6. Calcolare le derivate parziali prime e seconde, verificando la validità del teorema di Schwarz:

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1 FUNZIONI DI PIU VARIABILI Esercizi svolti. Determinare il dominio delle seguenti funzioni e rappresentarlo graficamente : (a) f log( x y ) (b) f log(x + y ) (c) f y x 4 (d) f sin(x + y ) (e) f log(xy + x y). Determinare le linee di livello e l immagine delle seguenti funzioni: (a) f x 5y (b) f x y x (c) f y + (d) f x + y 3. Calcolare i seguenti iti : (a) (b) (c) (d) (e) (x,y) (0,0) xy x + y xy (x,y) (0,0) log(x + y ) x 3 xy + y (x,y) (0,0) x + y y 4 (x,y) (0,0) x + y 4 x sin xy (x,y) (0,0) x + y 4. Calcolare il gradiente delle seguenti funzioni (a) f x + xy xy (b) f ye x (c) f y e x (d) f log(x + y ) (e) f e x/y 5. Calcolare ( se esiste ) il gradiente delle seguenti funzioni nei punti indicati: (a) f xy e x+y in (0, 0) (b) f x + y sin(x + y) in (0, 0) (c) f x xy in (0, 0) (d) f (x y) y x in (, ) 6. Calcolare le derivate parziali prime e seconde, verificando la validità del teorema di Schwarz: (a) f 7x + 4y (b) f log( x y )

2 x (c) f y 7. Determinare le derivate delle seguenti funzioni lungo le direzioni e nei punti assegnati: (a) f x + xy in P (, 0) nella direzione v = (, ) (b) f e x cos y in P (0, 0) nella direzione del vettore v = (, ) (c) f x xy in P (0, 0) nella direzione del vettore v = (, ) 8. Determinare il piano tangente al grafico delle seguenti funzioni : (a) f x 3 y 3 nel punto (0,, ) (b) f x y + y x nel punto (,, ) (c) f x + y nel punto (, 0, ) 9. Determinare lo sviluppo di Taylor di secondo grado centrato nell origine delle seguenti funzioni : (a) f sin x sin y (b) f xe xy (c) f x sin(y ) 0. Data la funzione f + 3 (x ) y, si verifichi che non è differenziabile in (, 0) e si calcolino le sue derivate direzionali in tale punto, per ogni vettore v non nullo.. Calcolare gli eventuali punti di massimo, minimo o sella delle seguenti funzioni: (a) f x y + x y (c) f log( + x y ) (b) f x 3 + y 3 + xy (d) f x cos y (e) f + x + y (f) f e (x +y ) (g) f x + y (h) f(x, y, z) = z 8x + 6xy 4y z.. Calcolare f e f dei seguenti campi scalare (a) f(x, y, z) = xy + yz 3 z (b) f(x, y, z) = y sin z + x sin y (c) f(x, y, z) = x + y + z. 3. Calcolare divergenza e rotore dei seguenti campi vettoriali : (a) F (x, y, z) = (xy, yz, zx) (b) F (x, y, z) = (x + yz, xyz, x + zy ) (c) F (x, y, z) = (x cos z, y sin x, z cos y).

3 FUNZIONI DI PIU VARIABILI Esercizi svolti - SOLUZIONI. Determinare il dominio delle seguenti funzioni e rappresentarlo graficamente : (a) f log( x y ) : D = {(x, y) : x + y < } Essendo log x definita per x > 0 si ha che f(x, y) risulta definita per x y > 0, da cui il risultato. (b) f log(x + y ) : D = R {(0, 0)} Essendo log x definita per x > 0 si ha che f(x, y) risulta definita per x + y > 0, cosa verificata per tutti i punti di R esclusa l origine degli assi. (c) f y x 4 : D = {(x, y) : y x y x } Essendo x definita per x 0 si ha che f(x, y) risulta definita per y x 4 0 y x 4 y x oppure y x. (d) f sin(x + y ) : D = {(x, y) : x + y [kπ, (k + )π], k 0} Essendo la funzione x definita per x 0 si ha che la funzione f(x, y) risulta definita per (x, y) tali che sin(x + y ) 0 x + y [kπ, (k + )π], per qualche k 0. (e) f log(xy +x y) : D = {(x, y) : (x > 0, y > 0) (x < 0, 0 < y < x) (x > 0, y < x)} Essendo log x definita per x > 0 si ha che f(x, y) risulta definita per xy + x y > 0 xy(y + x) > 0. Studiando il segno delle funzioni xy e x + y separatamente e utilizzando la regola dei segni si ottiene il risultato.. Determinare le linee di livello e l immagine delle seguenti funzioni: (a) f x 5y : Ponendo f k si ottiene x 5y = k x k = 5y y = x k, per ogni k R. Im(f) = R. 5 (b) f x y Ponendo f k si ottiene x y = k y = k, se k 0 e xy = 0 ( insieme dei punti degli assi ) se x k = 0. Im(f) = R. x (c) f y + Il dominio della funzione f(x, y) è D = {(x, y) : y > } {(x, y) : x = 0, y }. Ponendo f k e k > 0 si ottiene : x y + = k x y + = k x = k (y + ) y = x k. Le linee di livello per k > 0 risultano quindi essere {(x, y) : y = x, x 0}. Si ottiene invece per k k < 0 e {(x, y) D : x = 0} per k = 0. Im(f) = [0, + ). (d) f x + y Ponendo f k si ottiene x + y = k x + y =, per k > 0, e per k 0. Im(f) = (0, + ). k

4 3. Calcolare i seguenti iti : (a) (b) (c) (d) (e) (x,y) (0,0) xy x + y = 0 Calcolando il ite lungo le rette passanti per l origine si ottiene 0 e quindi il ite è 0 oppure non esiste. Passando alle coordinate polari si ottiene : ρ cos θ ρ sin θ ρ = ρ cos θ sin θ ρ 0. xy (x,y) (0,0) log(x + y ) = 0 Calcolando il ite lungo le rette passanti per l origine si ottiene 0 e quindi il ite è 0 oppure non esiste. Passando alle coordinate polari si ottiene : ρ cos θ ρ sin θ log(ρ ) ρ log(ρ ) 0. x 3 xy + y (x,y) (0,0) x + y non esiste Pongo y = mx e calcolo il ite lungo le rette passanti per (0, 0). x 3 x(mx) + (mx) x + (mx) = x3 mx + m x x m + m m + m x ( + m = ) ( + m ) ( + m ) Siccome il risultato varia al variare della direzione il ite non può esitere. (x,y) (0,0) y 4 x + y 4 non esiste per x 0. Eseguendo il ite lungo le rette y = mx si ottiene 0. Quindi il ite di f(x, y) è 0 oppure non esiste. Lungo la retta x = 0 il ite risulta però essere. Il ite quindi non esiste. x sin(xy) (x,y) (0,0) x + y = 0 Calcolando il ite lungo le rette passanti per l origine si ottiene 0 e quindi il ite è 0 oppure non esiste. Passando alle coordinate polari si ottiene : ρ cos θ sin(ρ cos θ ρ sin θ) ρ sin(ρ cos θ sin θ) ρ ρ cos θ sin θ ρ ρ Calcolare il gradiente delle seguenti funzioni (a) f x + xy xy : f (x + y y, x xy) (b) f ye x : f (4xye x, e x ) (c) f y e x : f ( y e x, ye x ) (d) f log(x + y x ) : f ( x + y, y x + y ) (e) f e x/y : f ( ex/y y, xe x/y y ) 5. Calcolare ( se esiste ) il gradiente delle seguenti funzioni nei punti indicati: (a) f xy e x+y in (0, 0) : Essendo f(x, y) nulla lungo gli assi il gradiente esiste ed è (0, 0). (b) f x + y sin(x + y) in (0, 0) : f(h, 0) f(0, 0) f(0, h) f(0, 0) h 0 h sin (h ) = h sin (h) = h 0 h da cui segue f(0, 0) = (0, 0). h = 0, quindi (0, 0) = 0, x = 0, quindi (0, 0) = 0,

5 (c) f x xy in (0, 0) : Essendo f(x, y) nulla lungo l asse y si ha immediatamente che (0, 0) = 0 f(h, 0) f(0, 0) h = h 0 ± h h 0 ± h = h h 0 ± h = ±, da cui segue che (0, 0) non esiste, e di conseguenza non esiste f(0, 0). x (d) f (x y) y x in (, ) : h 0 0, f( + h, ) f(, ) h ( + h ) ( + h) = f(, + h) f(, ) ( h ) + h = da cui segue f(, ) = (0, 0). h h + h = = = 0, quindi (, ) = x h h = 0, quindi (, ) = 0, 6. Calcolare le derivate parziali prime e seconde, verificando la validità del teorema di Schwarz: (a) f 7x + 4y : x 7 (7x + 4y ) 3/ (7x + 4y ) 3/ 47 x 4 (7x + 4y ) 5/ (7x + 4y ) 5/ x f (7x + 4y ) 5/ x (b) f log( x y ) : x y x x y x y x + x y ( x y ) x + y ( x y ) x f 4xy x ( x y ) x (c) f : y x y x ( x) 3/ x 4y x y f x y 3 x f x y x 7. Determinare le derivate delle seguenti funzioni lungo le direzioni e nei punti assegnati: (a) f x + xy in P (, 0) nella direzione v = (, ) Per definizione f( + t, t) f(, 0) ( + t) + ( + t)t + 6t + 5t (, 0) = = = = 5 v Siccome f(x, y) è differenziabile in (, 0) si può procedere anche facendo il prodotto scalare tra il gradiente in (, 0) e il vettore v : f (x + y, x) e quindi f(, 0) = (, ), da cui segue (, 0) = f(, 0) v = (, ) (, ) = 5 v

6 (b) f e x cos y in P (0, 0) nella direzione del vettore v = (, ) Per definizione f(t, t) f(0, 0) e t cos(t) (0, 0) = = = (e t cos(t) e t sin(t)) = v t 0 Siccome f(x, y) è differenziabile in (0, 0) si può procedere anche facendo il prodotto scalare tra il gradiente in (0, 0) e il vettore v : f (e x cos y, e x sin y) e quindi f(0, 0) = (, 0), da cui segue : (0, 0) = f(0, 0) v = (, 0) (, ) = v (c) f x xy in P (0, 0) nella direzione del vettore v = (, ) Come visto nel punto (c) esercizio 5 la funzione f(x, y) non ammette gradiente. Non rimane quindi che utilizzare la definizione : f(t, t) f(0, 0) t t (0, 0) = = = 0 v 8. Determinare il piano tangente al grafico delle seguenti funzioni : (a) f x 3 y 3 nel punto (0,, ) : f(0, ) =, f (3x, 3y ) e quindi f(0, ) = (0, 3). Il piano tangente al grafico della funzione nel punto (0,, ) è quindi : z = f(0, ) + f(0, ) (x, y ) = 3y. (b) f x y + y x nel punto (,, ) : f(, ) =, f (yx y + y x log y, x y log x + xy x ) e quindi f(, ) = (, ). Il piano tangente al grafico della funzione nel punto (,, ) è quindi : z = f(, ) + f(, ) (x, y ) = x + y. (c) f x + y nel punto (, 0, ) : x f(, 0) =, f ( x + y, y ) e quindi f(, 0) = (, 0). Il piano tangente al grafico x + y della funzione nel punto (, 0, ) è quindi : z = f(, 0) + f(, 0) (x, y) = x. 9. Determinare lo sviluppo di Taylor di secondo grado centrato nell origine delle seguenti funzioni : (a) f sin x sin y : f (cos x sin y, sin x cos y) e quindi f(0, 0) = (0, 0). Le derivate di ordine due sono : x f sin x sin y da cui segue x (0, 0) = f (0, 0) = 0 x f x cos x cos y da cui segue x (0, 0) = f (0, 0) = x Ottengo quindi lo sviluppo : f xy + o(x + y ). (b) f xe xy : f (e xy + xy e xy, x e xy ) e quindi f(0, 0) = (, 0). Le derivate di ordine due sono : x y exy + xy e xy da cui segue (0, 0) = 0 x x3 e xy da cui segue (0, 0) = 0 x f x x exy + x y e xy da cui segue x (0, 0) = f (0, 0) = 0 x Ottengo quindi lo sviluppo : f x + o(x + y ).

7 (c) f x sin(y ) : f (x sin y, yx cos y ) e quindi f(0, 0) = (0, 0). Le derivate di ordine due sono : sin y da cui segue (0, 0) = 0 x x 4y x sin y + x cos y da cui segue (0, 0) = 0 x f 4xy cos y da cui segue x x (0, 0) = f (0, 0) = 0 x Ottengo quindi lo sviluppo : f o(x + y ). 0. Data la funzione f + 3 (x ) y, si verifichi che non è differenziabile in (, 0) e si calcolino le sue derivate direzionali in tale punto, per ogni vettore v non nullo. Pongo v = (a, b). Per definizione si ha che : f( + at, bt) f(, 0) + 3 (at) bt (, 0) = = = v t 3 a b = 3 a b, da cui segue f(, 0) = (0, 0). Non essendo verificata la formula (, 0) = f(, 0) v, v concludo quindi che f(x, y) non è differenziabile in (, 0).. Calcolare gli eventuali punti di massimo, minimo o sella delle seguenti funzioni: (a) f x y + x y : Calcolo il gradiente di f(x, y) : f (x + xy, x ). Ponendo f (0, 0) si ottengono i due punti stazionari (, ) e (, ). Per determinare la natura dei due punti stazionari calcolo la matrice Hessiana : ( ) + y x H. x 0 Osservo che H( ( ) 0, ) = e H( ( ) 0, ) = 0 sono entrambe indefinite. I due punti stazionari sono quindi due punti di 0 sella. (b) f x 3 + y 3 + xy : Calcolo il gradiente di f(x, y) : f (3x + y, 3y + x). Ponendo f (0, 0) si ottengono i due punti stazionari (0, 0) e ( /3, /3). Per determinare la natura dei due punti stazionari calcolo la matrice Hessiana ( : ) ( ) 6x 0 H, e osservo che H(0, 0) = ( matrice indefinita ) e H( /3, /3) = 6y 0 ( ) ( matrice definita negativa ). Il punto (0, 0) risulta quindi essere una sella e il punto ( /3, /3) un massimo relativo. (c) f log( + x y ) : Essendo la funzione logaritmo una funzione strettamente crescente sul suo dominio posso ridurmi a studiare la funzione g + x y. Calcolo il gradiente di g(x, y) : g (xy, yx ). Ponendo f (0, 0) si ottiene che tutti i punti dei due assi coordinati sono punti stazionari. Per determinare la natura dei punti stazionari calcolo la matrice Hessiana : ( ) y 4xy H 4xy x. Purtroppo la matrice Hessiana risulta nulla su (0, 0) e solo semidefinita sugli altri punti dei due assi. In ogni caso quindi non posso concludere nulla sulla natura dei punti stazionari. Posso però concludere con la seguente argomentazione : x y 0 + x y f log( + x y ) 0. Essendo f(x, y) nulla sugli assi, tutti i punti stazionari risultano essere punti di minimo assoluto e quindi di minimo relativo.

8 (d) f x cos y : Calcolo il gradiente di f(x, y) : f (cos y, x sin y). Ponendo f (0, 0) si ottengono gli infiniti punti stazionari P k = (0, π + kπ), per k Z. Per determinare la natura dei punti stazionari P k calcolo la matrice Hessiana : e osservo che H(P k ) = tutti punti di sella. ( ) 0 sin y H, sin y x cos y ( ) 0 ±, matrice indefinita. Gli infiniti punti stazionari P ± 0 k sono quindi (e) f + x + y : Essendo la funzione radice una funzione strettamente crescente sul suo dominio posso ridurmi a studiare la funzione g + x + y. Calcolo il gradiente di g(x, y) : g (x, y). Ponendo f (0, 0) si ottiene l unico punto stazionaro (0, 0). Per determinare la natura del punto stazionaro calcolo la matrice Hessiana : H ( 0 0 matrice definita positiva. Il punto (0, 0) risulta quindi essere punto di minimo locale per la funzione g(x, y), e di conseguenza anche per la funzione f(x, y). Si osservi che (0, 0) è anche punto di minimo assoluto per g(x, y) e quindi per f(x, y), essendo g(0, 0) = e g(x, y) per ogni (x, y) R. (f) f e (x +y ) : Essendo la funzione e x una funzione strettamente decrescente su R posso ridurmi a studiare la funzione g x + y. In modo perfettamente analogo all esercizio precedente ottengo che la funzione g(x, y) ha il solo punto stazionario (0, 0), che risulta essere punto di minimo locale e assoluto. Posso quindi concludere che la funzione f(x, y) ha il solo punto stazionario (0, 0), che risulta essere punto di massimo locale e assoluto. (g) f x +y : x Calcolo il gradiente di f(x, y) : f ( (x + y ), 4y (x + y ). Si ha quindi che f (0, 0) ) non è mai verificata sul dominio D = R {(0, 0)}. Non esistono quindi punti stazionari. (h) f(x, y, z) = z 8x + 6xy 4y z. Calcolo il gradiente di f(x, y, z) : f(x, y, z) = (6y 36x, 6x 8yz, z 4y ). Ponendo f(x, y, z) = (0, 0, 0) si ottengono i tre punti stazionari (0, 0, 0), (/4, /4, /8) e ( /4, /4, /8). Per determinare la natura dei punti stazionari si calcoli la matrice Hessiana : Si osservi che: H(x, y, z) = H(0, 0, 0) = ), z 8y 0 8y i cui autovalori sono λ =, λ < 0, λ 3 > 0, e dunque H(0, 0, 0) è una matrice indefinita ; H(/4, /4, /8) = il cui polinomio caratteristico è T 3 35T + 78T + 44; per la regola dei segni di Cartesio ci sono due autovalori strettamente negativi e uno strettamente positivo, e dunque H(/4, /4, /8) risulta essere indefinita; H( /4, /4, /8) = ; 0 poiché il polinomio caratteristico di H( /4, /4, /8) è identico a quello di H(/4, /4, /8), anche H( /4, /4, /8) risulta essere indefinita. Quindi tutti i tre punti sono punti di sella..

9 . Calcolare f e f ( Laplaciano di f) dei seguenti campi scalare (a) f(x, y, z) = xy + yz 3 z : f(x, y, z) = (y, xy + z 3, 3yz z) f(x, y, z) = x + 6yz (b) f(x, y, z) = y sin z + x sin y : f(x, y, z) = (sin y, sin z + x cos y, y cos z) f(x, y, z) = x sin y y sin z (c) f(x, y, z) = x + y + z : f(x, y, z) = x + y + z (x, y, z) f(x, y, z) = x + y + z 3. Calcolare divergenza e rotore dei seguenti campi vettoriali : (a) F (x, y, z) = (xy, yz, zx) : div F = F = F x + F + F 3 z = y + z + x rot F = F = i j k x z F F F 3 = ( F 3 F z, F z F 3 x, F x F ) = ( y, z, x) (b) F (x, y, z) = (x + yz, xyz, x + zy ) : div F = F = x + xz + y rot F = F = (yz yx, y, yz z) (c) F (x, y, z) = (x cos z, y sin x, z cos y) : div F = F = cos z + sin x + cos y rot F = F = ( z sin y, x sin z, y cos x)

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