4. Confronto tra medie di tre o più campioni indipendenti

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1 BIOSTATISTICA 4. Confronto tra medie di tre o più campioni indipendenti Marta Blangiardo, Imperial College, London Department of Epidemiology and Public Health MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.1

2 SPECULARE UNIVERSO PARAMETRI PROGRAMMARE INFERIRE CAMPIONE STIMATORI DESCRIVERE MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.2

3 Siamo interessati a valutare se tre diete (A, B e C) determinano diversi incrementi del peso delle cavie con esse nutrite UNIVERSO PARAMETRI CAMPIONE STIMATORI MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.3

4 Siamo interessati a valutare se tre diete (A, B e C) determinano diversi incrementi del peso delle cavie con esse nutrite UNIVERSO PARAMETRI PROGRAMMARE CAMPIONE STIMATORI Vengono scelti casualmente tre campioni di 12 cavie ciascuno, ad ognuno di essi viene somministrata una delle tre diete in studio dalla nascita fino all età di 3 mesi e ne vengono registrati gli incrementi di peso MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.4

5 Dieta A Dieta B Dieta C CAMPIONE 1 CAMPIONE 2 CAMPIONE 3 DESCRIVERE STATISTICHE STATISTICHE STATISTICHE n 1 = 12 n 2 = 12 n 3 = 12 y i1 y i2 In generale: y ij y i3 MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.5

6 4 CAMPIONE s 1 = y 1 = CAMPIONE 2 s 2 = 4.2 y 2 = CAMPIONE s 3 = 4.2 y 3 = MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.6

7 SPECULARE UNIVERSO PARAMETRI PROGRAMMARE INFERIRE CAMPIONE STIMATORI DESCRIVERE MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.7

8 Una procedura per saggiare l ipotesi nulla Stima intervallare Test del t di Student Analisi della varianza e test F Analisi della varianza e test F ANOVA ad un FATTORE: 1 condizione sperimentale che ci interessa testare MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.8

9 CAMPIONE CAMPIONE CAMPIONE Media generale: y = 60.7 Devianza totale = Σ Σ (y ij - y) 2 j i = ( ) 2 +( ) 2 +( ) ( ) 2 +( ) 2 +( ) ( ) 2 +( ) 2 +( ) 2 = = 818 Da quali fonti dipende la variabilità (devianza) totale del fenomeno? MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.9

10 CAMPIONE 1 CAMPIONE 2 CAMPIONE Media generale: y = 60.7 y 1 = 60 y 2 = 64 y 3 = 58 Devianza tra i livelli del fattore sperimentale = Σ n j (y j - y) 2 j = 12. ( ) ( ) ( ) 2 = = 224 Una prima fonte di variabilità è dovuta al fatto che i due campioni sono stati sottoposti a diverse diete (fattore sperimentale) MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.10

11 CAMPIONE 1 CAMPIONE 2 CAMPIONE y 1 = 60 y 2 = 64 y 3 = 58 Devianza entro i livelli del fattore sperimentale = Σ Σ (y ij - y j ) 2 i j =(56-60) 2 + (59-60) 2 + (52-60) (67-64) 2 + (72-64) 2 + (68-64) (59-58) 2 + (61-58) 2 + (58-58) 2 = 594 Una seconda fonte di variabilità è dovuta al fatto che ogni unità sperimentale tende a rispondere in modo diverso dalle altre allo stesso stimolo (livello del fattore sperimentale) MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.11

12 SISTEMATICA Fonti di variabilità devianza Tra gruppi Entro gruppi * 594 = Totale 818 = CASUALE * Variabilità residua MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.12

13 Fonti di variabilità devianza gradi di libertà Tra gruppi Entro gruppi 594 = 33 = Totale 818 = 35 MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.13

14 Fonti di variabilità devianza gradi di libertà varianza Tra gruppi Entro gruppi = = = + = 18 Totale 818 = 35 F 1, 22 = Varianza tra gruppi Varianza entro gruppi 112 = = MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.14

15 Distribuzione F g1;g2;0.95 Gradi di libertà del denominatore Gradi di libertà del numeratore F MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.15

16 Distribuzione F 2,33 Area di accettazione Area di rifiuto Valore tabulato 3.28 Valore empirico 6.22 allora dovremmo rifiutare l ipotesi nulla: p < 0.05 Le tre medie differiscono significativamente MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.16

17 CAMPIONE 1 CAMPIONE 2 CAMPIONE y 1 = 60 y 2 = 64 y 3 = 58 L esperimento offre evidenze che le tre diete abbiano diverso effetto sull incremento di pesi delle cavie (p < 0.05) H 0 : µ 1 = µ 2 = µ 3 α = 0.05 H 1 : H 1 µ 1 µ 2 e/o µ 3 e/o µ 1 1 µ 2 3 e/o µ 1 µ 2 3 e/o 3 µ 2 µ 3 Quale ipotesi alternativa? MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.17

18 CONTRASTI (CONFRONTI) possibili contrasti per 3 livelli del fattore sperimentale 1 vs 2 1 vs 3 2 vs 3 (1+2) vs 3 (1+3) vs 2 (2+3) vs 1 Per valutare quale tra le possibili ipotesi alternative superi la soglia di significatività statistica si potrebbero confrontare le rispettive coppie di medie con il test t o F Sono indipendenti questi due contrasti? MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.18

19 CONTRASTI (CONFRONTI) possibili contrasti per 3 livelli del fattore sperimentale coefficienti c i c 1 c 2 c 3 p i= 1 c i 1 vs vs vs 3 (1+2) vs 3 (1+3) vs (2+3) vs Si definisce contrasto una funzione del tipo: dove: c i = coefficienti di p L k = c i i= 1 µ i µ i tali che: p i= 1 c i = 0 MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.19

20 CONTRASTI ORTOGONALI Dati due contrasti K e K, essi si definiscono ortogonali se risulta verificato che: p i= 1 c k i c k ' = 0 i dove: c ki = coefficienti del contrasto K c k ' i = coefficienti del contrasto K MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.20

21 CONTRASTI ORTOGONALI possibili contrasti per 3 livelli del fattore sperimentale) coefficienti c i c 1 c 2 c 3 p i= 1 c i A vs B A vs C B vs C (A+B) vs C (A+C) vs B (B+C) vs A Verifica ortogonalità p i= 1 c k i c = k ' 0 i (1)*(-1) + (-1)*(-1) + (0)*(2) = 0 Ortogonali = indipendenti MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.21

22 CONTRASTI ORTOGONALI se p sono i livelli del fattore sperimentale, i (p-1) gradi di libertà della devianza tra trattamenti possono essere scomposti in altrettanti (p-1) contrasti ortogonali con un grado di libertà ciascuno MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.22

23 CONTRASTI ORTOGONALI Fonti di variabilità Tra gruppi devianza dev T + gradi di libertà g T = (p - 1) + Contrasti 1 dev c1 1 2 dev c2 1 p - 1 dev c(p-1) 1 Residua dev e = g e = N - p= Totale dev g = N - 1 I contrasti ortogonali spiegano (p-1) quote statisticamente indipendenti della devianza tra i livelli del fattore sperimentale MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.23

24 CONTRASTI ORTOGONALI Fonti di variabilità Tra gruppi devianza dev T + gradi di libertà g T = (p - 1) + Contrasti 1 dev c1 1 2 dev c2. p - 1 dev c(p-1) 1 Residua dev e = g e = N - p= Totale dove: dev dev ci = g = N - 1 p n i (Σ c i y i. ) 2 i=1 p Σ c i 2 i=1 dev c1 + + dev c2 + + dev c(p-1) = dev T MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.24

25 CAMPIONE 1 CAMPIONE 2 CAMPIONE y 1 = 60 y 2 = 64 y 3 = 58 coefficienti c i c 1 c 2 c 3 2 vs dev c1 = p n i (Σ c i y i. ) 2 i=1 p = Σ c i 2 i=1 12 [0*60+1*64+(-1)*58] (-1) 2 = = 216 MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.25

26 CAMPIONE 1 CAMPIONE 2 CAMPIONE y 1 = 60 y 2 = 64 y 3 = 58 y 23 = 61 dev c1 = 12. (64 61) (58 61) 2 = = 216 con un grado di libertà MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.26

27 CAMPIONE 1 CAMPIONE 2 CAMPIONE y 1 = 60 y 2 = 64 y 3 = 58 coefficienti c i c 1 c 2 c 3 (2+3) vs dev c2 = p n i (Σ c i y i. ) 2 i=1 p = Σ c i 2 i=1 12 [(-2)*60+1*64+1*58]2 (-2) = = 8 MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.27

28 CAMPIONE 1 CAMPIONE 2 CAMPIONE y 1 = 60 y 2 = 64 y 3 = 58 y 1 = 60 y 23 = 61 y.. = 60.7 dev c2 = 12. ( ) ( ) 2 = = 8 con un grado di libertà MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.28

29 CONTRASTI ORTOGONALI Fonti di variabilità Tra gruppi devianza 224 gradi di libertà 2 2 vs (2+3) vs Residua Totale 818= 35 MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.29

30 CONTRASTI ORTOGONALI Fonti di gradi di variabilità devianza libertà varianza Tra gruppi vs (2+3) vs Residua Totale 818= 35 Contrasto 2 vs 3 F 1, 33 = = 12 Contrasto (2+3) vs 1 F 1, 33 = 8 18 = 0.4 MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.30

31 Distribuzione F g1;g2;0.95 Gradi di libertà del denominatore Gradi di libertà del numeratore F MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.31

32 CONTRASTI ORTOGONALI Valori di F empirici: Contrasto 2 vs 3 F 1, 33 = = 12 Contrasto (2+3) vs 1 F 1,33 = 8 18 = 0.4 Valore di F tabulato: F 1,33;0.05 =4.14 L esperimento: offre evidenze che le diete B e C hanno diverso effetto (p < 0.05) non offre evidenze che la dieta A ha diverso effetto rispetto all insieme delle altre due (p > 0.05) I contrasti vanno decisi a priori!! MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.32

33 Dieta A Dieta B Dieta C Nidiata A Nidiata B y jki y ji ANALISI DELLA VARIANZA A DUE UNA VIE: VIA: viene vengono considerata considerate una fonte due di fonti variabilità di variabilità sistematica (dieta) e nidiata) MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.33

34 Media generale: y = 60.7 Devianza totale = Σ Σ Σ (y ijk - y) 2 Devianza totale = ( ) 2 +( ) 2 +( ) ( ) 2 +( ) 2 +( ) ( ) 2 +( ) 2 +( ) 2 = = 818 i Da quali fonti dipende la variabilità (devianza) totale del fenomeno? j k MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.34

35 Dieta A Dieta B Dieta C Media generale: y = 60.7 y 1. = 60 y 2. = 64 y 3. = 58 Devianza tra diete = Σ n j (y j. - y) 2 j = 12. ( ) ( ) ( ) 2 = = 224 Una prima fonte di variabilità è dovuta al fatto che i tre campioni sono stati sottoposti a diverse diete (fattore sperimentale) MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.35

36 Nidiata A y.1 = Nidiata B y.2 = Media generale: y = 60.7 Devianza tra nidiate = Σ n k (y.k - y) 2 k = 18. ( ) ( ) 2 = 40.1 Una seconda fonte di variabilità è dovuta al fatto che le cavie appartengono a diverse nidiate (fattore subsperimentale) MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.36

37 Fonti di variabilità Tra diete Tra nidiate Residuo Totale Analisi della varianza a una via devianza = 818 = Analisi della varianza a due vie devianza = = MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.37

38 Fonti di variabilità Tra diete Tra nidiate Residuo Totale Analisi della varianza a una via Gradi di libertà = 35 = Analisi della varianza a due vie Gradi di libertà = = MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.38

39 Effetto della dieta Fonti di variabilità devianza gradi di libertà varianza Tra diete Tra nidiate Residuo Totale 818 = 35 F 2, 32 = Varianza tra diete Varianza residua = = 6.47 Che confrontato con F 2,32,0.05 = 3.29 Suggerisce che la dieta è una significativa (p < 0.05) fonte di variabilità dell incremento di peso della cavie MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.39

40 Effetto della nidiata Fonti di variabilità devianza gradi di libertà varianza Tra diete Tra nidiate Residuo Totale 818 = 35 F 1, 32 = Varianza tra nidiate Varianza residua = = 2.32 Che confrontato con F 1,32,0.05 = 4.15 Non offre evidenze che la nidiata sia una significativa (p > 0.05) fonte di variabilità dell incremento di peso della cavie MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.40

41 Fonti di variabilità devianza gradi di libertà varianza Tra diete Tra nidiate Residuo Totale 818 = 35 La devianza residua è stata calcolata per differenza: ( ) Questa procedura assume che le due fonti di variabilità agiscano in modo statisticamente indipendente! MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.41

42 EFFETTI Incremento di peso B A nidiata A B C dieta La dieta ha lo stesso effetto nelle cavie delle due nidiate MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.42

43 Dieta A Dieta B Dieta C Nidiata A Nidiata B Medie osservate: y jk MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.43

44 EFFETTI NON Incremento di peso B A nidiata A B C dieta La dieta agisce in modo diverso nelle cavie delle due nidiate Interazione tra dieta e nidiata ANALISI FATTORIALE DELLA VARIANZA MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.44

45 Dieta A Dieta B Dieta C Nidiata A Nidiata B Medie osservate: y jk Medie attese sotto l assunto di indipendenza (assenza di interazione): y jk = (y i. + y.k ) - y y 11 = (y 1. + y.1 ) - y = ( ) = 56.8 MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.45

46 y jk osservate y jk attese Dieta A Dieta B Dieta C Nidiata A Nidiata B Devianza dovuta all interazione = Σ Σ n jk (y jk - y jk ) 2 j k = 6. ( ) ( ) 2 = Una terza fonte di variabilità è dovuta all interazione tra dieta e nidiata MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.46

47 Analisi della varianza a una via Analisi della varianza a due vie Analisi fattoriale della varianza Fonti di variabilità devianza devianza devianza Tra diete Tra nidiate Interazione Residuo 594 = = 233 = Totale 818 = = = MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.47

48 Fonti di variabilità devianza gradi di libertà varianza Tra diete Tra nidiate 40.1 Interazione Residuo Totale 818 = 35 Gradi di libertà del termine di interazione: (3-1). (2-1) MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.48

49 Effetto della dieta Fonti di variabilità devianza gradi di libertà varianza Tra diete Tra nidiate Interazione Residuo Totale 818 = 35 F 2, 32 = Varianza tra diete Varianza residua = = 14.4 che confrontato con F 2,30,0.05 = 3.32 Offre significative evidenze che la dieta condiziona l incremento del peso delle cavie (p < 0.05) MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.49

50 Effetto della nidiata Fonti di variabilità devianza gradi di libertà varianza Tra diete Tra nidiate Interazione Residuo Totale 818 = 35 F 1, 32 = Varianza tra nidiate Varianza residua = = 5.2 che confrontato con F 1,30,0.05 = 4.17 Offre significative evidenze che la nidiata condiziona l incremento del peso delle cavie (p < 0.05) MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.50

51 Fonti di variabilità Effetto dell interazione dieta e nidiata devianza gradi di libertà varianza Tra diete Tra nidiate Interazione Residuo Totale 818 = 35 F 2, 32 = Varianza dell interazione Varianza residua = = 20.7 che confrontato con F 2,30,0.05 = 3.32 Offre significative evidenze che la dieta condiziona in modo diverso l incremento del peso delle cavie di differenti nidiate (p < 0.05) MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 3 O PIU CAMPIONI- 4.51

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