23. Le coniche nel piano euclideo.

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1 3. Le coniche nel piano euclideo. 3. Definizione. Una matrice C ad elementi reali quadrata C si dice ortogonale se C T = C. 3. Osservazione. Una matrice C ad elementi reali quadrata C è ortogonale se e solo se C T C= I. Dimostrazione. Se C è ortogonale allora C T C = C C = I. Viceversa, se C T C= I allora detc 0 e, quindi, C è invertibile. Si ha che C T = C T I = C T (CC ) = (C T C)C = IC = C. 3.3 Osservazione. Se a e b sono due numeri reali tali che a + b =, allora!α ( π, π] : a = cosα, b = sinα 3.4 Teorema. Una matrice C ad elementi reali quadrata di ordine è ortogonale se e solo se!θ ( π, π] : C = cosθ sinθ sinθ cosθ aut C = cosθ sinθ sinθ cosθ Si osservi che nel primo caso è detc = mentre nel secondo caso è detc =. Si osservi, inoltre, che cambiando il segno della seconda colonna di una matrice del primo tipo si ottiene una matrice del secondo tipo e viceversa. Dimostrazione. ( ) Si verifica subito che se C è una matrice del tipo C = cosθ sinθ sinθ cosθ aut C = cosθ sinθ sinθ cosθ allora in entrambe i casi si ha C T = C. Quindi, C è ortogonale. ( ) Sia, ora, C := x y z w una generica matrice ad elementi reali quadrata di ordine ortogonale. x + y = Da C T C = C x y x z 0 C = I si ha che z w = y w ovvero il sistema: z + w = 0 zx + wy = 0 Dall equazione x + y = si ha che!θ ( π, π] : x = cosθ, y = sinθ. Dall equazione z + w = si ha che!ω ( π, π] : z = cosω, w = sinω. Dall ultima equazione zx + wy = 0 si ha che cosωcosθ + sinωsinθ = 0, da cui cos(ω θ) = 0. Per cui, ω θ = ± π/ ovvero ω = θ ± π/. cosθ sinθ cosθ sinθ Se ω = θ + π/ allora C =. Se ω = θ π/ allora C = sinθ cosθ. sinθ cosθ

2 3. Definizione. Una matrice A ad elementi reali quadrata si dice simmetrica se A T = A. 3.6 Teorema. Se A ai e una matrice quadrata ad elementi reali simmetrica di ordine, allora: ) la matrice A ha due autovalori λ e λ reali e distinti e, quindi, A è diagonalizzabile; ) se u = (u x, u y ) è un autovettore relativo all autovalore λ, allora un vettore v = (v x, v y ) 0 è un autovettore relativo all autovalore λ se e solo se u v = u x v x + u y v y = 0; 3) esiste una matrice ortogonale C tale che detc = e A = CΛC T. a b a 0 Dimostrazione. Sia A =. Siccome A ai = b c allora b 0 oppure a c. Il polinomio 0 a caratteristico di A è p (λ) = det(a λi) = (a λ)(c λ) b = λ (a + c)λ + (ac b ). Siccome il A suo discriminante = (a c) + 4b è strettamente positivo, la matrice A ha due autovalori λ e λ reali e distinti e, quindi, la matrice A è diagonalizzabile. Tenendo conto che (λ + λ ) = (a + c) e λ λ = (ac b ) si dimostra subito che: ( ) le soluzioni dell equazione bx + (λ a)y = 0 sono tutte e sole le coppie t(b, λ a) t R. Sia ora u = (u x, u y ) un autovettore relativo a λ. Quindi, (u x, u y ) è un autosoluzione del sistema (a λ) b x 0 omogeneo b (c λ) = y. Per cui esiste m 0 tale che u = (ux, u 0 y ) = m(b, λ a). Un vettore v = (v x, v y ) 0 è un autovettore relativo a λ (a λ) b x 0 v = (v x, v y ) è un autosoluzione del sistema omogeneo b (c λ) = y 0 v = (v x, v y ) è un autosoluzione dell equazione (a λ )x + by = 0 esiste n 0 tale che v = (v x, v y ) = n(b, λ a) tenendo conto di ( ) (v x, v y ) è un autosoluzione dell equazione bx + (λ a)y = 0 bv x + (λ a)v y = 0 mbv x + m(λ a)v y = 0 u x v x + u y v y = 0 u v = 0. Si ha che u = u x + u y = m [b + (λ a) ] e v = v x + v y = n [b + (λ a) ]. Scegliendo m = [b + (λ a) ] / e n = [b + (λ a) ] / si ha u = u x + u y = e v = v x + v y =. ORA, quindi, u = (u x, u y ) e v = (v x, v y ) sono due autoversori relativi a λ e λ rispettivamente. ux vx Sia D = la matrice che ha come colonne gli autoversori u = (u uy v x, u y ) e v = (v x, v y ). y Tenendo conto che u v = v u = 0 e u u = v v = si ha che D T D = I. Se detd = allora sia ux vx ux vx C :=. Se, invece, detd = sia C := uy v. In ogni caso, C è ortogonale con y u y vy detc = e la seconda colonna di C ( v) = ( v x, v y ) è ancora un autoversore relativo a λ. Posto Λ := λ 0 0 si ha, poiché A è diagonalizzabile, che A = CΛC = CΛC T. λ

3 3 Se A è una matrice quadrata ad elementi reali simmetrica di ordine, il Teorema 3.6 ci fornisce un metodo pratico e veloce per diagonalizzare A tramite una matrice ortogonale C con detc =. Passo ) Si trovano i due autovalori distinti λ e λ di A. Passo ) Si sceglie, a piacere, uno dei due autovalori di A, ad esempio λ. Passo 3) Si trova un autovettore w = (w x, w y ) relativo a λ. Passo 4) Si calcola la lunghezza h = [w x + w y ] / dell autovettore w = (w x, w y ). Passo ) Si considera il versore u = (u x, u y ) = h - (w x, w y ). Per il Teorema 3.6 si ha che i due autoversori relativi a λ sono (v x, v y ) = ±(u y, u x ). Inoltre, la matrice y y x x v u v u è una matrice ortogonale e, quindi, det y y x x v u v u = ±. Passo 6) Si sceglie l autoversore (v x, v y ) relativo a λ tale che det y y x x v u v u =. Passo 7) Si ha che A = y y x x v u v u 0 0 λ λ y x y x v v u u. 3.7 Esercizio. Si consideri la seguente matrice simmetrica A = 4 7. Trovare una matrice diagonale Λ ed una matrice ortogonale C con detc = che diagonalizzano A. Gli autovalori di A sono λ = 3 e λ = 8. Gli autovettori di λ = 3 sono w = α(, ) α 0. Poiché w = α, il vettore u = (, ) è un autoversore relativo a λ = 3. Per cui ± (, ) sono i due autoversori relativi a λ = 8. Scegliendo v = (, ), allora per la matrice ortogonale C = y y x x v u v u = è detc =. Ponendo Λ = λ λ 0 0 = si ha A = CΛC T. 4 7 = ( ) ( ) =

4 Esercizio. Si consideri la seguente matrice simmetrica A =. Trovare una matrice diagonale Λ ed una matrice ortogonale C con detc = che diagonalizzano A. Gli autovalori di A sono λ = e λ = 7. Gli autovettori di λ = sono w = α( 3, ) α 0. Poiché w = 4α, il vettore u = ( 3, ) è un autoversore relativo a λ =. Per cui ± (, 3 ) sono i due autoversori relativi a λ = 7. Scegliendo v = (, 3 ), allora la matrice ortogonale C = 3 3 ha detc =. Ponendo Λ = λ 0 0 λ 0 = 0 7 si ha che A = CΛC T = ( 3 0 ) ( ) = Esercizio. Si consideri la seguente matrice simmetrica A =. Trovare una matrice 6 diagonale Λ ed una matrice ortogonale C con detc = che diagonalizzano A. Gli autovalori di A sono λ = 0 e λ =. Gli autovettori di λ = 0 sono w = α(4, 3) α 0. Poiché w = α, il vettore u = (4, 3) è un autoversore relativo a λ = 0. Per cui ± (3, 4) sono i due autoversori relativi a λ =. Scegliendo v = ( 3, 4), allora la matrice ortogonale C = ha detc =. Ponendo Λ = λ 0 0 λ 0 0 = 0 si ha che A = CΛC T. 9 6 = ( ) 3 4 ( ) =

5 3.0. Lemma. Sia RC(O, i, j) un riferimento cartesiano ortonormale del piano. Sia (u, v) un'altra base dello spazio <i, j > e sia C la matrice del cambiamento di base dalla base (u, v) alla base (i, j). La base (u, v) è ortonormale se e solo se C è una matrice ortogonale. α γ Dimostrazione. Se u = αi + βj e v = γi + δj allora C =. β δ La base (u, v) è una base ortonormale se e solo se u =, v = e u v = 0, ovvero α + β =, γ + δ = e αγ + βδ = 0. Queste ultime relazioni sono equivalenti a C T C = I, cioè al fatto che C sia una matrice ortogonale. 3.. Teorema. Siano RC(O, i, j) e RC(O, i, j ) due riferimenti cartesiani ortonormali del piano aventi la stessa origine O. Sia C la matrice del cambiamento di base dalla base (i, j ) alla base (i, j). Il RC(O, i, j ) si può ottenere tramite un opportuna rotazione del RC(O, i, j), attorno al punto O, SE E SOLO SE la matrice C (ortogonale per il Lemma 3.0) ha detc =. α γ Dimostrazione. Se i = αi + βj e j = γi + δj allora C = e C - = C T α β = β δ. γ δ Se poniamo k := i j allora i j = i j k α β 0 = (detc T )k = (detc)k. γ δ 0 Il RC(O, i, j ) si può ottenere tramite una rotazione (attorno ad O) del RC(O, i, j) se e solo se i j = i j (poiché la rotazione non cambia il verso del prodotto vettoriale), cioè se e solo se cosθ sin θ k = (detc)k ovvero se e solo se detc =. Quindi, esiste un unico θ ( π, π] : C =. sin θ cosθ Da i i = cosθ = j j si ha che θ è proprio l ampiezza dell angolo convesso compreso tra i e i e tra j e j. Quindi, θ è proprio l ampiezza della rotazione che porta la base (i, j) sulla base (i, j ). Se sinθ > 0, allora θ (0, π]. Quindi, il verso della rotazione è quello antiorario. Se sinθ < 0, allora θ ( π, 0). Quindi, il verso della rotazione è quello orario. Tenendo conto del Teorema 3. è ben posta la seguente: cosθ sinθ 3.. Definizione. Una matrice del tipo sinθ cosθ rotazione. si dice matrice associata ad una

6 6 j' θ O () rotazione della base (i, j) in senso ANTIORARIO (a) angolo ACUTO tra i versori i e i' j anti orario θ i' i j' i' θ O j θ anti orario () rotazione della base (i, j) in senso ANTIORARIO (b) angolo OTTUSO tra i versori i e i' i j orario j orario O θ θ j' i O θ θ i i' () rotazione della base (i, j) in senso ORARIO (a) angolo ACUTO tra i versori i e i' i' j' () rotazione della base (i, j) in senso ORARIO (b) angolo OTTUSO tra i versori i e i' α γ 3.3. Corollario. Sia RC(O, i, j) un riferimento cartesiano ortonormale del piano. Se C = β δ è una matrice ortogonale con detc =, allora ponendo i := αi + βj e j := γi + δj si ha che: la terna (O, i, j ) è un riferimento cartesiano ortonormale del piano; il riferimento RC(O, i, j ) si ottiene ruotando attorno al punto O il riferimento RC(O, i, j); l ampiezza della rotazione è data da θ dove θ ( π, π] è l angolo tale che cosθ = α e sinθ = β; il verso della rotazione è antiorario/orario a seconda che β = sinθ sia positivo/negativo; C è proprio la matrice del cambiamento di base dalla base B = (i, j ) alla base B = (i, j) Osservazione. Sia P un punto generico del piano. Se (x, y) sono le coordinate di P rispetto a RC(O, i, j), allora [OP] B = xi + yj. Se (x, y ) sono le coordinate di P rispetto a RC(O, i, j ), allora [OP] B = x i + y j. Ponendo X = [x y] T e Y = [x y ] T le equazioni del cambiamento di base sono X = CY, ovvero x = x'cosθ + y'sin θ (equazioni della rotazione) y = x'sin θ + y'cosθ

7 7 Y Y' y y' P j δ O i j x X γ O' i x' X' 3.. Osservazione. Sia RC(O, i, j) un riferimento cartesiano ortonormale del piano. Sia O un punto del piano avente coordinate (δ, γ) rispetto al riferimento RC(O, i, j), cioè [OO ] = δi + γj Ovviamente, anche la terna (O, i, j) è un riferimento cartesiano ortonormale del piano. Il riferimento RC(O, i, j) si ottiene dal riferimento RC(O, i, j) tramite la traslazione che porta il punto O sul punto O. Sia ora P un (generico) punto del piano. Se il punto P ha coordinate (x, y) rispetto al RC(O, i, j), allora [OP] = xi + yj. Se il punto P ha coordinate (x, y ) rispetto al RC(O, i, j), allora [O P] = x i + y j. Per cui l identità vettoriale [OP] = [OO ] + [O P] è equivalente all identità vettoriale xi + yj = (δi + γj) + (x i + y j) che è equivalente all identità vettoriale xi + yj = (δ + x )i + (γ + y )j Quest ultima identità vettoriale, per l unicità della scrittura di un vettore rispetto alla base (i, j), è equivalente alle due identità seguenti x = δ + x' y = γ + y' che vengono dette, per la genericità del punto P, equazioni della traslazione.

8 Definizione. Sia RC(O, i, j) un riferimento cartesiano ortonormale del piano. Diremo curva l insieme F di tutti e soli i punti del piano (ovvero il luogo dei punti del piano) le cui coordinate soddisfano un equazione del tipo F(x, y) = 0. Diremo anche che F(x, y) = 0 è l equazione cartesiana della curva F e scriveremo, brevemente, F : F(x, y) = Definizione. Se F(x, y) è un polinomio in x e y (a coefficienti costanti) di grado n, allora si dice che la curva F : F(x, y) = 0 è una curva algebrica di ordine n Esempi. La curva F : x 3y 9 = 0 è una retta; la curva F : 4x + 9y = 0 è un ellisse; la curva F : x + y 4 = 0 è una circonferenza di centro l origine e raggio ; la curva F : x + y + 3 = 0 è una parabola; la curva F : x + y + = 0 non ha punti reali; la curva F : 3(x ) + (y + ) = 0 ha il punto (, ) come suo unico punto reale; la curva F : [(x )(x + )] + (y 3) = 0 ha i punti (, 3) e (, 3)) come suoi unici punti reali Osservazione. Sia RC(O, i, j) un riferimento cartesiano ortonormale del piano. Una curva F di equazione F(x, y) = 0 è simmetrica rispetto all asse X se per ogni (x, y) R si ha che: F(x, y) = 0 F(x, y) = 0; simmetrica rispetto all asse Y se per ogni (x, y) R si ha che: F(x, y) = 0 F( x, y) = 0; simmetrica rispetto ad O se se per ogni (x, y) R si ha che: F(x, y) = 0 F( x, y) = Definizione. Date due curve F : F(x, y) = 0 e G : G(x, y) = 0 del piano, diremo curva intersezione di F e G,e la indicheremo col simbolo F G, l insieme di tutti e soli i punti del piano che appartengono ad entrambe le curve; curva unione di F e G, e la indicheremo col simbolo F G, l insieme di tutti e soli i punti del piano che appartengono ad almeno una delle due curve. 3.. Osservazione. Date due curve F : F(x, y) = 0 e G : G(x, y) = 0 del piano, si ha che F(x, y) = F G : G(x, y) = F G : F(x, y)g(x, y) = Esempio. Date le curve (rette) F(x, y) = x 3y 9 = 0 e G(x, y) = x + y = 0 si ha che F G = {(3, )} F G : (x 3y 9)(x + y ) = 4x 4xy 3y 8x + 6y + 4 = 0

9 Definizione. Diremo conica ogni curva algebrica di ordine. Quindi, una conica è il luogo dei punti del piano le cui coordinate soddisfano un equazione del tipo ax + bxy + cy + dx + ey + f = 0 con (a, b, c) (0, 0, 0) 3.4. Lemma. Se rispetto ad un riferimento RC(O, i, j) del piano C è una conica di equazione ( ) ax + bxy + cy + dx + ey + f = 0 con (a, b, c) (0, 0, 0) allora esiste un riferimento RC(O, i, j ) tale che rispetto ad esso la la conica C ha equazione ( ) λ (x ) + λ (y ) + gx + hy + f = 0 con (λ, λ ) (0, 0) Inoltre, il riferimento RC(O, i, j ) si ottiene tramite una rotazione del riferimento RC(O, i, j). Dimostrazione. Ponendo A := a b/ b/ c 0, X := x y e G := [ d e ] si verifica subito che: () X T AX = ax + bxy + cy () GX = dx + ey per cui la ( ) si può riscrivere così ( ) X T AX + GX + f = 0 Poiché A è simmetrica, esistono una matrice diagonale Λ = λ 0 0 λ ed una matrice ortogonale α γ C = con detc = tali che A = CΛC T. Se consideriamo i vettori i := αi + βj e j := γi + δj, β δ allora la terna (O, i, j ) un riferimento cartesiano ortonormale che si ottene ruotando RC(O, i, j). x' Ponendo Y := le equazioni della rotazione sono X = CY, da cui Y = C - X = C T X. Si ha che: y' (I) X T AX = X T (CΛC T )X = (X T C)Λ(C T X) = (C T X) T Λ(C T X) = Y T ΛY = λ (x ) + λ (y ). Inoltre, ponendo GC = H = [ g h ] si ha che (II) GX = G(CY) = (GC)Y = HY = gx + hy. Tenendo conto di (I) e (II) la ( ) diventa Y T ΛY + HY + f = 0 ovvero ( ) λ (x ) + λ (y ) + gx + hy + f = 0 Inoltre, essendo A 0 si ha che anche Λ 0. Quindi, (λ, λ ) (0, 0).

10 3.. Teorema. (classificazione delle coniche nel piano euclideo) Sia RC(O, i, j) un riferimento cartesiano ortonormale del piano. Se C è una conica 0 ax + bxy + cy + dx + ey + f = 0 con (a, b, c) (0, 0, 0) allora esiste un riferimento RC(O, i, j ), ottenuto con una rototraslazione di RC(O, i, j), tale che rispetto ad esso la la conica C ha una delle seguenti nove equazioni: ) (x ) + n = 0 con n > 0 conica senza punti reali ) (x ) = 0 due rette reali e coincidenti 3) (x p)(x + p) = 0 con p 0 due rette reali distinte parallele 4) y = q(x ) parabola ) λ (x ) + λ (y ) = 0 con λ λ 0 conica con un solo punto reale 6) ( λ x + λ y )( λ x λ y ) = 0 con λ λ 0 due rette reali distinte incidenti 7) 8) 9) (x'') α (x'') α (x'') α (y'') + = con αβ 0 ellisse β (y'') + = con αβ 0 ellisse immaginaria β (y'') = con αβ 0 iperbole β Dimostrazione. Per il Lemma 3.4 esiste un riferimento RC(O, i, j ) tale che rispetto ad esso la conica C ha equazione ( ) λ (x ) + λ (y ) + gx + hy + f = 0 con (λ, λ ) (0, 0) Inoltre, il riferimento RC(O, i, j ) si ottiene tramite una rotazione del riferimento RC(O, i, j). Se uno dei due autovalori è uguale a zero, allora sia λ = 0. Ovviamente, λ 0. Si ha che λ (x ) + gx + hy + f = 0 (x ) + g h f x + y + λ λ λ = 0 (x + g ) g ( ) h f + y + λ λ λ λ = 0 (x + g ) h f + y + λ λ λ g ( ) = 0 λ Ponendo δ := g λ, m := h f e n := λ λ g ( ) λ l equazione precedente diventa

11 Se m = 0, allora l equazione ( ) diventa ( ) (x + δ) + my + n = 0 (x + δ) + n = 0 x'' = x' +δ Effettuando la traslazione dal RC(O, i, j ) si ottiene un RC(O, i, j ) tale che rispetto y'' = y' ad esso l equazione della conica C diventa (x ) + n = 0. ) Se n > 0, allora l equazione (x ) + n = 0 non ha soluzioni reali. Quindi, C non ha punti reali. ) Se n = 0, allora l equazione diventa (x ) = 0. Quindi, C è l unione di due rette reali coincidenti. 3) Se n < 0, allora ponendo n := p l equazione diventa (x ) p = (x p)(x + p) = 0 con p 0. Quindi, C è l unione di due rette reali distinte parallele. 4) Se m 0, allora l equazione ( ) diventa (x + δ) n + y + = 0 m m y + m n = m (x + δ) ponendo q := m e γ = m n si ha y + γ = q(x + δ) Effettuando la traslazione x'' = x' +δ y'' = y' +γ dal RC(O, i, j ) si ottiene un RC(O, i, j ) tale che rispetto ad esso l equazione della conica C diventa y = q(x ). Quindi, C è una parabola. Se nessuno dei due autovalori èuguale a zero, allora l equazione ( ) si può riscrivere così: λ (x ) + gx + λ (y ) + hy + f = 0 λ (x + λ (x + g ) g λ λ ( ) h + λ λ (y + ) h λ λ ( ) + f = 0 λ g ) h + λ λ (y + ) g + f λ λ ( ) h λ λ ( ) = 0 λ Ponendo δ := g h, γ := λ λ e n = f λ δ λ γ g = f λ ( ) h λ λ ( ) abbiamo λ λ (x + δ) + λ (y + γ) + n = 0 x'' = x' +δ Effettuando la traslazione dal RC(O, i, j ) si ottiene un RC(O, i, j ) tale che rispetto y'' = y' +γ ad esso l equazione della conica C diventa

12 Se n = 0, allora l equazione ( ) diventa ( ) λ (x ) + λ (y ) + n = 0 λ (x ) + λ (y ) = 0. ) Se λ λ > 0, allora l equazione diventa λ (x ) + λ (y ) = 0 che ha la coppia (0, 0) come unica soluzione reale. Quindi, C ha un solo punto reale. 6) Se λ λ < 0, allora l equazione diventa λ (x ) λ (y ) = 0 ovvero ( λ x + λ y )( λ x λ y ) = 0 Quindi, C è l unione di due rette reali distinte incidenti. Se n 0, allora l equazione ( ) si può riscrivere così λ ( ) ( )(x ) λ + ( )(y ) = n n λ Se λ λ > 0, allora ( )( n n λ λ λ ) = n > 0. Quindi, abbiamo i seguenti due casi: λ 7) Se ( λ ) > 0 e ( ) > 0, allora ponendo α n := ( ) > 0 e β n := ( ) > 0 l equazione ( ) n n λ λ diventa (x'') α (y'') + β = con αβ 0. Quindi, C è un ellisse. λ 8) Se ( λ ) < 0 e ( ) < 0, allora ponendo α := n n n > 0 e β := λ n λ > 0 l equazione ( ) diventa (x'') α (y'') + β = con αβ 0. Quindi, C non ha punti reali e si dice ellisse immaginaria. λ 9) Se λ λ < 0, allora ( λ )( λ ) = λ n n n < 0. Siccome gli autovalori sono discordi, possiamo λ sempre sceglierli in modo che sia ( λ ) > 0 e > 0. Ponendo α n := ( ) > 0 e β := n n λ n > 0 λ l equazione ( ) diventa (x'') α (y'') β = con αβ 0. Quindi, C è un iperbole.

13 3 Esercizio. Classificare la conica: x 0xy + y + 0x y + = 0. a = b = 0 c = d = 0 e = f = A := a b/ b/ c = p A (λ) = λ λ 4 = (λ 6)(λ + 4) λ = 6 e λ = 4 Troviamo gli autovettori relativi a λ = 6 (cioè le autosoluzioni del sistema (A 6I)X = 0) (A 6I) = x y = 0 x y = 0 x + y = 0 (x, y) = t(, ) t R {0} Dato che (, ) =, prendendo t = ± = ± otteniamo un autoversore. Per il Teorema 0.0, esiste una matrice ortogonale C con detc = che diagonalizza A. Le colonne di C sono autoversori di A. Se scegliamo i = (i j) come primo autoversore (cioè scegliamo le sue componenti come prima colonna di C) è semplice vedere che il secondo autoversore (cioè quello relativo a λ = 4) è necessariamente j = (i + j). Infatti, si vede subito che la matrice C che ha le loro componenti come colonne C = cosθ sinθ = sinθ cosθ è ortogonale con detc =. Si osservi anche che θ = π/4 radianti. Cioè, il RC(O, i, j ) si ottiene ruotando il RC(O, i, j) attorno ad O di 4 in senso orario. Posto X := x y e Y := x' y' le equazioni della rotazione sono X = CY. La rotazione trasforma il complesso dei termini di secondo grado nel complesso ax + bxy + cy = x 0xy + y λ (x ) + λ (y ) = 6(x ) 4(y ) La rotazione trasforma il complesso dei termini di primo grado dx + ey = 0x y nel complesso gx + hy dove (ricordiamo) è [ d e ]C = [ g h ]. Quindi, [ 0 ] = [ 0 ] = [ 8 ] = [ 6 4 ]. Quindi, la rotazione trasforma il complesso dei termini di primo grado 0x y nel complesso 6 x + 4 y.

14 Per cui, rispetto al RC(O, i, j ) la conica ha equazione 4 6(x ) 4(y ) + 6 x + 4 y + = 0 6(x ) + 6 x 4(y ) + 4 y + = 0 6(x + ) 3 4(y ) + + = 0 6(x + ) 4(y ) = 0 6(x + ) 4(y ) = 0 Effettuando la traslazione x' ' = x' + y' ' = y' otteniamo l equazione 6(x ) 4(y ) = 0 ( 6 x ) (y ) = 0 ( 6 x + y )( 6 x y ) = 0 Quindi, la conica è unione di due rette reali distinte incidenti.

15 Esercizio. Classificare la conica: 8x xy + 7y + 60x 70y + 0 = 0. a = 8 b = c = 7 d = 60 e = 70 f = 0 A = a b/ b/ 8 6 c = 6 7 p A (λ) = λ λ + 00 = (λ )(λ 0) λ =, λ = 0 Troviamo gli autovettori relativi a λ = (cioè le autosoluzioni del sistema (A I)X = 0) 3 6 (A I) = 6 3x 6y = 0 6x + y = 0 x y = 0 (x, y) = t(, ) t R {0} Dato che (, ) =, prendendo t = ± = ± otteniamo un autoversore. Per il Teorema 0.0, esiste una matrice ortogonale C con detc = che diagonalizza A. Le colonne di C sono autoversori di A. Se scegliamo i = (i + j) come primo autoversore (cioè scegliamo le sue componenti come prima colonna di C) è semplice vedere che il secondo autoversore (cioè quello relativo a λ = 0) è necessariamente j = ( i + j). Infatti, si vede subito che la matrice C che ha le loro componenti come colonne è ortogonale con detc =. Posto X := x y e Y := x' y' C = le equazioni della rotazione sono X = CY. La rotazione trasforma il complesso dei termini di secondo grado nel complesso ax + bxy + cy = 8x xy + 7y λ (x ) + λ (y ) = (x ) + 0(y ) La rotazione trasforma il complesso dei termini di primo grado nel complesso gx + hy dove (ricordiamo) è [ d e ]C = [ g h ]. Quindi, [ ] = [ ] = dx + ey = 60x 70y [0 00 ] = [ 0 40 ]. Quindi, la rotazione trasforma il complesso dei termini di primo grado 60x 70y nel complesso 0 x 40 y.

16 Per cui, rispetto al RC(O, i, j ) la conica ha equazione 6 (x ) + 0(y ) + 0 x 40 y + 0 = 0 (x ) + 0 x + 0(y ) 40 y + 0 = 0 (x + ) + 0(y ) = 0 (x + ) + 0(y ) = 0 (x + ) + 0(y ) 0 = 0 Effettuando la traslazione x' ' = x' + y' ' = y' otteniamo l equazione (x ) + 0(y ) = 0 (x ) + (y ) = 4 Quindi, la conica è un ellisse.

17 7 Esercizio 3. Classificare la conica: 3x xy 7y x 44y = 0. a = 3 b = 0 3 c = 7 d = 4 3 e = 44 f = A = a b/ b/ c 3 3 = 3 7 p A (λ) = λ + 4λ 96 = (λ 8)(λ + ) λ = 8, λ = Troviamo gli autovettori relativi a λ = 8 (cioè le autosoluzioni del sistema (A 8I)X = 0) 3 (A 8I) = 3 x + 3y = 0 3x y = 0 x 3 y = 0 (x, y) = t( 3, ) t R {0} Dato che ( 3, ) =, prendendo t = ± otteniamo un autoversore. Per il Teorema 0.0, esiste una matrice ortogonale C con detc = che diagonalizza A. Le colonne di C sono autoversori di A. Se scegliamo i = ( 3 i + j) come primo autoversore (cioè scegliamo le sue componenti come prima colonna di C) è semplice vedere che il secondo autoversore (cioè quello relativo a λ = ) è necessariamente j = ( i + 3 j). Infatti, si vede subito che la matrice C che ha le loro componenti come colonne C = 3 cosθ sinθ = 3 sinθ cosθ è ortogonale con detc =. Si osservi anche che θ = π/6 radianti. Cioè, il RC(O, i, j ) si ottiene ruotando il RC(O, i, j) attorno ad O di 30 in senso antiorario. Posto X := x y e Y := x' y' le equazioni della rotazione sono X = CY. La rotazione trasforma il complesso dei termini di secondo grado nel complesso ax + bxy + cy = 3x xy 7y λ (x ) + λ (y ) = 8(x ) (y )

18 8 La rotazione trasforma il complesso dei termini di primo grado dx + ey = 4 3 x 44y nel complesso gx + hy dove (ricordiamo) è [ d e ]C = [ g h ]. Quindi, [ ] = [ ] 3 = [ ] = [ ]. Quindi, la rotazione trasforma il complesso dei termini di primo grado 4 3 x 44y nel complesso 6x 4 3 y. Per cui, rispetto al RC(O, i, j ) la conica ha equazione 8(x ) (y ) 6x 4 3 y = 0 8(x ) 6x (y ) 4 3 y = 0 8(x ) 8 (y + 3 ) + 36 = 0 8(x ) (y + 3 ) = 0 8(x ) (y + 3 ) 4 = 0 Effettuando la traslazione x' ' = x' y' ' = y' + 3 otteniamo l equazione 8(x ) (y ) = 4 (x ) (y ) = 3 Quindi, la conica è un iperbole.

19 9 Esercizio 4. Classificare la conica: 3x 4 3 xy + 4y + 3 x 4y + = 0. a = 3 b = 4 3 c = 4 d = 3 e = 4 f = A = a b/ b/ c 3 3 = 3 4 p A (λ) = λ 7λ = λ(λ 7) λ = 7, λ = 0 Troviamo gli autovettori relativi a λ = 7 (cioè le autosoluzioni del sistema (A 7I)X = 0) 4 3 (A 7I) = 3 3 4x 3y = 0 3x 3y = 0 x + 3 y = 0 (x, y) = t( 3, ) t 0 7 Dato che ( 3, ) = 7, prendendo t = ± = ± otteniamo un autoversore. 7 7 Per il Teorema 0.0, esiste una matrice ortogonale C con detc = che diagonalizza A. Le colonne di C sono autoversori di A. Se scegliamo i = 7 ( 3 i j) come primo autoversore (cioè 7 scegliamo le sue componenti come prima colonna di C) è semplice vedere che il secondo autoversore (cioè quello relativo a λ = 0) è necessariamente j = 7 (i + 3 j). 7 Infatti, si vede subito che la matrice C che ha le loro componenti come colonne è ortogonale con detc =. Posto X := x y e Y := x' y' C = le equazioni della rotazione sono X = CY. La rotazione trasforma il complesso dei termini di secondo grado nel complesso (ricordiamo che λ = 0) ax + bxy + cy = 3x 4 3 xy + 4y λ (x ) + λ (y ) = 7(x )

20 0 La rotazione trasforma il complesso dei termini di primo grado dx + ey = 3 x 4y nel complesso gx + hy dove (ricordiamo) è [ d e ]C = [ g h ]. Quindi, [ 3 4] = 7 3 [ 3 4] 7 3 = 7 [ 4 0 ] = [ 7 0 ]. 7 Quindi, la rotazione trasforma il complesso dei termini di primo grado 3 x 4y nel complesso 7 x. Per cui, rispetto al RC(O, i, j ) la conica ha equazione 7(x ) + 7 x + = 0 7(x + (x + 7 ) = ) = 0 7 Effettuando la traslazione x' ' = x' + y'' = y' 7 7 otteniamo l equazione (x ) = 0 Quindi, la conica è unione di due rette reali coincidenti.

21 Esercizio. Classificare la conica: 4x + 4xy + y + x + 6 y = 0. a = 4 b = 4 c = d = e = 6 f = + 3 A = a b/ b/ c 4 = p A (λ) = λ λ = λ(λ ) λ =, λ = 0 Troviamo gli autovettori relativi a λ = (cioè le autosoluzioni del sistema (A I)X = 0) (A I) = 4 x + y = 0 x 4y = 0 x y = 0 (x, y) = t(, ) t 0 Dato che (, ) =, prendendo t = ± = ± otteniamo un autoversore. Per il Teorema 0.0, esiste una matrice ortogonale C con detc = che diagonalizza A. Le colonne di C sono autoversori di A. Se scegliamo i = (i + j) come primo autoversore (cioè scegliamo le sue componenti come prima colonna di C) è semplice vedere che il secondo autoversore (cioè quello relativo a λ = 0) è necessariamente j = ( i + j). Infatti, si vede subito che la matrice C che ha le loro componenti come colonne è ortogonale con detc =. Posto X := x y e Y := x' y' C = le equazioni della rotazione sono X = CY. La rotazione trasforma il complesso dei termini di secondo grado nel complesso (ricordiamo che λ = 0) ax + bxy + cy = 4x + 4xy + y λ (x ) + λ (y ) = (x )

22 La rotazione trasforma il complesso dei termini di primo grado dx + ey = x + 6 y nel complesso gx + hy dove (ricordiamo) è [ d e ]C = [ g h ]. Quindi, [ 6 ] = [ 6 ] = [ 6 ] = [ 0 0 ]. Quindi, la rotazione trasforma il complesso x + 6 y nel complesso 0x + 0y. Per cui, rispetto al RC(O, i, j ) la conica ha equazione (x ) + 0x + 0y = 0 (x + ) + 0y = 0 (x + ) + 0y + 3 = 0 0y + 3 = (x + ) Effettuando la traslazione y + x'' = x' + 3 y'' = y' + 3 = (x + ) otteniamo l equazione y = (x ) Quindi, la conica è una parabola.

23 3 Esercizio 6. Classificare la conica: x 3 xy + 7y 3 x + 0y + 36 = 0. a = b = 3 c = 7 d = 3 e = 0 f = 36 A = a b/ b/ c 3 = 3 7 p A (λ) = λ λ + 3 = (λ 4)(λ 8) λ = 4, λ = 8 Troviamo gli autovettori relativi a λ = (cioè le autosoluzioni del sistema (A 4I)X = 0) 3 (A 4I) = 3 3 x 3y = 0 3x + 3y = 0 x 3 y = 0 (x, y) = t( 3, ) t R {0} Dato che ( 3, ) =, prendendo t = ± otteniamo un autoversore. Per il Teorema 0.0, esiste una matrice ortogonale C con detc = che diagonalizza A. Le colonne di C sono autoversori di A. Se scegliamo i = ( 3 i + j) come primo autoversore (cioè scegliamo le sue componenti come prima colonna di C) è semplice vedere che il secondo autoversore (cioè quello relativo a λ = 8) è necessariamente j = ( i + 3 j). Infatti, si vede subito che la matrice C che ha le loro componenti come colonne è ortogonale con detc =. Posto X := x y e Y := x' y' C = 3 3 le equazioni della rotazione sono X = CY. La rotazione trasforma il complesso dei termini di secondo grado nel complesso ax + bxy + cy = x 3 xy + 7y λ (x ) + λ (y ) = 4(x ) + 8(y ) La rotazione trasforma il complesso dei termini di primo grado dx + ey = 3 x + 0y nel complesso gx + hy dove dove (ricordiamo) è [ d e ]C = [ g h ]. Quindi, [ 3 0 ] = [ 3 0 ] 3 = [ ] = [ ] Quindi, la rotazione trasforma il complesso dei termini di primo grado 3 x + 0y nel complesso 8x y.

24 Per cui, rispetto al RC(O, i, j ) la conica ha equazione 4 4(x ) + 8(y ) 8x y + 36 = 0 4(x ) 8x + 8(y ) y + 36 = 0 4(x ) 4 + 8(y + 3 ) = 0 4(x ) + 8(y + 3 ) = 0 4(x ) + 8(y + 3 ) + 8 = 0 Effettuando la traslazione x'' = x' y'' = y' + 3 otteniamo l equazione 4(x ) + 8(y ) = 8 (x ) + (y ) = Quindi, la conica è un ellisse immaginaria.

25 Esercizio 7. Classificare la conica: 9x + 6xy + y 6x y 39 = 0. a = 9 b = 6 c = d = 6 e = f = 39 A = a b/ b/ 9 3 c = 3 p A (λ) = λ 0λ = λ(λ 0) λ = 0, λ = 0 Troviamo gli autovettori relativi a λ = 0 (cioè le autosoluzioni del sistema (A 0I)X = 0) 3 (A 0I) = 3 9 x + 3y = 0 3x 9y = 0 x 3y = 0 (x, y) = t(3, ) t R {0} 0 Dato che (3, ) = 0, prendendo t = ± = ± otteniamo un autoversore. 0 0 Per il Teorema 0.0, esiste una matrice ortogonale C con detc = che diagonalizza A. Le colonne di C sono autoversori di A. Se scegliamo i = 0 (3i + j) come primo autoversore (cioè scegliamo 0 le sue componenti come prima colonna di C) è semplice vedere che il secondo autoversore (cioè quello relativo a λ = 0) è necessariamente j = 0 ( i + 3j). 0 Infatti, si vede subito che la matrice C che ha le loro componenti come colonne è ortogonale con detc =. Posto X := x y e Y := x' y' C = le equazioni della rotazione sono X = CY. La rotazione trasforma il complesso dei termini di secondo grado nel complesso (ricordiamo che λ = 0) ax + bxy + cy = 9x + 6xy + y λ (x ) + λ (y ) = 0(x ) La rotazione trasforma il complesso dei termini di primo grado dx + ey = 6x y nel complesso gx + hy dove dove (ricordiamo) è [ d e ]C = [ g h ]. Quindi, [ 6 ] = 0 3 [ 6 ] 0 3 = 0 [ 0 0 ] = [ 0 0 ] 0 Quindi, la rotazione trasforma il complesso dei termini di primo grado 6x y nel complesso 0 x.

26 Per cui, rispetto al RC(O, i, j ) la conica ha equazione 6 0(x ) 0 x 39 = 0 0(x 0 ) 39 = 0 0 0(x (x 0 ) 40 = ) 4 = 0 0 Effettuando la traslazione x'' = x' y'' = y' 0 0 otteniamo l equazione (x ) 4 = 0 (x )(x + ) = 0 Quindi, la conica è unione di due rette reali distinte parallele.

27 7 Esercizio 8. Classificare la conica: 3x + xy + 3y 4x y + = 0. a = 3 b = c = 3 d = 4 e = f = A = a b/ b/ c 3 = 3 p A (λ) = λ 6λ + 8 = (λ 4)(λ ) λ = 4, λ = Troviamo gli autovettori relativi a λ = 4 (cioè le autosoluzioni del sistema (A 4I)X = 0) (A 4I) = x + y = 0 x y = 0 x y = 0 (x, y) = t(, ) t R {0} Dato che (, ) =, prendendo t = ± = ± otteniamo un autoversore. Per il Teorema 0.0, esiste una matrice ortogonale C con detc = che diagonalizza A. Le colonne di C sono autoversori di A. Se scegliamo i = (i + j) come primo autoversore (cioè scegliamo le sue componenti come prima colonna di C) è semplice vedere che il secondo autoversore (cioè quello relativo a λ = ) è necessariamente j = ( i + j). Infatti, si vede subito che la matrice C che ha le loro componenti come colonne C = cosθ sinθ = sinθ cosθ è ortogonale con detc =. Si osservi anche che θ = π/4 radianti. Cioè, il RC(O, i, j ) si ottiene ruotando il RC(O, i, j) attorno ad O di 4 in senso antiorario. Posto X := x y e Y := x' y' le equazioni della rotazione sono X = CY. La rotazione trasforma il complesso dei termini di secondo grado nel complesso ax + bxy + cy = 3x + xy + 3y λ (x ) + λ (y ) = 4(x ) + (y )

28 8 La rotazione trasforma il complesso dei termini di primo grado nel complesso gx + hy dove (ricordiamo) è [ d e ]C = [ g h ]. Quindi, [ 4 ] = [ 4 ] = dx + ey = 4x y [ 6 8 ] = [ 8 4 ]. Quindi, la rotazione trasforma il complesso dei termini di primo grado 4x y nel complesso 8 x 4 y. Per cui, rispetto al RC(O, i, j ) la conica ha equazione 4(x ) + (y ) 8 x 4 y + = 0 4(x ) 8 x + (y ) 4 y + = 0 4(x ) 8 + (y ) 4 + = 0 4(x ) + (y ) = 0 4(x ) + (y ) = 0 (x ) + (y ) = 0 Effettuando la traslazione x'' = x' y'' = y' otteniamo l equazione (x ) + (y ) = 0 Quindi, la conica ha un solo punto reale. Utilizzando i numeri complessi, indicata con i l unità immaginaria (tale che i =, ovvero i = ) possiamo scrivere l equazione (x ) + (y ) = 0 come segue (x ) i (y ) = 0 ( x ) (iy ) = 0 ( x iy )( x + iy ) = 0 Quindi, la conica è unione di due rette immaginarie coniugate incidenti in un punto reale.

29 9 Esercizio 9. Classificare la conica: 4x xy + 9y 4x + 6y + 3 = 0. a = 4 b = c = 9 d = 4 e = 6 f = 3 A = a b/ b/ 4 6 c = 6 9 p A (λ) = λ 3λ = λ(λ 3) λ = 3, λ = 0 Troviamo gli autovettori relativi a λ = 3 (cioè le autosoluzioni del sistema (A 3I)X = 0) 9 6 (A 3I) = 6 4 9x 6y = 0 6x 4y = 0 3x + y = 0 (x, y) = t(, 3) t R {0} 3 Dato che (, 3) = 3, prendendo t = ± = ± otteniamo un autoversore. 3 3 Per il Teorema 0.0, esiste una matrice ortogonale C con detc = che diagonalizza A. Le colonne di C sono autoversori di A. Se scegliamo i = 3 (i 3j) come primo autoversore (cioè 3 scegliamo le sue componenti come prima colonna di C) è semplice vedere che il secondo autoversore (cioè quello relativo a λ = 0) è necessariamente j = 3 (3i + j). 3 Infatti, si vede subito che la matrice C che ha le loro componenti come colonne è ortogonale con detc =. Posto X := x y e Y := x' y' C = cosθ sinθ = 3 sinθ cosθ le equazioni della rotazione sono X = CY. La rotazione trasforma il complesso dei termini di secondo grado nel complesso (ricordiamo che λ = 0) ax + bxy + cy = 4x xy + 9y λ (x ) + λ (y ) = 3(x )

30 30 La rotazione trasforma il complesso dei termini di primo grado nel complesso gx + hy dove (ricordiamo) è [ d e ]C = [ g h ]. Quindi, 3 3 [ 4 6 ] 3 = [ 4 6 ] 3 = 3 dx + ey = 4x + 6y 3 [ 6 0 ] = [ 3 0 ]. 3 Quindi, la rotazione trasforma il complesso dei termini di primo grado 4x + 6y nel complesso 3 x. Per cui, rispetto al RC(O, i, j ) la conica ha equazione 3(x ) 3 x + 3 = 0 3(x 3 ) + 3 = 0 3 3(x 3 ) + = 0 3 (x 3 3 ) + 4 = 0 Effettuando la traslazione x'' = x' y'' = y' 3 3 otteniamo l equazione (x ) + 4 = 0 Poiché questa equazione non ha soluzioni reali, la conica non ha alcun punto reale. Utilizzando i numeri complessi, indicata con i l unità immaginaria (tale che i =, ovvero i = ) possiamo scrivere l equazione (x ) + 4 = 0 come segue (x ) 4i = 0 (x ) (i) = 0 (x i)(x + i) = 0 Quindi, la conica è unione di due rette immaginarie coniugate non aventi punti (propri) in comune. Per cui le possiamo pensare come parallele.