Sistemi Elettronici Sicuri. Rilevamento degli errori nei sistemi di elaborazione digitali...

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1 Sistemi Elettronici Sicuri Rilevamento degli errori nei sistemi di elaborazione digitali v. 1.4c... Massimo Manara - Luca Uberti Foppa... Università degli Studi di Milano

2 Indice generale Concetti generali Tipi di ridondanza Ridondanza d'informazione Ridondanza di componenti Ridondanza temporale

3 Obiettivi Ridondanza Informazione Componenti Temporale 3/48

4 Obiettivi Ridondanza Informazione Componenti Temporale Parità Duplic. e confronto Duale Checksum RESO CRC Timers Hamming M su N Aritmetici 3/48

5 Codica: trasformazione di un certo dato in una codeword Decodica: data una codeword ricevuta restituisce i dati Tasso di informazione: k n Concetti generali Distanza di Hamming: x, y {0, 1}. δ(x, y): numero di bit dierenti tra le due tuple x = 0011, y = 0101: δ = (x, y) = 2. MTTF (Mean Time To Failure) MTTF = 0 R(t)dt. 4/48

6 Fault avoidance: evitare i guasti Componenti ad alta adabilità Progettazione accurata Approcci al trattamento dei guasti Fault tolerance: tolleranza ai guasti Informazione aggiuntiva Tre modalità (informazione, componenti, temporale) 5/48

7 Indice Concetti generali Tipi di ridondanza Ridondanza d'informazione - Parità; Checksum; CRC; Codici di Hamming; M su N; Codici aritmetici Ridondanza di componenti Ridondanza temporale 6/48

8 Ridondanza d'informazione Codici separabili e non separabili Codici di controllo ovvero bit di parità Codica e decodica dei dati: codeword 7/48

9 Codici di parità (parity checking) Bit ulteriore alla word nel processo di codica Introdotto come controllo nelle memorie/archiviazione [DSMT78] Controllo della parità Numero pari di '1' nella word: parità pari, altrimenti dispari [Sho02, pag. 35] Diversi approcci Semplice Bit per byte Intrecciata 8/48

10 Word con '1' in numero pari: codice di parità pari. p = 0 Altrimenti p = 1 Parità semplice 9/48

11 Parità bit per byte Un bit di parità per ogni byte Alternando parità pari e dispari Ciò aumenta la copertura degli errori 10/48

12 Parità intrecciata Sulla word di dimensione b è calcolata la parità Ogni bit di parità è associato ad un proprio gruppo di b/l bit Distanza tra i bit di parità: l 11/48

13 Calcolo del bit di parità (XOR) Codeword: dati più bit di parità Esempio circuito parità semplice (1/2) 12/48

14 È vericata la correttezza del messaggio Uscita '1' in caso di errore Per la parità dispari: NOT sull'uscita Esempio circuito parità semplice (2/2) 13/48

15 Vantaggi - Svantaggi Parità Complessità circuitale: XOR Tasso di informazione Parità semplice: 2% Parità bit per byte: 12% Parità intrecciata: 7% Probabilità di non rilevare un errore: p ue 2 (n k) p ue modellata attraverso la distribuzione binomiale B(2 : 9, q) = ( ) 9 q 2 (1 q) /48

16 Somma di controllo (Checksum) Calcolo di un hash sul messaggio Piccoli cambiamenti provocano hash diversi Il confronto tra hash ricevuto e calcolato verica l'integrità 15/48

17 Somma di controllo - Precisione singola Somma dei byte È ignorato il resto nale Dimensione checksum identica alla word Dati Checksum 2C D4 EA B C B B B D4 CS EA 16/48

18 Somma di controllo - Precisione doppia Ogni word di n-bit è sommato in una word di 2n-bit Due classi di resto: principale e secondario. Ignorato resto della classe primaria Dimensione checksum: 2 word Dati Checksum 5A EF 24 C Byte 1 5A Byte 2 EF Byte Byte 4 C Checksum calcolato Checksum calcolato hex /48

19 Somma di controllo - Honeywell Ogni word di n-bit è sommato in una word di 2n-bit Accoppiamento asimmetrico prima della somma, il resto è ignorato Rilevazione di errori comuni su word dierenti Dati CS C3 FE DB B4 B2 9E B. 1 C B. 2 FE B. 3 DB B. 4 B Correlazione FE C3 B4 DB CS CS hex B2 9E 18/48

20 Complessità circuitale: sommatore bit a bit Tasso di informazione Checksum singolo: 25% Checksum doppia parità: 50% Checksum honeywell: 50% Probabilità di non rilevare un errore: p ue 2 (n k) Checksum singolo: ignora il resto Vantaggi - Svantaggi Checksum Checksum doppia precisione/honeywell: due classi di resto Checksum doppia precisione/honeywell: dimensione doppia rispetto alla word 19/48

21 Controllo di ridondanza ciclica - CRC Proprietà dei polinomi binari nei campi binari niti Implementazione via hardware semplice r = n k: k bit originali, n bit del codicatore 20/48

22 CRC - trasmissione (1/3) Dato un blocco di k bit, viene considerato come un polinomio di grado k 1, P(x), nella generica variabile x I bit rappresentano i coecienti del polinomio r numero di bit del CRC; viene scelto un polinomio di grado r: G(x) Si eettua quindi la divisione di P(x) per G(x) Si scarta il quoziente e si utilizzano come CRC gli r bit di resto, i quali vengono accodati ai k bit informativi 21/48

23 CRC - ricezione (2/3) G(x) è diviso per il polinomio P(x) associato al blocco ricevuto Avviene un confronto tra il resto trovato e quello del trasmettitore Se il resto calcolato dal ricevitore coincide con il CRC ricevuto si può ritenere che non vi siano errori 22/48

24 CRC - esempio (3/3) k = P(x) = 1 x x x x x = x 5 + x 4 + x G(x) = x Lato trasmittente (T) Lato ricevente (R) P(x) T G(x) = Q(x) + R(x). r calc.r = P(x) R G(x) T invia = P(x) T + resto Se resto = r calc.r : errore. 23/48

25 Distanza di Hamming (XOR per stringhe binarie) Ingresso: word (m) uscita: word + checkbit (m + c) Codice (7,4); (n, k) k: bit in ingresso, n: bit in uscita Codici di Hamming 24/48

26 Invio e la ricezione del messaggio m = 1010: Codici di Hamming (1/2) 1 m G = c. Dove G: matrice generatrice (G = [I P].), c: la code word. [ ] c = [ m 1 m 2 m 3 m 4 c 1 c 2 c 3 ] H = [P T I]. = [ ]. H = /48

27 2 Controllo correttezza di c, moltiplicando per H T 1. Se il valore di S è '0' non sono stati rilevati errori. Codici di Hamming (2/2) c H T = S. [ ] = [ ]. 26/48

28 Vantaggi - Svantaggi Codici di Hamming Complessità circuitale: dipende dai dati trattati Tasso di informazione H(7,4): 57% H(15,11): 73% H(31,26): 84% Probabilità di non rilevare un errore: p ue = 1 (D(H) 1) Codiche diverse anche delle stesso codice Scelta del codice in base alle speciche Rilevamento e correzione degli errori 27/48

29 Codici M su N (1/2) n lunghezza della codeword m numero di '1' presenti nella codeword Ecienza relativa al numero di word M = ( n m ) 2 n = n! m! (n m)! 2 n /48

30 Dati originali Aggiunta bit della codica Codici M su N (2/2) 29/48

31 Vantaggi - Svantaggi M su N Complessità circuitale: dipende dalla scelta implementativa Tasso di informazione 1 su 4: 50% 2 su 4: 44% 3 su 6: 49% Probabilità di non rilevare un errore: p ue 2 (n k) Complessità codica e decodica diverse: parallelo, serie Errori multipli non rilevati 30/48

32 Separabili (Residue code) vs. non separabili (AN code) Usati per il controllo di operazioni aritmetiche f (X) f (Y) f (X Y) [Avi71] Codici aritmetici 31/48

33 Codici aritmetici AN code Invarianti per somma e sottrazione, non per moltiplicazione e divisione Moltiplicando gli operandi per una opportuna costante C Risultato dell'operazione di codica: f (X) = C X e f (Y) = C Y In Figura un esempio: C = 5, X = 3, Y = 4 32/48

34 Codici aritmetici residue code (X Y) mod C = [(X mod C) (Y mod C)] mod C Le quantità X, Y, (X mod C), (Y mod C), entrano in due processori separati (primario e secondario) per la stessa operazione Confronto a posteriori sul risultato In Figura un esempio: C = = 3, X = 8, Y = 3 [SS82b, pag ] 33/48

35 Vantaggi - Svantaggi Codici aritmetici Complessità circuitale: (residue code) componente di confronto e componente ridondato Tasso di informazione: log 2 C /n Probabilità di non rilevare un errore: C = (2 a 1) fondamentale la scelta della costante AN code: separabili vs. Residue code: non separabili Residue code: raddoppio dei costi hardware 34/48

36 Indice Concetti generali Tipi di ridondanza Ridondanza d'informazione Ridondanza di componenti - Duplicazione e confronto; Ridondanza temporale 35/48

37 Ridondanza di componenti Replicazione di porte, celle di memori, bus, processori e così via Al ne di ridurre guasti Tipi di ridondanza Passiva (mascheramento) - TMR (correzione) Attiva (rilevamento, posizione, contenimento, recupero) - Duplicazione e confronto Ibrida - NMR 36/48

38 Duplicazione e confronto Tecnica attiva Più copie della stessa word La presenza dell'errore rilevata tramite un confronto Errori comuni nelle word Diverse versioni: swap and compare [DSMT78, SS82a, pag ] 37/48

39 Adabilità - Duplicazione e confronto L'adabilità può essere calcolata attraverso una distribuzione binomiale dove p = e λt se ogni componente ha una distribuzione di fallimento esponenziale. R NMR = n i=k ( ) n p i (1 p) n 1. i Quindi R NMR = n i=k ( ) n e λti (1 e λt ) n 1. i 38/48

40 Indice Concetti generali Tipi di ridondanza Ridondanza d'informazione Ridondanza di componenti Ridondanza temporale - Duale; RESO-1; RESO-n; Watchdog timers; 39/48

41 Ridondanza temporale Esecuzione multipla di processi con metodi dierenti Comparazione dei risultati Anche nel software 40/48

42 Duale (1/2) Trasmissione della word al tempo t 0 Trasmissione del duale al tempo t 1 A seguito della trasmissione vi è un confronto 41/48

43 Duale (2/2) Duale: f (x 1, x 2,..., x n ) = f (x 1, x 2,..., x n ) In Figura la funzione f = ab + cd, f d = (a + b)(c + d) 42/48

44 Recomputing with shifted operands - RESO (1/2) Utilizzato nelle unità aritmetico logiche (ALU) RESO-1; RESO-n 1. Somma delle word, salvataggio del risultato in un registro con shif a sinistra 2. Traslazione a sinistra delle word da sommare, confronto con il valore nel registro 3. Se i valori sono diversi, c'è un errore 43/48

45 RESO (2/2) Shifter A Shifter B Risultato ALU c(a) bit Shifter A Shifter B Risultato ALU /48

46 Watchdog timers Tecnica poco costosa in termini di circuiteria Usata per l'osservazione di un processo (timer separato dal processo stesso) Fallimento del processo Sia hardware che software Controllo di processi deterministici Nessun controllo sull'errore 45/48

47 Questo progetto è stato realizzato dagli studenti. Fine Luca Uberti Foppa Massimo Manara Nell'ambito del corso di sistemi elettronici sicuri a.a. 2006/2007. Docente del corso Vincenzo Piuri, tutor: Alberto Ferrante Quest'opera è stata rilasciata sotto la licenza Creative Commons Attribuzione 2.5 Italia. Per leggere una copia della licenza visita il sito web o spedisci una lettera a Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California, 94105, USA. 46/48

48 Bibliograa [Avi71] A. Avizienis. Arithmetic error codes: Cost and eectiveness studies for application in digital system design. Computers, IEEE Transactions on, C-20(11): , [DSMT78] H. Mashburn D.P. Siewiorek, V. Kini, S.R. McConnel, and M.M. Tsao. A case study of c.mmp, cm*, and c.vmp: Part iexperiences with fault tolerance in multiprocessor systems. Proc. IEEE, 66(10): , [Sho02] Martin L. Shooman. Reliability of Computer Systems and Networks: Fault Tolerance,Analysis,and Design. John Wiley & Sons, Inc., New York, NY, USA, [SS82a] Daniel Siewiorek and Robert Swarz. Design and Evaluation. Digital Press, Reliable Computer Systems: 47/48

49 [SS82b] Daniel Siewiorek and Robert Swarz. Design and Evaluation. Digital Press, Reliable Computer Systems: 48/48

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