Appunti del corso di. ELABORAZIONE NUMERICA dei SEGNALI 1 modulo (6 CFU) Ciro Cafforio

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1 Politecnico di Bari Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni Appunti del corso di ELABORAZIONE NUMERICA dei SEGNALI 1 modulo (6 CFU) Ciro Cafforio Anno Accademico

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3 CAPITOLO 1 Rappresentazione numerica di un segnale Teorema del campionamento. Una macchina digitale può maneggiare numeri (normalmente si usa una rappresentazione binaria) di precisione finita (con un numero finito di bit) ed ha bisogno di un tempo magari piccolo, ma certamente non infinitesimo, per poter produrre il risultato richiesto dopo l inserimento di un nuovo numero. Un segnale può essere rappresentato matematicamente come una funzione, cioè una successione ordinata di valori assunti in corrispondenza di ogni valore della variabile indipendente (normalmente considereremo il tempo, ma niente impedisce che essa sia altro, ad esempio la posizione lungo una retta o altro ancora). I segnali normalmente variano con continuità, cioè sono una successione di valori, rappresentabili mediante numeri reali, assunti in istanti di tempo infinitamente vicini tra loro. È evidente che tali segnali continui non sono gestibili da una macchina digitale o, come diremo sempre d ora in poi, numericamente: è necessario poter descrivere il segnale mediante valori da esso assunti ad intervalli di tempo finiti, cioè bisogna campionarlo. Il problema del campionamento consiste nel dare di un segnale s(t), continuo nel tempo, una descrizione in termini dei valori che esso assume in istanti di tempo equispaziati, a distanza di T secondi uno dall altro. T T T T T T T T T T T T T T T T T t Figura Campionamento di un segnale continuo. Il campionamento, perché possa essere utile, deve essere reversibile, cioè i campioni devono costituire una descrizione completa del segnale e devono consentire di ricostruirlo nella sua interezza (in ogni istante). Deve essere possibile desumere dai campioni anche i valori in istanti diversi dagli istanti di campionamento: questa operazione va sotto il nome di interpolazione. È intuitivo come ciò sia sicuramente possibile, a patto di fare sufficientemente piccolo il passo di campionamento T : se T 0 si torna alla descrizione continua! Il problema consiste nel determinare il più grande intervallo di campionamento T che ancora consenta, 3

4 4 1. RAPPRESENTAZIONE NUMERICA DI UN SEGNALE. mediante un opportuno interpolatore, di ritornare dai campioni alla funzione di partenza s(t). Enunciato così il problema appare di una difficoltà proibitiva, ma basta affrontarlo nel dominio della frequenza perché la difficoltà scompaia. Un segnale campionato può essere visto come una serie ordinata di valori numerici la cui collocazione temporale, però, non è evidente. Per collocare temporalmente i campioni e poter applicare anche ad un segnale campionato (discretizzato nel tempo) le tecniche della teoria dei segnali (vedremo in seguito come l operazione di interpolazione possa essere descritta come una operazione di filtraggio), è utile ricorrere agli impulsi. Un segnale campionato può essere schematizzato matematicamente come: (1.1.1) s c (t) = s(kt ) δ(t kt ) = s(t) δ(t kt ). Lo spettro del segnale campionato, cioè la sua trasformata di Fourier, è calcolabile semplicemente osservando nella (1.1.1) che s c (t) può considerarsi come il prodotto tra il segnale tempo continuo s(t) ed una successione di impulsi equispaziati di area unitaria. La trasformata di s(t) sia S(f). Per calcolare la trasformata della sequenza degli impulsi di campionamento (che nel seguito verrà indicata, con termine poco formale, come pettine di campionamento) basta osservare che si tratta di un segnale periodico i cui coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier valgono, per la (A.2.2): c k = 1 T T/2 T/2 δ(t)e j2πkt/t dt = 1 T Il pettine di impulsi è equivalente alla sovrapposizione di sinusoidi complesse di frequenze 1/T e multipli, tutte di ampiezza 1/T (vedi figura 1.1.2). Tornando alla (1.1.1), siccome ad un prodotto nel tempo corrisponde una convoluzione nelle frequenze, lo spettro del segnale campionato è dato dalla convoluzione tra lo spettro del segnale s(t) e lo spettro degli impulsi di campionamento. Cioè (1.1.2) S c (f) = S(f) 1 T k= δ(f k T ). Bisogna ora interpretare la (1.1.2). Poiché la convoluzione è un operatore lineare, si può valutare prima la convoluzione con un singolo impulso e poi usare il principio di sovrapposizione degli effetti. Vediamo allora quanto vale S(f) δ(f f k ). Per definizione: perciò a(f) b(f) = S(f) δ(f f k ) = a(α)b(f α) dα. S(α)δ(f f k α) dα = S(f f k )

5 1.1. TEOREMA DEL CAMPIONAMENTO. 5 1 T T T T T T t (a) 1/T 3 T 2 T 1 T 1 T 2 T 3 T (b) f Figura Pettine di campionamento (a) e suo spettro (b). derivando l ultima uguaglianza dalla nota proprietà dell impulso secondo la quale l integrale del prodotto di una funzione per un impulso è uguale al valore che la funzione assume quando la variabile di integrazione assume il valore che azzera l argomento dell impulso. Risulta, quindi, che il risultato della convoluzione tra S(f) e l impulso in k/t è la stessa funzione centrata in k/t invece che in 0. Poiché nel caso dello spettro di un segnale campionato si ha la convoluzione con infiniti impulsi, ogni convoluzione con un impulso produce una replica dello spettro del segnale tempo continuo, traslata intorno ad una frequenza multipla della frequenza di campionamento f c = 1/T. Se prima del campionamento si ha la situazione rappresentata in figura a, dopo il campionamento si avrà la situazione rappresentata in figura b. Lo spettro del segnale campionato è una versione periodicizzata dello spettro del segnale tempo continuo. A questo punto è evidente anche come si possa ricostruire il segnale di partenza: se lo spettro S(f) è tale che dopo il campionamento le sue repliche non si sovrappongono, è sufficiente isolare, tra tutte, quella intorno alla frequenza zero, che è quella rappresentativa del segnale originario. In altre parole, perché un segnale sia ricostruibile dopo campionamento è necessario che le repliche spettrali che si originano con il campionamento non si sovrappongano: in questo caso è possibile isolare la replica in banda base mediante un filtraggio passa-basso. Teorema. Affinché un segnale sia ricostruibile dai suoi campioni, è necessario che esso sia a banda limitata (S(f) = 0 per f > B) e che venga campionato con frequenza pari almeno al doppio della sua banda (monolatera).

6 6 1. RAPPRESENTAZIONE NUMERICA DI UN SEGNALE. S(f) B B (a) S c(f) f 2/T 1/T 1/T 2/T (b) Figura Spettro di un segnale prima (a) e dopo (b) il campionamento Alias Vediamo ora l effetto di una frequenza di campionamento non corretta, ovvero non rispondente alle limitazioni del teorema del campionamento. Come esempio consideriamo il campionamento di una funzione sinusoidale. f Figura Sinusoide e campioni ottenuti da un suo campionamento. La figura rappresenta una sinusoide di frequenza 20 Hz ed i campioni ottenuti campionandola ad una f c = 19 Hz. Evidentemente, se uno dovesse interpretare i campioni senza sapere niente del processo che a quei campioni ha portato, non potrebbe che supporre che quelli sono i campioni risultanti dall aver campionato, a 19 Hz una sinusoide di frequenza 1 Hz Campionamento di una sinusoide. Analizziamo adesso in dettaglio il campionamento di una funzione cos(2πf t), il cui spettro è rappresentato in figura Si campioni questo segnale con frequenze di campionamento f c via via più basse, iniziando con una f c elevata. In base a quanto detto si ha la ripetizione dello spettro intorno ad f c e multipli.

7 1.2. ALIAS 7 S(f) 1/2 1/2 f f f Figura Spettro di una sinusoide. S c(f) f f c f c Figura Spettro di una sinusoide campionata con f c > 2f o. Per la ricostruzione basta filtrare passa-basso tra f c /2 ed f c /2, cancellando così tutte le repliche spettrali ad alta frequenza. Al diminuire della frequenza di campionamento, le repliche spettrali si avvicinano ma, finché f c è superiore al doppio di f, è sempre possibile, filtrando passa-basso, isolare i termini spettrali giusti a cavallo dello zero. S c(f) f f c f c Figura Spettro di una sinusoide campionata con f c 2f o. Se, però, f c è minore di 2f, ci si trova nella situazione di figura S c(f) f f c f c Figura Spettro di una sinusoide campionata con f c < 2f o. È chiaro che ora, filtrando tra f c /2 ed f c /2, si ottengono termini spettrali che non sono relativi al termine spettrale centrato a frequenza zero (quelli relativi al segnale di partenza), ma quelli relativi alle repliche spettrali centrate in f c ed in f c. All uscita del filtro non si ritrova più la sinusoide a frequenza f (come nei primi due casi), ma una sinusoide a frequenza minore, pari a f c f. In altre parole, se non si rispetta il teorema del campionamento, all uscita del filtro di ricostruzione si trova una sinusoide la cui frequenza è funzione della frequenza di campionamento usata oltre che della frequenza della sinusoide in ingresso.

8 8 1. RAPPRESENTAZIONE NUMERICA DI UN SEGNALE. Nel caso di un segnale generico, con spettro che occupa una banda continua di frequenze, il discorso è lo stesso: se si campiona almeno al doppio della banda del segnale, i termini spettrali sono separati; in caso contrario i termini spettrali si sovrappongono. f c > 2B f c f c < 2B S c(f) (a) S c(f) f c f c (b) f c f f Figura Spettro di un segnale campionato correttamente (a) e campionato con una frequenza troppo bassa (b). In teoria sarebbe possibile anche campionare con f c = 2B. In realtà questo non è possibile, in quanto in questa condizione le repliche spettrali sarebbero perfettamente adiacenti, e la separazione della replica a cavallo dello zero richiederebbe l uso di un filtro con funzione di trasferimento esattamente rettangolare, cosa irrealizzabile in pratica. È quindi sempre necessario considerare che i filtri realizzabili non sono ideali. Per un filtro reale distinguiamo: la banda passante, che è la banda all interno della quale il filtro deve lasciar passare pressoché intatto il segnale (o comunque con una attenuazione massima fissata); la banda arrestata, che è la banda al cui interno le componenti devono essere attenuate almeno di una quantità minima preassegnata; la banda di transizione che è l intervallo di frequenze che separa la banda arrestata dalla banda passante. filtro ideale f f filtro reale Figura Funzione di trasferimento di un filtro passa-basso ideale e di un filtro passa-basso reale. Fino ad ora si sono considerati segnali a banda limitata. Una proprietà della trasformata di Fourier è quella secondo la quale se la funzione nel dominio del tempo è di durata limitata, la sua trasformata ha banda infinita. Viceversa se la banda del segnale è limitata, il segnale

9 1.2. ALIAS 9 deve essere di durata infinita. Quindi ciò che abbiamo supposto fino ad ora è che il segnale sia di durata infinita. Nella realtà non è pensabile di avere a che fare con segnali di durata infinita. Quanto detto finora, però, resta comunque valido in quanto, pur essendo teoricamente infinita la banda di un segnale reale, si possono considerare trascurabili componenti spettrali al di sopra di una certa frequenza, se la loro ampiezza è tanto piccola da rendere impossibile distinguerle dal rumore con il quale un segnale reale deve sempre confrontarsi Campionamento di un segnale passa-basso. Se il segnale da campionare è una sinusoide e se non si rispetta il teorema del campionamento, si ottiene in uscita dal filtro di ricostruzione una sinusoide con frequenza diversa da quella di ingresso. Campionando la stessa sinusoide con due diverse frequenze di campionamento, però, può essere possibile identificare la sua vera frequenza. Se si campiona un segnale qualunque, con uno spettro che non sia costituito solo da impulsi, effettuare più misure per riconoscere il segnale di partenza diventa, sempre che sia possibile, più complicato.. Non sempre è possibile campionare a frequenza f c > 2B. In questo caso, fare finta di niente e campionare a frequenza f c significa perdere informazione, anche oltre quella che già si perde a causa del fatto che la banda utile del sistema è inferiore a quella del segnale. Infatti, le repliche adiacenti si sovrappongono allo spettro del segnale, rendendo inutilizzabile l informazione nella banda segnata in figura. S(f) fc 2 fc 2 spettro del segnale f S c(f) fc 2 fc 2 spettro del segnale campionato f Figura Conseguenze di un campionamento con frequenza f c < 2B. Se prima di campionare si effettua un filtraggio passa-basso tra f c /2 e f c /2, invece, l informazione utile è tutta quella compresa tra f c /2 e f c /2. Si perde comunque informazione rispetto al segnale originario, ma meno di quanto se ne perde se si campiona senza prefiltraggio (vedi figura 1.2.9). In questo modo si riesce a estrarre la massima informazione che il sistema permette. In un sistema reale di campionamento è sempre necessario anteporre al campionatore un filtro anti-alias, anche se ci si attende che la banda occupata dal segnale non possa eccedere quella consentita. Anche se il segnale rispettasse questo vincolo, non così può fare l immancabile rumore ad esso sovrapposto. Poiché dopo il campionamento non è più

10 10 1. RAPPRESENTAZIONE NUMERICA DI UN SEGNALE. S(f) fc fc 2 2 spettro del segnale filtrato f S c(f) f c f c fc 2 fc 2 spettro del segnale filtrato e campionato f Figura Campionamento con frequenza f c < 2B previo prefiltraggio. possibile in alcun modo ovviare ai guasti di un mancato prefiltraggio, è sempre necessario filtrare passa-basso prima di effettuare un campionamento. Nella realtà non si ha mai a che fare con un segnale rigorosamente passa-basso, poiché un segnale a banda limitata avrebbe, a rigore, durata infinita e non avrebbe senso fisico. Infatti, anche se tale segnale esistesse, non avremmo vita sufficientemente lunga per poter apprezzare tale sua proprietà (e normalmente non si può dedicare l intera vita ad un solo segnale). D altro canto anche un filtro con funzione di trasferimento rigorosamente a banda limitata ha senso solo matematicamente: anche se esistesse produrrebbe il segnale filtrato in uscita solo dopo un ritardo infinito! È chiaro, allora, che nel definire frequenza di campionamento e frequenza di taglio del filtro passa-basso anti-alias, è necessario essere pronti a qualche compromesso. Non essendo possibile avere a che fare con un segnale rigorosamente passa-basso, non si potranno evitare effetti di aliasing dovuto allo code dello spettro che si sovrappongono dopo il campionamento. La soluzione ingegneristica al problema consiste nel fare in modo che tale sovrapposizione provochi un disturbo tollerabile. Prefiltraggio e frequenza di campionamento vengono fissati in modo che le repliche spettrali abbiano, nella banda utile del segnale, livello tale da garantire un preassegnato rapporto segnale/disturbo da aliasing Multiplo sotto-campionamento. Non sempre l alias è deleterio. È il caso di osservare che una corretta traduzione in italiano del termine tecnico aliasing è equivocazione. Tutte le volte che, per conoscenze a priori od altro motivo, l utilizzatore è in grado di evitare tale equivocazione, il disturbo dovuto alla sovrapposizione delle repliche spettrali non è più tale perché può essere sbrogliato e, quindi, rimosso. Si consideri un segnale con lo spettro di figura Si campioni questo segnale con frequenza B f c 2B, invece di campionarlo correttamente con f c 2B: lo spettro risultante sarà affetto da sensibile sovrapposizione spettrale. Lo spettro del segnale campionato, valutato alla frequenza ˆf, sarà costituito dalla somma dello spettro del segnale valutato in ˆf e dello stesso spettro valutato alla frequenza ˆf f c : (1.2.1) S c ( ˆf) = S( ˆf) S( ˆf f c ).

11 1.2. ALIAS 11 B S(f) B S(f) ˆf f f Figura Campionamento con aliasing da repliche adiacenti. S( ˆf f c ) rappresenta il disturbo da aliasing. È chiaro che la soluzione ovvia sarebbe quella di raddoppiare la frequenza di campionamento, ma non sempre questo è possibile o conveniente. Si consideri, allora, lo stesso segnale s(t) e lo si filtri con due filtri diversi, con funzioni di trasferimento rispettivamente H 1 (f) ed H 2 (f). Le uscite dei due filtri vengono campionate negli stessi istanti temporali, con un passo di campionamento più grande di quello teorico massimo. H 1 (f) S (1) (f) c S(f) H 2 (f) S (2) (f) c (1.2.2) Figura Schema di campionamento multicanale. Gli spettri S c (1) (f) e S c (2) (f) dei segnali campionati risultanti saranno certamente affetti da disturbo di aliasing. Si avrà, per 0 f < f c (gli spettri sono periodici di periodo f c e, quindi, è lo stesso considerare il periodo come f c /2 f f c /2 o come 0 f < f c ): S c (1) (f) = S(f)H 1 (f) S(f f c )H 1 (f f c ) S (2) c (f) = S(f)H 2 (f) S(f f c )H 2 (f f c ) I termini S(f f c )H 1 (f f c ) ed S(f f c )H 2 (f f c ) sono i termini dovuti all aliasing. Effettuando due misure si ottiene un sistema di due equazioni nelle due incognite S(f) ed S(f f c ). Se il sistema ammette soluzione (diversa dalla banale S(f) 0), noti S(f) ed S(f f c ) per 0 f f c, è possibile ricostruire lo spettro del segnale s(t) sull intero intervallo f c f < f c.

12 12 1. RAPPRESENTAZIONE NUMERICA DI UN SEGNALE. Il sistema ammette soluzione diversa dalla banale quando il determinante della matrice dei coefficienti è non nullo, cioè, se H 1 (f) H 1 (f f c ) (1.2.3) H 2 (f) H 2 (f f c ) 0 per f c/2 f f c /2. Se si dimensionano opportunamente i filtri H 1 (f) ed H 2 (f), con il doppio contemporaneo sotto-campionamento si ottiene lo stesso risultato che si otterrebbe con un solo campionamento a frequenza doppia. Nel discorso precedente si è supposto che l aliasing fosse dovuto alla sola componente spettrale adiacente, tant è che nella (1.2.1) si sono considerati solo due termini. È chiaro che, nel caso in cui si sovrappongano n componenti (campionando a frequenza 2B/n), sarà necessario effettuare n misure, cioè progettare n filtri, ottenendo così un sistema di n equazioni in n incognite, in cui il determinante della matrice dei coefficienti dovrà essere non nullo a tutte le frequenze di interesse. Il determinante della matrice dei coefficienti non basta che sia non nullo, deve essere anche sufficientemente grande in modulo. In caso contrario ne risulterebbe un sistema mal condizionato, con i relativi problemi indotti dalla immancabile rumorosità delle misure. Esempio. Si consideri il caso H 1 (f) = 1 ed H 2 (f) = j2πf (derivatore). Il determinante (1.2.3) vale: j2π(f f c ) j2πf = j2πf c 0, f. Naturalmente il derivatore non potrà essere ideale, perché, se così fosse, il modulo della sua funzione di trasferimento avrebbe un andamento monotonamente crescente con la frequenza e ne risulterebbe un amplificazione tanto più grande quanto maggiore è la frequenza. Alle alte frequenze si finirebbe con l esaltare il solo rumore che sovrasterebbe il segnale utile (di ampiezza minima perché allocato più in bassa frequenza). La funzione di trasferimento di un derivatore reale dovrà subire dei ritocchi, combinando il teorico andamento del derivatore con un filtraggio passa basso che limiti la banda a quella effettivamente occupata dal segnale, come schematizzato in figura S(f) f S(f) f Figura Funzione di trasferimento (modulo) del derivatore e sua approssimazione pratica.

13 1.2. ALIAS 13 Un altra possibilità è quella di effettuare due campionamenti ripetuti a distanza di tempo τ molto breve. In tal caso H 1 (f) = 1 ed H 2 (f) = e j2πfτ (ritardatore). Il determinante in questo caso vale: e j2π(f fc)τ e j2πfτ. Poiché τ si è supposto piccolo rispetto all intervallo di campionamento, si trova che il determinante non è nullo, ma è molto piccolo, e ciò può creare problemi. Esercizio. Si consideri un segnale passa-basso di banda B e lo si campioni a frequenza f c = B = 1/T. Per quanto già detto, lo spettro sarà replicato attorno alle frequenze f c e multipli: si avrà, perciò, una situazione del tipo indicato in figura S(f) f 2/T 1/T 1/T 2/T Figura Campionamento con f c = B. Si ripeta ora l operazione, campionando con la stessa frequenza di campionamento, ma sfalsando i campioni rispetto ai campioni precedenti esattamente di T/2. 2/f c t 2/f c = PRIMO CAMPIONAMENTO = SECONDO CAMPIONAMENTO Figura Sotto-campionamento con pattern sfalsati. Anche questa nuova sequenza, considerata da sola, non riesce a descrivere compiutamente il segnale di partenza, in quanto anch essa non deriva da un campionamento "corretto" a frequenza 2B. Se, però, si considerano le due sequenze intercalate come in figura, si riottiene una descrizione del segnale di partenza priva di alias. Quanto affermato è verificabile facilmente nel dominio delle trasformate. Fissato l istante iniziale si ottiene per il primo campionamento lo spettro: (1.2.4) k= Per il secondo campionamento si ha lo spettro: (1.2.5) k= S(f k T ). S(f k T )e jπ(f k/t )T.

14 14 1. RAPPRESENTAZIONE NUMERICA DI UN SEGNALE. supponendo di ottenere la seconda sequenza utilizzando gli stessi istanti di campionamento della prima, ma dopo aver ritardato il segnale di T/2 (si poteva anche pensare di anticiparlo). Gli spettri ottenuti sono relativi alle due sequenze di campioni, ordinati nel tempo a passo T a partire dall istante 0. Ci si aspetta che, sommando i campioni della prima sequenza con quelli della seconda, opportunamente posizionata, si ottenga una descrizione campionata del segnale in cui l aliasing è cancellato. Nella (1.2.4) l aliasing è determinato dai termini spettrali con k dispari. Ne consegue che dalla composizione di cui si è parlato ci si attende che risulti una cancellazione di questi termini. Se s (1) c (t) è il risultato del primo campionamento e s (2) c (t) è quello relativo al secondo, il segnale correttamente campionato si otterrà come s c (t) = s (1) c (t) s (2) c (t T/2), sovrapponendo s (2) c (t) anticipato di T/2 ad s (1) c (t). In termini di spettri si avrà: 1 T k= S(f k T ) 1 T n= S(f n T )e jπ(f n/t )T e jπft = = 1 T k= S(f k T ) 1 T n= S(f n T )ejπn = = 1 T k= S(f k T ) 1 T n= S(f n T )( 1)n = 2 T k= S(f 2k T ). Per k ed n pari i termini hanno lo stesso segno e si sommano; per k ed n dispari i termini hanno segno opposto e si annullano, come ci si aspettava. È il caso di osservare che questo esercizio è un caso particolare dell esempio precedente, con τ = T/ Campionamento di segnali passa-banda. I segnali passa banda sono segnali le cui componenti spettrali sono distribuite su un intervallo di frequenze che non parte dalla continua. Normalmente questo intervallo è relativamente piccolo rispetto al valore della frequenza intorno alla quale è centrato. S(f) f 2 f 1 f f 1 f 2 Figura Spettro di un segnale passa-banda. Volendo procedere come fatto finora, si dovrebbe campionare a frequenza doppia rispetto ad f 2. Questo procedimento, tuttavia, ha avuto senso fino ad ora perché si voleva

15 1.3. CAMPIONAMENTO DI SEGNALI PASSA-BANDA. 15 essere in grado di descrivere qualunque componente spettrale del segnale compresa tra 0 ed f 2. La frequenza di campionamento è legata al contenuto informativo del segnale e questo è legato alla larghezza di banda occupata dal segnale. Usare il teorema del campionamento nella sua versione passa-basso in questo caso significa sprecare risorse, in quanto si prendono in considerazione anche zone in cui si sa già che l informazione è nulla Campionamento dopo conversione in frequenza. Visto che il contenuto informativo del segnale passa-banda è limitato alla banda di frequenza compresa tra f 1 ed f 2 (per le frequenze negative tra f 2 e f 1 ), una possibilità è quella di spostare tale banda a frequenze più basse, in modo da poter usare le metodiche già note per i segnali passabasso. Con questa operazione (che viene chiamata conversione di frequenza) il contenuto informativo del segnale resta invariato, semplicemente se ne fornisce una rappresentazione spettralmente più compatta. Lo spostamento dello spettro si effettua mediante prodotto del segnale con una sinusoide e successivo filtraggio passa-basso, secondo lo schema di figura. s(t) s m (t) cos(ω t) Figura Schema di principio di un convertitore di frequenza. A titolo di esempio, se si considera il caso in cui s(t) = cos(ω s t), si ha: cos(ω s t) cos(ω t) = 1/2 cos[(ω s ω )t] 1/2 cos[(ω s ω )t]. Si ottiene, cioè, una componente a frequenza differenza ed una a frequenza somma. Poiché lo scopo è quello di spostare il segnale a frequenza più bassa, si deve cancellare la componente a frequenza somma: è questa la funzione del filtro passa-basso che segue il moltiplicatore. La stessa operazione si può analizzare nel dominio delle frequenze. Lo spettro della cosinusoide è costituito da due impulsi di area 1/2 a frequenze ±f. Al prodotto nei tempi corrisponde la convoluzione in frequenza. La convoluzione tra lo spettro del segnale ed un impulso trasla lo spettro di una quantità pari alla frequenza alla quale è posto l impulso. Il prodotto con la sinusoide produce, quindi, uno spostamento a sinistra ed uno a destra di entità pari ad f, producendo l effetto desiderato, a patto di eliminare i termini a frequenza somma. L operazione di conversione in frequenza è reversibile, ovvero si può ricostruire il segnale di partenza: basta rimoltiplicare per la stessa sinusoide cos(ω t) ed isolare, questa volta, le componenti a frequenza somma. Il vantaggio della conversione sta nel fatto che, una volta spostata la banda del segnale (B = f 2 f 1 ) a frequenza più bassa, non è più necessario campionare a frequenza maggiore di 2f 2, ma basta campionare a frequenza più bassa, fino ad un limite inferiore di 2B. Vale la pena di osservare che ad essere spostata a frequenza f dopo la moltiplicazione per la sinusoide a frequenza f o non è solo la componente a frequenza f o f, ma anche

16 16 1. RAPPRESENTAZIONE NUMERICA DI UN SEGNALE. S(f) f 2 f 1 f f 1 f 2 f S m (f) f f f Figura Risultato della convoluzione tra lo spettro del segnale passabanda e quello della cosinusoide di frequenza f o. quella a frequenza f o f. Nell esempio considerato, a frequenze più basse di f o non c era niente, ma nella realtà è necessario garantirsi che questo sia vero e l unico modo per farlo è anteporre al moltiplicatore un filtro che lasci passare solo le frequenze comprese nella banda del segnale o, quantomeno, abbia funzione di trasferimento nulla per frequenze inferiori ad f o Campionamento diretto. Allo stesso risultato si può giungere in altro modo, semplicemente scegliendo opportunamente la frequenza di campionamento. Si noti, infatti, che il campionamento consiste sostanzialmente in una moltiplicazione del segnale s(t) con un segnale periodico (pettine di campionamento). Se si sceglie opportunamente la frequenza di campionamento, si può fare in modo che nello spettro del pettine di campionamento ci sia anche una sinusoide a frequenza f. L importante è che le altre sinusoidi che sono contemporaneamente presenti non diano luogo a termini che si mischiano tra loro. Si consideri un sistema che campiona a frequenza f c un segnale passa-banda allocato nell intervallo di frequenze compreso tra f c e 3/2f c. Effettuando la convoluzione fra lo spettro del segnale e quello del pettine di impulsi, si ottiene il risultato rappresentato in figura Si noti che non esiste alcun intervallo di frequenza in cui ci siano contemporaneamente più termini spettrali, cioè a nessuna frequenza c è la mescolanza di termini spettrali distinti: non c è aliasing. Campionando il segnale passa-banda in questione (che ha uno spettro con frequenza massima pari a 1.5f c ) a frequenza f c, non si creano problemi di sorta, nel senso che si è in grado di ricostruire esattamente il segnale dai suoi campioni. La ricostruzione non può certo avvenire mediante un filtraggio passa-basso: nota la banda in cui è allocato il segnale originario, bisogna utilizzare un filtro passa-banda, come indicato nella figura

17 1.3. CAMPIONAMENTO DI SEGNALI PASSA-BANDA. 17 S(f) f f f c c c 2 f c spettro del segnale S(f) f 2f c f c f c 2f c spettro del pettine di campionamento S(f) f f f f c c c 2 f c risultato della convoluzione f Figura Convoluzione tra lo spettro (compreso tra f c e 3f c /2) del segnale passa-banda e quello del pettine di campionamento. Si noti che in questo caso non ci sono stati problemi perché lo spettro del segnale di partenza era allocato tra f c e 3f c /2. In genere, se lo spettro è allocato tra nf c /2 e (n 1)f c /2, la periodicizzazione dello spettro non crea sovrapposizioni delle repliche. In caso diverso, i termini spettrali si mescolano tra loro e questo secondo modo di procedere non è più applicabile. I due procedimenti sono rigorosamente equivalenti da un punto di vista matematico, mentre da un punto di vista reale esiste una sostanziale differenza Campionatore reale. Finora si è descritto il campionamento come prodotto del segnale da campionare con un pettine di impulsi matematici. In questo discorso si è ipotizzato implicitamente di essere in grado di eseguire la misura istantanea del valore del segnale. È ovvio che una operazione di questo tipo è puramente teorica. Nella realtà ogni misura richiederà un tempo piccolo, ma non infinitesimo. Se durante questo tempo il segnale cambia, il valore campionato non sarà quello del segnale, ma un valore mediato sull intervallo di misura. τ T t Figura Principio di funzionamento di un campionatore reale.

18 18 1. RAPPRESENTAZIONE NUMERICA DI UN SEGNALE. In uscita dal campionatore si avrà, cioè, non più s(kt ), ma approssimativamente kt s(α) dα, cosa che può essere interpretata dicendo che il risultato del campionamento kt τ reale può essere visto come un campionamento ideale del segnale s(t) dopo che sia passato attraverso un filtro con risposta all impulso rettangolare di durata τ. s(t) τ s u (t) s u (kt ) Figura Schema a blocchi equivalente di un campionatore reale. Un campionatore reale può, perciò, essere schematizzato (vedi figura 1.3.6) come un campionatore ideale preceduto da un filtro con funzione di trasferimento di tipo sin(πf τ)/πf τ, con il primo zero in f = 1/τ. Se il tempo di misura è sufficientemente piccolo, in modo che 1/τ sia molto grande rispetto alla banda B del segnale da campionare, l effetto del campionamento non ideale è trascurabile. Risulta ora facile comprendere in cosa sostanzialmente differiscano i due procedimenti proposti per il campionamento di un segnale passa-banda. Nel primo caso si effettua prima una conversione in frequenza che trasforma il segnale passa-banda in uno passabasso e poi si campiona il segnale passa-basso così ottenuto. In questo caso il segnale da campionare risentirà poco del passaggio attraverso il filtro con funzione di trasferimento del tipo sin(f)/f, risultandone solo una attenuazione delle alte frequenze tanto più contenuta quanto più stretta è la banda del segnale. Nel secondo caso il segnale che si campiona è il segnale passa-banda di partenza che può risultare fortemente attenuato, se non affetto da pesante distorsione spettrale (questo dipende dalla posizione degli zeri k/τ rispetto alla banda del segnale) a causa del passaggio attraverso il filtro con funzione di trasferimento di tipo sin(f)/f. Riassumendo, l effetto di un campionamento non ideale può essere schematizzato mediante un filtraggio passa-basso del segnale prima del campionamento: tale effetto ha poca rilevanza quando il segnale da campionare ha lo spettro collocato interamente a frequenze basse, ma ha rilevanza notevole nel caso in cui si campioni direttamente un segnale, magari con banda stretta, ma allocata ad alta frequenza Campionamento dopo conversione con due canali in quadratura. Quando si è parlato della trasformata di Fourier si è detto di voler scomporre una forma d onda reale in somma di funzioni sinusoidali reali di frequenza, ampiezza e fase opportune. Per descrivere delle funzioni sinusoidali come cos(ωt ϕ) o sin(ωt ϕ) è possibile ricorrere ad esponenziali complessi, giacché con gli esponenziali complessi è più facile trattare le fasi, perché exp[j(ωtϕ)] = exp[jωt] exp[jϕ]. L esponenziale complesso è l analogo matematico di un vettore rotante, concetto molto utile quando si ha a che fare con sinusoidi. L uso di esponenziali complessi per rappresentare una funzione reale, però, richiede che si consideri sempre la somma di due: uno il complesso coniugato dell altro. Nella

19 1.3. CAMPIONAMENTO DI SEGNALI PASSA-BANDA. 19 trasformata di Fourier i termini a frequenza negativa, che in sé non sono altro che un artificio matematico, sono indispensabili per la descrizione di una forma d onda reale, per il motivo appena esposto. È evidente, allora, che il contenuto informativo di un segnale reale è interamente descritto dalle sole frequenze positive, dato che i valori della trasformata per le frequenze negative sono vincolati dalla richiesta simmetria complessa coniugata: H( f) = H (f). Si noti che questo discorso vale solo se si considerano segnali reali. Tornando alla descrizione di una funzione sinusoidale mediante esponenziali complessi, si dovrebbe ricorrere alle formule del tipo: e j(ωtϕ) e j(ωtϕ) = 2 cos(ωt ϕ). In effetti, mantenendo memoria del fatto che si sta lavorando con un segnale reale, è possibile usare un solo esponenziale complesso, a patto di considerarne la sola parte reale: Re[e j(ωtϕ) ] = cos(ωt ϕ). In questo modo si può dare una rappresentazione di Fourier, cioè una schematizzazione del segnale come sovrapposizione di sinusoidi, limitandosi a considerare solo esponenziali complessi con frequenze positive. Quando si opera la trasformazione inversa, però, è necessario estrarre la parte reale: tale operazione è in genere sottintesa. L antitrasformata diventa: [ ] s(t) = Re S(f)e j2πft df. 0 Questo tipo di trasformata di Fourier, definita solo per f 0 è detta trasformata monolatera. La relazione con la trasformata bilatera è la seguente: 2S(f) per f > 0 S(f) = S(f) per f = 0 0 per f < 0 Con la trasformata monolatera si tiene conto delle sole frequenze positive. Per le frequenze negative si presuppone che valga la relazione S( f) = S (f). Dato che il segnale è completamente descritto dalle sole frequenze positive, è lecito pensare di traslare a bassa frequenza solo i termini a frequenze positive, centrandoli attorno alla frequenza zero. In questo modo si otterrebbe un segnale passa-basso con banda metà, ma complesso. Traslare intorno allo zero la sola banda positiva, significa convolvere lo spettro del segnale con un impulso, come in figura. La funzione del tempo corrispondente all impulso in frequenza è exp( jωt) = cos(ωt) j sin(ωt). Nel tempo, quindi, si deve moltiplicare il segnale per questa funzione complessa. Effettuare una moltiplicazione con una funzione complessa significa semplicemente tener conto di due diversi segnali contemporaneamente (si ricordi che un numero complesso non è altro che una coppia ordinata di numeri reali). Lo schema a blocchi che descrive l implementazione della moltiplicazione per l esponenziale complesso è quello riportato in figura

20 20 1. RAPPRESENTAZIONE NUMERICA DI UN SEGNALE. Lo spettro del segnale S(f) f convoluto con: I(f) f fornisce: S m(f) f Figura Conversione con sinusoide complessa , avendo indicato con r(t) e i(t) rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria della componente passa-basso di s(t) moltiplicato per l esponenziale complesso. cos(ωt) s(t) sin(ωt) f r(t) f i(t) Figura Convertitore I-Q. Nelle frequenze la moltiplicazione per il coseno corrisponde alla convoluzione con lo spettro del coseno; la moltiplicazione per il seno corrisponde alla convoluzione con lo spettro del seno. Se lo spettro del segnale è quello già indicato in precedenza, ricordando gli spettri del coseno e del seno e tenendo conto che bisogna moltiplicare per sin(ωt), si ottiene che R(f) ed I(f), rispettivamente spettri di r(t) e di i(t), sono come indicato in figura. Quello che si ottiene è in pratica un sistema di due equazioni in due incognite. I termini spettrali a frequenza negativa e positiva, infatti, si sommano nel canale coseno e si sottraggono nel canale seno. L operazione inversa si effettua semplicemente moltiplicando per exp(jωt), cioè effettuando le moltiplicazioni r(t) cos(ωt) e i(t) sin(ωt). In totale le operazioni effettuate si possono riassumere come segue: s(t) = Re {[ s(t)e jωt h(t) ] e jωt}

21 1.4. QUANTIZZAZIONE 21 SPETTRO COSENO SPETTRO -SENO 1/2 1/2 j/2 f f -j/2 R(f) f I(f) f Figura Spettri di parte reale e parte immaginaria dell inviluppo complesso. avendo indicato con h(t) la funzione di trasferimento del filtro passa-basso (il tutto a meno di fattori 2 e 1/2). In questo modo si guadagna un fattore 2 nella frequenza di campionamento. Infatti, se si effettua la conversione in bassa frequenza del segnale passabanda, bisogna campionare a f c = 2(f 2 f 1 ). Se si sposta la sola banda a frequenza positive (o negative) e la si centra a frequenza zero (cioè si ricorre a quello che si chiama inviluppo complesso di un segnale passa-banda), basta campionare a f c = f 2 f 1, ma la quantità complessiva dell informazione è la stessa (ovviamente) perché ad ogni campionamento si ottengono due campioni (reale e immaginario). Si è visto che, in alcuni casi, convertire il segnale passa-banda in un segnale reale passabasso prima di campionare, oppure campionare direttamente il segnale passa-banda con una frequenza di campionamento f c tale che nf c /2 f 1 e f 2 (n1)f c /2 porta allo stesso risultato. Un discorso analogo vale anche quando si ricorre all inviluppo complesso. Lo spostamento in frequenza del segnale viene effettuato mediante l uso dei due canali seno e coseno. Qualcosa di simile si può fare campionando due volte direttamente il segnale passa-banda con due pettini di campionamento di stessa frequenza f c (sub-armonica della frequenza f ), sfalsati nel tempo di un t che alla frequenza f delle due sinusoidi corrisponda ad uno sfasamento di 90. In questo caso le armoniche n-me dei due pettini saranno sinusoidi in quadratura fra loro (esattamente come il seno ed il coseno). Anche in questo caso, però, bisogna rispettare delle limitazioni sul valore della frequenza di campionamento, il cui valore deve essere in stretta relazione con gli estremi di banda del segnale. Invece che convertire e campionare (sempre sui due canali), si può effettuare direttamente il campionamento (su due canali) con due pettini di campionamento sfalsati, a patto che sia verificata le seguente condizione nf c f 1 < f 2 (n 1)f c. Si guadagna sempre un fattore 2 nella frequenza di campionamento Quantizzazione Per la rappresentazione numerica di un segnale analogico non è sufficiente il suo campionamento, cioè non basta discretizzarlo rispetto al tempo: bisogna anche discretizzarne

22 22 1. RAPPRESENTAZIONE NUMERICA DI UN SEGNALE. le ampiezze. Un segnale analogico può assumere un qualunque valore compreso tra il suo valore minimo ed il suo valore massimo (quella che si chiama dinamica del segnale). Tali valori sono una infinità continua e sono rappresentabili mediante numeri reali. In un calcolatore numerico, invece, i numeri possono essere rappresentati con una precisione finita, cioè con un numero finito di cifre binarie. Ciò vuol dire che, per la rappresentazione del valore di ogni campione, si può scegliere una tra 2 n diverse configurazioni binarie che, a loro volta, possono essere utilizzate per identificare uno tra 2 n valori distribuiti all interno della dinamica del segnale. soglie s k1 x (valore da quantizzare) v k valori restituiti s k e q = x v k Figura Livelli di soglia, livelli di restituzione ed errore di quantizzazione in uno schema di quantizzazione. Con riferimento alla figura 1.4.1, la totale dinamica del segnale da quantizzare viene, disponendo opportunamente dei valori di soglia, suddivisa in un opportuno numero (di solito una potenza di 2) di intervalli di quantizzazione, ognuno identificato mediante un diverso numero binario e per il quale è definito un corrispondente valore di restituzione. Con riferimento alla stessa figura, supponiamo che il valore x da quantizzare sia compreso nell intervallo delimitato dai valori di soglia successivi s k ed s k1 : invece che con il suo valore reale x al campione del segnale verrà assegnato il valore v k. Questo modo di procedere consente di identificare il valore di ogni campione mediante una configurazione binaria di n bit ma, in compenso, il valore del campione verrà descritto con un errore di quantizzazione non nullo e pari ad e q = x v k. Descrivere l effetto di questo errore in termini deterministici non ha senso: le conseguenze di tale approssimazione sul segnale che da tali campioni quantizzati si potrà ricostruire si possono quantificare in termini statistici. Per calcolare il valor medio ed il valore quadratico medio dell errore di quantizzazione è sufficiente conoscere la densità di probabilità delle ampiezze del segnale da quantizzare. Supponiamo che p(x) sia tale densità di probabilità: valor medio e valore quadratico medio dell errore di quantizzazione possono scriversi come:

23 1.4. QUANTIZZAZIONE 23 (1.4.1) E [e q ] = k sk1 s k (x v k ) p(x) dx (1.4.2) E [ e 2 q ] = k sk1 s k (x v k ) 2 p(x) dx dove le sommatorie rispetto a k servono a tener conto che se x assume un valore maggiore di s k1 salta nell intervallo successivo e viene descritto con il valore rappresentativo v k1 che all intervallo successivo si riferisce. Progettare un quantizzatore ad n bit significa identificare i 2 n valori rappresentativi per tutti gli intervalli di quantizzazione individuati da 2 n 1 livelli di soglia. L ottimizzazione, ad esempio in termini di valore quadratico medio dell errore di quantizzazione, potrebbe portare ad intervalli di quantizzazione di ampiezze diverse. Siccome una quantizzazione non uniforme di questo tipo non si armonizza con il tipo di elaborazioni trattate in questo corso, si considererà esclusivamente la quantizzazione uniforme che prevede che la totale dinamica del segnale venga suddivisa in intervalli tutti di pari ampiezza, che indicheremo d ora innanzi con il simbolo a. Una prima condizione da richiedere alla legge di quantizzazione è che E [e q ] = 0 perché diversamente il segnale quantizzato risulterebbe affetto da un polarizzazione. Perché ciò sia possibile basta che il valore v k sia il baricentro della distribuzione di massa p(x) all interno dell intervallo s k < x < s k1 : sk1 (x v k ) p(x) dx = 0 s k L equazione (1.4.2) può essere interpretata in modo leggermente diverso, come la media degli errori quadratici medi calcolati per i diversi intervalli di quantizzazione. Infatti, osserviamo che P k = s k1 s k p(x) dx è la probabilità che il valore da quantizzare sia compreso nell intervallo k-esimo. La densità di probabilità dell errore di quantizzazione, una volta che si sia all interno dell intervallo k-esimo, vale: p(e q v k )/P k per s k v k < e q < s k1 v k p (e q s k < x < s k1 ) = 0 altrove Con queste posizioni, l equazione (1.4.2) può essere riscritta come: E [ ] sk1 v k e 2 q = P k e 2 q p(e q s k < x < s k1 ) de q = k s k v k k P k E 2 k dove Ek 2 è l errore quadratico medio condizionato al fatto che il valore da quantizzare sia compreso nell intervallo k-esimo. p(e q s k < x < s k1 ) non è che una fettina di p(x), centrata su v k e larga s k1 s k, traslata in modo che v k corrisponda allo zero e normalizzata rispetto a P k (vedi figura 1.4.2).

24 24 1. RAPPRESENTAZIONE NUMERICA DI UN SEGNALE. p(e s <x <s ) q k k1 p(x) s k s k1 v k x s v k k s v k1 k e q Figura Densità di probabilità del segnale e densità di probabilità dell errore di quantizzazione, condizionata all appartenenza all intervallo k esimo. Dalla figura si può dedurre (cosa peraltro già ben nota dai corsi di matematica) che, se l ampiezza dell intervallo di quantizzazione è piccolo, p(e q s k < x < s k1 ) si può approssimare con una costante. Nel caso di quantizzazione uniforme, con l ampiezza dell intervallo pari ad a, la densità di probabilità costante dell errore di quantizzazione all interno dell intervallo è di valore pari ad 1/a. La condizione di errore medio nullo implica che il valore di restituzione sia a metà tra le due soglie e, perciò, la d.d.p. dell errore di quantizzazione è come indicato in figura p(e) 1/a a/2 a/2 e Figura Densità di probabilità dell errore di quantizzazione con quantizzazione uniforme con passo a. Valor medio e varianza dell errore di quantizzazione nel caso di quantizzazione uniforme valgono, perciò: E [e q ] = 0 E [ ] e 2 q = P k k a/2 a/2 e 2 q 1 a de q = k P k a2 12 = a2 12 L operazione di quantizzazione è un operazione (non lineare) istantanea e, perciò, essa può teoricamente precedere o seguire il campionamento, senza che il risultato complessivo muti. Nella realtà, però, va tenuto presente che il campionamento, con mantenimento del valore (sample and hold), precede sempre la quantizzazione perché la circuiteria del quantizzatore ha bisogno di un po di tempo (che deve essere inferiore al periodo di campionamento) per calcolare il valore quantizzato corrispondente al valore presentatogli in ingresso. La figura rappresenta un segnale analogico e la sua versione quantizzata. Ovviamente la versione quantizzata ha un andamento a scalinata, in quanto solo i valori

25 1.4. QUANTIZZAZIONE 25 0 Figura Errore di quantizzazione. corrispondenti ai valori di restituzione sono possibili e si salta da un valore all altro appena si varca una soglia del quantizzatore. La stessa figura mostra la differenza tra il segnale analogico e la sua versione quantizzata, cioè quello che abbiamo chiamato errore di quantizzazione. È evidente come l errore di quantizzazione sia un segnale a banda larga che, una volta campionato, dà luogo ad uno spettro in cui le repliche spettrali si sovrappongono pesantemente: tanto che non è difficile accettare l idea che lo si possa modellare come un disturbo a spettro bianco (nell intervallo f c /2 < f < f c /2). Tale disturbo, sommato al segnale originario, dà luogo alla sua versione quantizzata: è, quindi, un disturbo additivo. Spesso lo si modella come statisticamente indipendente dal segnale, ma questa è un approssimazione non altrettanto ovvia e può ritenersi ragionevolmente vera solo in presenza di una quantizzazione molto fine, soprattutto se l intervallo di quantizzazione diventa di ampiezza comparabile con il valore efficace del rumore inevitabilmente sommato al segnale da quantizzare.

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27 CAPITOLO 2 Interpolazione 2.1. Ricostruzione del segnale tempo continuo Fino ad ora si è visto come poter descrivere un segnale analogico a banda limitata con una sequenza di campioni. Il campionamento ha senso se permette di ricostruire l andamento del segnale di partenza in tutti gli istanti intermedi tra quelli di campionamento. Si tratta, come già visto, di effettuare un filtraggio che elimini tutte le repliche spettrali, tranne quella relativa al segnale di partenza. Il progetto di un filtro ricostruttore analogico esula dagli scopi di questo documento. Ci si limiterà ad un semplice esempio. Supponiamo di mandare i campioni in un filtro RC, cioè un filtro passa basso con frequenza di taglio a 3 db in f = 1/(2πRC). H(f) 1 2πRC f Figura Funzione di trasferimento di un filtro RC. Questo filtro ha un attenuazione con una pendenza di 20 db/decade e, quindi, una banda di transizione molto larga: non può eliminare efficacemente le repliche spettrali. La forma d onda alla sua uscita, quando in ingresso gli vengono inviati i campioni del segnale, è del tipo in figura t Figura Segnale all uscita del filtro RC. L andamento frastagliato del segnale in uscita è indice del fatto che i termini spettrali di alta frequenza non sono adeguatamente attenuati. Questo ricostruttore, quindi, non solo non è in grado di ricostruire la forma d onda di partenza, ma può anche (dipende dal modo 27

28 28 2. INTERPOLAZIONE in cui è realizzato) non rispettare i valori esatti dei campioni. Il filtro di ricostruzione non può, quindi, essere un normale RC e dovrà essere un filtro più complicato. Nella realtà, peraltro, non si può avere a che fare con impulsi. In un sistema di ricostruzione reale, i numeri binari rappresentativi dei valori dei campioni sono mantenuti all ingresso del convertitore D/A per l intero periodo di campionamento. Il segnale x q (t) all uscita del convertitore è costituito, perciò, da rettangoli di durata T e di altezza pari ai valori dei campioni del segnale. n campioni registro n D/A CK Figura Schema di conversione digitale/analogica. Tale segnale si può considerare come ottenuto dal segnale campionato descritto con impulsi x c (t) = x(kt ) δ(t kt ) k mediante un filtro che trasforma un impulso in un rettangolo di durata T ( ) t x q (t) = x c (t) rect = ( ) t kt x(kt ) rect T T k h(t) t t t Figura Rappresentazione del segnale all uscita del D/A come segnale campionato ideale passato attraverso un filtro con risposta all impulso rettangolare. La funzione di trasferimento corrispondente è un sin(f)/f i cui zeri si trovano in corrispondenza dei multipli della frequenza di campionamento (1/T e multipli). Il filtro mantenitore lascia passare pressoché inalterate le componenti a bassa frequenza; le repliche vengono attenuate ma non annullate (se non in corrispondenza delle armoniche della frequenza di campionamento). Un interpolatore di questo tipo (mantenitore) è certamente migliore del semplice RC, dato che almeno rispetta i valori dei campioni negli istanti di campionamento. Inoltre, la risposta dell interpolatore ad un particolare campione non interferisce con la risposta dell interpolatore ad altri campioni.

29 2.2. RICAMPIONAMENTO 29 1/ 2T 0 1/ 2T f Figura Filtro di ricostruzione da mettere in cascata al mantenitore. Un successivo filtro analogico di ricostruzione dovrà essere ancora un filtro passa-basso, ma dovrà compensare le componenti del segnale a frequenze via via più alte per bilanciare l effetto attenuativo del sin(f)/f Ricampionamento Per quanto a questo punto possa sembrare strano, può essere necessario effettuare l interpolazione del segnale rimanendo nell ambito numerico. A volte è necessario ricampionare il segnale ad una frequenza diversa. In un compact disk il segnale musicale è memorizzato in forma numerica: la sua banda è di 15 khz e la frequenza di campionamento è 44,1 khz (per mantenere la compatibilità con un sistema preesistente). La prima replica spettrale parte, quindi, da 29,1 khz; ne consegue che la distanza tra le repliche è percentualmente piccola e per attenuarle sufficientemente sarebbe necessario usare dei filtri con banda di transizione molto stretta. È ben noto che la caratteristica di fase di un filtro analogico può approssimare quella di un ritardatore di gruppo ideale soltanto nell intervallo di frequenze in cui il modulo della funzione di trasferimento ha un andamento abbastanza regolare. Quando il modulo varia bruscamente la fase varia molto velocemente. Di conseguenza alle alte frequenze la fase del filtro di ricostruzione varierebbe molto più velocemente di quanto non faccia alle basse frequenze. Questo creerebbe problemi già in un sistema monofonico, ma può crearne di gravi in un sistema stereofonico. L idea è allora quella di mandare nel filtro analogico un segnale campionato con frequenza sufficientemente più alta, in modo che la prima replica sia più distante: in questo modo non è più necessario usare un filtro con banda di transizione molto stretta. Per ottenere una frequenza di campionamento più alta bisogna cercare di calcolare, con tecniche numeriche, i campioni mancanti (è ovvio che non si può usare una frequenza di campionamento molto più alta di quella richiesta dal teorema di campionamento, se non altro perché un CD potrebbe memorizzare brani musicali di durata molto breve). Un qualsiasi schema di ricampionamento è riconducibile al modello di figura 2.2.1: ritornare al segnale tempo-continuo che viene poi ricampionato alla nuova frequenza. È ovvio che tale schema è puramente teorico e non ha senso pensare di implementarlo alla lettera.