Elementi di dinamica rotazionale

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1 In questa dispensa studieremo: Elementi di dinamica rotazionale Il momento torcente. Il momento di inerzia. Il secondo principio della dinamica rotazionale. L energia cinetica totale. Il momento angolare. La conservazione del momento angolare. In generale seguire il moto di un corpo è molto difficoltoso perché durante il movimento il corpo si deforma. Per questa ragione si considerano corpi nei quali la deformazione è trascurabile e tali corpi si chiamano Corpi Rigidi. In un corpo rigido le distanze relative tra le varie particelle che lo compongono sono costanti al trascorrere del tempo. Il moto di un corpo rigido può essere Traslatorio, Rotatorio oppure Roto-Traslatorio: Nel moto Traslatorio le particelle del corpo percorrono traiettorie sempre parallele e quindi con lo stesso vettore velocità. Nel moto Rotatorio un punto resta fermo (centro di rotazione) e tutte le altre particelle percorrono circonferenze intorno ad un asse di rotazione, con velocità angolare costante. Il moto è Roto-Traslatorio quando è una combinazione dei precedenti moti. Il Momento di una forza (Momento Torcente) Quando applichiamo una forza ad una particella l effetto che si ottiene è semplicemente la sua accelerazione. Se invece applichiamo la stessa forza ad un corpo rigido l effetto potrebbe essere un cambiamento della velocità di rotazione del corpo cioè una accelerazione centripeta.. Nel caso di un corpo rigido quando applichiamo una forza dobbiamo non solo tenere conto del carattere vettoriale della forza ma anche tenere conto dove si applica questa forza e in quale direzione. Se spingiamo una porta con una forza F perpendicolare osserviamo che essa si aprirà tanto più velocemente tanto più la forza è intensa. Se usiamo la stessa forza, però applicata vicino ai cardini, noteremo difficoltà ad aprirla. 1

2 La variazione di velocità angolare è proporzionale non solo al modulo della forza ma anche alla distanza tra la direzione della forza e l asse di rotazione. Chiamiamo braccio b della forza la distanza (sempre perpendicolare) tra la retta d azione della forza e l asse di rotazione. Bisogna quindi introdurre una nuova grandezza fisica il Momento di un forza. Il momento M è una grandezza fisica vettoriale definita da M = r F Il simbolo definisce un prodotto vettoriale che non è commutativo. Il modulo è M = rfsenθ La direzione è perpendicolare al piano individuato dai due vettori r ed F. Il verso individuato dalla regola della mano destra: il pollice coincide con il primo vettore r, l indice con il secondo vettore F e quindi il dito medio perpendicolare alle prime due dita rappresenta il verso del vettore M. Il momento torcente è massimo M = rf quando senθ = 1 cioè θ = 90 Il momento torcente è nullo M = rfsenθ = 0 F = 0 oppure se r = 0 senθ = 0 cioè se θ = 0 o θ = 180 Il momento torcente e l accelerazione centripeta: il II Principio della dinamica rotazionale L applicazione di una forza ad un corpo rigido produce una accelerazione centripeta a c solo se la forza produce un momento M. In generale l accelerazione centripeta a c è direttamente proporzionale al momento M; vediamo di stabilire qual è il fattore di proporzionalità. Dalla relazione tra v e ω = v r cioè v = ω r dividendo per il tempo t v t = ω t r si ottiene: a t = a c r da cui si ottiene a c = a t r Per il secondo principio della dinamica a c = F mr Considerando il modulo del momento torcente a c = Infine a c = M mr 2 M r mr 2

3 Da cui M = mr 2 a c Quindi il fattore di proporzionalità, che regola la produzione dell accelerazione centripeta a partire dall applicazione di una forza e del relativo momento torcente, è chiamato Momento d Inerzia I I = mr 2 Dove m è la massa del corpo rigido ed r la distanza del punto di applicazione della forza dal centro di rotazione. La sua unità di misura è kg m 2. Abbiamo perciò la seguente equazione dinamica per la dinamica rotazionale. M = Ia c che rappresenta il secondo principio della L effetto dell applicazione di un momento torcente ad un corpo rigido, cioè l accelerazione centripeta, è tanto maggiore tanto è massiccio il corpo rigido e tanto distante è il punto di applicazione della forza. È importante rendersi conto di una interessante analogia tra la dinamica traslazionale e quella rotazionale, riguardo alla forma del Secondo principio della dinamica: Nella dinamica traslazionale ad ogni forza corrisponde un accelerazione tangenziale F = ma t Nella dinamica rotazionale ad ogni momento torcente corrisponde un accelerazione centripeta M = Ia c Osserva e compara la forma delle due equazioni: il ruolo della forza è qui giocato dal momento torcente, e il ruolo della massa è giocato dal momento di Inerzia. Però nella dinamica rotazionale non solo è importante la quantità di massa ma anche come essa è disposta intorno al corpo (secondo il parametro r nell espressone del momento di inerzia). L energia cinetica rotazionale Passiamo ad esaminare alcune questioni circa l energia cinetica, cioè l energia associata al movimento. Durante la rotazione del corpo rigido ogni particella di massa m i posta a distanza r i dal centro di rotazione assume una energia cinetica rotazionale K i. Ricordando la relazione che lega la velocità tangenziale alla velocità angolare, possiamo scrivere: K i = 1 2 m iv i 2 = 1 2 m i(r i ω) 2 = 1 2 m ir i 2 ω 2 Esplicitando l equazione per ogni particella otteniamo: Raccogliendo a fattor comune. K = 1 2 m 1r 1 2 ω m 2r 2 2 ω 2 + 3

4 K = 1 2 (m 1r m 2 r )ω 2 Indichiamo il Momento di Inerzia Totale del corpo rigido I = (m 1 r m 2 r ) Quindi l energia cinetica rotazionale del corpo rigido in rotazione è K = 1 2 Iω2 C era da aspettarselo visto che in dinamica rotazionale il ruolo della massa m è giocato dal momento di inerzia I. In generale l energia cinetica totale di un corpo rigido in movimento si calcola sommando la sua energia cinetica traslazionale con l energia cinetica rotazionale: K = K t + K r In particolare se il corpo possiede una qualche simmetria possiamo agevolmente usare il suo centro di massa: K = 1 2 mv cm I cmω 2 Il momento angolare In dinamica rotazionale c è una grandezza fisica analoga alla quantità di moto, essa si chiama momento angolare. Continuiamo ad andare per analogia. Sappiamo che la quantità di moto q = mv è uguale al prodotto della massa del corpo per la sua velocità. In dinamica rotazionale chi gioca il ruolo della massa? Il momento di inerzia I = mr 2 Chi gioca il ruolo della velocità tangenziale? La velocità angolare ω = Δα Ebbene possiamo dire che il momento angolare L in modulo è uguale al prodotto del momento di inerzia per la velocità angolare. L unità di misura è kg m2 s L = Iω Vediamo che relazione c è tra il momento angolare e la quantità di moto Sostituendo le rispettive definizioni abbiamo: L = rmv Infatti L = Iω = mr 2 v r = rmv 4

5 Però il Momento angolare come la quantità di moto è una grandezza fisica vettoriale definita attraverso il prodotto vettoriale già visto a proposito del momento torcente Vettore momento angolare L = mr v Il modulo è dato da L = mrvsenθ La direzione è perpendicolare ai vettori r e v Il verso si determina con la regola della mano destra: ponendo il pollice con r l indice con v e quindi il dito medio ortogonale alle altre due dita darà il verso di L. Il momento angolare è massimo L = mrv quando senθ = 1 cioè quando θ = 90 Il momento angolare è nullo quando: r = 0 oppure se v = 0 oppure se senθ = 0 cioè θ = 0 o 180. Analogamente a quanto visto per il caso traslazionale, vediamo un altra formulazione del Secondo principio della dinamica. Consideriamo un corpo rigido soggetto ad un momento torcente che lo pone in rotazione con accelerazione centripeta ac. Abbiamo visto che vale il secondo principio della dinamica rotazionale M = Ia c andiamo in profondità nell analisi: M = I Δω = I ω 2 ω 1 M = Iω 2 Iω 1 = L 2 L 1 = ΔL Quindi M = ΔL il che significa che il momento torcente applicato ad un corpo rigido ne cambia il momento angolare. Questa formulazione del secondo principio della dinamica l abbiamo già incontrata parlando del teorema dell impulso F = Δq (una forza applicata ad un corpo ne cambia la quantità di moto). Infine possiamo fornire un principio di conservazione del momento angolare, proprio come esiste il principio di conservazione della quantità di moto. Se il momento torcente applicato ad un corpo rigido è nullo allora la variazione del momento angolare è nulla M = 0 allora ΔL = 0 cioè ΔL = 0 che significa L 2 L 1 = 0 e infine L 2 = L 1 Il momento angolare L di un corpo si conserva quando è nullo il momento torcente totale che agisce sul corpo. 5

6 M = 0 L 2 = L 1 Questo principio è molto importante perché ci dice come si può variare la velocità angolare di un corpo agendo sul momento di inerzia. Infatti da I 2 ω 2 = I 1 ω 1 si può scrivere ω 2 = I 1 I 2 ω 1 Quando I 1 I 2 > 1 cioè I 1 > I 2 avremo un aumento della velocità angolare. Quando I 1 I 2 < 1 cioè I 1 < I 2 avremo una diminuzione della velocità angolare. 6