzia Note di Analisi Matematica 2 Università degli Studi di Padova corso di laurea in Ingegneria Edile-Architettura a.a. 2012-2013 Questo lavoro è pubblicato sotto una Creative Commons Attribution-Noncommercial-No

Dettagli

Esercizi sullo studio completo di una funzione

Esercizi sullo studio completo di una funzione Esercizi sullo studio completo di una funzione. Disegnare il grafico delle funzioni date, utilizzando ogni informazione utile che si può ricavare dalla funzione e dalle sue derivate prima e seconda. a.

Dettagli

Rette e curve, piani e superfici

Rette e curve, piani e superfici Rette e curve piani e superfici ) dicembre 2 Scopo di questo articolo è solo quello di proporre uno schema riepilogativo che metta in luce le caratteristiche essenziali delle equazioni di rette e curve

Dettagli

x ( 3) + Inoltre (essendo il grado del numeratore maggiore del grado del denominatore, d ancora dallo studio del segno),

x ( 3) + Inoltre (essendo il grado del numeratore maggiore del grado del denominatore, d ancora dallo studio del segno), 6 - Grafici di funzioni Soluzioni Esercizio. Studiare il grafico della funzione f(x) = x x + 3. ) La funzione è definita per x 3. ) La funzione non è né pari, né dispari, né periodica. 3) La funzione è

Dettagli

Pillole di Analisi. Roberto Paoletti

Pillole di Analisi. Roberto Paoletti Pillole di Analisi Roberto Paoletti 1 Preinari Insiemi numerici. Nel seguito denoteremo con N = {0, 1, 2,...} l insieme dei numeri naturali, con Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} l insieme dei numeri interi,

Dettagli

Facoltà di Ingegneria anno accademico 2007/08 Registro dell'attività didattica. Calcolo 2 [40214]

Facoltà di Ingegneria anno accademico 2007/08 Registro dell'attività didattica. Calcolo 2 [40214] Facoltà di Ingegneria anno accademico 2007/08 Registro dell'attività didattica Calcolo 2 [40214] Attività didattica: Attività didattica [codice] Corso di studio Facoltà Calcolo 2 [40214] Ingegneria delle

Dettagli

Massimi e minimi vincolati

Massimi e minimi vincolati Massimi e minimi vincolati In problemi di massimo e minimo vincolato viene richiesto di ricercare massimi e minimi di una funzione non definita su tutto R n, ma su un suo sottoinsieme proprio. Esempio:

Dettagli

LIMITI E CONFRONTO LOCALE Esercizi svolti. b) lim. d) lim. h) lim x x + 1 x. l) lim. b) lim x cos x. x 0 sin 2 3x cos x p) lim.

LIMITI E CONFRONTO LOCALE Esercizi svolti. b) lim. d) lim. h) lim x x + 1 x. l) lim. b) lim x cos x. x 0 sin 2 3x cos x p) lim. LIMITI E CONFRONTO LOCALE Esercizi svolti. Calcolare i seguenti iti: a + 4 + b + 4 + 4 c 5 e ± g i + + sin 4 m sin o π q sin π + 4 + 7 d + 4 + + 5 4 + f 4 4 + 5 4 + 4 h + + l + + cos n sin cos p π π +

Dettagli

Complementi di Matematica E e Matematica C per Ingegneria delle Telecomunicazioni, dell Automazione, Elettronica e Biomedica, a.a.

Complementi di Matematica E e Matematica C per Ingegneria delle Telecomunicazioni, dell Automazione, Elettronica e Biomedica, a.a. Complementi di Matematica E e Matematica C per Ingegneria delle Telecomunicazioni, dell Automazione, Elettronica e Biomedica, a.a. 2005-6 Martino Bardi Dipartimento di Matematica Pura ed Applicata Università

Dettagli