5.4 Solo titoli rischiosi

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "5.4 Solo titoli rischiosi"

Transcript

1 56 Capitolo 5. Teoria matematica del portafoglio finanziario II: analisi media-varianza 5.4 Solo titoli rischiosi Suppongo che sul mercato siano presenti n titoli rischiosi i cui rendimenti aleatori sono contenuti nel vettore colonna R, hanno media R IR n e matrice di covarianza simmetrica e definita positiva) V IR n n. Un portafoglio è individuato da un vettore colonna IR n i cui elementi rappresentano le quote dei corrispondenti titoli presenti nel portafoglio i < 0 significa che il titolo i è venduto allo scoperto). Perciò è un portafoglio relativo, quindi sarà 1 1. Chiamo P l insieme di tutti i possibili portafogli relativi, cioè P { IR n : 1 1}. Il rendimento R R del portafoglio ha media R e varianza V. Assumo che gli individui siano avversi al rischio e che esprimano le loro preferenze sulla base della media e della varianza dei rendimenti contesto media-varianza). Per ogni dato rendimento atteso m IR, è essenziale individuare il portafoglio in grado di garantire quel rendimento atteso con rischio minimo: fra tutti i portafgogli dal rendimento atteso m, occorre scegliere quello con varianza minima. Questo equivale a risolvere il seguente problema di ottimo vincolato 1 min 2 V R m 5.4.1) 1 1 Le soluzioni di questo problema costituiscono la cosiddetta frontiera delle possibilità F P, cioè la frontiera dell insieme P nello spazio σ 2,m ) oppure σ,m). Per risolvere il problema 5.4.1) costruisco la corrispondente lagrangiana L,λ,µ) 1 2 V λ 1 R m ) λ ), le cui condizioni di primo ordine le condizioni di secondo ordine sono verificate essendo la funzione obbiettivo una forma quadratica definita positiva) L V λ 1 R λ L λ 1 R m 0 L λ , possono essere riscritte in modo compatto V λ 1 R λ2 1 0 R m ) Le condizioni 5.4.2) possono essere riscritte in forma matriciale: V R 1 0 R 0 0 λ 1 m, λ 2

2 5.4. Solo titoli rischiosi 57 dove la matrice V R 1 R IRn+2) n+2) è invertibile in quanto, per ipotesi, il vettore R non contiene né rendimenti certi, né rendimenti perfettamente positivamente o negativamente) correlati questi fatti derivano dall ipotesi che V è definita positiva). In questo caso la soluzione unica) è λ 1 λ m 1. per semplicità si può porre 1 1 ) 1 1 ) 2 1 ) 3, 1 ) 1 IR n+2) n, 1 ) 2 IR n+2, 1 ) 3 IR n+2, ottenendo λ 1 λ 2 m 1) ) 3. Se chiamo h e k le prime n componenti rispettivamente dei vettori 1) 3 e 1 ) 2, allora si può esprimere il portafoglio nella forma h + mk ) La 5.4.3) mostra che i pesi relativi del portafoglio che minimizza il rischio dato il rendimento atteso m sono funzioni lineari del rendimento atteso La frontiera delle possibilità I vettori h e k possono essere considerati due portafogli. La frontiera delle possibilità F P è l insieme dei portafogli che verificano le 5.4.2), cioè quelli dati dalla 5.4.3). Il portafoglio h appartiene a F P, esso è il portafoglio dal rendimento atteso nullo: h h+0k. La somma dei pesi del portafoglio k è nulla, infatti 1 h + k) 1 h + 1 k k 1 1 k 0 un portafoglio con somma di pesi nulla viene a volte detto portafoglio di arbitraggio). Ovviamente k / F P, addirittura k / P. Il portafoglio k definisce quanto va aggiunto ad h per ottenere un rendimento atteso unitario. Chiaramente h e k sono portafogli fittizi utili per fare i conti. Se rappresento l insieme dei portafogli ammissibili nel piano varianza-media, oppure nel piano scarto quadratico medio-media, tutti i portafogli che soddisfano la 5.4.3) stanno sulla frontiera di P vedi figura 5.4.1). La formula 5.4.3) ha delle importanti implicazioni, infatti se e y stanno sulla frontiera delle possibilità, allora saranno pari a h + m k, y h + m y k, dove m e m y sono i rispettivi rendimenti attesi. Valgono quindi i seguenti risultati:

3 58 Capitolo 5. Teoria matematica del portafoglio finanziario II: analisi media-varianza 1. Convessità di F P. Se,y F P, allore ogni portafoglio z λ + 1 λ) y, 0 λ 1 appartiene alla frontiera delle possibilità. Infatti z λ + 1 λ)y λh + m k) + 1 λ) h + m y k) h + k λm + 1 λ)m y. La frontiera delle possibilità è un insieme convesso. 2. Teorema dei due fondi. Ogni portafoglio w appartenente alla frontiera delle possibilità può essere espresso come combinazione lineare di altri due portafogli e y anch essi sulla frontiera delle possibilità. Infatti, dati due qualsiasi portafogli,y F P, w h + m w k, λ IR : m w λm + 1 λ) m y, per cui w λ + 1 λ)y con λ IR). Questo è il cosiddetto teorema dei due fondi o di separazione in due fondi: Dati due distinti portafogli sulla frontiera delle possibilità,y F P ), l intera frontiera è rappresentabile come combinazione lineare di questi due portafogli. 3. Covarianza lineare rispetto ai rendimenti attesi. La covarianza fra un qualsiasi titolo o portafoglio possibile ed un portafoglio sulla frontiera delle possibilità è lineare nel vettore R dei rendimenti attesi. Infatti, sia p P e F P : cov p,) p V p V h + m p V k p V h + R p V k ). 4. Covarianza fra i rendimenti di due portafogli sulla frontiera delle possibilità. Siano,z F P, data la 5.4.3) cov R, R ) z V z h + m k) V h + m z k) cov R, R ) z h V h + m + m z ) k V h + m m z k V k ) 5. Varianza di un portafoglio di F P. Ora posso calcolare la varianza, basta porre m m z nella ): σ 2 V h + km) V h + km) h V h + 2k V hm + k V k m 2, ) σ 2 var Rk m 2 + 2cov Rh, R ) ) k m + var Rh, 5.4.5) che definisce una parabola nello spazio σ 2,m ) ed un iperbole nello spazio σ,m), entrambe con asse di simmetria orizzontale vedi figura 5.4.1). 6. Portafoglio a varianza minima. Il vertice della parabola definita dalla 5.4.5) rappresenta il portafoglio v a varianza rischio) minima. Dalla 5.4.5) si possono ricavare il rendimento atteso m v di v m v k V h k V k cov h,k) var k),

4 5.4. Solo titoli rischiosi 59 e la varianza minima σ 2 v è ) σv 2 h k V h ) k V k k V h k V h k V k k h V h 2 k V h Rh, R ) 2 k σ 2 v h V h k V h) 2 k V k var Rh ) cov ). var Rk k V k h V k + k ) V h 2 k k V k V k La composizione del portafoglio a varianza minima è perciò v h k V h cov Rh, R ) k k V k k h ) k; var Rk inoltre, è possibile dimostrare che v V 1 1 C V V ) Si veda il paragrafo per la dimostrazione. 7. Frontiera efficiente. I portafogli della frontiera delle possibilità con rendimento atteso non inferiore a m v costituiscono la frontiera efficiente F dell insieme dei portafogli che si possono costituire con le n attività rischiose date. L efficienza di questi portafogli è da intendere in senso paretiano Figura 5.1: Sinistra: frontiera delle possibilità nello spazio σ 2,m ). Destra: frontiera delle possibilità nello spazio σ,m). È evidenziata la frontiera efficiente.

5 5.5. Titoli rischiosi e titolo privo di rischio Titoli rischiosi e titolo privo di rischio Se fra i titoli ne è presente uno certo, la matrice V avrà una riga ed una colonna nulle in corrispondenza a tale titolo la varianza del rendimento certo così come le covarianza con tutti gli altri titoli sono nulle). In questo caso V non sarebbe invertibile. È quindi opportuno tenere il titolo certo separato dagli altri. Considero la situazione di partenza del paragrafo 5.4 con l aggiunta del titolo 0 senza rischio, dal rendimento certo pari a R 0. Un portafoglio è ora individuato dal vettore colonna 0 IR n+1 in cui 0 rappresenta la quota investita nel titolo senza rischio. Siccome gli elementi del vettore 0 sono pesi relativi, deve essere perciò è possibile esprimere Il rendimento del portafoglio è quindi 0 R R R R 0 + R R 0 1 ), 5.5.1) con media e varianza E R 0 + R R 0 1 ) R 0 + R R 0 1 ), var R 0 + R R 0 1 ) ) ) var R V. Nel problema min 2 V 0 R 0 + R m è quindi possibile esplicitare facilmente uno dei vincoli, così che il problema di ricerca della frontiera delle possibilità ha il solo vincolo sul rendimento atteso: 1 min 2 V R 0 + R R 0 1 ) 5.5.2) m. La lagrangiana del problema 5.5.2) è L,λ) 1 2 V λ R 0 + R R 0 1 ) m, le cui condizioni di primo ordine le condizioni di secondo ordine sono verificate essendo la funzione obbiettivo una forma quadratica definita positiva) L V λ R R0 1 ) 0 L λ R 0 + R R 0 1 ) m 0

6 70 Capitolo 5. Teoria matematica del portafoglio finanziario II: analisi media-varianza possono essere riscritte in modo compatto V λ R R0 1 ) R 0 + R R 0 1 ) m 5.5.3) o in notazione matriciale V R R0 1 ) R R0 1 ) 0 λ 0 m R 0. Pongo K V R R0 1 ) R R0 1 ) 0 IR n+1) n+1) ; se non tutti i titoli hanno rendimento atteso pari a R 0 la matrice K è invertibile grazie al fatto che V è definita positiva. Quindi i valori ottimali di e λ soddisfano λ K 1 0 m R 0 Basta allora porre w pari ai primi n elementi dell ultima colonna di K 1 per ottenere. w m R 0 ), 5.5.4) cioè la composizione dei portafogli sulla frontiera delle possibilità è w m R 0 ) w m R 0 ) ) La frontiera delle possibilità Come nel caso di soli titoli rischiosi, elenco ora alcuni risultati che derivano dalla 5.5.5). 1. Convessità della frontiera delle possibilità. La convessità dei portafogli che soddisfano la 5.5.5) si dimostra facilmente. Infatti, λ 0, 1, dati due portafogli w m R 0 ) w m R 0 ), e y0 y 1 1 w m y R 0 ) w m y R 0 ), il portafoglio z 0 z λ λ) y 0 y 1 1 w λm + 1 λ)m y R 0 ) w λm + 1 λ) m y R 0 ) ha è esattamente la forma 5.5.5) con m z λm + 1 λ) m y.

7 5.5. Titoli rischiosi e titolo privo di rischio Portafoglio di mercato. La 5.5.4) mostra chiaramente che in ogni portafoglio di frontiera i titoli rischiosi sono presenti nelle proporzioni date dagli elementi di w. Inoltre, il portafoglio 1 di soli titoli rischiosi è un portafoglio efficiente. Esso è composto nelle stesse proporzioni di w: 1 w m R 0) 1 w m R 0 ) w 1 w, cioè 1 w m R 0 ) 1. Siccome w 1 è un portafoglio efficiente di soli titoli rischiosi w e, per la 5.5.5), ogni portafoglio efficiente è composto da una quota di w e da una w di titolo certo, è conveniente chiamare 1 portafoglio di mercato indicandolo con w. 3. Teorema dei due fondi. Dalla 5.5.5) deriva che ogni portafoglio di frontiera, cioè soluzione del problema 5.5.2), è composto da una quota 0 di titolo senza rischio e dalla quota 1 0 ) di portafoglio di mercato. Infatti, w m R 0 ) 1 w m R 0 ) w 1 w w m R 0 ) ) w 1 w 1 0). È così dimostrato il teorema dei due fondi per mercati con titolo certo: ogni portafoglio di frontiera quindi anche i portafogli efficienti) è composto da titolo senza rischio e da un portafoglio di frontiera di soli titoli rischiosi, uguale per tutti gli investitori. Infatti, il portafoglio è detenuto da chiunque desideri investire in titoli rischiosi, cioè tutti gli investitori beninteso salvo quelli che detengono solo il titolo non rischioso) detengono titoli rischiosi solo nelle proporzioni del portafoglio : ecco perché prende il nome di portafoglio di mercato. Pongo per semplicità R R. I portafogli di frontiera sono perciò composti per una quota 0 dal titolo non rischioso e per la rimanente 1 0 ) dal portafoglio di mercato : R 0 R ) R ) Per ottenere un rendimento atteso m con la minima varianza occorre quindi scegliere 0 in modo tale che 0 R ) R m, cioè 0 m R R 0 R ) Naturalmente, se 1 0 ) > 1, cioè se 0 < 0, il titolo senza rischio è venduto allo scoperto per investire una quota maggiore di 1 nel portafoglio di mercato. 4. Varianza di un portafoglio di frontiera. Data la semplicità della 5.5.7), è

8 72 Capitolo 5. Teoria matematica del portafoglio finanziario II: analisi media-varianza immediato calcolare la varianza di un portafoglio sulla frontiera delle possibilità: var 0 R ) R ) 1 0 ) 2 var R 1 0 ) 2 V 1 m R ) 2 ) R 0 R σ 2 R0 m 2 R 0 R σ 2, ) σ 2 R0 m 2 R 0 R σ; ) il corrispondente scarto quadratico medio è σ R 0 m R 0 R σ ) 5. Capital market line. Nello spazio σ 2,m ) la curva definita dalla 5.5.8) è una parabola con vertice lungo l asse delle ordinate ed asse di simmetria orizzontale; nello spazio σ,m) invece la linea 5.5.9) è l unione ) di due semirette ) con origine comune nel R R 0 R R 0 punto 0,R 0 ) e pendenze e. Solo la semiretta crescente σ costituisce la frontiera efficiente dei portafogli possibili si veda la figura 5.5.1): la Capital arket Line CL). L equazione che lega rendimento atteso e scarto quadratico medio è quindi σ m R 0 + R R 0 σ σ, che può avere la seguente interpretazione: il rendimento atteso di un portafoglio efficiente è pari al rendimento privo di rischio maggiorato di una quantità proporzionale allo scarto quadratico ) medio il rischio) del rendimento. Il fattore di proporzionalità R R 0 è. σ 6. Portafoglio di tangenza. Il portafoglio appartiene alla CL ed alla frontiera delle possibilità dei portafogli di soli titoli rischiosi. Nel piano σ,m), il portafoglio deve quindi corrispondere al punto di tangenza fra la CL e l iperbole F P. È facile convincersene: se la frontiera F P non stesse tutta a destra debolmente) della CL, esisterebbero dei portafogli di titoli rischiosi più efficienti di quelli della CL, contraddicendo la definizione di CL; se non ci fossero punti di contatto fra F P e CL, ciò contraddirebbe l esistenza del portafoglio. Quindi è il portafoglio di tangenza fra F P e CL, come mostrato nella figura Portafogli efficienti. Come osservato al punto 5, i portafogli efficienti stanno sulla semiretta crescente uscente dal punto 0,R 0 ). Il loro rendimento atteso è distinguo diversi casi: a) R > R 0 : m 0 R ) R.

9 5.5. Titoli rischiosi e titolo privo di rischio 73 i. m < R 0 0 > 1 il portafoglio di mercato è venduto allo scoperto, ma il portafoglio è inefficiente; ii. m R solo titolo certo, il portafoglio è efficiente; iii. R 0 < m R 0 < 0 1 il portafoglio è composto senza vendite allo scoperto nel titolo certo e nel portafoglio di mercato, il portafoglio è efficiente; iv. m > R 0 < 0 il titolo certo è venduto allo scoperto, il portafoglio è efficiente; b) R < R 0 : i. m < R 0 < 0 il titolo certo è venduto allo scoperto, ma il portafoglio è inefficiente; ii. R < m R 0 0 < 0 1 il portafoglio è composto senza vendite allo scoperto nel titolo certo e nel portafoglio di mercato, ma il portafoglio è inefficiente; iii. m R solo titolo certo, il portafoglio è efficiente; iv. m > R 0 0 < 0 il portafoglio di mercato è venduto allo scoperto, il portafoglio è efficiente; Di queste situazioni sono economicamente interessanti quelle al punto 7a, ma per poterlo giustificare serve appunto introdurre ipotesi di equilibrio sul mercato dei capitali come nel paragrafo 6. Infatti, supponendo di trovarci nei casi del punto 7b, i portafogli efficienti sono solo quelli che contengono una quantità nulla punto 7b)iii) o negativa punto 7b)iv) di portafoglio di mercato. Non ci sarebbe nessuno disposto a detenere in quantità positiva, a fronte di una offerta di venduto allo scoperto. In questo caso il mercato dei titoli rischiosi non troverebbe un equilibrio. La figura rappresenta il caso più frequente ed economicamente significativo m 0.05 CL R σ Figura 5.3: Titoli rischiosi e titolo senza rischio.

10 78 Capitolo 5. Teoria matematica del portafoglio finanziario II: analisi media-varianza 5.6 Diversificazione È intuitivo pensare che non mettere tutte le uova nello stesso paniere riduce il rischio di rimanere senza uova. La teoria del portafoglio appena presentata permette di affermare con precisione) lo stesso principio: un portafoglio ben) diversificato è in grado di ridurre il rischio a parità di rendimento atteso Due titoli rischiosi Già nel caso di un portafoglio composto da due titoli rischiosi è possibile far emergere le circostanze in cui la diversificazione può ridurre il rischio. Considero un portafoglio composto da due titoli rischiosi i cui rendimenti sono caratterizzati da: ρ 1,2 ρ rendimento medio varinza del rendimento titolo 1 m 1 σ 2 1 titolo 2 m 2 σ 2 2 con m 1 m 2 e σ 1 σ 2 non nulle. Questi due titoli sono presenti nel portafoglio nelle proporzioni di titolo 1 e 1 ) di titolo 2, in questo modo ho eliminato il vincolo La media e la varianza del rendimento del portafoglio sono m m )m 2, 5.6.1) σ 2 2 σ )2 σ )σ ) Con due soli titoli è semplice esprimere la varianza in termini del peso σ 2 2 σ ) σ ) σ 1 σ 2 ρ 2 σ σ 2 2 2σ σ σ 1 σ 2 ρ 2σ 1 σ 2 ρ 2 σ σ2 2 2σ ) 2 2 σ 2 2 σ ) + σ 2 2, che è una espressione di secondo grado. La varianza minima si ha per v 2 σ2 2 σ ) 2 σ1 2 + σ2 2 2σ ) σ2 2 σ σ1 2 + σ2 2 2σ ed ha valore σv 2 σ1 2 + σ2 2 2σ ) σ2 2 σ ) 2 σ1 2 + σ2 2 2σ 2 σ2 2 σ ) σ2 2 σ ) σ1 2 + σ2 2 2σ + σ2 2 σ 2 2 σ 1 σ 2 ρ ) 2 σ 2 σ1 2 + σ2 2 2σ 2 2 σ 1 σ 2 ρ ) 2 σ 2 σ1 2 + σ2 2 2σ + σ2 2 2 σ 1 σ 2 ρ ) 2 σ1 2 + σ2 2 2σ + σ2 2 σ2 2 σ ) 2 + σ 2 2 σ σ2 2 2σ ) σ1 2 + σ2 2 2σ σ2 2 σ σ σ1 2ρ2 + σ1 2 + σ2 2 2σ σ1 2 + σ2 2 2σ σ1σ ρ 2 σ1 2 + σ2 2 2σ

11 5.6. Diversificazione 79 σ2 2 v σ σ1 2 + σ2 2 2σ σv 2 1 ρ 2 σ2 1 σ2 2 σ1 2 + σ2 2 2σ Se v 0,1) significa che una combinazione lineare convessa dei due rendimenti ha varianza inferiore rispetto a quella di entrambi i rendimenti presi singolarmente, ma ha valore atteso superiore ad uno dei due rendimenti. Questo significa che è possibile miscelare i due titoli, senza vendite allo scoperto, in modo da avere benefici dalla diversificazione. Per vedere quando v 0,1), comincio a notare che σ 2 1 +σ2 2 2σ > 0. Infatti, questa quantità può essere scritta come σ σ 2 2 2σ 1 σ 2 ρ σ 1 σ 2 ) ρ)σ 1 σ 2, in cui il primo addendo è positivo, mentre il secondo è non negativo. Quindi, v > 0, se σ 2 2 σ > 0, ρ < σ 2 v < 1, se σ 1 σ 2 2 σ σ 2 1 +σ2 2 2σ < 1 σ 2 2 σ < σ σ2 2 2σ σ 1 σ 2 ρ σ 2 1 < 0, ρ < σ 1 σ 2 Siccome ρ 1, 1 per definizione una delle due condizioni è sicuramente verificata, ma è v 0,1) quando sono verificate entrambe ρ < min σ 1,σ 2 ) ma σ 1,σ 2 ) ) Quindi nel caso in cui vale la 5.6.3), essendo R v una combinazione lineare convessa di R 1 e R 2, allora m v > minm 1,m 2 ): m v σ2 2 σ σ1 2 + σ2 2 2σ m σ σ ) σ1 2 + σ2 2 2σ m 2 m 1,m 2 ), cioè uno dei due rendimenti è dominato in media-varianza da R v e, grazie alla continuità in di 5.6.1) e 5.6.2), da infiniti portafogli. Per rendersi conto dell importanza della correlazione nel determinare il rischio dei portafogli, calcolo, sempre con due soli titoli, la frontiera delle possibilità che con due titoli coincide con l insieme delle possibilità). Dalla 5.6.1) ottengo m m 2 m 1 m 2,

12 80 Capitolo 5. Teoria matematica del portafoglio finanziario II: analisi media-varianza rendimento medio scarto quadratico medio del rendimento titolo 1 m 1 10 σ 1 20 titolo 2 m 2 8 σ 2 5 Tabella 5.1: edie e scarti quadratici medi dei rendimenti di due titoli rischiosi che usato nella 5.6.2) produce m σ 2 m2 m 1 m 2 ) 2 σ m m 2 m 1 m 2 ) 2 ) m σ m2 1 m m ) 2 σ 1 σ 2 ρ m 1 m 2 m 1 m 2 m m 2) 2 σ m 1 m) 2 σ m m 2)m 1 m)σ 1 σ 2 ρ m 1 m 2 ) 2 σ2 1 + σ2 2 2σ m 1 m 2 ) 2 m 2 2 σ2 1 m 2 + σ 2 2 m 1 σ 1 σ 2 ρm 1 + m 2 ) m 1 m 2 ) 2 m + σ2 1 m2 2 + σ2 2 m2 1 2σ m 2 m 1 m 1 m 2 ) 2 che è una parabola in m nel piano σ 2,m ), mentre è un iperbole nel piano σ,m); in entrambi i casi l asse di simmetria delle curve è orizzontale. La figura mostra le combinazioni di media e scarto quadratico medio ottenibili con i due titoli della tabella 5.1 al variare del coefficiente di correlazione m ρ 0.5 ρ 0 m 9 ρ 1 ρ ρ m σ Figura 5.4: Portafogli composti da due titoli rischiosi È da notare che se considero due titoli in cui uno è dominato in media-varianza dall altro, può essere comunque razionale detenere in portafoglio una quota del titolo dominato. Infatti, se la correlazione fra i due rendimenti è abbastanza debole, il titolo dominato può generare l effetto diversificazione. Cioè esistono portafogli efficienti che contengono una quota positiva del titolo dominato. Si consideri per esempio i titoli della tabella 5.2 il titolo 2 è dominato in media-varianza dal titolo 1, ma i loro rendimenti hanno correlazione nulla. La quota del titolo 1 nel portafoglio a varianza minima è v σ 2 2 σ σ σ2 2 2σ

13 5.6. Diversificazione 81 ρ 0 rendimento medio scarto quadratico medio del rendimento titolo 1 m 1 10 σ titolo 2 m 2 8 σ 2 5 Tabella 5.2: edie e scarti quadratici medi dei rendimenti di due titoli rischiosi Tutti i portafogli con v,1) sono efficienti in termini di media varianza, eppure contengono una quota 1 ) > 0 di un titolo che preso singolarmente è dominato da un altro titolo Portafoglio equiripartito Presento ora una discussione più generale dell effetto delle covarianze sul rischio di un portafoglio. Considero un portafoglio equiripartito fra n titoli, cioè che contiene una quota pari a 1 n di ognuno degli n titoli. Il vettore dei pesi è quindi p 1 n1 e la sua varianza 1 n 1 V 1 può essere riscritta come 2 var p ) i1 1 n 2V ii + i1 j1 j i 1 n 2V ij 1 n i1 V ii n + n 1 n i1 j1 j i V ij n n 1). Osservo che n i1 V ii n è la media aritmetica delle varianze dei titoli, mentre n i1 nj1 è la media aritmetica delle covarianze fra i vari titoli, pongo allora j i V ij nn 1) σ 2 n i1 V ii n, c n i1 j1 j i V ij n n 1), per cui var p ) 1 n σ2 n + n 1 n c n ) Suppongo ora che il numero di titoli aumenti. È sensato immaginare che σ2 n e c n possano sì variare in conseguenza ai nuovi titoli considerati, ma essi rimarranno quantità finite. Si assume quindi lim n + σ2 n σ2 0,+ ), lim c n c 0,+ ). n + Facendo allora aumentare indefinitamente il numero dei titoli n + si ottiene 1 var p ) lim n + n σ2 n + n 1 ) n c n c, si è cioè eliminato il rischio rappresentato dal primo addendo della 5.6.4). La morale è che la diversificazione riduce il rischio, ma esiste una parte del rischio che non è eliminabile attraverso la diversificazione Esistono quindi due tipi di rischio:

14 82 Capitolo 5. Teoria matematica del portafoglio finanziario II: analisi media-varianza una, legata alle varianze dei rendimenti dei titoli, che può essere ridotta fino ad essere eliminata attraverso la diversificazione, cioè l aumento dei titoli presenti nel portafoglio; un altra parte, legata alla covarianza media dei titoli presenti sul mercato, che non può essere eliminata tramite diversificazione. Il rischio del primo tipo viene detto rischio eliminabile, specifico o idiosincratico. Esso è legato alle caratteristiche specifiche di ogni titolo. Il rischio di secondo tipo è detto ineliminabile, di mercato o sistematico. Esso è tanto più elevato quanto più i rendimenti dei titoli del mercato considerato hanno l abitudine di muoversi covariare) insieme.

2 + (σ2 - ρσ 1 ) 2 > 0 [da -1 ρ 1] b = (σ 2. 2 - ρσ1 σ 2 ) = (σ 1

2 + (σ2 - ρσ 1 ) 2 > 0 [da -1 ρ 1] b = (σ 2. 2 - ρσ1 σ 2 ) = (σ 1 1 PORTAFOGLIO Portafoglio Markowitz (2 titoli) (rischiosi) due titoli rendimento/varianza ( μ 1, σ 1 ), ( μ 2, σ 2 ) Si suppone μ 1 > μ 2, σ 1 > σ 2 portafoglio con pesi w 1, w 2 w 1 = w, w 2 = 1- w 1

Dettagli

Separazione in due fondi Security Market Line CAPM

Separazione in due fondi Security Market Line CAPM Separazione in due fondi Security Market Line CAPM Eduardo Rossi Economia dei mercati monetari e finanziari A.A. 2002/2003 1 Separazione in due fondi Un vettore di rendimenti er può essere separato in

Dettagli

LEZIONE 4. Il Capital Asset Pricing Model. Professor Tullio Fumagalli Corso di Finanza Aziendale Università degli Studi di Bergamo.

LEZIONE 4. Il Capital Asset Pricing Model. Professor Tullio Fumagalli Corso di Finanza Aziendale Università degli Studi di Bergamo. LEZIONE 4 Il Capital Asset Pricing Model 1 Generalità 1 Generalità (1) Il Capital Asset Pricing Model è un modello di equilibrio dei mercati che consente di individuare una precisa relazione tra rendimento

Dettagli

Le curve di indifferenza sulla frontiera di Markowitz

Le curve di indifferenza sulla frontiera di Markowitz UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PARMA FACOLTA DI ECONOMIA Corso di pianificazione finanziaria da Markowitz al teorema della separazione e al CAPM Le curve di indifferenza sulla frontiera di Markowitz Markowitz

Dettagli

Rischio e rendimento degli strumenti finanziari

Rischio e rendimento degli strumenti finanziari Finanza Aziendale Analisi e valutazioni per le decisioni aziendali Rischio e rendimento degli strumenti finanziari Capitolo 15 Indice degli argomenti 1. Analisi dei rendimenti delle principali attività

Dettagli

Il rischio di un portafoglio

Il rischio di un portafoglio Come si combinano in un portafoglio i rischi di 2 titoli? dipende dai pesi e dal valore delle covarianze covarianza a a ρ a b ρ a b ρ b b ρ coefficiente di correlazione = cov / ² p = a² ² + b² ² + 2 a

Dettagli

Esempi di funzione. Scheda Tre

Esempi di funzione. Scheda Tre Scheda Tre Funzioni Consideriamo una legge f che associa ad un elemento di un insieme X al più un elemento di un insieme Y; diciamo che f è una funzione, X è l insieme di partenza e X l insieme di arrivo.

Dettagli

Indice. Le curve di indifferenza sulla frontiera di Markowitz UNIVERSITA DI PARMA FACOLTA DI ECONOMIA

Indice. Le curve di indifferenza sulla frontiera di Markowitz UNIVERSITA DI PARMA FACOLTA DI ECONOMIA UNIVERSITA DI PARMA FACOLTA DI ECONOMIA Corso di pianificazione finanziaria A.a. 2003/2004 1 Indice La Capital Market Theory di Markowitz Il Teorema della separazione di Tobin e la Capital Market Line

Dettagli

Il criterio media-varianza e il modello CAPM

Il criterio media-varianza e il modello CAPM Il criterio media-varianza e il modello CAPM 1 Il criterio media-varianza Se α 1 è la quota della ricchezza destinata all acquisto del titolo 1 e α 2 èlaquota impiegata nell acquisto del titolo 2, il valore

Dettagli

RISCHIO E RENDIMENTO DEGLI STRUMENTI FINANZIARI. Docente: Prof. Massimo Mariani

RISCHIO E RENDIMENTO DEGLI STRUMENTI FINANZIARI. Docente: Prof. Massimo Mariani RISCHIO E RENDIMENTO DEGLI STRUMENTI FINANZIARI Docente: Prof. Massimo Mariani 1 SOMMARIO Il rendimento di un attività finanziaria: i parametri rilevanti Rendimento totale, periodale e medio Il market

Dettagli

La Programmazione Lineare

La Programmazione Lineare 4 La Programmazione Lineare 4.1 INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DI UN PROBLEMA DI PROGRAMMAZIONE LINEARE Esercizio 4.1.1 Fornire una rappresentazione geometrica e risolvere graficamente i seguenti problemi

Dettagli

Finanza Aziendale. Lezione 12. Analisi del rischio

Finanza Aziendale. Lezione 12. Analisi del rischio Finanza Aziendale Lezione 12 Analisi del rischio Obiettivi i della lezione I rendimenti e la loro misurazione I rendimenti medi ed il loro rischio La misurazione del rischio e l effetto diversificazione

Dettagli

LA VALUTAZIONE DI PORTAFOGLIO. Giuseppe G. Santorsola 1

LA VALUTAZIONE DI PORTAFOGLIO. Giuseppe G. Santorsola 1 LA VALUTAZIONE DI PORTAFOGLIO Giuseppe G. Santorsola 1 Rendimento e rischio Rendimento e rischio di un singolo titolo Rendimento e rischio di un portafoglio Rendimento ex post Media aritmetica dei rendimenti

Dettagli

FINANZA AZIENDALE AVANZATO

FINANZA AZIENDALE AVANZATO FINANZA AZIENDALE AVANZATO La diversificazione di portafoglio e il CAPM Lezione 3 e 4 1 Scopo della lezione Illustrare il modello logico-teorico più utilizzato nella pratica per stimare il rendimento equo

Dettagli

Capitolo 23: Scelta in condizioni di incertezza

Capitolo 23: Scelta in condizioni di incertezza Capitolo 23: Scelta in condizioni di incertezza 23.1: Introduzione In questo capitolo studiamo la scelta ottima del consumatore in condizioni di incertezza, vale a dire in situazioni tali che il consumatore

Dettagli

Microeconomia A-K, Prof Giorgio Rampa a.a. 2011-2012. Svolgimento della prova scritta di Microeconomia AK del 19 settembre 2012

Microeconomia A-K, Prof Giorgio Rampa a.a. 2011-2012. Svolgimento della prova scritta di Microeconomia AK del 19 settembre 2012 Svolgimento della prova scritta di Microeconomia AK del 19 settembre 2012 A DEFINIZIONI - Si definiscano sinteticamente i termini anche con l ausilio, qualora necessario, di formule e grafici. 1. Beni

Dettagli

23 Giugno 2003 Teoria Matematica del Portafoglio Finanziario e Modelli Matematici per i Mercati Finanziari ESERCIZIO 1

23 Giugno 2003 Teoria Matematica del Portafoglio Finanziario e Modelli Matematici per i Mercati Finanziari ESERCIZIO 1 23 Giugno 2003 Teoria Matematica del Portafoglio Finanziario e Modelli Matematici per i Mercati Finanziari In uno schema uniperiodale e in un contesto di analisi media-varianza, si consideri un mercato

Dettagli

x 1 + x 2 3x 4 = 0 x1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 + x 2 3x 4 = 0.

x 1 + x 2 3x 4 = 0 x1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 + x 2 3x 4 = 0. Problema. Sia W il sottospazio dello spazio vettoriale R 4 dato da tutte le soluzioni dell equazione x + x 2 + x = 0. (a. Sia U R 4 il sottospazio dato da tutte le soluzioni dell equazione Si determini

Dettagli

Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili

Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili I risultati principali della teoria dell ottimizzazione, il Teorema di Fermat in due variabili e il Test dell hessiana, si applicano esclusivamente

Dettagli

Il Capital asset pricing model è un modello di equilibrio dei mercati, individua una relazione tra rischio e rendimento, si fonda sulle seguenti

Il Capital asset pricing model è un modello di equilibrio dei mercati, individua una relazione tra rischio e rendimento, si fonda sulle seguenti Il Capital asset pricing model è un modello di equilibrio dei mercati, individua una relazione tra rischio e rendimento, si fonda sulle seguenti ipotesi: Gli investitori sono avversi al rischio; Gli investitori

Dettagli

Dimensione di uno Spazio vettoriale

Dimensione di uno Spazio vettoriale Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione

Dettagli

09 - Funzioni reali di due variabili reali

09 - Funzioni reali di due variabili reali Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 09 - Funzioni reali di due variabili reali Anno Accademico 2013/2014

Dettagli

Note di matematica per microeconomia

Note di matematica per microeconomia Note di matematica per microeconomia Luigi Balletta Funzioni di una variabile (richiami) Una funzione di variabile reale ha come insieme di partenza un sottoinsieme di R e come insieme di arrivo un sottoinsieme

Dettagli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici

Dettagli

La scelta di portafoglio

La scelta di portafoglio La scelta di portafoglio 1 La scelta di portafoglio La scelta di portafoglio: il modo in cui un individuo decide di allocare la propria ricchezza tra più titoli Il mercato dei titoli è un istituzione che

Dettagli

Fondamenti di Automatica

Fondamenti di Automatica Fondamenti di Automatica Funzioni di trasferimento: stabilità, errore a regime e luogo delle radici Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 0532 974839 E-mail:

Dettagli

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Francesco Bottacin Padova, 24 febbraio 2012 Capitolo 1 Algebra Lineare 1.1 Spazi e sottospazi vettoriali Esercizio 1.1. Sia U il sottospazio di R 4 generato dai

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

Nella prima parte del corso l attenzione è venuta appuntandosi sui problemi inerenti la valutazione di investimenti aziendali e di strumenti

Nella prima parte del corso l attenzione è venuta appuntandosi sui problemi inerenti la valutazione di investimenti aziendali e di strumenti Nella prima parte del corso l attenzione è venuta appuntandosi sui problemi inerenti la valutazione di investimenti aziendali e di strumenti finanziari in un contesto di flussi finanziari certi, tuttavia

Dettagli

Scheda n.5: variabili aleatorie e valori medi

Scheda n.5: variabili aleatorie e valori medi Scheda n.5: variabili aleatorie e valori medi October 26, 2008 1 Variabili aleatorie Per la definizione rigorosa di variabile aleatoria rimandiamo ai testi di probabilità; essa è non del tutto immediata

Dettagli

Capitolo 20: Scelta Intertemporale

Capitolo 20: Scelta Intertemporale Capitolo 20: Scelta Intertemporale 20.1: Introduzione Gli elementi di teoria economica trattati finora possono essere applicati a vari contesti. Tra questi, due rivestono particolare importanza: la scelta

Dettagli

VARIABILI ALEATORIE MULTIPLE E TEOREMI ASSOCIATI. Dopo aver trattato delle distribuzioni di probabilità di una variabile aleatoria, che

VARIABILI ALEATORIE MULTIPLE E TEOREMI ASSOCIATI. Dopo aver trattato delle distribuzioni di probabilità di una variabile aleatoria, che VARIABILI ALATORI MULTIPL TORMI ASSOCIATI Fonti: Cicchitelli Dall Aglio Mood-Grabill. Moduli 6 9 0 del programma. VARIABILI ALATORI DOPPI Dopo aver trattato delle distribuzioni di probabilità di una variabile

Dettagli

Le preferenze e la scelta

Le preferenze e la scelta Capitolo 3: Teoria del consumo Le preferenze e la scelta 1 Argomenti trattati in questo capitolo Usiamo le preferenze dei consumatori per costruire la funzione di domanda individuale e di mercato Studiamo

Dettagli

Scelte in condizioni di rischio e incertezza

Scelte in condizioni di rischio e incertezza CAPITOLO 5 Scelte in condizioni di rischio e incertezza Esercizio 5.1. Tizio ha risparmiato nel corso dell anno 500 euro; può investirli in obbligazioni che rendono, in modo certo, il 10% oppure in azioni

Dettagli

Ricerca Operativa 2. Introduzione al metodo del Simplesso

Ricerca Operativa 2. Introduzione al metodo del Simplesso Ricerca Operativa 2. Introduzione al metodo del Simplesso Luigi De Giovanni Giacomo Zambelli 1 Problemi di programmazione lineare Un problema di ottimizzazione vincolata è definito dalla massimizzazione

Dettagli

Il criterio media-varianza eilmodello CAPM. Enrico Saltari

Il criterio media-varianza eilmodello CAPM. Enrico Saltari Il criterio media-varianza eilmodello CAPM Enrico Saltari 1 Il criterio media-varianza Seα 1 èlaquotadellaricchezzadestinataall acquistodeltitolo1eα 2 èla quota impiegata nell acquisto del titolo 2, il

Dettagli

La scelta in condizioni di incertezza

La scelta in condizioni di incertezza La scelta in condizioni di incertezza 1 Stati di natura e utilità attesa. L approccio delle preferenza per gli stati Il problema posto dall incertezza riformulato (state-preference approach). L individuo

Dettagli

Modelli di Ottimizzazione

Modelli di Ottimizzazione Capitolo 2 Modelli di Ottimizzazione 2.1 Introduzione In questo capitolo ci occuperemo più nel dettaglio di quei particolari modelli matematici noti come Modelli di Ottimizzazione che rivestono un ruolo

Dettagli

Esercitazione di Martedì 28 Ottobre (Rischio-Rendimento) Esercizio n 1, Calcolo dei pesi all interno di un portafoglio costituito da 2 titoli

Esercitazione di Martedì 28 Ottobre (Rischio-Rendimento) Esercizio n 1, Calcolo dei pesi all interno di un portafoglio costituito da 2 titoli Esercitazione di Martedì 28 Ottobre (Rischio-Rendimento) Esercizio n 1, Calcolo dei pesi all interno di un portafoglio costituito da 2 titoli Un portafoglio è costituito dal titolo A e dal titolo B. Il

Dettagli

Corso di Macroeconomia. Il modello IS-LM. Appunti

Corso di Macroeconomia. Il modello IS-LM. Appunti Corso di Macroeconomia Il modello IS-LM Appunti 1 Le ipotesi 1. Il livello dei prezzi è fisso. 2. L analisi è limitata al breve periodo. La funzione degli investimenti A differenza del modello reddito-spesa,

Dettagli

La Minimizzazione dei costi

La Minimizzazione dei costi La Minimizzazione dei costi Il nostro obiettivo è lo studio del comportamento di un impresa che massimizza il profitto sia in mercati concorrenziali che non concorrenziali. Ora vedremo la fase della minimizzazione

Dettagli

Il modello media-varianza con N titoli rischiosi. Una derivazione formale. Enrico Saltari

Il modello media-varianza con N titoli rischiosi. Una derivazione formale. Enrico Saltari Il modello media-varianza con N titoli rischiosi. Una derivazione formale Enrico Saltari La frontiera efficiente con N titoli rischiosi Nel caso esistano N titoli rischiosi, con N 2, il problema della

Dettagli

Luigi Piroddi piroddi@elet.polimi.it

Luigi Piroddi piroddi@elet.polimi.it Automazione industriale dispense del corso 10. Reti di Petri: analisi strutturale Luigi Piroddi piroddi@elet.polimi.it Analisi strutturale Un alternativa all analisi esaustiva basata sul grafo di raggiungibilità,

Dettagli

Capitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore

Capitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore Capitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore 13.1: Introduzione L analisi dei due capitoli precedenti ha fornito tutti i concetti necessari per affrontare l argomento di questo capitolo:

Dettagli

9 Metodi diretti per la risoluzione di sistemi lineari: fattorizzazione P A = LU

9 Metodi diretti per la risoluzione di sistemi lineari: fattorizzazione P A = LU 9 Metodi diretti per la risoluzione di sistemi lineari: fattorizzazione P A LU 9.1 Il metodo di Gauss Come si è visto nella sezione 3.3, per la risoluzione di un sistema lineare si può considerare al posto

Dettagli

Ottimizzazione Multi Obiettivo

Ottimizzazione Multi Obiettivo Ottimizzazione Multi Obiettivo 1 Ottimizzazione Multi Obiettivo I problemi affrontati fino ad ora erano caratterizzati da una unica (e ben definita) funzione obiettivo. I problemi di ottimizzazione reali

Dettagli

Capitolo 22: Lo scambio nel mercato dei capitali

Capitolo 22: Lo scambio nel mercato dei capitali Capitolo 22: Lo scambio nel mercato dei capitali 22.1: Introduzione In questo capitolo analizziamo lo scambio nel mercato dei capitali, dove si incontrano la domanda di prestito e l offerta di credito.

Dettagli

Un modello matematico di investimento ottimale

Un modello matematico di investimento ottimale Un modello matematico di investimento ottimale Tiziano Vargiolu 1 1 Università degli Studi di Padova Liceo Scientifico Benedetti Venezia, giovedì 30 marzo 2011 Outline 1 Investimento per un singolo agente

Dettagli

TEST FINANZA OTTOBRE 2013

TEST FINANZA OTTOBRE 2013 TEST FINANZA OTTOBRE 03. Si consideri la funzione f ( ) ln( e ). Determinare l espressione corretta della derivata seconda f ( ). e f( ) ( e ) A B f( ) e f( ) ln ( e ) C D f( ). Dati i tre vettori (, 3,

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI 1) Determinare il dominio delle seguenti funzioni di variabile reale: (a) f(x) = x 4 (c) f(x) = 4 x x + (b) f(x) = log( x + x) (d) f(x) = 1 4 x 5 x + 6 ) Data la funzione

Dettagli

Capitolo IV. I mercati finanziari

Capitolo IV. I mercati finanziari Capitolo IV. I mercati finanziari 2 I MERCATI FINANZIARI OBIETTIVO: SPIEGARE COME SI DETERMINANO I TASSI DI INTERESSE E COME LA BANCA CENTRALE PUO INFLUENZARLI LA DOMANDA DI MONETA DETERMINAZIONE DEL TASSO

Dettagli

I punteggi zeta e la distribuzione normale

I punteggi zeta e la distribuzione normale QUINTA UNITA I punteggi zeta e la distribuzione normale I punteggi ottenuti attraverso una misurazione risultano di difficile interpretazione se presi in stessi. Affinché acquistino significato è necessario

Dettagli

Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni

Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni Capitolo 9 9.1 Crescenza e decrescenza in piccolo; massimi e minimi relativi Sia y = f(x) una funzione definita nell intervallo A; su di essa non facciamo, per ora, alcuna particolare ipotesi (né di continuità,

Dettagli

ECONOMIA INTERNAZIONALE Biennio CLEM - Prof. B. Quintieri

ECONOMIA INTERNAZIONALE Biennio CLEM - Prof. B. Quintieri ECONOMIA INTERNAZIONALE Biennio CLEM - Prof. B. Quintieri IL TASSO DI CAMBIO Anno Accademico 2013-2014, I Semestre (Tratto da: Feenstra-Taylor: International Economics) Si propone, di seguito, una breve

Dettagli

2.1 Definizione di applicazione lineare. Siano V e W due spazi vettoriali su R. Un applicazione

2.1 Definizione di applicazione lineare. Siano V e W due spazi vettoriali su R. Un applicazione Capitolo 2 MATRICI Fra tutte le applicazioni su uno spazio vettoriale interessa esaminare quelle che mantengono la struttura di spazio vettoriale e che, per questo, vengono dette lineari La loro importanza

Dettagli

La scelta razionale del consumatore (Frank - Capitolo 3)

La scelta razionale del consumatore (Frank - Capitolo 3) La scelta razionale del consumatore (Frank - Capitolo 3) L'INSIEME OPPORTUNITÁ E IL VINCOLO DI BILANCIO Un paniere di beni rappresenta una combinazione di beni o servizi Il vincolo di bilancio o retta

Dettagli

IL RISCHIO D IMPRESA ED IL RISCHIO FINANZIARIO. LA RELAZIONE RISCHIO-RENDIMENTO ED IL COSTO DEL CAPITALE.

IL RISCHIO D IMPRESA ED IL RISCHIO FINANZIARIO. LA RELAZIONE RISCHIO-RENDIMENTO ED IL COSTO DEL CAPITALE. IL RISCHIO D IMPRESA ED IL RISCHIO FINANZIARIO. LA RELAZIONE RISCHIO-RENDIMENTO ED IL COSTO DEL CAPITALE. Lezione 5 Castellanza, 17 Ottobre 2007 2 Summary Il costo del capitale La relazione rischio/rendimento

Dettagli

190 LA DUALITÀ NELLA PROGRAMMAZIONE LINEARE 7.2 INTERPRETAZIONE DELLA DUALITÀ

190 LA DUALITÀ NELLA PROGRAMMAZIONE LINEARE 7.2 INTERPRETAZIONE DELLA DUALITÀ 190 LA DUALITÀ NELLA PROGRAMMAZIONE LINEARE 7.2 INTERPRETAZIONE DELLA DUALITÀ [Questo paragrafo non fa parte del programma di esame] Nei modelli reali le variabili (primali) possono rappresentare, ad esempio,

Dettagli

Modello di simulazione per un portafoglio diversificato

Modello di simulazione per un portafoglio diversificato Modello di simulazione per un portafoglio diversificato Giulio alomba Università olitecnica delle Marche Dipartimento di Economia giulio@dea.unian.it Maggio 2004 Indice 1 Introduzione 2 2 Il modello analitico

Dettagli

Ricerca Operativa Dualità e programmazione lineare

Ricerca Operativa Dualità e programmazione lineare Ricerca Operativa Dualità e programmazione lineare L. De Giovanni AVVERTENZA: le note presentate di seguito non hanno alcuna pretesa di completezza, né hanno lo scopo di sostituirsi alle spiegazioni del

Dettagli

LEZIONE 23. Esempio 23.1.3. Si consideri la matrice (si veda l Esempio 22.2.5) A = 1 2 2 3 3 0

LEZIONE 23. Esempio 23.1.3. Si consideri la matrice (si veda l Esempio 22.2.5) A = 1 2 2 3 3 0 LEZIONE 23 231 Diagonalizzazione di matrici Abbiamo visto nella precedente lezione che, in generale, non è immediato che, data una matrice A k n,n con k = R, C, esista sempre una base costituita da suoi

Dettagli

2 Formulazione dello shortest path come problema di flusso

2 Formulazione dello shortest path come problema di flusso Strumenti della Teoria dei Giochi per l Informatica A.A. 2009/10 Lecture 20: 28 Maggio 2010 Cycle Monotonicity Docente: Vincenzo Auletta Note redatte da: Annibale Panichella Abstract In questa lezione

Dettagli

Esercizi su lineare indipendenza e generatori

Esercizi su lineare indipendenza e generatori Esercizi su lineare indipendenza e generatori Per tutto il seguito, se non specificato esplicitamente K indicherà un campo e V uno spazio vettoriale su K Cose da ricordare Definizione Dei vettori v,,v

Dettagli

Capitolo 26: Il mercato del lavoro

Capitolo 26: Il mercato del lavoro Capitolo 26: Il mercato del lavoro 26.1: Introduzione In questo capitolo applichiamo l analisi della domanda e dell offerta ad un mercato che riveste particolare importanza: il mercato del lavoro. Utilizziamo

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI

APPLICAZIONI LINEARI APPLICAZIONI LINEARI 1. Esercizi Esercizio 1. Date le seguenti applicazioni lineari (1) f : R 2 R 3 definita da f(x, y) = (x 2y, x + y, x + y); (2) g : R 3 R 2 definita da g(x, y, z) = (x + y, x y); (3)

Dettagli

0. Piano cartesiano 1

0. Piano cartesiano 1 0. Piano cartesiano Per piano cartesiano si intende un piano dotato di due assi (che per ragioni pratiche possiamo scegliere ortogonali). Il punto in comune ai due assi è detto origine, e funziona da origine

Dettagli

SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 TEMA DI MATEMATICA ESAME DI STATO 2015

SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 TEMA DI MATEMATICA ESAME DI STATO 2015 SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 TEMA DI MATEMATICA ESAME DI STATO 015 1. Indicando con i minuti di conversazione effettuati nel mese considerato, la spesa totale mensile in euro è espressa dalla funzione f()

Dettagli

Il valore assoluto. F. Battelli Università Politecnica delle Marche, Ancona. Pesaro, Precorso di Analisi 1, 22-28 Settembre 2005 p.

Il valore assoluto. F. Battelli Università Politecnica delle Marche, Ancona. Pesaro, Precorso di Analisi 1, 22-28 Settembre 2005 p. Il valore assoluto F Battelli Università Politecnica delle Marche Ancona Pesaro Precorso di Analisi 1 22-28 Settembre 2005 p1/23 Il valore assoluto Si definisce il valore assoluto di un numero reale l

Dettagli

No (questo accadrebbe, all incirca, se l elasticità fosse pari a -2) 1.5.3. FALSO. Un aumento del prezzo dell 1%

No (questo accadrebbe, all incirca, se l elasticità fosse pari a -2) 1.5.3. FALSO. Un aumento del prezzo dell 1% Facoltà di Economia Test intermedio di Microeconomia A-K del 7/04/011 Turno A-C SOLUZIONI 1. Attenzione: in questo prototipo l ordine delle domande è diverso da quello di ciascuno dei vostri compiti; inoltre,

Dettagli

1 Massimi e minimi liberi 1. 2 Massimi e minimi vincolati 7. 3 Soluzioni degli esercizi 12

1 Massimi e minimi liberi 1. 2 Massimi e minimi vincolati 7. 3 Soluzioni degli esercizi 12 UNIVR Facoltà di Economia Sede di Vicenza Corso di Matematica 1 Massimi e minimi delle funzioni di più variabili Indice 1 Massimi e minimi liberi 1 Massimi e minimi vincolati 7 3 Soluzioni degli esercizi

Dettagli

1. Sia dato un poliedro. Dire quali delle seguenti affermazioni sono corrette.

1. Sia dato un poliedro. Dire quali delle seguenti affermazioni sono corrette. . Sia dato un poliedro. (a) Un vettore x R n è un vertice di P se soddisfa alla seguenti condizioni: x P e comunque presi due punti distinti x, x 2 P tali che x x e x x 2 si ha x = ( β)x + βx 2 con β [0,

Dettagli

DUE PROPOSTE ANALISI MATEMATICA. Lorenzo Orio

DUE PROPOSTE ANALISI MATEMATICA. Lorenzo Orio DUE PROPOSTE DI ANALISI MATEMATICA Lorenzo Orio Introduzione Il lavoro propone argomenti di analisi matematica trattati in maniera tale da privilegiare l intuizione e con accorgimenti nuovi. Il tratta

Dettagli

Lezione 5. Argomenti. Premessa Vincolo di bilancio La scelta ottima del consumatore

Lezione 5. Argomenti. Premessa Vincolo di bilancio La scelta ottima del consumatore Lezione 5 Argomenti Premessa Vincolo di bilancio La scelta ottima del consumatore 5.1 PREESSA Nonostante le preferenze portino a desiderare quantità crescenti di beni, nella realtà gli individui non sono

Dettagli

Lezione 5. Livello e composizione della ricchezza delle famiglie

Lezione 5. Livello e composizione della ricchezza delle famiglie Lezione 5. Livello e composizione della ricchezza delle famiglie Scelte finanziarie delle famiglie: a determinano i flussi di risparmio che alimentano lo stock di ricchezza; selezionano le attività patrimoniali

Dettagli

Appunti di Statistica Descrittiva

Appunti di Statistica Descrittiva Appunti di Statistica Descrittiva 30 dicembre 009 1 La tabella a doppia entrata Per studiare dei fenomeni con caratteristiche statistiche si utilizza l espediente della tabella a doppia entrata Per esempio

Dettagli

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre

Dettagli

I costi. Costi economici vs. costi contabili

I costi. Costi economici vs. costi contabili I costi Costi economici vs. costi contabili I costi economici connessi alla produzione di una certa quantità di output Y includono tutte le spese per i fattori produttivi. In altre parole, i costi economici

Dettagli

Modello matematico PROGRAMMAZIONE LINEARE PROGRAMMAZIONE LINEARE

Modello matematico PROGRAMMAZIONE LINEARE PROGRAMMAZIONE LINEARE PRGRMMZIN LINR Problemi di P.L. in due variabili metodo grafico efinizione: la programmazione lineare serve per determinare l allocazione ottimale di risorse disponibili in quantità limitata, per ottimizzare

Dettagli

ALGORITMO DEL SIMPLESSO

ALGORITMO DEL SIMPLESSO ALGORITMO DEL SIMPLESSO ESERCITAZIONI DI RICERCA OPERATIVA 1 ESERCIZIO 1. Risolvere il seguente programma lineare (a) con il metodo del simplesso e (b) con il metodo grafico. (1) min x 1 x () (3) (4) (5)

Dettagli

Coordinate Cartesiane nel Piano

Coordinate Cartesiane nel Piano Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi (spesso

Dettagli

LE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE

LE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE LE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE Sia f:a B una funzione tra due insiemi. Se y appartiene all immagine di f si chiama fibra di f sopra y l insieme f -1 y) ossia l insieme di tutte le controimmagini

Dettagli

= E(X t+k X t+k t ) 2 + 2E [( X t+k X t+k t + E

= E(X t+k X t+k t ) 2 + 2E [( X t+k X t+k t + E 1. Previsione per modelli ARM A Questo capitolo è dedicato alla teoria della previsione lineare per processi stocastici puramente non deterministici, cioè per processi che ammettono una rappresentazione

Dettagli

Dimensionamento dei lotti di produzione: il caso con variabilità nota

Dimensionamento dei lotti di produzione: il caso con variabilità nota Dimensionamento dei lotti di produzione: il caso con variabilità nota A. Agnetis In questi appunti studieremo alcuni modelli per il problema del lot sizing, vale a dire il problema di programmare la dimensione

Dettagli

Capitolo 2 TEORIA DEL PORTAFOGLIO

Capitolo 2 TEORIA DEL PORTAFOGLIO Capitolo 2 TEORIA DEL PORTAFOGLIO La teoria del portafoglio si propone di studiare il modo ottimale di distribuire la ricchezza fra più titoli disponibili tenendo conto del rischio e del rendimento dei

Dettagli

Indicando con x i minuti di conversazione effettuati in un mese, con la spesa totale nel mese e con il costo medio al minuto:

Indicando con x i minuti di conversazione effettuati in un mese, con la spesa totale nel mese e con il costo medio al minuto: PROBLEMA 1. Il piano tariffario proposto da un operatore telefonico prevede, per le telefonate all estero, un canone fisso di 10 euro al mese, più 10 centesimi per ogni minuto di conversazione. Indicando

Dettagli

rendimento PROGRAMMA 0. Introduzione 1. Valore. 2. Valutazione del rischio: Introduzione a rischio e rendimento; Teoria del portafoglio e CAPM;

rendimento PROGRAMMA 0. Introduzione 1. Valore. 2. Valutazione del rischio: Introduzione a rischio e rendimento; Teoria del portafoglio e CAPM; PROGRAMMA 0. Introduzione 1. Valore.. Valutazione del rischio: Introduzione a rischio e rendimento; Teoria del portafoglio e CAPM; Rischio e capital budgeting Introduzione a rischio e rendimento 3. Decisioni

Dettagli

MICROECONOMIA La teoria del consumo: Alcuni Arricchimenti. Enrico Saltari Università di Roma La Sapienza

MICROECONOMIA La teoria del consumo: Alcuni Arricchimenti. Enrico Saltari Università di Roma La Sapienza MICROECONOMIA La teoria del consumo: Alcuni Arricchimenti Enrico Saltari Università di Roma La Sapienza 1 Dotazioni iniziali Il consumatore dispone ora non di un dato reddito monetario ma di un ammontare

Dettagli

Lezione 3 Esercitazioni

Lezione 3 Esercitazioni Lezione 3 Esercitazioni Forlì, 26 Marzo 2013 Teoria della produzione Esercizio 1 Impiegando un fattore produttivo (input) sono stati ottenuti i livelli di produzione (output) riportati in tabella. Fattore

Dettagli

CAPITOLO 3 FONDAMENTI DI ANALISI DELLA STABILITA' DI SISTEMI NON LINEARI

CAPITOLO 3 FONDAMENTI DI ANALISI DELLA STABILITA' DI SISTEMI NON LINEARI 31 CAPITOLO 3 FONDAMENTI DI ANALISI DELLA STABILITA' DI SISTEMI NON LINEARI INTRODUZIONE L'obbiettivo di questo capitolo è quello di presentare in modo sintetico ma completo, la teoria della stabilità

Dettagli

Matematica e Statistica

Matematica e Statistica Matematica e Statistica Prova d esame (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 0/3 Matematica e Statistica Prova di MATEMATICA (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie

Dettagli

Non esiste un investimento perfetto in assoluto, esiste invece un investimento ottimale per ognuno di noi.

Non esiste un investimento perfetto in assoluto, esiste invece un investimento ottimale per ognuno di noi. ANALISI DEGLI INVESTIMENTI Non esiste un investimento perfetto in assoluto, esiste invece un investimento ottimale per ognuno di noi. Come un comodo abito ogni investimento deve essere fatto su misura.

Dettagli

Funzioni. Capitolo 6. 6.1 Concetto di funzione e definizioni preliminari

Funzioni. Capitolo 6. 6.1 Concetto di funzione e definizioni preliminari Capitolo 6 Funzioni 6. Concetto di funzione e definizioni preliminari Definizione 6. Dati due insiemi non vuoti D e C, si dice applicazione o funzione una qualsiasi legge (relazione) che associa ad ogni

Dettagli

DOMINIO E LIMITI. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi: 1) f(x,y) = y2 x 2 + y 2.

DOMINIO E LIMITI. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi: 1) f(x,y) = y2 x 2 + y 2. FUNZIONI DI DUE VARIABILI 1 DOMINIO E LIMITI Domini e disequazioni in due variabili. Insiemi di livello. Elementi di topologia (insiemi aperti, chiusi, limitati, convessi, connessi per archi; punti di

Dettagli

- Trovare soluzione ottima primale ( con il simplesso o algoritmo analogo)

- Trovare soluzione ottima primale ( con il simplesso o algoritmo analogo) Se si ha un problema lineare e' possibile risolverlo in piu' modi (equivalenti ) - Trovare soluzione ottima primale ( con il simplesso o algoritmo analogo) - Trovare soluzione ottima duale (con il simplesso

Dettagli

Codici Numerici. Modifica dell'informazione. Rappresentazione dei numeri.

Codici Numerici. Modifica dell'informazione. Rappresentazione dei numeri. Codici Numerici. Modifica dell'informazione. Rappresentazione dei numeri. A partire da questa lezione, ci occuperemo di come si riescono a codificare con sequenze binarie, quindi con sequenze di 0 e 1,

Dettagli

REGOLAZIONE (E TASSAZIONE OTTIMALE) DI UN MONOPOLIO CON PIÙ LINEE DI PRODUZIONE

REGOLAZIONE (E TASSAZIONE OTTIMALE) DI UN MONOPOLIO CON PIÙ LINEE DI PRODUZIONE REGOLAZIONE (E TASSAZIONE OTTIMALE) DI UN MONOPOLIO CON PIÙ LINEE DI PRODUZIONE Nella Sezione 16.5 abbiamo visto come un regolatore che voglia fissare il prezzo del monopolista in modo da minimizzare la

Dettagli

Logistica - Il problema del trasporto

Logistica - Il problema del trasporto Logistica - Il problema del trasporto Federico Di Palma December 17, 2009 Il problema del trasporto sorge ogniqualvolta si debba movimentare della merce da una o più sorgenti verso una o più destinazioni

Dettagli

Operazioni finanziarie. Asset allocation: come ottimizzare un portafoglio di attività finanziarie. di Amedeo De Luca (*)

Operazioni finanziarie. Asset allocation: come ottimizzare un portafoglio di attività finanziarie. di Amedeo De Luca (*) Operazioni Tecniche Asset allocation: come ottimizzare un portafoglio di attività di Amedeo De Luca (*) Attraverso una composizione del portafoglio di attività strategica e ben condotta i gestori finanziari

Dettagli

a) Il campo di esistenza di f(x) è dato da 2x 0, ovvero x 0. Il grafico di f(x) è quello di una iperbole -1 1

a) Il campo di esistenza di f(x) è dato da 2x 0, ovvero x 0. Il grafico di f(x) è quello di una iperbole -1 1 LE FUNZIONI EALI DI VAIABILE EALE Soluzioni di quesiti e problemi estratti dal Corso Base Blu di Matematica volume 5 Q[] Sono date le due funzioni: ) = e g() = - se - se = - Determina il campo di esistenza

Dettagli

Università degli Studi di Milano / Bicocca Facoltà di Economia. Prova scritta del 12 luglio 2011 SOLUZIONI

Università degli Studi di Milano / Bicocca Facoltà di Economia. Prova scritta del 12 luglio 2011 SOLUZIONI Università degli Studi di Milano / Bicocca Facoltà di Economia MATEMATICA FINANZIARIA EcoCom A-Le / Li-Z Prova scritta del luglio SOLUZIONI Per gli studenti immatricolati entro il 7/8 (45cfu): L operazione

Dettagli